Tài liệu Phương trình nghiệm nguyên và giả thuyết catalan

Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 36 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2013 1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục 0.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 GIẢ THUYẾT CATALAN: THÊM MỘT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cassels và trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính? . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Cặp Wieferich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Linh hóa tử - Nhân tố chìa khóa . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Các linh hóa đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan . . . . . . . . . . . 1.8 Định lý của Mihăilescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Xét lại các linh hóa tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Mâu thuẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 8 10 12 12 14 15 16 17 18 2 LŨY THỪA HOÀN THIỆN - CÁC CÔNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NÓ 2.1 Những đóng góp của Pillai cho các bài toán Diophantine . . . 2.1.1 Các kết quả của Pillai trong các vấn đề Diophantine . 2.1.2 Giả thuyết của Pillai về dãy các lũy thừa hoàn thiện . 2.2 Giả thuyết Pillai và các bài toán mở hơn . . . . . . . . . . . 2.2.1 Phương trình Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Phương trình Fermat mở rộng . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sự làm mịn định lượng của giả thuyết Pillai . . . . . . . . . . 2.3.1 Giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 21 22 23 24 24 28 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 2 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 0.1 Tóm tắt Giả thuyết Catalan trong lý thuyết số một trong những bài toán rất dễ phát biểu, nhưng lại rất khó giải. Giả thuyết dự đoán rằng chỉ có 8 và 9 là cặp số liên tiếp duy nhất mà cả hai số đều là lũy thừa của số tự nhiên. Nói cách khác, phương trình Diophantine xu − y v = 1 (x > 0, y > 0, u > 1, v > 1) (1) không có nghiệm nào khác ngoài xu = 32 , y v = 23 . Giả thuyết này được công bố trên tạp trí Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik bởi nhà toán học Bỉ Eugène Catalan (1814-1894). Bài báo được xuất bản năm 1944 ([1]). Trong thời gian Catalan giảng dạy tại trường đại học Bách khoa Paris ông đã nổi tiếng với việc giải một bài toán tổ hợp. Thuật ngữ số Catalan vẫn được sử dụng cho đến ngày này là nhắc đến công trình đó. Đối với phương trình (1) Catalan đã viết Cho đến nay không thể chứng minh đầy đủ. Ông cũng chưa bào giờ công bố bất kì kết quả riêng quan trọng nào về vấn đề này. Giả thuyết trở thành thách thức của toán học và sớm thu được một số kết quả trong những trường hợp riêng quan trọng, tuy nhiên trong suốt 100 năm tất các các kết quả thu được đều ít nhiều mang đặc tính cô lập. Tiếp đó vào cuối những năm 1950 đồng thời xuất hiện một số ý tưởng đáng kể. Sau đó đến những năm 1970, việc nghiên cứu được kích thích bởi một kết quả đưa bài toán tới việc tính toán hữu hạn. Tuy nhiên, khối lượng tính toán là quá lớn để có tính khả thi. Từ đó, hướng chính của việc nghiên cứu là các nỗ lực để giảm bới khối lượng tính toán. 3 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Đó là tình hình cho đến năm 2002, khi nhà toán học Preda Mihăilescu, người chưa được biết đến trong lĩnh vực này đã chứng minh hoàn Chỉnh Giả thuyết. Điều ngạc nhiên là trong chứng minh, ông sử dụng rất ít tính toán, mà thay vào đó ông sử dụng các lý thuyết sâu sắc, đặc biệt lý thuyết các trường cyclotomic.. Preda Mihăilescu sinh năm 1955 tại Rumani, ông học toán tại ETH Zurich. Ông đã từng làm việc trong ngành công nghệ máy tính và tài chính, nhưng hiện tại ông đang nghiên cứu toán tại đại học Paderborn - Đức. Luận văn nhằm trình bày một số điểm mốc quan trọng trong lịch sử của bài toán Catalan và mô tả sơ lược lời giải tuyệt vời của Mihăilescu. Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng 3 năm 2013 Người thực hiện Lương Thị Hằng 4 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 GIẢ THUYẾT CATALAN: THÊM MỘT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu Khoảng 100 năm trước khi Catalan gửi thư cho Crelle, Euler đã chứng minh rằng trong số các lũy thừa bậc hai và bậc ba, chỉ có 8 và 9 là các số nguyên liên tiếp, tức là cặp số (8,9) là nghiệm duy nhất của phương trình x3 − y 2 = ±1 (x > 0, y > 0) (1.1) Chứng minh của Euler rất tài tình, nhưng có nhiều chỗ dài dòng. Ngoài nhiều kỹ thuật khác, chứng minh còn dùng phương pháp lùi vô hạn của Fermat. Để tìm hiểu phương trình (1) ta xem trường hợp đặc biệt (1.1) có thể giải như thế nào nếu sử dụng lý thuyết số đại số. Giả sử (x, y) là một nghiệm, trước hết ta xét phương trình x3 − y 2 = −1. Ta viết phương trình trong vành các số nguyên Gauss Z[i]. x3 = (y + i)(y − i) (1.2) Do Z[i] là vành nhân tử duy nhất nên ta có thể xét ước chung lớn nhất của các phần tử của nó. Gọi d là ước chung lớn nhất của y + i và y − i (sai khác một nhân tử đơn vị). Từ các phương trình y + i = dλ, y − i = dµ ta có d|2. Từ (1.2) suy ra d chia hết x và x phải là số lẻ. Từ đó y ≡ 0 hoặc 1( mod 4). Suy ra d là đơn vị. Do đó d = ±1; ±i. Ta có y +i = d(a+bi)3 , a, b ∈ Z. Tuy nhiên d là lũy thừa bậc ba trong Z[i] nên có thể bỏ qua. Từ phần thực và phần ảo của phương trình y+i = (a+bi)3 5 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ta tìm được y = 0 và (x = 1). Điều này mâu thuẫn. Do đó phương trình không có nghiệm. Đối với phương trình x3 − y 2 = 1, ta viết phương trình dưới dạng x3 = (y + 1)(y − 1) Ước chung lớn nhất của (y + 1) và (y − 1) là 1 hoặc 2. Trong trường hợp thứ nhất, ta thấy rằng 2 sẽ là hiệu của hai lũy thừa bậc ba, điều này không thể xảy ra. Trong trường hợp thứ hai, sẽ dẫn đến phương trình a3 − 2b3 = ±1 √ Do đó a − bα với α = 3 2 là đơn vị trong Z[α], vành các số nguyên trong trường các số thực Q(α). Các đơn vị của vành này là các lũy thừa của đơn vị 1 + α + α2 . Từ đó, ta tìm được |a − bα| là lũy thừa bậc 0 nên α = ±1, b = 0. Do đó phương trình ban đầu có nghiệm x = 2, y = 3. Để chứng minh giả thuyết Catalan ta xét phương trình xp − y q = 1 (x > 0, y > 0) (1.3) với p, q là các số nguyên tố khác nhau. Năm 1850, V.A. Lebesgue (không phải là người cùng tên nổi tiếng với tích phân Lebesgue!) giải được trường hợp q = 2. Sử dụng đại số các số nguyên Gauss, ta viết phương trình dưới dạng tương tự phương trình (1.2). Ước chung lớn nhất của y + i và y − i là đơn vị. Do đó ta có hai phương trình y + i = is (a + bi)p , y − i = (−i)s (a − bi)p trong đó s ∈ {0, 1, 2, 3}. Từ đó có thể khử y và các phương trình này dẫn đến mâu thuẫn, do đó phương trình xp − y 2 = 1 không có nghiệm. Đối với trường hợp p = 2 trong phương trình (2.4), năm 1961 có một kết 9 quả chứng minh phương trình x2 − y q = 1 nếu có nghiệm thì x > 103.10 . Cái tin nhà toán học Chaoko người Trung Quốc chứng minh được rằng phương trình này không giải được đã không được cộng đồng toán học biết đến. Chứng minh chỉ được biết đến năm 1964, khi nó công bố trên tạp chí Scientia Sinica [7]. Năm 1976, E.Z Chein công bố một chứng minh rất khéo léo dựa trên kết quả của T.Nagell nói rằng nghiệm (x, y) phải thỏa mãn 2|y và q|x. Xét phương trình có dạng (x + 1)(x − 1) = y q 6 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chein kết luận rằng ước chung lớn nhất của (x + 1) và (x − 1) là 2. Do đó có các số nguyên tố cùng nhau a và b, với a lẻ thỏa mãn phương trình (x + 1) = 2aq , x − 1 = 2q−1 bq (1.4) hoặc các phương trình tương tự với x + 1 và x − 1 tráo đổi cho nhau. Nếu q > 3 thì (2.5) dẫn đến điều kiện (ha)2 + b2 = (a2 − b)2 trong đó h2 = a − 2b và các phương trình thay thế thỏa mãn điều kiện tương tự. Đây là hai phương trình kiểu Pitago và do đó đã biết lời giải. Từ đó suy ra x và y không tồn tại với q > 3. Chi tiết về cách giải trên có thể xem trong cuốn chuyên khảo của Paulo Ribenboim. Trong cuốn sách trình bày toàn diện lịch sử của giả thuyết Catalan cho đến năm 1994. 1.2 Cassels và trường hợp 1 Từ mục này để thuận tiện chúng ta xét phương trình Catalan đưới dạng xp − y q = 1(xy 6= 0, p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau.) (1.5) Ta viết lại phương trình dưới dạng xp − 1 (x − 1) = yq x−1 Sử dụng đồng nhất thức xp = ((x − 1) + 1)p ta dễ thấy ước chung lớn nhất p −1 của (x − 1) và xx−1 là 1 hoặc p. Một tình huống tương tự xảy ra khi nghiên cứu phương trình Fermat p +y p p x + y p = z p , trong đó vế trái được phân tích thành tích của x + y và xx+y , ở đây ước chung lớn nhất của các thừa số là 1 hoặc p. Điều này dẫn đến trường hợp 1 và trường hợp 2 của bài toán Fermat. Trong lịch sử, trường hợp 1 "dễ dàng" hơn và nhiều người tin rằng cách tiếp cận này sẽ chứng minh hoàn thiện bài toán. Tuy nhiên, trong chứng minh của Andrew Wiles không sử dụng sự phân loại này. Đối với phương trình (1.5) ta có thể nói tương tự về các trường hợp 1 và 2 tùy theo giá trị của các ước chung lớn nhất ở trên. Trong trường hợp 1, khi gcd bằng 1 chúng ta thu được các phương trình xp − 1 x − 1 = aq , = bq , y = ab x−1 7 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và không chia hết cho p. Năm 1960, J.W.S. Cassels đã chỉ ra rằng các phương trình này dẫn đến mâu thuẫn. Ông sử dụng các phương pháp sơ cấp và sự kết hợp đáng ngạc nhiên giữa tính chia hết và các bất đẳng thức. Sau đó, S. Hyyro có một chứng minh khác. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ còn trường hợp 2. Đặc biệt, một trong hai số x − 1 và (xp − 1)\(x − 1) chứa lũy thừa bậc nhất của p. Nhưng số này không thể là x − 1, vì trong trường hợp đó xp − 1 chỉ chia hết cho p2 . Vì vậy chúng ta có các phương trình (x − 1) = p xp − 1 a, = pbq , y = pab x−1 q−1 q (1.6) trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và p không chia hết b ( nhưng p có thể chia hết a). Các phương trình tương tự suy ra tự việc phân tích xp thành tích của y + 1 và (y p − 1)\(y + 1). Đặc biệt y chia hết cho p và x chia hết cho q. Định lý Cassell là một trong những kết quả tổng quát đầu tiên về phương trình Catalan (1.5), nó là động lực quan trọng để nghiên cứu phương trình này. 1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính? Khoảng giữa thế kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu nhận được quan tâm của những người làm việc trong giải tích Diophantine. Trước tiên người ta thấy rằng số nghiệm (x, y) của phương trình với số mũ p, q cố định là hữu hạn. Đây là một hệ quả của định lý tổng quát về số điểm nguyên trên đường cong được công bố năm 1929 của C.L. Siegel. Năm 1955, H. Davenport và K.F. Roth công bố một kết quả về chặn trên của số đó (mặc dù rất lớn) [2](các kết quả khác về số nghiệm có thể tham khảo trong phần giới thiệu). Bước ngoặt trong hướng này là vào những năm 1970. Alan Baker thu được các ước lượng cơ bản đối với các dạng tuyến tính logarit. Đặt Λ = b1 log r1 + ... + bn log rn trong đó bj là các số nguyên, rj là các số hữu tỷ dương. Ta định nghĩa độ cao của một số hữu tỷ r = st là log max(|s|, |t|) và đặt B = max(|b1 |, ..., |bn |}. Giả sử Λ 6= 0, Baker chứng minh bất đẳng thức sau: |Λ| > exp(−A log B), 8 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ trong đó A là số dương tính toán được ,phụ thuộc vào n và độ cao của r1 , ..., rn . Kết quả này, thực ra là một sự làm mịn của nó, đã được Robert Tijdeman sử dụng để tìm chặn trên của nghiệm (x, y, p, q) (với x, y dương) của phương trình Catalan . Chiến lược ở đây là tìm dạng tuyến tính Λ và phụ thuộc vào nghiệm một cách đặc biệt: một chặn trên cho |Λ| suy ra bởi (1.5) phải đủ gần với chặn dưới của Baker. Robert Tijdeman chọn pa (x − 1)p = log pa0 (y + 1)q q−1 q q p log p a + 1 y +1 Λ2 = q log q + = log 0 qq a q (y + 1)q Λ1 = q log q − p log p + pq log 0 trong đó a được xác định từ phương trình x − 1 = pp−1 a p và a0 xác định bởi phương trình tương tự y + 1 = q p−1 a,p . Do (x − 1)p < xp = y q + 1 < (y + 1)q suy ra Λ1 , Λ2 khác không. So sánh chặn dưới và chặn trên của |Λ1 | dẫn đến bất đẳng thức giữa p và q , tương tự với |Λ2 | Các bất đẳng thức này là đủ chặ để, khi khử q , ta có điều kiện sau p < c1 (log p)c2 trong đó c1 , c2 là các hằng số. Điều này yêu cầu q < p, nhưng trong trường hợp q > p ta có các điều kiện tương tự cho q . Từ đó suy ra các số mũ p, q bị chặn trên và chặn trên không phụ thuộc vào x và y . Do đó tính chất của bài toán hoàn toàn thay đổi: chỉ có hữu hạn nghiệm (x, y, p, q)., hơn nữa có thể tính toán được cận trên của các ẩn. Thật vậy các hằng số c1 , c2 ở trên là tính được Những kết quả tính toán chi tiết đầu tiên về chặn trên của p và q là vô cùng lớn, nhưng những cải tiến đã đem lại những ước lượng vừa phải hơn. Kết quả lớn nhất cho chặn trên của max(p, q) là 8.1016 . Lưu ý rằng việc giả thiết x, y dương ở trên không làm mất tính tổng quát, vì (1.5) cũng có thể viết dưới dạng (−y)q − (−x)p = 1. (1.7) Điều gì xảy ra khi ta thay bằng phương trình xp − y q = c, trong đó c > 1 là số nguyên? Cố định p và q , định lý Siefel suy ra số nghiệm (x, y) là hữu hạn. 9 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tuy nhiên, khi các số mũ biến thiên tình hình trở lên phức tạp: Ta không biết số nghiệm (x, y, p, q) có hữu hạn không? 1.4 Cặp Wieferich Các kết quả trên thúc đẩy việc tìm thêm các chặn trên cho các nghiệm giả định. Chúng ta biến đổi phương trình xp − y q = 1 trong (1.6) về dạng xp − 1 = pbq x−1 (p không chia hết b) Điều này gợi ý dùng phương pháp tiếp cận truyền thống phân tích vế trái trong Z[ζ], vành các số nguyên trong trường cyclotomic Q(ζ) (ζ = e2πi\p ). Kết hợp điều này với nhận xét xp − 1 p= x−1   = x=1 p−1 Y (1 − ζ k ) k=1 ta thu được phương trình p−1 Y x − ζk k=1 1− ζk = bq Ta viết x − ζ k = (x − 1) + (1 − ζ k ) và nhận thấy rằng x − 1 chia hết cho p (xem (1.6)). Suy ra thương (x − ζ k )(1 − ζ k ) ∈ Z[ζ]. Tuy nhiên vành này không phải là miền có phân tích duy nhất trong trường hợp tổng quát. Để khôi phục các tính chất phân tích tốt, chúng ta thay các số bằng các idean mà chúng sinh ra. Ta nhận thấy các idean chính < (x−ζ k )(1−ζ k ) > là nguyên tố cùng nhau từng cặp. Do đó mỗi một trong chúng là một lũy thừa bậc q của một idean nào đó. Đặc biệt   x−ζ = Jq (1.8) 1−ζ trong đó J là idean khác không của Z[ζ]. Tất cả điều này là tương tự như công trình kinh điển của Kummer trong phương trình Fermat và được K. Inkeri [5] công bố năm 1990. Trong bài viết của mình Inkeri giả thiết số lớp của Q(ζ) là nguyên tố với q . Khi đó cùng 10 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ với J q , idean J là idean chính, chẳng hạn J =< γ > và (1.8) suy ra phương trình x−ζ = eγ q (1.9) 1−ζ trong đó e là đơn vị trong Z[ζ]. Vành này có vô hạn đơn vị, nhưng ta có thể khắc phục được điều này. Thật vậy, xét (1.9)cùng với số phức liên hợp của nó, do e và ē là khác nhau một nhân tử là căn của đơn vị. Bằng cách này Inkeri thu được kết quả q 2 |x. Theo Cassels, ta có q|x. Lý luận trực tiếp dựa vào quy tắc nâng lên của lũy thừa: nếu aq ≡ bq ( mod q) thì aq ≡ bq ( mod q 2 ). Ta viết lại phương trình thứ nhất trong (1.6) dưới dạng x = (pq−1 − 1)aq + aq + 1 Inkeri thu được kết quả q 2 chia hết pq−1 − 1. Trong (1.7) vai trò của p và q có thể hoán vị nhau, và do đó ta thu được cặp đồng dư thức mới pq−1 ≡ 1( mod q 2 ), q p−1 ≡ 1( mod p2 ) (1.10) với điều kiện số lớp của trường cyclotomic bậc p và bậc q phần có dáng điệu tốt. Cặp các số nguyên tố lẻ p, q thỏa mãn các đồng dư thức này gọi là một cặp Wieferich. Tên này bắt nguồn trong lịch sử của bài toán Fermat: năm 1909, A. Weiferich chỉ ra tính giải được của phương trình xp + y p = z p trong trường hợp thứ nhất: 2p−1 ≡ 1( mod p2 ) đòi hỏi 2p−1 ≡ 1(mod p2 .. Số nguyên tố p như trên gọi là số nguyên tố Weiferich, và rất ít gặp. Thực tế, người ta chỉ biết hai số nguyên tố Weiferich là 1093 và 3511. Số tiếp theo nếu tồn tại phải lớn hơn 1, 25.1015 . Các cặp số Weiferich rất đặc biệt, cặp số đầu tiên được tìm thấy là (83; 4871), và người ta cũng chỉ biết thêm 5 cặp số nữa.[8],[6]. Các điều kiện (1.10) cùng với bảng số lớp hiện có được sử dụng để loại bỏ một lớp các số p và q trong các nghiệm có thể của phương trình Catalan. Phương pháp này tăng hiệu quả khi tìm cách thay đổi và nới lỏng hơn các điều kiện về số lớp. Năm 1999, có sự tiến bộ đáng kể theo hướng này khi Preda Mihăilescu [9] chứng minh rằng các đồng dư thức (1.10) nghiệm đúng mà không cần bất kì điều kiện nào về số lớp. 11 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu 1.5 http://lrc.tnu.edu.vn/ Linh hóa tử - Nhân tố chìa khóa Linh hóa một phần tử của một nhóm là ánh xạ nó tới phần tử trung lập e; linh hóa một nhóm là ánh xạ tất cả các phần tử tới e. Nếu θ linh hóa vành Z[ζ], phương trình (1.8) suy ra   x−ζ θ = eγ q , (1.11) 1−ζ trong đó e ∈ Z[ζ]× và γ ∈ Q(ζ) được xác định bởi J θ =< γ >. Trong bài báo thứ nhất Mihăilescu[9] đã chọn một linh hóa cổ điển gọi là quan hệ Stickelberger. Tính toán tương tự Inkeri ta thu được các đồng dư thức x ≡ 0, pq−1 ≡ 1( mod q 2 ) (1.12) do tính đối xứng ta cũng có y ≡ 0, q p−1 ≡ 1( mod p2 ), (1.13) trong đó (1.12), (1.13) thỏa mãn với mọi nghiệm (x, y, p, q) của phương trình Catalan (1.5). Đặc biệt số mũ p, q là cặp Wieferich. Đây là những điều kiện rất hiệu quả để loại những nghiệm có thể của phương trình (1.5). Kết hợp chúng với các bất đẳng thức phù hợp của p và q thu được bằng phương pháp kiểu Tijdeman, Migrotte và những người khác chỉ ra rằng min(p, q) > 107 . Chặn dưới này vẫn còn rất xa so với chặn trên trong mục 4. Trong phần cuối chứng minh giả thuyết Mihăilescu [10] đã xét phương trình (1.11) dưới góc độ hoàn toàn mới, thay vì đẩy đơn vị e ra ngoài thì ông chỉ tập trung vào đơn vị này hoặc cho cả nhóm các đơn vị. Từ (1.11) ông phát hiện ra các thông tin cho nhóm này thông qua các linh hóa khác nhau và tìm được một tính chất bất ngờ của nhóm đó. Băng cách chỉ ra tính chất như thế là vô lý, ông đi đến kết luận mâu thuẫn trong chứng minh giả thuyết. 1.6 Các linh hóa đặc biệt Đối tượng được xét sau đây là trường cyclotomic thực K = Q(ζ) ∩ R, đây là mở rộng cấp m = (p − 1)/2 của trường số hữu tỷ,chẳng hạn sinh bởi ρ = ζ + ζ −1 . Vành số nguyên của nó là Z[ρ], nhóm các đơn vị của vành này 12 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ E = Z[ρ]× là nhóm Abel vô hạn sinh bởi −1, và bởi m − 1 đơn vị không xoắn, các đơn vị cơ bản của K . Trong trường hợp tổng quát rất khó tìm được chúng nhưng ta có thể thay thế chúng bằng cách xét các đơn vị sin(lπ/p) ζ l/2 − ζ −l/2 = Sin(π/p) ζ 1/2 − ζ −1/2 (l = 2, ..., m)) (chú ý rằng ζ 1/2 = −ζ (p−1)/2 ). Cùng với −1, các đơn vị này sinh ra một nhóm con của E có chỉ số hữu hạn, ta gọi là C . Các phần tử của C gọi là cácđơn vị cyclotomic. Kummer đã phát hiện ra một sự liên hệ giữa nhóm các đơn vị đó và lớp H(K) của K . Đó là chỉ số [E : C] bằng số lớp hk = |H(K)|. Kết quả này đã được mở rộng và làm sâu sắc theo nhiều cách. Bước cuối cùng trong sự phát triển này là định lý Thaine liên hệ các linh hóa của các đơn vị với các idean đó. Trước khi đi vào chi tiết chúng ta sẽ giới thiệu các linh hóa một cách chính xác hơn. Cho trường K là một mở rộng Galoa của Q, nó là nhóm G chứa các tự đẳng cấu τ1 , τ2 , ..., τm xác định bởi (ζ + ζ −1 )τC = ζ C + ζ −C . Ta đưa vào một tập lớn hơn các ánh xạ, nhóm vành m X Z[G] = { nC τC |nC ∈ Z, i = 1, ..., m} i=0 . tác động Galoa của G trong trường K ta thu được cấu trúc modun Z[G] trên K × nhóm nhân của K bởi công thức γ n1τ1 +...+nm τm = (γ n1 )τ1 ...(γ nn )τm , ∀γ ∈ K × . Đặc biệt, các nhóm E và C trở thành các modun con của K × . Vành Z[G] luôn tác động lên nhóm các idean của K trên nhóm lớp H(K). Do đó H(K) là một Z[G]- modun. Miền xác định của các linh hóa là Z[G]. Cho một nhóm Abel A, kí hiệu [A]q , với q là số nguyên tố, là một nhóm con của A, đó là nhóm con gồm các phần tử có cấp là lũy thừa bậc q . Nếu A là Z[G]- modun thì [A]q là một modun con. Định lý Thaine cho trường K và số nguyên tố q lẻ được phát biểu như sau: Nếu bậc m = [K; Q] là số nguyên tố cùng nhau với q thì mọi linh hóa tử θ ∈ Z[G] của nhóm [E/C]q luôn linh hóa nhóm [H(K)]q . 13 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu 1.7 http://lrc.tnu.edu.vn/ Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan Trong mục này chúng ta sẽ phác thảo chứng minh của Mihăilescu. Cho (x, y) là một nghiệm của phương trình Catalan (1.5). Như đã nêu trong (1.8) idean nguyên tố Z[ζ] sinh bởi (x − ζ)/(1 − ζ) là lũy thừa bậc q của một idean khác không. Điều này cũng đúng cho các idean liên hợp phức và tích của hai idean. Ta có   (x − ζ)(x − ζ −1 ) ¯q = (J J) −1 (1 − ζ)(1 − ζ ) là phương trình giữa các idean thực. Đặc biệt lớp idean của J J¯ có cấp q hoặc 1 trong nhóm H(K) và như vậy thuộc nhóm q - nguyên tố [H(K)]q . Cho θ ∈ Z[G] triệt tiêu nhóm thương E/C nên E θ ⊆ C . Từ định lý Thaine suy ra θ triệt tiêu nhóm [H(K)]q . Theo mục 6 ta có  (x − ζ)(x − ζ −1 ) (1 − ζ)(1 − ζ −1 ) θ = eγ q (1.14) trong đó e ∈ E và γ ∈ K × . Do γ chưa biết nên ta chỉ cần xét e và các đơn vị liên quan tới một thừa số là lũy thừa bậc q trong K × Do e ∈ C và đơn vị e trong (1.14) được giả thiết trong C . Bước này cần một tính chất tinh vi của các linh hóa sẽ được trình bày trong mục 10. Đối với θ có một cách chọn đơn giản nhưng quan trọng là ánh xạ dạng P N = C τC , hoặc một bội số nguyên của nó. Thật vậy, dạng chuẩn của đơn vị tùy ý là ±1, với mỗi r ∈ Z phù hợp, phần tử ((1 + ζ)/(1 − ζ −1 ))θ−rN là đơn vị cyclotomic và (1.14) có dạng ((x − ζ)(x − ζ −1 )θ−rN ∈ η(K × )q , η ∈ C (1.15) Do x ≡ 0( mod q 2 ) và từ (1.12) ta tìm được η ≡ 1( mod q 2 ) (η là lũy thừa bậc q ). Các đơn vị cyclotomic thỏa mãn các điều kiện này gọi là các q nguyên thủy. Chúng tạo thành một nhóm con của C , được ký hiệu là Cq . Cho θ0 ∈ Z[G] là linh hóa tử của Cq , theo (1.15) ta có 0 ((x − ζ)(x − ζ −1 ))θθ −rN ∈ (K × )q (1.16) Từ liên hệ này Mihăilescu suy ra θθ0 − rN chi hết cho q . Ta đặt 0 eθθ = erN +qω = erN = 1 14 (1.17) Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Nhắc lại rằng eθ ∈ C , điều này cho thấy θ0 trên thực tế là linh hóa C hơn là nhóm con Cq , do đó Cq bằng C . Lập luận này được thực hiện một cách chặt chẽ. Do đó tất cả các đơn vị cyclotomic là q - nguyên thủy. Dễ thấy điều này không thể xảy ra. Do đó ta có điều phải chứng minh. 1.8 Định lý của Mihăilescu Kết quả quan trọng của Mihăilescu, (1.16) suy ra (1.17), có phát biểu chính xác như sau. Chúng ta nhắc lại x và y là nghiệm của phương trình Catalan xp − y q = 1. Định lý 1.8.1. Giả sử θ = m P nC τC ∈ Z[G] và i=1 ((x − ζ)(x − ζ −1 ))θ ∈ (K × )q Nếu m P (1.18) nC ≡ 0( mod q) thì nC chia hết cho q sao cho θ = qω với ω ∈ Z[G]. C=1 Điều quan trọng trong chứng minh là sự kiện |x| lớn. Năm 1964 Hyyro [2] chứng minh ước lượng |x| > q p . Tuy kết quả này không khả dụng, nhưng những ước lượng khác yếu hơn đã được rút ra trong [10], [1]. Chúng ta sẽ trình bày các ý chính trong chứng minh của định lý. Để đơn giản ký hiệu, ta thác triển các tự đẳng cấu τc lên toàn miền cyclotomic Q(ζ).. Nhóm Galois Go của Q(ζ) lập nên từ các tự đẳng cấu σ1 , ..., σp−1 với ζ σk = ζ k . Do đó τC có các mở rộng σC và σp−C . Đặt ψ= m X nC (γC + γp−C ) = C=1 p−1 X bk γk ∈ Z[G0 ] k=1 trong đó bC = nC = bp−C (C = 1, ..., m). Ta có ((x − ζ)(x − ζ −1 ))θ = (x − ζ)θ (x − θ−1 )θ = (x − ζ)ψ Thêm vào ψ một phần tử thích hợp có dạng qψ1 , chúng ta giả sử các hệ số bk nằm trong khoảng 0, ..., q − 1. Ta phải chỉ ra mỗi hệ số bk bị triệt tiêu. p−1 P Theo giả thiết của định lý bk = tq với t ∈ {1, ..., p − 1} (không xét k=1 trường hợp tầm thường t = 0), do x được cố định bởi σk , ta có (1 − xζ )ψ = 15 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ x−tq (x − ζ)ψ . Theo (1.18) ta có p−1  Y k=1 ζ 1− x bk σk  ζ = 1+ x ψ = γ q (γ ∈ K × ) Do tính đối xứng ta thấy số thực γ được biểu thị bằng một chuỗi các số tổ hợp sau γ= p−1  Y k=1 ζk 1− x bk /q   µ X  µ p−1 X ∞  ∞ Y −ζ 1 bk = = α (ψ) µ µ x x µ=1 µ=0 k=1 Các hệ số αµ = αµ (ψ) có dạng αµ = aµ /(µ!qµ), trong đó aµ ∈ Z[ζ]. Đặt q E(µ) là lũy thừa của q chia hết µ!q µ . ∞ P Xét các số hạng còn lại Ω = αµ x−µ , trong đó t là số nguyên được µ=t+1 xác định ở trên. Số β = q E(t) xt Ω là một số nguyên của trường Q(ζ), tức alf thuộc Z[ζ]. Ta có thể ước lượng |β| bằng các số hạng còn lại của chuỗi Taylor chuẩn tắc. Áp dụng chặn dưới của Hyyro |x| > q p thu được kết quả |β| < 1. Điều kiện cần thiết là t bị chặn P P t ≤ m, điều này thực hiện được bằng cách thay k bk σk bằng k (q − bk )σk nếu cần thiết. Các lập luận được mở rộng tới các liên hợp β σk , chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Tuy nhiên tình hình đó không thể xẩy ra với số nguyên đại số khác không. Do đó β = 0. Suy ra chuỗi Taylor cho γ rút gọn tới tổng hữu hạn. Mặt khác đánh giá tử số của αt ta có !t p−1 X at ≡ − bk ζ k ( mod q) k=1 P Kết hợp với β = 0 ta thu được đồng dư thức k bk ζ k ≡ 0( mod q). Suy ra bk triệt tiêu với mọi k . Định lý được chứng minh. 1.9 Xét lại các linh hóa tử Trong chứng minh ở mục 8 yêu cầu phải nghiên cứu sâu sắc cáclinh hóa tử, điều này mạng lại những khía cạnh đại số của chứng minh. 16 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Như đã nêu trong mục 8, chúng ta chỉ cần xét các đơn vị của E đồng dư modun lũy thừa bậc q hoặc ta có thể thay e bằng eE q trong nhóm E/E q . P Khi đó θ = C nC τC ∈ Z[G] tác động lên nhóm thứ hai, các hệ số nC cũng đồng dư modun q . Do đó ta có thể coi các hệ số nC là các số nguyên hoặc các lớp đồng dư modun q . Trong trường hợp thứ hai, ta có θ= m X nC τC ∈ Fq [G], Fq = Z/q Z C=1 và nhóm E/E q trở thành một modun trên vành R = Fq [G]. Để các nhóm [E/C]q trong định lý Thaine tham gia vào chứng minh, chúng ta đưa vào nhóm E/CE q là R- modun. Hơn nữa khi đánh giá sự khác biệt giữa các nhóm C và Cq ta sẽ sử dụng R-modun CE q /Cq E q . Bằng cách này chúng ta nghiên cứu ba linh hóa: A1 = Ann(E/CE q ), A2 = Ann(CE q /Cq E q ), A3 = Ann(CE q /E q ) Các linh hóa của R-modun là các idean của R. Ngoài ra, các R - modun trên đều là giao hoán (ta chỉ cần kiểm tra modun E/E q do các modun khác thu được từ các modun con và modun thương). Tính giao hoán của E/E q là khá hiển nhiên và không khó để chứng minh. Mọi R-modun giao hoán M là đẳng cấu với R/Ann(M ), đẳng cấu này cùng với một số thông tin về các idean của R suy ra các idean A1 , A2 , A3 là các cặp nguyên tố cùng nhau và A1 A2 A3 = Ann(E/E q ) = RN là idean chính , đẳng thức thứ 2 là do tính giao hoán của E/E q . Mọi idean I của R là lũy đẳng, nói cách khác nó trùng với bình phương của nó. Do đó mỗi phần tử của I có thể viết như là tích các phần tử của I . Đây là một tính chất tiện dụng của các linh hóa tử và được sử dụng nhiều lần trong chứng minh này. Từ định lý Mihăilescu suy ra θ1 θ3 − rN = 0. Do đó A1 A3 ⊆ RN . Lưu ý rằng RN = A1 A2 A3 và A1 , A2 , A3 là các cặp nguyên tố cùng nhau nên suy ra A2 =< 1 >. Theo định nghĩa của A2 ta có C = Cq 1.10 Mâu thuẫn Đẳng thức C = Cq nghĩa là mọi đơn vị cyclotomic trên K , khi xét modulo q , là lũy thừa bậc q của một số nguyên khác không nào đó của K . 2 17 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chúng ta cần khái niệm đơn vị cyclotomic trong toàn trường Q(ζ). Trong trường này các đơn vị tạo thành nhóm con C0 của Z[ζ]× sinh bởi C và ζ . Do ζ = ζ dq , trong đó d là nghịch đảo đồng dư modulo p của q . Khi đó ta có mọi đơn vị trong C0 là lũy thừa bậc q đồng dư modulo q 2 . Đặc biệt dơn vị 1 + ζ = (1 − ζ 2q )/(1 − ζ q ). Điều này cho ta đồng dư dạng 1 + ζ q ≡ η q ( mod q). Từ tính chất của các số tổ hợp suy ra 1 + ζ q ≡ η q ( mod q) Theo công thức nâng lên lũy thừa ta có (1 + ζ q ) ≡ 1 + ζ q ( mod q 2 ) Do đó đa thức 1 f (T ) = ((1 + T )q − 1 − T q ) ∈ Z[T ] q có ζ là nghiệm modulo q , và cùng với ζ , các liên hợp của nó ζ k , k = 1, ..., p−1. Xét f (T ) là đa thức trên trường Z[ζ]/Q, trong đó Q là idean thương nguyên tố của < q >. Do đa thức có p − 1 nghiệm khác nhau nên bậc q − 1 của nó ít nhất là p − 1. Các số nguyên tố p và q là khác nhau nên ta có q > p. Nhưng p và q có thể hoán vị vai trò, như trong (1.7). Từ đó bất đẳng thức là không thể xảy ra. 1.11 Kết luận Câu hỏi tự nhiên đặt ra là phương trình Catalan (1) có nghiệm trong miền khác Z không? Đây là vấn đề khó được Ribenboim đề cập trong [?]. Tương tự rõ ràng là các số nguyên trong trường đại số F . Trong [?]một kết quả của Tijdeman được mở rộng. Thật vậy với điều kiện nhẹ, các nghiệm của phương trình xu − y v = 1(u > 1, v > 1) (1.19) trong đó x, y là các số nguyên trong F bị chặn trên bởi một hằng số tính toán được. Tính bị chặn của x, y có nghĩa là giá trị tuyệt đối của tất cả các liên hợp của chúng bị chặn. Một bài toán quan trọng nữa là có thể xét phương trình (1.19) với u = p là số nguyên tố lẻ, trong trường F = Q(ζ), trong đó ζ là căn bậc p- nguyên tố của 1 như trên. Từ định lý Thaine suy ra có thể xây dựng và phát triển các ý tưởng như của Mihăilescu - bắt đầu bởi phương trình tổng quát hơn dạng xp − y q = ζ . Tuy nhiên chứng minh của Mihăilescu trong mục 9 là rất nhạy với các hiệu chỉnh, do đó nó khó tổng quát hóa. 18 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Một câu hỏi cũng được dặt ra là liệu phương trình (1.19) có thể giải được trong trường hàm hay không? Do kết quả của M.B Nathason có thể thấy vấn đề này không thật sự hấp dẫn. 19