Tài liệu Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN VỚI TRUNG BÌNH NHÂN CÓ TRỌNG SỐ VÀ ỨNG DỤNG (STUDY ON SOME MATRIX EQUATIONS INVOLVING THE WEIGHTED GEOMETRIC MEAN AND THEIR APPLICATIONS) Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021 CÔNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN ĐẠI Cán bộ chấm phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI Cán bộ chấm phản biện 2: TS. NGUYỄN HUY TUẤN Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐH Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2021 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn bao gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của các thành viên Hội đồng đánh giá luận văn.) 1. Chủ tịch: PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY 2. Thư ký: TS. ĐẶNG VĂN VINH 3. Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI 4. Phản biện 2: TS. NGUYỄN HUY TUẤN 5. Ủy viên: TS. CAO THANH TÌNH Xác nhận của chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có). CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Trường Đại học Bách Khoa NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN MSHV: 1970748 Ngày, tháng, năm sinh: 30.12.1985 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã ngành: 8460112 I. TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN VỚI TRUNG BÌNH NHÂN CÓ TRỌNG SỐ VÀ ỨNG DỤNG . NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức chuẩn bị - Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số - Ứng dụng II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 06/09/2021 III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/2021 IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. LÊ XUÂN ĐẠI Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 01 năm 2021 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS. LÊ XUÂN ĐẠI CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG TRƯỞNG KHOA LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên tôi xin chân thành gửi tới Thầy TS. Lê Xuân Đại, TS. Đặng Văn Vinh, TS. Phạm Tuấn Cường đã nhiệt tình giảng dạy, định hướng và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập chương trình Cao học Toán Ứng dụng, cũng như trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trong Bộ môn Toán Ứng dụng, khoa Khoa học Ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, những người đã truyền thụ kiến thức giúp tôi có một nền tảng tri thức khoa học để thực hiện luận văn và hoàn tất khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn ở lớp Cao học Toán Ứng Dụng các khóa 2018, 2019, 2020 đã có rất nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đình tôi, đã luôn đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn và tạo những điều kiện tốt nhất cho tôi trong học tập và làm việc. Cuối cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và góp ý quý báu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả những ai có quan tâm đến luận văn này, giúp tôi có được cơ hội bổ sung kiến thức để hoàn thiện những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quá trình thực hiện luận văn. Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, 12. 2021 Người thực hiện Luận văn Nguyễn Thị Hồng Vân i TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu về bài toán phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số và ứng dụng. Định lý điểm bất động của nón của ma trận xác định dương được sử dụng để giải quyết bài toán tồn tại nghiệm duy nhất đó là nghiệm xác định dương duy nhất của phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số. Xây dựng bước lặp cho các phương trình ma trận để tìm ra dãy hội tụ về nghiệm xác định dương duy nhất. Nội dung luận văn gồm 3 chương: Chương 1 là Kiến thức chuẩn bị trình bày về các khái niệm cơ bản, các định lý liên quan đến lý thuyết ma trận xác định dương, nón, điểm bất động, trung bình nhân có trọng số. Chương 2 là Phương trình ma trận nói về phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số. Chương 3 là Ứng dụng nêu ra ứng dụng của phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số. ABSTRACT In the thesis, we study on some matrix equations involving the weighted geometric mean and their applications. We use fixed point theorem in the cone of positive definite matrices to prove the existence of a unique positive definite solution. We study the multi-step stationary iterative method for those equations and prove the corresponding convergence. Thesis content includes 3 chapters: Chapter 1 is Preparatory knowledge presenting basic concepts, theorems related to the theory of positive definite matrices, fixed point, cone of positive definite matrices. Chapter 2 is the Matrix Equations talking about Some Matrix Equations Involving The Weighted Geometric Mean. Chapter 3 is the Matrix Equations Applications which shows the use of Matrix Equations Involving The Weighted Geometric Mean. ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Thị Hồng Vân, MSHV: 1970748, là học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng dụng khóa 2019-2021 của trường Đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh Xin cam đoan toàn bộ những gì trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Lê Xuân Đại, khoa Khoa học Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Trong toàn bộ luận văn, hầu hết các kết quả nghiên cứu từ các công trình khoa học của các tác giả khác, khi tôi thu thập, chọn lọc để trình bày, trích dẫn hoặc tham khảo, tôi đều có ghi rõ địa chỉ để người đọc tham chiếu. Tôi xin cam đoan về những gì đã nêu trên đây là sự thật và xin chịu toàn bộ trách nhiệm về những gian dối về tác quyền nếu có trong luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2021 Người thực hiện luận văn Nguyễn Thị Hồng Vân iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN ii LỜI CAM ĐOAN iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU vii DANH SÁCH BẢNG viii DANH SÁCH HÌNH VẼ ix LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Lý thuyết ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Lý thuyết nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Nón của ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.3 Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 26 2.1 Trung bình nhân có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Trung bình nhân có trọng số A♯t B . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Giới thiệu Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số . . . . . 33 iv 2.3.1 Phương trình X p = A + Pm T i=1 Mi (X♯t B)Mi . . . P + ji=1 MiT (X♯t B)Mi P T −1 + m i=j+1 Mi (X ♯t B)Mi . . . . 33 . . . . 40 2.4 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Phương trình X p = A Chương 3. ỨNG DỤNG 49 3.1 Giới thiệu Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Ứng dụng đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử . . . 51 3.2.1 Hàm trung thực lượng tử Matsumoto . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Minh họa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Qubits’ Matsumoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Ứng dụng toán tử lượng tử Tsallis entropy . . . . . . . . . . . 57 3.4 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 KẾT LUẬN 60 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa N Tập các số tự nhiên (Tập các số tự nhiên khác không) Mn (N∗ ) Đại số các ma trận trên trường số phức Z Tập các số nguyên R Tập các số thực C Tập các số phức P Tập nón ma trận xác định dương E Không gian vector ∞ Dương vô cùng A, B Ma trận A, B Mi (i = 1, 2, ...m) Ma trận không suy biến cấp n × n {Xk } Dãy ma trận Xk xn , xm Dãy cơ bản xn , xm A♯B Trung bình nhân của A và B A♯t B (A 1−t 2t Trung bình nhân trọng số t của A và B BA 1−t 2t )t Trung bình nhân trọng số tổng quát t của A và B A−1 Ma trận nghịch đảo của ma trận A AT Ma trận chuyển vị của ma trận A I Ma trận đơn vị A∼B Ma trận A đồng dạng ma trận B r(A), rank(A) Hạng của ma trận A>0 Ma trận A đối xứng xác định dương det(A) Định thức ma trận A ∆ Định thức ma trận ∈(∈) / Quan hệ thuộc (không thuộc) ⊂ Quan hệ con ∅ Tập hợp rỗng p, l, m, n, i, j P Các số nguyên dương Q Tích Tổng vi Ký hiệu Ý nghĩa max Lớn nhất min Nhỏ nhất diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) Đường chéo ma trận λ Trị riêng u, v Vector ε Sai số U ((x0 , ε) Hình cầu mở bán kính ε > 0 O((x0 , ε) Lân cận của x0 ⟨u, v⟩ Tích vô hướng của hai vector u, v x ∗ Điểm bất động X∗ Nghiệm xác định dương ∀ Với mọi ∃ Tồn tại T Toán tử f Ánh xạ T (X, Y ) Toán tử T đơn điệu hỗn hợp ≤, ≦ Thứ tự lim a rb b→ ∞ b Giới hạn của ar khi b→ ∞ |0⟩ Trạng thái Qubit ứng với giá trị nhị phân 0 |1⟩ Trạng thái Qubit ứng với giá trị nhị phân 1 |Ψ⟩ Trạng thái Qubit θ, γ, φ Các số thực trên các trục Ox, Oy, Oz của Quả cầu Bloch Tr Vết của trạng thái lượng tử ρ, σ Trạng thái lượng tử Qubit FM (ρ, σ) Hàm đo độ trung thực lượng tử Mastsumoto vii Danh sách bảng 3.1 Các hình thái vật lý của Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 viii Danh sách hình vẽ 1.1 Các tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Các tập không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Nón ma trận xác định dương A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Trung bình nhân có trọng số A♯t B 2.2 Trung bình nhân A♯B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1 Quả cầu Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Không gian của các ma trận bán xác định dương . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Minh họa hình học của Độ trung thực lựợng tử Matsumoto . . . . . . . . . 56 3.4 Code Matlab toán tử lượng tử Tsallis entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ix LỜI MỞ ĐẦU Có một số bài được đăng trên tạp chí nổi tiếng nhất của lý thuyết Phương trình ma trận là: 1/ C.Zhai, Z.Jin, Solvability for two forms of nonlinear matrix equations , Bull. Iran. Math. Soc(2020) 2/ H.Lee, H.M.Kim, J.Meng, On the nonlinear matrix equation X p = P T A+ m i=1 Mi (X♯t B)Mi , M.J. Comput. Appl. Math. 373, 112380 (2020) 3/ Yongdo Lim, Miklós Pálfia, Matrix power means and the Karcher mean, Journal of Functional Analys (2012) 4/ C.Jung, H.M. Kim, Lim, On the solution of the nonlinear matrix equation X n = f (X), Linear Algebra Appl (2009) Nhận thấy đây là một vấn đề lý thuyết mới và sẽ có nhiều ứng dụng trong tương lai nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN VỚI TRUNG BÌNH NHÂN CÓ TRỌNG SỐ VÀ ỨNG DỤNG" cho luận văn của mình. Mục đích nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính của bài toán là phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số và ứng dụng. Đối tượng nghiên cứu: Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng: Ma trận xác định dương, Lý thuyết Định lý điểm bất động, nón của ma trận xác định dương, phương trình ma 1 trận với trung bình nhân có trọng số. Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại như : từ phương trình ma trận với trung bình nhân mở rộng ra phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số tổng quát. - Đọc, phân tích tìm hiểu rõ các chứng minh của các định lý trong tài liệu tham khảo. Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu: Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành ba chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ở đây nêu lên các định nghĩa quan trọng của lý thuyết ma trận xác định dương, nón, điểm bất động có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề tài. Chương 2: Vận dụng lý thuyết ma trận xác định dương, định lý điểm bất động, nón của ma trận xác định dương để chứng minh phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số có nghiệm xác định dương duy nhất. Chương 3: Nêu ra ứng dụng của phương trình ma trận với trung bình nhân có trọng số trong đo lường độ trung thực các trạng thái lượng tử và toán tử lượng tử Tsallis entropy. 2 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Lý thuyết ma trận xác định dương Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Ma trận AT = (aij )n×m được gọi là chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận chuyển vị.   1 2 3   Ví dụ 1.1.1. Cho A =     2 0 3   1 2       T  −→ A =  2 0       3 3 Định nghĩa 1.1.2. Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch. nếu tồn tại ma trận vuông B sao cho AB = BA = I . Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Nguyễn Thị Hồng Vân 3 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Kí hiệu: A−1 AA−1 = A−1 A = I Định nghĩa 1.1.3. Ma trận A cấp n × n được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A hay aij = aji , với i = 1...n, j = 1...n. AT là ma trận chuyển vị của ma trận A. Định nghĩa 1.1.4. Ma trận vuông An×n , được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu A−1 = AT Từ định nghĩa, ta có: AA−1 = AAT ⇐⇒ AAT = I Như vậy, nếu tích của A và AT là ma trận đơn vị I cấp n, thì A là ma trận trực giao. Định nghĩa 1.1.5. Ma trận A được gọi là chéo hóa được nếu ma trận A đồng dạng với ma trận chéo, tức là tồn tại ma trận P khả nghịch và ma trận chéo D sao cho A = P DP −1 . Định nghĩa 1.1.6. Ma trận A được gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại ma trận P và ma trận chéo D sao cho A = P −1 DP = P T DP . Định nghĩa 1.1.7. Ma trận Ā′ = (āij )n×m được gọi là chuyển vị liên hợp của ma trận A = (aij )m×n Kí hiệu: Ā′ = A∗ Định nghĩa 1.1.8. Ma trận U , được gọi là ma trận Unita nếu I = U ∗ U . Trong đó I là ma trận đơn vị, U ∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của U . Nguyễn Thị Hồng Vân 4 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Nếu U là ma trận Unita thì U khả nghịch. detU = ±1, trong đó, detU là định thức của ma trận U vì: 1 = detI = det(U ∗ U ) = detU ∗ .detU = (detU )2 Định nghĩa 1.1.9. Ma trận thỏa điều kiện A = Ā′ được gọi là ma trận Hermite. Định nghĩa 1.1.10. Cho ma trận A, nếu λ và vector x thỏa phương trình Ax = λx, x ∈ Cn , x ̸= 0, λ ∈ C (1.1) λ được gọi là trị riêng của A x được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng λ.     1 6     Ví dụ 1.1.2. Cho A =   và u =     6  5 2 6  3     u=  −2 −2   −24       = −4  =      1 6    Ta có: Au =     5 2 3        , v =        −5   −20 −5      = −4u   6  −5   là vector riêng ứng với trị riêng λ = −4  Định lý 1.1.1. Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ phép biến đổi trực giao. Hay tồn tại ma trận trực giao T sao cho T ′ AT có dạng đường chéo, tức là T ′ AT = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ). Trong đó λi là các trị riêng của ma trận A. Nguyễn Thị Hồng Vân 5 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 1.1.11. Cho hai ma trận A và B , ma trận A và B được gọi là đồng dạng (A similar to B ) nếu có một ma trận T sao cho B = T −1 AT . Kí hiệu: A ∼ B     Ví dụ 1.1.3. Cho A =   4 3  −1 1 B=  −1 −1     =    −2 −1     T −1 AT       5 −1      =    4 3   −1 −1  −1 1    −2 −1 7 0 Định nghĩa 1.1.12. Cho tập hợp V khác rỗng. Các phần tử của tập V qui ước gọi là các vector. Trong V xác định hai phép toán: phép cộng hai vector và phép nhân hai vector với một số α ∈ K. Tập hợp V với hai phép toán trên được gọi là không gian vector trên tập K. Kí hiệu Kk gv , nếu 10 tiên đề sau thỏa: 1. ∀x, y ∈ V, x + y ∈ V 2. ∀x ∈ V, α ∈ K, α.x ∈ V 3. ∀x, y ∈ V, x + y ∈ V 4. ∀x, y, z ∈ V, x + (y + z) = (x + y) + z 5. Trong V tồn tại vector được gọi là vector không. Kí hiệu là 0 thỏa ∀x ∈ V, x+0= x Nguyễn Thị Hồng Vân 6 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 6. ∀x ∈ V, ∃x1 ∈ V thỏa x + x1 = 0. Vector x1 được gọi là vector đối của vector x và được kí hiệu là −x 7. ∀x ∈ V, ∃x1 ∈ V thỏa x + x1 = 0. Vector x1 được gọi là vector đối của vector x và được kí hiệu là −x 8. ∀x, y ∈ V, α ∈ K, α(x + y) = αx + αy 9. ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ K, (α + β)x = αx + βx 10. ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ K, α(β)x = (αβ)x 11. ∀x ∈ V, 1.x = x Định nghĩa 1.1.13. Tích vô hướng trong R- không gian vector V là một không gian vector thực. Tích vô hướng của hai vector x và y thuộc V là một số, tương ứng với một số thực α thỏa các tiên đề sau: Tích vô hướng của hai vector x và y được Kí hiệu: (x, y) : 1. ∀x ∈ V : (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0 2. ∀x, y ∈ V : (x, y) = (y,¯x) 3. ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V : (αx, y) = α(x, y) 4. ∀x, y, z ∈ V : (x + y, z) = (x, z) + (y, z) Định nghĩa 1.1.14. Không gian vector thực hữu hạn chiều được trang bị tích vô hướng được gọi là Không gian Euclide. Nguyễn Thị Hồng Vân 7 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Cho V là không gian Euclide. 1. Độ dài vector x ∈ V là đại lượng ∥x∥= p (x, x) 2. Mỗi vector trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cách giữa hai vector x và y là Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và y là đại lượng: d(x, y) = ∥x − y∥= p (x − y, x − y) Định nghĩa 1.1.15. Cho hai vector x, y ∈ Rn , với x = (x1 ; x2 ; ...; xn ), y = (y1 ; y2 ; ...; yn ). Tích vô hướng chính tắc của hai vector x và y trên Rn là: ⟨x, y⟩ = x1 y1 + x2 y2 + .... + xn yn Ví dụ 1.1.4. Cho hai vector u = (1; 2), v = (2; −1) trong R2 Tích vô hướng của 2 vector u, v là: −12 Định nghĩa 1.1.16. Cho ma trận vuông Ann . Tất cả các định thức con được tạo nên dọc theo đường chéo chính được gọi là định thức con chính cấp 1, 2, ...n.    a11 a12 . . . . . . a1n    a a22 . . . . . . a2n  21  A=   ······ ...    an1 Các định thức con chính: ∆1 = |a11 |     a11 a12  ∆2 =   a  21 a22 Nguyễn Thị Hồng Vân          an2 . . . . . . ann     a11 a12 a13    ∆3 =  a21 a22 a23     a31 a32 a33                       , ..., ∆n = det(A).       8