Tài liệu Phuong trinh luong giac va puong phap giai

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt: x     0 HS LG Sinx Cosx Tanx Cotx 3 2 2 6 4 3 2  0o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 120o 270 o 360 o 0 1 2 2 2 -1 0 1 3 2 0 1 0 3 3 || 0 || 3 2 2 3 2 1 0 3 2 1 2 0 -1 1 2 || 0 1 3 1 3 3 3 || 0 3 3 0 || Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt: Hai góc đối nhau: Hai góc hơn kém Hai góc hơn kém nhau π sin(-α) = -sin α sin(α+π)=-sin α cos(-α) = cosα cos(α+π)=-cosα tan(-α) = -tan α tan(α+π)= tan α cot(-α) = -cot α cot(α+π) = cot α Hai góc bù nhau sin(π – α) = sinα Hai góc phụ nhau cos(π – α) = -cosα tan(π – α) = -tanα cot(π – α) = -cotα Các hệ thức cơ bản : sin 2 x  cos 2 x  1 k t anx.cotx=1,(x � ) 2 Công thức góc nhân đôi: cosx sinx  ,(x �  k) c otx= ,(x �k) cosx 2 sinx 1  1 2  1  tan x,(x �  k  )  1  cot 2 x,(x �k) 2 2 2 sin x cos x t anx= cos2x=cos 2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x  2cos 2 x  1 sin2x = 2sinx.cosx 1 tan 2x  2 t anx 1-tan 2 x Công thức nhân ba: 3 tan 3x  3 sin 3x  3sinx-4sin x cos3x=4cos x  3cosx x 2 3t anx-tan 3 x 1  3tan 2 x Công thức chia đôi: t = tan , x �(2k  1)  : Công thức hạ bậc: cos 2 x  1  cos2x 2 , sin 2 x  Hằng đẳng thức thường dùng sin 2 a  cos 2 a  1 1 sin 4 a  cos 4 a  1  sin 2 2a 2 1 1+cot 2 a  2 sin a 1 cos 2 a Công thức cộng : Cos(x+y) = cosx.cosy-sinx.siny Sin(x+y) =sinx.cosy+siny.cosx 1  tan 2 a  1  cos2x 2 tanx+tany 1-tanx.tany cotx.coty-1 c ot(x+y)= cotx+coty t an(x+y)= Công thức biến đổi tích thành tổng: , tan 2 x  1  cos2x 1+cos2x 3 sin 6 a  cos6 a  1  sin 2 2a 4 1 �sin 2a   sin a �cos a  2 Cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny Sin(x-y) =sinx.cosy-siny.cosx tanx-tany 1+tanx.tany cotx.coty+1 c ot(x-y)= coty-cotx t an(x-y)= Công thức biến đổi tổng thànhtích: 1 x+y x-y  cos(x+y)+cos(x-y)  cosx+cosy=2cos .cos 2 2 2 1 x+y x-y sinx.siny= -  cos(x+y)-cos(x-y)  cosx-cosy= -2sin .sin 2 2 2 1 x+y x-y sinx.cosy=  sin(x+y)+sin(x-y)  sinx+siny=2sin .cos 2 2 2 1 x+y x-y cosx.siny=  sin(x+y)-sin(x-y)  sinx-siny=2cos .sin 2 2 2 sin(x+y) sin(x-y) sin(x  y) t anx+tany= t anx-tany= cot x  cot y  cosx.cosy cosx.cosy sinx.siny Phương trình lượng giác cơ bản: (k �Z) u  v  k2 sin u  sin v � � cosu=cosv � u  �v  k2 u    v  k2 � � cosx.cosy= 2 u & v đều có ẩn đối với tan & cot phải đk tan u  tan v � u  v  k cot u  cot v � u  v  k 3 Đk: Chú ý: Phương trình bậc I theo 1 hs lượng giác sinx = m sinx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt: Chú ý: sinx=±1  x= ± +k2� ; sinx=0  x=kπ cosu = m cosx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt: Chú ý: cosx=1  x= k2π; cosx = -1  x= π +k2π; cosx = 0  x= tanx=m ( ) ( ) + kπ tanx=0 sinx=0 x= kπ cotx = m cotx=0cosx=0x= + kπ Công thức dạng: A= acosu + bsinu A= acosu + bsinu 4 **** Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác asin2u + bsinu+c =0 acos2u + bcosu+c =0 Cách giải: Đặt: t= sinu (hay t= cosu) Đk: -1≤ t ≤ 1 atan2u + btanu+c =0 acot2u + bcotu+c =0 Cách giải: Đặt: t= tanu (hay t= cotu) Phương trình bậc I đối với sin & cos: acosu + bsinu = c (1) (với ab≠0) 2 2 2 Đk để pt có nghiệm: a +b ≥ c Cách giải: (1)   *** Phương trình thuần bậc II cho sin & cos: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (1) a2+b2+c 2≠ 0 Cách giải: C1: Chia làm 2 trường hợp TH1: cosx = 0 (1)  a=d - Nếu a=d (sai) - Nếu a=d (đúng) thì pt có 1 họ nghiệm: x= TH2: cosx ≠ 0 chia 2 vế của (1) cho cos2x (1)  atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x) + kπ C2 hạ bậc: (1) *** Phương trình đối xứng theo sin & cos: (1) Cách giải: Đặt t = cosx- sinx = Đk: ≤ t≤ 2 t = (cosx- sinx)2= 1 – 2sinxcosx (với ab≠0) sinxcosx = (1) at + b +c =0 *** Phương trình đẳng cấp bậc 2,bậc 3 theo sin &cos: Asin2 x+bsinxcosc+csin2 x =d Cách giải: 5 TH1:cosx =0.thế vào pt rồi giải. TH2:cosx khác 0.chia cả 2 vế cho cos2x.ta được pt chứa tanx. 6