Tài liệu Phương trình khuếch tán không cổ điển

.. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TOÀN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TOÀN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Những kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Những kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình khoa học nào. Nghiên cứu sinh Nguyễn Dương Toàn LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Hải Phòng, Khoa Toán, nơi tác giả công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè lời cảm ơn chân thành về tất cả những giúp đỡ, động viên mà tác giả đã nhận được trong suốt thời gian qua. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn ở bên chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . 9 3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . 13 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1. TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 28 4 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . 30 2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . ( ) 2.3.1. Sự tồn tại của tập H 1 (RN ), L2 (RN ) -hút đều . . . . . 36 2N 40 2.3.2. Sự tồn tại của tập (H 1 (RN ), L N −2 (RN ))-hút đều . . . . 44 2.3.3. Sự tồn tại của tập (H 1 (RN ), H 1 (RN ))-hút đều . . . . . 45 2.4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 0 48 2.5. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU KHI NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.2. Tính bị chặn của tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5.3. Sự hội tụ của tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU ĐA THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . . 63 3.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . ( ) 3.3.1. Sự tồn tại của tập H 1 (RN ) ∩ Lp (RN ), L2 (RN ) -hút đều ( ) 3.3.2. Sự tồn tại của tập H 1 (RN ) ∩ Lp (RN ), Lp (RN ) -hút đều 68 70 74 3.3.3. Sự tồn tại của tập (H 1 (RN )∩Lp (RN ), H 1 (RN )∩Lp (RN ))hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 0 81 Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG TRỤ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM BIẾN PHÂN . . . . . 87 4.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . 99 5 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2. ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . 104 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN R tập hợp các số thực RN không gian vectơ Euclide N-chiều Ωr tập mở bị chặn trong RN với mỗi r ∈ R (·, ·), ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian L2 (RN ) Hr kí hiệu của không gian L2 (Ωr ) có tích vô hướng (., .)r và chuẩn |.|r , ứng với mỗi r ∈ R Vr kí hiệu của không gian H01 (Ωr ) có tích vô hướng ((., .)) và chuẩn ∥.∥r , ứng với mỗi r ∈ R Hr∗ đối ngẫu của Hr ∥ · ∥Lp (RN ) chuẩn trong không gian Lp (RN ), với 1 ≤ p ≤ ∞ ∥ · ∥H 1 (RN ) chuẩn trong không gian H 1 (RN ) ⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa X và X ′ Id ánh xạ đồng nhất ⇀ hội tụ yếu Y X bao đóng của Y trong X B(X) họ các tập con bị chặn của X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B Pm phép chiếu lên không gian con sinh bởi m vectơ riêng đầu tiên của toán tử A 6 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỷ XVIII và được phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay. Nó được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế. Đặc biệt là lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, lớp phương trình này xuất hiện trong nhiều quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn quá trình truyền nhiệt, quá trình khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh học . . . Vì vậy, nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Vấn đề đầu tiên đặt ra khi nghiên cứu những lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến là xét tính đặt đúng của bài toán (bởi như V.P. Maslov đã từng nhấn mạnh rằng, một phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn thì chắc chắn sẽ có nghiệm, vấn đề là trong lớp nghiệm nào mà thôi), và sau đó một vấn đề quan trọng đặt ra là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái của các mô hình thực tế. Do đó, khi biết dáng điệu nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp. Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp phương trình khuếch tán 7 8 không cổ điển có dạng: ut − ε∆ut − ∆u + f (u) = g, với ε ∈ (0, 1], (1) ở đó f là hàm phi tuyến và g là hàm ngoại lực. Chú ý rằng khi ε = 0, phương trình khuếch tán không cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển quen thuộc. Lớp phương trình khuếch tán không cổ điển được giới thiệu trong [1] khi E.C. Aifantis chỉ ra rằng phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển không mô tả được hết các khía cạnh của bài toán phản ứng-khuếch tán. Nó bỏ qua tính nhớt, sự đàn hồi, và áp suất của môi trường trong quá trình khuếch tán chất rắn. Hơn nữa, E.C. Aifantis cũng chỉ ra rằng, năng lượng từ phương trình phát ra trong quá trình khuếch tán chất rắn trong môi trường khác nhau sẽ có tính chất khác nhau. Ví dụ, năng lượng phát ra từ phương trình khi môi trường truyền dẫn có áp suất và có độ nhớt hay không có độ nhớt là khác nhau. Do đó, ông đã xây dựng mô hình toán học qua một số ví dụ cụ thể, trong đó có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình và đưa ra lớp phương trình khuếch tán không cổ điển. Lớp phương trình này thường sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lí như dòng chảy không Newton, các hiện tượng trong cơ học chất lỏng, cơ học chất rắn và sự tỏa nhiệt (xem [1, 22, 23, 29, 38, 39]). Gần đây, E.C. Aifantis đã đưa thêm một mô hình mới về bài toán này, xin xem trong [2]. Từ khi ra đời cho đến nay, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có dạng (1) đã được nghiên cứu trong nhiều trường hợp khác nhau (xin xem chi tiết trong phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Tuy nhiên, những kết quả trong trường hợp miền không bị chặn hoặc miền không trụ, với ngoại lực phụ thuộc thời gian, vẫn còn ít do tính phức tạp của vấn đề và những khó khăn lớn xuất hiện khi nghiên cứu. Chúng tôi sẽ chọn vấn đề này làm đề tài luận án tiến sĩ của mình. 9 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Như đã được đề cập đến trong mục trước, lớp phương trình khuếch tán không cổ điển xuất hiện khi cần mô tả các quá trình khuếch tán trong môi trường phức tạp. Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp phương trình này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, ta thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó là vô hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX. Cho đến nay, sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ôtônôm và một số lớp phương trình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [15, 31, 37]). Tuy nhiên, khi phương trình là không ôtônôm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực không ôtônôm, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [14] hoặc lí thuyết tập hút lùi [8], là những mở rộng của lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển; xin xem các cuốn chuyên khảo [10, 15] và bài báo tổng quan [13] về những kết quả gần đây về hai loại tập hút này. Thảo luận về các khái niệm tập hút của hệ động lực không ôtônôm và mối quan hệ giữa chúng, xin xem [11]. Về mặt toán học, sự khác biệt bản chất giữa phương trình khuếch tán không cổ điển và phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển (nhận được khi cho ε = 0 trong (1)) chính là ở số hạng −ε∆ut . Số hạng này làm phương trình 10 khuếch tán không cổ điển mất đi hiệu ứng trơn (smoothing effect) của lớp phương trình parabolic, tức là nếu điều kiện ban đầu thuộc vào không gian hàm nào thì nghiệm của phương trình tối đa cũng chỉ thuộc vào không gian đó. Chính bởi tính chất giống như tính chất của phương trình hyperbolic này, đã tạo nên những khó khăn và khác biệt cơ bản khi nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển so với khi nghiên cứu phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển. Từ khi ra đời cho đến nay, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có dạng (1) đã được nghiên cứu trong nhiều trường hợp khác nhau. Dưới đây chúng tôi xin điểm qua những kết quả chính đã đạt được: • Phần lớn các kết quả đã biết đối với phương trình khuếch tán không cổ điển là trong trường hợp hàm ngoại lực không phụ thuộc vào thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xét phương trình là bị chặn; xin xem các công trình của Y. Xiao [49], S. Wang, D. Li và C. Zhong [42], C. Sun, S. Wang và C. Zhong [34], C. Sun và M. Yang [35], H. Wu và Z. Zhang [48], Y.J. Zhang và Q.Z. Ma [51]. Các kết quả đạt được là sự tồn tại của tập hút toàn cục và tập hút mũ dưới những điều kiện khác nhau của số hạng phi tuyến. • Trong trường hợp ngoại lực g phụ thuộc vào thời gian t (trường hợp không ôtônôm) và miền xét phương trình là bị chặn, sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại tập hút lùi đã được nghiên cứu gần đây bởi C.T. Anh và T.Q. Bao [3], Y. Wang [41]. Khi hằng số ε trong (1) được thay bằng một hàm γ(t) phụ thuộc thời gian t, sự tồn tại tập hút phụ thuộc thời gian, một khái niệm mới đề xuất bởi M. Conti, V. Pata và R. Temam trong [18], đã được nghiên cứu rất gần đây bởi F. Rivero [30], F. Zhang và Y. Liu [26]. 11 • Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn, chẳng hạn trong cả không gian RN , cũng bắt đầu được nghiên cứu trong một vài công trình gần đây. Trong trường hợp ngoại lực không phụ thuộc thời gian, sự tồn tại tập hút toàn cục được chứng minh bởi Q. Ma, Y. Liu và F. Zhang trong [28]. Trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời gian, sự tồn tại tập hút lùi của lớp phương trình này được nghiên cứu bởi C.T. Anh và T.Q. Bao [4], và sau đó bởi F. Zhang và Y. Liu [52], dưới những điều kiện khác nhau của số hạng phi tuyến. Trong trường hợp miền không bị chặn, một khó khăn mới xuất hiện khi nghiên cứu phương trình là các định lí nhúng Sobolev không còn compact; điều này dẫn đến các kĩ thuật thường dùng trong miền bị chặn không còn áp dụng trực tiếp được nữa. • Trong trường hợp miền xét phương trình là miền không trụ, theo hiểu biết của chúng tôi, đối với phương trình khuếch tán không cổ điển mới chỉ có một kết quả của C.T. Anh và N.D. Toan [5]. Ở đó đã chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân, sự tồn tại và tính nửa liên tục trên của tập hút lùi khi số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và ngoại lực có thể phụ thuộc vào thời gian. Kết quả này phát triển các kết quả trước đó của P.E. Kloeden, P. Marin-Rubio và J. Real [20], P.E. Kloeden, J. Real và C. Sun [21] đối với phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển trong miền không trụ. Khi xét phương trình khuếch tán không cổ điển trên miền không trụ, ngoài khó khăn cơ bản do sự xuất hiện của số hạng −∆ut như đã nêu ở trên, ta còn gặp khó khăn khác là không sử dụng được trực tiếp những phương pháp nghiên cứu trong miền hình trụ. Chúng ta biết rằng khi ngoại lực của phương trình phụ thuộc thời gian, tương ứng uτ 7→ u(t), biến giá trị ban đầu uτ tại thời điểm τ thành giá trị u(t) của nghiệm bài toán tại thời điểm t ≥ τ , sẽ sinh ra một quá trình hai tham số 12 U (t, τ ) bằng cách đặt U (t, τ )uτ := u(t). Khi đó cả thời điểm ban đầu τ và thời điểm cuối t đều quan trọng, và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi này được hiểu là nghiên cứu dáng điệu của nghiệm u(·) khi hiệu t − τ → +∞. Do vậy xuất hiện hai vấn đề độc lập nhau: • Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm cuối t → +∞: nghiên cứu động lực học tiến (forward dynamics). Để nghiên cứu vấn đề này, ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều. • Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm ban đầu τ → −∞: nghiên cứu động lực học lùi (pullback dynamics). Để nghiên cứu vấn đề này, ta thường sử dụng lí thuyết tập hút lùi. Đối với một quá trình tổng quát, hai giới hạn tiến và lùi này nói chung là không liên quan với nhau và có thể sinh ra những tính chất định tính hoàn toàn khác nhau. Tuy nhiên, nếu quá trình là ôtônôm, tức là U (t, τ ) = S(t − τ ), ở đó S(t) là một nửa nhóm, thì dáng điệu của nghiệm khi t → +∞ hay τ → −∞ là như nhau, và để nghiên cứu vấn đề này ta có thể sử dụng lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển. Về quan hệ giữa các khái niệm tập hút lùi, tập hút đều và tập hút toàn cục, xin xem cuốn chuyên khảo gần đây của A.N. Carvalho, J.A. Langa và J.C. Robinson [8]. Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng đối với lớp phương trình khuếch tán không cổ điển, mặc dù đã có một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề mở. Đặc biệt khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, tức là hệ động lực tương ứng là không ôtônôm, vấn đề nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm cuối dần tới +∞ (nghiên cứu động lực học tiến) vẫn gần như hoàn toàn mở; mới chỉ có kết quả trong [35] khi miền xét phương trình là bị chặn, số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev; các kết quả khác gần đây trong trường hợp không ôtônôm đều nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm ban đầu dần tới −∞ bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút lùi (xem [3, 4, 41, 52]). 13 Những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này (xin xem phần Kết luận về những vấn đề mở khác) bao gồm: • Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút đều) của bài toán với phương trình khuếch tán không cổ điển trên miền không bị chặn RN , ngoại lực g có thể phụ thuộc vào biến thời gian t, hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức với bậc tùy ý. So sánh dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển và phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển. • Nghiên cứu tính bị chặn và tính nửa liên tục trên của tập hút đều của phương trình khuếch tán không cổ điển với ngoại lực dao động kì dị. • Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) của phương trình khuếch tán không cổ điển trên miền không trụ khi ngoại lực g có thể phụ thuộc vào biến thời gian t, hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận án tiến sĩ: "Phương trình khuếch tán không cổ điển". 3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm góp phần hoàn thiện việc nghiên cứu tính đặt đúng cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình khuếch tán không cổ điển; so sánh dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển với phương trình phản ứngkhuếch tán cổ điển. Các kết quả của luận án nhằm giải quyết một số vấn đề mở liên quan đến phương trình khuếch tán không cổ điển mà nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. 14 • Đối tượng nghiên cứu của luận án là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình khuếch tán không cổ điển dưới những điều kiện khác nhau của số hạng phi tuyến và miền xét phương trình. • Phạm vi nghiên cứu của Luận án: ◦ Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu (thông qua sự tồn tại của tập hút đều và tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại ε = 0) của phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn RN , ngoại lực phụ thuộc thời gian và hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức. ◦ Nghiên cứu tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của tập hút đều của phương trình khuếch tán không cổ điển với ngoại lực dao động kì dị:   ut − ∆ut − ∆u + f (x, u) + λu = g0 (x, t) + ε−γ g1 (x, t/ε), t > τ,  u|t=τ = uτ , x ∈ RN . ◦ Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của nghiệm biến phân (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi) của phương trình khuếch tán không cổ điển trong trường hợp không ôtônôm, trong miền không trụ và hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact, bổ đề compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến [25]; phương pháp nghiên cứu phương trình trong miền không trụ, nói riêng là phương pháp penalty [7, 20, 25]. 15 • Để nghiên cứu sự tồn tại tập hút, chúng tôi sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều (phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận, phương pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm) [8, 10, 15, 37, 40]. 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: • Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) trong trường hợp miền không bị chặn RN , hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev, hoặc kiểu đa thức. Chứng minh được sự tồn tại tập hút đều và tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại ε = 0 ứng với hai trường hợp này của hàm phi tuyến. Chứng minh được tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của tập hút đều của phương trình khuếch tán không cổ điển với ngoại lực dao động kì dị. Đây là nội dung của Chương 2 và Chương 3. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân cũng như sự tồn tại của tập hút lùi đối với bài toán (1) trong trường hợp miền không trụ, ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện về độ tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Đây là nội dung của Chương 4. Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc hoàn thiện việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình khuếch tán không cổ điển; giải quyết một số vấn đề mở mà nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Phương pháp nghiên cứu của luận án có thể sử dụng để nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến khác có dạng tương tự trong vật lí, cơ học, hóa học và sinh học. 16 Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế và đã được báo cáo tại: • Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; • Xêmina của Khoa Toán, Trường Đại học Hải Phòng; • Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Viện Toán học Việt Nam - Trường Đại học Hải Phòng, Hải Phòng, 2013; • Đại hội toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 2013. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: • Chương 1. Một số kiến thức cơ sở. Chương này trình bày các khái niệm và một số kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong Luận án. • Chương 2. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm yếu; sự tồn tại của tập hút đều, tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại ε = 0 đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn RN , ứng với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Tính nửa liên tục trên của tập hút đều của phương trình khuếch tán không cổ điển khi ngoại lực dao động kì dị được trình bày ở cuối chương. • Chương 3. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. Chương 17 này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm yếu; sự tồn tại của tập hút đều cũng như tính nửa liên tục trên của tập hút đều đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn RN , ứng với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. • Chương 4. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm biến phân; sự tồn tại của tập hút lùi đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ ứng với trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút đều và tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án. Chúng tôi cũng nhắc lại các không gian hàm, các bất đẳng thức, cũng như một số kết quả bổ trợ (các bổ đề compact, định lí hội tụ bị chặn Lebesgue và dạng yếu của nó) cần dùng để nghiên cứu phương trình khuếch tán không cổ điển trong các chương sau. 1.1. TẬP HÚT ĐỀU Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút đều sẽ được sử dụng trong luận án. Cho Σ là một tập tham số, X, Y là hai không gian Banach. Họ {Uσ (t, τ ), t ≥ τ, τ ∈ R}, σ ∈ Σ, được gọi là một họ các quá trình từ X vào Y nếu với mỗi σ ∈ Σ, {Uσ (t, τ )} là một quá trình, tức là họ các ánh xạ phụ thuộc hai tham số {Uσ (t, τ )} từ X vào Y thỏa mãn Uσ (t, s)Uσ (s, τ ) = Uσ (t, τ ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R, Uσ (τ, τ ) = Id, ∀τ ∈ R, ở đó Id là toán tử đồng nhất. Ở đây Σ gọi là không gian biểu trưng, σ ∈ Σ gọi là tham số. Kí hiệu B(X) là họ tất cả các tập con bị chặn của X. Định nghĩa 1.1. Một tập B0 ∈ B(Y ) được gọi là một tập (X, Y )-hấp thụ đều (đối với σ ∈ Σ) của họ quá trình {Uσ (t, τ )}σ∈Σ , nếu với bất kì τ ∈ R và ∪ B ∈ B(X), tồn tại T0 ≥ τ sao cho σ∈Σ Uσ (t, τ )B ⊂ B0 với mọi t ≥ T0 . 18