Tài liệu PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NGUYỆT PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NGUYỆT PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 0013 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng – Năm 2014 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh khối trung học chuyên toán nói chung và đối tượng học sinh năng khiếu toán nói riêng. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và thường xuất hiện trong các kỳ thi IMO, VMO, ... Các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau. Và một trong những vấn đề đáng để nhiều nhà toán học quan tâm trong những thập niên gần đây là sự ổn định của phương trình hàm. Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào đó thì các nhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận điểm của các định lý chỉ đúng với các giả thiết đã cho hay không?”. Hay “Nếu thay đổi một ít giả thiết thì các nghiệm của nó có lệch quá xa so với nghiệm ban đầu không?” Và trong quá trình nghiên cứu lại nảy sinh một vấn đề là “Nếu thay một phương trình hàm bằng một bất phương trình hàm thì các luận điểm, các định lý có còn xấp xỉ đúng hay không? Và nghiệm của chúng sẽ như thế nào?”. Đây là vấn đề mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình hàm. Xuất phát từ những vấn đề mấu chốt này, tôi quyết định chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH” để tìm hiểu và nghiên cứu. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài: Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm trong lớp hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một số phương trình hàm trong lớp hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel. 4 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tính ổn định của một số phương trình hàm trong lớp hàm một biến. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm Abel và phương trình hàm liên hợp. 4. Phương pháp nghiên cứu: Thu thập các bài báo khoa học và các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm trong lớp hàm một biến. Nghiên cứu các tài liệu thu thập được và phân tích, tổng hợp, trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu. 5. Đóng góp của đề tài: Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm trong lớp hàm một biến nhằm xây dựng một giáo trình đặc biệt dạy cho học sinh giỏi toán. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo. - Chương 1. Trình bày về phương trình hàm trong lớp hàm một biến với các vấn đề như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, một số họ cơ bản của phương trình, các phương trình liên hợp, thuật toán Lévy cho phương trình Abel và phương trình hàm và mạng các căn thức. - Chương 2. Trình bày về tính ổn định của một số phương trình hàm trong lớp hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel. 5 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Võ Thị Nguyệt 6 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 1.1. Phương trình hàm Cauchy 1.1.1. Phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán học về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ các phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy. Định nghĩa. Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với mọi số thực x và y. Hàm f thỏa mãn phương trình f ( x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y   được gọi là hàm cộng tính. Bài toán 1.1. (Xem [2]) (Bài toán phương trình hàm Cauchy) Cho hàm f :    là hàm số liên tục trên  và thỏa mãn f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với mọi số thực x và y. Ta sẽ chỉ ra được tồn tại một số thực a sao cho f ( x) ax, x   Lời giải. Trong (1.1) cho x  y 0 ta được f (0)  f (0)  f (0)  f (0) 0. Cho y  x , ta có (1.1) 7 f (0)  f ( x)  f (  x )  f (  x )  f ( x ), x  . Hay f là hàm số lẻ. Tiếp tục cho y  x thì ta được phương trình f (2 x) 2 f ( x), x   Giả sử với k là một số nguyên dương, ta chứng minh được: f (kx) k . f ( x ), x   (1.2) Thật vậy, giả sử (1.2) được thỏa mãn, ta có: f  ( k  1) x   f (kx  x)  f (kx)  f ( x ) kf ( x)  f ( x ) ( k  1) f ( x), x  , k   . Từ đó, theo nguyên lý quy nạp ta có: f (nx ) n f ( x ), x  , n   m Cho x  t với m, n là các số nguyên dương. n Khi đó nx  mt . Vì vậy: f (nx)  f (mt )  nf ( x)  m. f (t ) m  nf ( t)  m. f (t ) n hay (1.3) 8 m  m f  t   . f (t ) n  n với mọi số thực t. Ta có thể viết lại như sau: f (q t) q. f (t ) với mọi số thực t và mọi số hữu tỉ q dương. Kết hợp các điều kiện: f (0) 0 f ( x)  f ( x ), x   . và Ta suy ra: f ( q t) q. f (t ), x  , q   . (1.4) Bây giờ trong (1.4), cho t 1, giả sử f (1) a. Chúng ta có: f (q )  aq với mọi số hữu tỉ q. Đến đây, do tính chất hàm f liên tục trên  và tính trù mật của  trong  nên ta suy ra: f ( x)  ax, x  , a  . Nhận xét. 1. Trong bài toán trên, ta thấy chỉ cần giả thiết f liên tục tại một điểm x0   cho trước là đủ. Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên  . Thật vậy, theo giả thiết thì lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0 Và với mỗi x1   ta đều có f ( x)  f (x  x1  x0 )  f (x1 )  f ( x0 ), x  . Từ đó suy ra: 9 lim f ( x)  lim  f ( x  x1  x0 )  f ( x1 )  f ( x0 )  x  x1 x  x1  f ( x0 )  f ( x1 )  f ( x0 )  f ( x1 ). Điều này chứng tỏ f liên tục tại mọi điểm x1 tùy ý thuộc  . Hay f liên tục trên . 2. Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay  bằng  ;    hoặc   ;  tùy ý. Chúng ta có thể tổng kết điều đã chứng minh ở trên trong các định lý sau đây. Định lý 1.1 (Xem [9]). Cho hàm f :    thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) , với mọi số thực x và y. Khi đó tồn tại một số thực a sao cho f (q ) aq với mọi số hữu tỉ q. Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ. Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục. Chú ý, định lý 1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục. Kết quả sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này. Định lý 1.2 (Xem [9]). Giả sử rằng f :    và g :    là các hàm liên tục sao cho f (q )  g (q ) với mọi số hữu tỉ q. Khi đó f ( x)  g ( x ) với mọi số thực x. Chứng minh. Kết quả này bắt nguồn từ cơ sở lí luận rằng bất kỳ số thực nào cũng có thể được xấp xỉ chặt chẽ một cách tùy ý bằng các số hữu tỉ. Ví dụ, chúng ta có thể 10 viết x với một sự khai triển số thập phân vô hạn và cho qi là số hữu tỉ thu được bằng cách khai triển số thập phân có kết thúc của x x  lim qi i  Do f và g là các hàm liên tục nên ta có thể lấy giới hạn qua hàm số. Vì vậy f ( x)  f (lim qi ) lim f ( qi ). i  i  Một cách tương tự ta cũng có: g ( x)  lim g ( qi ) . i  Hơn nữa, theo giả thiết các hàm f và g thỏa mãn trên toàn bộ tập số hữu tỉ. Vì vậy f (qi )  g ( qi ),  i 1, 2... Điều đó kéo theo f ( x)  g ( x) với mọi số thực x. Định lý 1.3 (Xem [9]). Cho f :    là một hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) , với mọi số thực x và y. Khi đó tồn tại một số thực a sao cho: f ( x)  ax, x   . Chứng minh. Từ định lý 1.1, ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho f (q ) aq với mọi số hữu tỉ q. Nhưng f ( x ) và g ( x) ax là các hàm liên tục. Do đó, từ định lý 1.2 ta suy ra f ( x)  g ( x ) với mọi số thực x. Tức là ta có f ( x )  ax với mọi số thực x. 1.1.2. Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy. Định lý 1.4 (Xem [9]) . Giả sử f :    thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) với mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên  , nghĩa là (1.5) 11 f ( x)  f ( y ),  x  y . Khi đó f ( x) ax, với a 0, x   . Chứng minh. Vì f là hàm cộng tính trên  nên theo cách chứng minh của bài toán phương trình hàm Cauchy ta có: f ( x) ax, x  , a  f (1). Với x0   bất kỳ, tồn tại hai dãy ( xn ), ( yn ) thỏa mãn xn  , yn  , n  * xn  x0  yn , n  * xn  x0 , lim yn  x0 và lim n  n  Do f đơn điệu tăng trên  nên ta có: f ( xn )  f ( x0 )  f ( yn ) hay axn  f ( x0 ) ayn Qua giới hạn khi n   ta được: ax0  f ( x0 ) ax0 Suy ra: f ( x0 )  ax0 , x0   hay f ( x)  ax, x  , a 0. Vậy định lý được chứng minh. 12 Hệ quả (Xem [9]). Cho hàm f :    xác định, có đạo hàm trên  và thỏa mãn điều kiện: f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) (1.6) với mọi số thực x, y. Khi đó f ( x )  ax, a   tùy ý. Chứng minh. Hàm f có đạo hàm trên  nên hàm f liên tục trên  , sau đó áp dụng định lý 1.1 ta có điều cần phải chứng minh. Định lý 1.5 (Xem [9]). Giả sử f :    thỏa mãn đồng thời hai phương trình: f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) (1.7) f ( xy )  f ( x) f ( y ) (1.8) với mọi số thực x, y. Khi đó f ( x) 0, x f ( x)  x, x . hoặc Chứng minh. Với bất kỳ số z 0 thì tồn tại một số  0 sao cho z  2 . Thay x  , y  vào phương trình (1.8), ta thu được: 2 f ( z )  f ( )   0 . Suy ra: f ( z )  0, z 0. (1.9) Giả sử rằng x  y . Nếu chúng ta thay y bởi y  x vào trong (1.7) ta thu được: f ( y)  f ( x)  f ( y  x)  f ( x) (vì y  x 0  f ( y  x) 0 ) Suy ra f :    phải là một hàm đơn điệu tăng. Như trong định lý 1.4 ở trên, chúng ta kết luận rằng f ( x ) ax với a là một số thực. Nếu chúng ta thay kết quả này vào (1.8) với x  y 1 , ta thu được a a 2 . Phương trình này cho ta hai giá 13 trị: a 0 hoặc a 1. Thay các kết quả này vào (1.7) và (1.8) ta có được điều phải chứng minh. Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy sẽ được minh họa cụ thể qua một số bài toán sau: Bài toán 1.2. Xác định các hàm f liên tục trên  \{0} thỏa mãn điều kiện f ( xy )  f ( x)  f ( y ), x, y   \{0} (1.10) Lời giải. a) Trước hết ta xét x, y     x eu Đặt  v  y e Thay vào (1.10) ta được: f (e u . e v )  f ( eu )  f ( e v )  f (eu  v )  f (eu )  f (ev ), u, v   Đặt f (et )  g (t ), t   . Khi đó g(t) là hàm liên tục trên  . Từ (1.11) ta có: g (u  v)  g (u )  g (v ), u , v   Đây là phương trình hàm Cauchy. Do đó g (t )  bt , t  , b  . Hay f (et )  bt , t    f ( x)  b ln x, x   , b  . b) Xét x, y    . Từ (1.10), cho x  y ta được: (1.11) 14 f ( x 2 ) 2 f ( x), x   1  f ( x)  f ( x 2 ), x   2 Theo kết quả phần a), ta có: 1 1 f ( x)  f ( x 2 )  bln( x 2 ) bln | x |, x   , b  2 2 Kết hợp hai trường hợp a) và b) ta được: f ( x) aln | x |, x   \ {0}, a   Thử lại, ta thấy f ( x)  aln | x |, x   \{0}, a   là nghiệm của bài toán 1.2. Bài toán 1.3 . Xác định các hàm f(x) liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f ( x  y )  f ( x). f ( y ), x, y   (1.12) Lời giải. Nhận xét rằng f 0 là một nghiệm của (1.12). Xét trường hợp f  0 . Khi đó tồn tại x0   sao cho f (x 0 ) 0 . Theo (1.12) thì f ( x0 )  f ( x  ( x0  x))  f ( x) f ( x0  x) 0, x   Suy ra f ( x) 0, x  và 2  x x    x  f ( x)  f      f     0, x   .  2 2    2  Đặt lnf ( x)  g ( x) hay f ( x) e g ( x ) . Khi đó g(x) liên tục trên  và g ( x  y ) lnf ( x  y ) ln  f ( x ) f ( y )  lnf ( x)  lnf ( y )  g ( x )  g ( y ), x, y  hay g ( x  y ) g ( x)  g ( y ), x, y   . 15 Đây là phương trình hàm Cauchy do đó g ( x) bx, b tùy ý. Vậy f ( x) ebx a x với a  0 tùy ý. Kết luận:  f 0  x  f ( x) a , (a  0). 1.2. Phương trình hàm Jensen. Phương trình hàm Jensen là phương trình hàm có dạng f (x)  f ( y)  xy f , x, y    2  2  (1.13) và được xét như một phiên bản của phương trình hàm Cauchy dùng trung bình. Một lần nữa hàm f luôn được giả thiết là hàm liên tục. Để đơn giản, ta giả sử rằng miền xác định của hàm f là toàn bộ trục số thực. Nghiệm của phương trình dễ dàng thu được từ kết quả của phần trước. Đặt g ( x)  f ( x)  f (0) . Khi đó: f ( x)  f ( y)  x y  x y g  f (0)  f    f (0)  2  2   2  f ( x)  f (0) f ( y )  f (0) g ( x) g ( y )    2 2 2 2 g ( x)  g ( y )  2  g ( x)  g ( y )  x y  g  , x, y    2  2  (1.14) Trong đó, g là hàm liên tục với g (0)  0 . Trong (1.14) cho y 0 ta thu được  x  g ( x) g   , x   2  2 (1.15) 16 vì (1.15) đúng với mọi x nên ta có thể thay x  y cho x, khi đó ta thu được  x  y  g (x  y) g ,  x, y     2  2  (1.16) Thay điều này vào vế trái của (1.14) ta được g ( x  y )  g ( x)  g ( y ), x, y  (1.17) Ta thấy (1.17) là một phương trình hàm Cauchy. Và do đó g ( x) ax với mọi số thực x và a là hằng số. Đặt f (0) b , ta thấy rằng nghiệm của phương trình ban đầu cho hàm f phải là f ( x) ax  b ( a, b  ) . 1.3. Phương trình hàm D’Alembert Phương trình hàm D’Alembert là phương trình hàm có dạng g ( x  y )  g ( x  y )  2 g ( x) g ( y ), x, y   (1.18) Cho y  0 , ta có: 2 g ( x) 2 g ( x) g (0)  g ( x). 1  g (0)  0 (1.19) Cho x  0 , ta có: g (  y )  g ( y ) 2 g (0)  g ( y ) (1.20) Nếu g  0 , thì phương trình hàm D’Alembert được thỏa mãn, nó là một nghiệm tầm thường. Xét g  0 . Suy ra x0   sao cho g ( x0 )  0 . Thế x bởi x0 vào (1.19) ta được: g ( x0 ). 1  g (0)  0  1  g (0) 0 (vì g ( x0 ) 0 )  g (0) 1 . 17 Thế g (0) 1 vào (1.20) ta được: g (  y)  g ( y )  2 g ( y ), y  g ( y )  g ( y ), y Hay g là hàm số chẵn. Cho x  y vào phương trình (1.18) ta được: g (0)  g (2 x) 2g 2 ( x)  1  g (2 x) 2g 2 ( x), x 1  g (2 x)  g 2 ( x)  , x 2 (1.21) Suy ra  x  1  g ( x) g2    2  2 Do g (0) 1 và g liên tục tại x  0 . Nên tồn tại t > 0, sao cho g ( x )  0, x    t ; t  *) Xét trường hợp 0  g (t ) 1   Suy ra s   0;  sao cho: g (t ) cos s  2 Ta chứng minh bằng quy nạp, rằng:  t   s  g  m  cos  m  , m   2  2  (1.22) Nếu m  0 , thì khẳng định là hiển nhiên. Giả sử (1.22) thỏa mãn đến m 0 . Ta có:  t  1 g m    t / 2    t   2  (do (1.21)) g  g     2 m 1   2      2  2 m 2 18  s  1  cos  m   2  cos 2  s    m 1  2 2   t   s   t   s   g  m 1  cos  m 1  . (do g  m 1  , cos  m 1  là các số dương) 2  2  2  2  Vậy (1.22) được chứng minh. Thay x bởi ny vào phương trình hàm D’Alembert (1.18) ta có: g  (n  1) y   g  ( n  1) y   2 g ( ny). g ( y )  g  (n  1) y   2 g ( ny). g ( y)  g  ( n  1) y  (1.23) Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh  nt   ns  g  m  cos  m  , m, n . 2  2  (1.24) Nếu n 0 thì phương trình (1.24) là hiển nhiên Nếu n 1 thì phương trình (1.24) được thỏa mãn do phương trình (1.22). Giả sử phương trình (1.24) đúng đến n 1 . Ta có: t  (n 1) t   nt   t   (n  1) t  g  2 g  m  . g  m   g   (do (1.23) với y  m ) m m 2  2  2  2   2   ns   s   (n  1) s  2cos  m  .cos  m   cos   (do giả thiết quy nạp) m 2  2   2  1 (n  1) s ( n  1) s  ( n  1) s 2.  cos  cos  cos 2 2m 2m  2m ( n  1) s cos . 2m Kết hợp với phương trình (1.22) suy ra phương trình (1.24) được chứng minh hoàn toàn. 19 Do t dương nên tồn tại a   sao cho s at , phương trình (1.24) trở thành  nt   nt  g  m  cos a  m  , m, n 0. 2  2  Với mọi số thực x đều được biểu diển dưới dạng nt x  m , m, n 0 2 nt và số  m được gọi là số hữu tỉ dyadic. Tập các số hữu tỉ dyadic trù mật trong 2  , nên suy ra: g ( x) cos ax, x *) Xét trường hợp g (t )  1 Suy ra tồn tại s  0 sao cho: g (t ) cosh s (1.25) Do hàm cosh có các tính chất tương tự như hàm cos nên lặp lại chứng minh như trường hợp trước ta suy ra được: g ( x) cosh ax Kết luận: g ( x ) cos ax hoặc g ( x) cosh ax, a   . Định lý 1.6 (Xem [4]). (Định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert). Giả sử f :   , liên tục và thỏa mãn điều kiện f ( x  y )  f ( x  y ) 2 f ( x). f ( y ), x, y   Khi đó f là một trong các hàm sau: 20 f ( x) 0, x   f ( x) 1, x   f ( x) cos(x ), x   f ( x) cosh(x ), x  . trong đó ,  là các hằng số thực khác 0. Bây giờ ta xét một bài toán ứng dụng định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert như sau Bài toán 1.4. Cho a   (a  0), tìm các hàm f(x) liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f ( x  y  a )  f ( x  y  a)  2 f ( x ). f ( y ), x, y   (1.26) Lời giải. Dễ kiểm tra f 0 thỏa mãn các yêu cầu bài toán. Bây giờ ta xét f 0. Thay y bởi  y vào (1.26) ta được: f ( x  y  a)  f ( x  y  a ) 2 f ( x). f ( y ), x, y   (1.27) Từ (1.26) và (1.27) ta suy ra f ( x) f ( y )  f ( x). f (  y ), x, y   hay f ( y )  f ( y ), y   Điều này chứng tỏ f(x) là hàm số chẵn. Đổi vai trò của x và y trong (1.26) ta được f ( y  x  a )  f ( y  x  a )  2 f ( y ). f ( x ), x, y   Từ (1.26) và (1.28) ta có: (1.28)