Tài liệu Phương trình hàm đa ẩn hàm cơ bản

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC TOÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA ẨN HÀM CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục lục Mở đầu 4 1 Các phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Các phương pháp cơ bản để giải phương trình hàm . . . . . 1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp ( xem [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Phương trình hàm Cauchy và các phương trình kiểu Cauchy ( xem [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Các dạng khác của phương trình hàm Cauchy . . . . 1.4 Phương trình hàm Jensen và mở rộng . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Phương trình hàm Jensen và bài toán chuyển đổi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm . . 1.5 Phương trình hàm D’Alembert và mở rộng . . . . . . . . . 1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm 6 6 7 9 9 14 16 16 19 19 19 19 2 Lớp phương trình hàm dạng Pexider 22 2.1 Phương trình hàm Pexider . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phương trình hàm Pexider với bài toán hệ thức lượng trong tam giác ( xem [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Mở rộng phương trình Pexider ( xem [9]) . . . . . . . . . . 30 3 Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởi đẳng thức và phi đẳng thức đại số 32 3.1 Phương trình hàm sinh bởi đẳng thức . . . . . . . . . . . . 32 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 3.1.1 trò . . . 32 . . . 37 . . . 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 3.2 Phương trình hàm sinh ra bởi việc thay đổi vai của x và f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Phương trình hàm sinh bởi các hằng đẳng thức Phương trình hàm sinh bởi phi đẳng thức . . . . . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình hàm là bài toán không thể thiếu khi nghiên cứu về hàm số. Phương trình hàm cũng là một trong các bài toán hay gặp và khó trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế. Đã có nhiều tài liệu viết về phương trình hàm nhưng chưa đủ so với nhu cầu của những người yêu phương trình hàm. Để góp thêm một cách nhìn về một lớp các phương trình hàm đa ẩn hàm, tôi đã chọn đề tài "Phương trình hàm đa ẩn hàm cơ bản". 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thông qua các ví dụ cụ thể nhằm củng cố các phương pháp và kĩ năng biến đổi trong bài toán giải phương trình hàm. Góp thêm cách nhìn nhận và phương pháp giải một lớp các phương trình hàm đa ẩn hàm mà trọng tâm là phương trình Pexider và phương trình hàm sinh bởi đẳng thức-phi đẳng thức đại số. Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm trong việc giải một số bài toán ở cấp trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi toán. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm sinh bởi đẳng thức và phi đẳng thức đại số. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán và các kỷ yếu hội thảo khoa học về chuyên toán cũng như từ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 bài học kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viên trong lớp. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương. Luận văn được hoàn thành dưới sự định hướng và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy. Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của Khoa Toán Tin, Phòng đào tạo Sau đại học trường ĐHKH-ĐHTN. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả cũng muốn được gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn đồng nghiệp lớp Toán K4A trường ĐHKH, các Thầy Cô giáo tổ toán và Ban giám hiệu trường THPT Tiên Du số 1 Bắc Ninh đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Các phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Các phương pháp cơ bản để giải phương trình hàm Có rất nhiều phương pháp để giải một phương trình hàm. Dưới đây là một số phương pháp cơ bản hay được sử dụng trong quá trình giải phương trình hàm từ các đề thi Olympic. * Thay các giá trị cho các biến: Cách thử đầu tiên là thay bởi hằng số (chẳng hạn 0 hoặc 1), sau đó là một số biểu thức mà sẽ làm cho một phần của phương trình trở thành hằng số. Ví dụ, nếu f (x + y) xuất hiện trong phương trình và nếu xác định được f (0) thì ta sẽ có kết luận tương ứng với y = −x. * Quy nạp toán học: Phương pháp này sử dụng f (1) để tìm tất cả các 1 f (n) với n ∈ Z, sau đó tìm f ( ) và f (r) với r ∈ Q. m * Xem xét tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh của hàm số trong phương trình: Trong rất nhiều bài toán tính chất đó là không khó để chứng minh, nhưng có thể là mấu chốt của lời giải bài toán. * Tìm kiếm các điểm bất động và không điểm của hàm: Phương pháp này thường hay gặp trong các bài toán khó. Số lượng các bài toán sử dụng phương pháp này ít hơn số lượng các bài toán sử dụng ba phương pháp trên. Ngoài ra ta cũng cần nắm vững các đặc trưng của các hàm khi sử dụng phương pháp này. * Sử dụng phương trình hàm Cauchy và các phương trình hàm kiểu này: Thường thì ta cần sử dụng các biến đổi và một số phương pháp giải khác để đưa phương trình hàm ban đầu về phương trình hàm Cauchy. * Xem xét tính liên tục và đơn điệu của một hàm số: Tính chất liên tục Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 thường là điều kiện thêm và cũng như tính đơn điệu, nó thường dùng để đưa bài toán về phương trình hàm Cauchy. Nếu không phải vậy, bài toán sẽ giải quyết theo một cách khó khăn hơn. * Thiết lập các mối quan hệ truy hồi (lặp lại): Phương pháp này sử dụng các phương trình mà miền giá trị bị chặn và trong trường hợp chúng ta có thể tìm được mối liên hệ giữa f (f (n)), f (n) và n. * Thay thế hàm số: Phương pháp này dùng để đưa phương trình hàm đã cho trở nên đơn giản hơn. Ta có thể thế ẩn để tạo ra phương trình hàm mới hoặc hệ phương trình hàm mới có lời giải đơn giản hơn. * Biểu diễn các hàm số thành tổng các hàm chẵn và hàm lẻ. Điều đó có thể hữu ích trong việc tuyến tính hóa phương trình hàm của nhiều hàm số. * Xử lý số trong hệ cơ số 10. Truy nhiên, phương pháp này chỉ sử dụng nếu miền xác định là tập N. * Phương pháp hệ số bất định, phương pháp chuyển qua giới hạn, phương pháp sai phân... Cuối cùng, ta nhấn mạnh điều quan trọng nhất là đoán nhận được lời giải ngay. Điều đó giúp ích rất nhiều trong việc tìm được phép thế hợp lý. Tuy nhiên, cuối lời giải cần kiểm tra lại xem lời giải đã thỏa mãn các điều kiện đã cho chưa. 1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp ( xem [6]) Để có thể định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm của các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết ( xem [1]). 1. Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất   1 x+y f = [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R. 2 2 2. Hàm tuyến tính: f (x) = ax (a 6= 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 3. Hàm mũ: f (x) = ax (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. 4. Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0}. 5. Hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R. b) Hàm f (x) = cos x có tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R và f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. c) Hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất  f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. d) Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) 1 − f (x)f (y) (2k + 1)π π π , x 6= + kπ, y 6= + kπ (k ∈ Z). 2 2 2 e) Hàm f (x) = cot x có tính chất với x, y ∈ R, x + y 6= f (x + y) = f (x)f (y) − 1 f (x) + f y) với x, y ∈ R, x + y 6= kπ, x 6= kπ, y 6= kπ (k ∈ Z). 6. Hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất p p 2 f (x) + f (y) = f (x 1 − y + y 1 − x2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất p p 2 g(x) + g(y) = g(xy − 1 − x 1 − y 2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1]. c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất   x+y h(x) + h(y) = h , ∀x, y : xy 6= 1. 1 − xy d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất   xy − 1 p(x) + p(y) = p , ∀x, y : x + y 6= 0. x+y 7. Các hàm hyperbolic 1 a) Hàm f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất 2 f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R. 1 b) Hàm g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất 2 g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R. ex − e−x c) Hàm h(x) = tanh x := x có tính chất e + e−x h(x + y) = d) Hàm q(x) = coth x := q(x + y) = 1.3 1.3.1 h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R. 1 + h(x)h(y) ex + e−x có tính chất ex − e−x 1 + q(x)q(y) , ∀x, y : x, y, x + y 6= 0. q(x) + q(y) Phương trình hàm Cauchy và các phương trình kiểu Cauchy ( xem [6]) Phương trình hàm Cauchy Phương trình f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) 10 trong lớp hàm liên tục trên R được gọi là phương trình hàm Cauchy. Nếu không đòi hỏi hàm f thoả mãn điều kiện gì thì (1.1) được gọi là điều kiện cộng tính của f . Nếu tập xác định của (1.1) là Q thì rất dễ chỉ ra f (x) = x.f (1). Chứng minh này có được nhờ quy nạp toán học. Tiếp theo, mở rộng miền xác định từ Q đến R. Không quá khó để chúng ta chỉ ra được lời giải của phương trình hàm Cauchy trong trường hợp này không phải là f (x) = xf (1). Tuy nhiên, ta cần có thêm vào một số giả thiết để bắt buộc lời giải được mô tả như trên. Nghĩa là, nếu hàm số f thỏa mãn một trong các điều kiện sau: +) đơn điệu trên một khoảng của R; +) liên tục; +) bị chặn trên một khoảng; +) dương với mọi x ≥ 0. +) khả vi (cách làm sẽ đơn giản hơn nhiều) thì lời giải của phương trình hàm Cauchy f : R → S là f (x) = xf (1). Cụ thể: Bài toán 1.1. Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. (1.2) Giải. Từ (1.2) suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x), với x = y thì f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R. (1.3) Giả sử k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R. Khi đó f ((k + 1)x) = = = = f (kx + x) f (kx) + f (x) kf (x) + f (x) (k + 1)f (x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ N. Theo nguyên lý quy nạp, ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N. Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta được f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.4) 11 Từ (1.3) ta có f (x) = 2f x 2 2 =2 f x 22 n = ··· = 2 f x 2n . Suy ra 1 f (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N. 2n 2n Kết hợp (1.4) và (1.5) ta được m m f n = n f (1), ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N∗ . 2 2 f x = (1.5) Vì f (x) liên tục, suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R, a = f (1). Thử lại, ta thấy hàm số f (x) = ax thỏa mãn (1.2). Kết luận: f (x) = ax, a ∈ R. Bài toán 1.2. Tìm các hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. (1.6) Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (1.6) theo biến x và y , ta được f 0 (x + y) = f 0 (x), ∀x, y ∈ R; f 0 (x + y) = f 0 (y), ∀x, y ∈ R. Suy ra f 0 (x) = f 0 (y), ∀x, y ∈ R. Do vậy f 0 (x) = const hay f (x) = ax + b. Thế vào (1.6) ta được f (x) = ax với a ∈ R tùy ý (b = 0). Kết luận: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tùy ý. Bài toán 1.3. Tìm các hàm f (x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. (1.7) Giải. Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (1.7) ta được f (0) = 0, f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Suy ra f (x) > 0 khi x > 0 và f (mx) = mf (x), ∀x ∈ R, m ∈ N∗ . Thay x bởi (1.8) x vào (1.8) ta được m x 1 f = f (x), ∀x ∈ R, ∀m ∈ N∗ . m m Do f (x) đồng biến trên R nên     −1 1 −1 1 f < f (x) < f ⇔ 0. Kết luận: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a > 0 tùy ý. Bài toán 1.4. Cho c > 0, xác định các hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện  f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.9) |f (x)| ≤ c, ∀x ∈ [−1; 1]. Giải. Từ (1.9) suy ra f (qx) = qf (x), ∀q ∈ Q, ∀x ∈ R. Giả sử {xn } là dãy số thực và {qn } là dãy số hữu tỷ tùy ý sao cho lim xn = 0, lim qn = +∞; n→∞ n→∞ lim (qn xn ) = 0, xn , qn 6= 0, ∀n ∈ N. n→∞ (Để lập dãy {qn } thỏa mãn điều kiện trên, chỉ cần cho tương ứng với mỗi số tự nhiên n một số hữu tỷ qn sao cho p 1 1 < qn < p 3 |xn | |xn | Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 trong đó |f (qn xn )| ≤ M, ∀n ∈ Z+ ). Khi đó      1 1 qn xn  = |f (qn xn )|, ∀n ∈ N. |f (xn )| = f qn qn Do đó lim f (xn ) = 0 = f (0). n→∞ Vậy f (x) liên tục tại x = 0 và lim[f (x + y) − f (x)] = lim f (y) = 0 y→0 y→0 Suy ra f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ R. Theo Bài toán 1.1 ta có f (x) = ax với a ∈ R và |a| ≤ c. Kết luận: f (x) = ax, với a ∈ R tùy ý sao cho |a| ≤ c. Bài toán 1.5. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện  f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (1.10) f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 0. Giải. Từ (1.10) ta chứng minh được f (x) = xf (1), ∀x ∈ Q. Nếu x ≥ y thì x − y ≥ 0. Do đó f (x) = f ((x − y) + y) = f (x − y) + f (y) ≥ f (y). Suy ra f là hàm tăng. Với x ∈ R, do tính chất trù mật của tập các số hữu tỉ nên tồn tại {pn }, {qn } ⊂ Q sao cho  pn < x < q n {pn } tăng tới x, {qn } giảm xuống x. ⇒ pn f (1) = f (pn ) ≤ f (x) ≤ f (qn ) = qn f (1) ⇒ lim (pn f (1)) ≤ f (x) ≤ lim (qn f (1)) n→∞ n→∞ ⇒ xf (1) ≤ f (x) ≤ xf (1) ⇒ f (x) = xf (1), ∀x ∈ R. Do đó f (x) = cx, c ≥ 0. Thử lại thấy hàm số f (x) thỏa mãn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 1.3.2 Các dạng khác của phương trình hàm Cauchy Ngoài các phương trình hàm Cauchy ở trên, những phương trình hàm sau có thể đưa về phương trình hàm Cauchy một cách dễ dàng. Người ta coi chúng là những dạng khác của phương trình hàm Cauchy. Bài toán 1.6 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. (1.11) Giải. Nhận thấy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (1.11). Xét trường hợp f (x) 6≡ 0. Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) 6= 0. Ta có f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x).f (x0 − x) 6= 0, ∀x ∈ R. Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R và x x  h  x i2 f (x) = f + = f > 0, ∀x ∈ R. 2 2 2 Đặt ln f (x) = g(x) (nghĩa là f (x) = eg(x) ). Khi đó g(x) liên tục trên R và g(x + y) = = = = ln f (x + y) ln[f (x)f (y)] ln f (x) + ln f (y) g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R. Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì g(x) = bx, b ∈ R tùy ý. Do đó f (x) = ebx = ax với a > 0 tùy ý. Kết luận: f (x) ≡ 0 hoặc f (x) = ax (a > 0). Bài toán 1.7 (Phương trình hàm Cauchy dạng logarit). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0}. (1.12) Giải. Trước hết xét với x, y ∈ R+ . Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó (1.12) có dạng g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.13) 15 Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì từ (1.13) ta có g(t) = bt và do đó f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+ , a ∈ R tùy ý . Tiếp theo, xét với x, y ∈ R− thì xy ∈ R+ . Với y = x từ (1.12) và theo kết quả ở trên ta có 1 1 f (x) = f (x2 ) = b ln(x2 ) = b ln |x|, ∀x ∈ R− , b ∈ R tùy ý . 2 2 Thử lại, ta thấy hàm f (x) = b ln |x|, với b ∈ R tùy ý thỏa mãn điều kiện bài toán. Kết luận: f (x) = b ln |x|, ∀x ∈ R\{0}, với b ∈ R tùy ý. Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Cauchy dạng nhân tính). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R\{0}. (1.14) Giải. Thay y = 1 vào (1.14) ta được f (x)(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R. (1.15) Nếu f (1) 6= 1 thì từ (1.15) suy ra f (x) ≡ 0 và nghiệm này thỏa mãn (1.14). Xét f (1) = 1, khi đó     1 1 f (1) = f x = f (x).f , ∀x ∈ R\{0}. x x Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R\{0} và do đó f (x2 ) = f (x)f (x) = [f (x)]2 > 0, ∀x ∈ R\{0}. Trường hợp 1: x, y ∈ R+ . Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó ta có g(u + v) = g(u)g(v), ∀u, f ∈ R. Theo Bài toán 1.6 thì g(t) = at , ∀t ∈ R(a > 0 tùy ý. Do đó f (x) = f (eu ) = g(u) = aln x = eln a
ln x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên = xln a = xα , ∀x ∈ R, α = ln a. http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Trường hợp 2: x, y ∈ R− . Khi đó xy ∈ R+ , với y = x từ (1.14) và theo kết quả trên ta có [f (x)]2 = f (x2 ) = (x2 )β = (|x|β )2 , ∀x ∈ R− , β ∈ R tùy ý . Do f (x) liên tục trên R− nên " f (x) = |x|β , ∀x ∈ R− −|x|β , ∀x ∈ R− . Kết hợp các trường hợp trên và thử lại các kết quả ta có Kết luận: Nghiệm của (1.14) là một trong các hàm số sau: 1) f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R\{0}. α 2) f (x) = |x| " , x ∈ R\{0}, α tùy ý. xβ , ∀x ∈ R+ 3) f (x) = −|x|β , ∀x ∈ R− . 1.4 1.4.1 Phương trình hàm Jensen và mở rộng Phương trình hàm Jensen và bài toán chuyển đổi các đại lượng trung bình Bài toán 1.9 (Phương trình hàm Jensen). Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện   x+y f (x) + f (y) f = , ∀x, y ∈ R. (1.16) 2 2 Giải. Đặt f (x) − f (0) = g(x), ta có g(x) liên tục trên R với g(x) = 0 và   x+y g(x) + g(y) g = , ∀x, y ∈ R. 2 2 Lần lượt cho y = 0 và x = 0, thì  x  g(x)  y  g(y) g = ,g = , ∀x, y ∈ R. 2 2 2 2 Do vậy  g x+y 2  =g x 2 +g Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên y  2 , ∀x, y ∈ R http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 hay g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R. (1.17) Vì g(x) liên tục trên R nên (1.17) là phương trình hàm Cauchy và do đó g(x) và do đó g(x) = ax. Suy ra f (x) = ax + b với z, b ∈ R. Thử lại nghiệm f (x) = ax + b thỏa mãn (1.16). Kết luận, f (x) = ax + b, a, b ∈ R tùy ý. Áp dụng bài tập 1.9 ta có thể giải quyết một loạt các bài toán liên quan đến hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình (xem [1]). Cụ thể: 1. Tìm các hàm f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện   q x+y f = f (x).f (y), x, y ∈ R. 2  f (x) ≡ 0 Kết luận, f (x) = eax+b , a, b tùy ý thuộc R 2. Tìm hàm f : R → R+ xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện   x+y 2f (x).f (y) f = , x, y ∈ R. 2 f (x) + f (y) 1 Kết luận, f (x) ≡ , b > 0 tùy ý. b 3. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện s   x+y [f (x)]2 + [f (y)]2 f = , ∀x, y ∈ R. 2 2 Kết luận, f (x) = c, c ≥ 0 tùy ý. 4. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện q √ f ( xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ .  f (x) ≡ 0 Kết luận, f (x) = c.xa , a ∈ R, c > 0 tùy ý. 5. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện f (x) + f (y) √ f ( xy) = , ∀x, y ∈ R+ . 2 Kết luận, f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tùy ý. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 6. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện 2 √ , ∀x, y ∈ R+ . f ( xy) = 1 1 + f (x) f (y) Kết luận, f (x) ≡ b ∈ R \ {0} tùy ý. 7. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện    f  2  = 1 1 + x y 2 1 1 + f (x) f (y) , ∀x, y, x + y 6= 0. x , a 6= 0 a  Kết luận, 1 f (x) = , b 6= 0 b  f (x) = 8. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện    f  2  f (x) + f (y) = , ∀x, y, x + y 6= 0. 1 2 1 + x y a Kết luận, f (x) = + b, a, b ∈ R tùy ý. x 9. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện    2  q  f  1 1  = f (x).f (y), ∀x, y, x + y 6= 0. + x y  f (x) ≡ 0 Kết luận, f (x) = ea/x+b , a, b ∈ R tùy ý 10. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện   s 2 2  2   = [f (x)] + [f (y)] , x, y, x + y 6= 0. f 1 1 2 + x y Kết luận, f (x) ≡ c, c ≥ 0 tùy ý. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm Định lý 1.1. ( xem [8]) Cho f, g, h : R → R là các hàm liên tục thỏa mãn f( x+y g(x) + h(x) ) = , ∀x, y ∈ R. 2 2 Khi đó a+b , 2 g(x) = cx + a, h(x) = cx + b, ∀x ∈ R, a,b,c là các hằng số tùy ý. f (x) = cx + 1.5 Phương trình hàm D’Alembert và mở rộng 1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert Phương trình hàm D’Alembert là phương trình có dạng f (x + y) + f (x − y) = 2f (x).f (y) ∀, x, y ∈ R. (1.18) Khi đó, nếu f : R → R là hàm liên tục thì " f (x) = 0 f (x) = cosh bx, ∀x ∈ R f (x) = cos bx (xem [8]) 1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm Sau đây là hai bài toàn mở rộng phương trình hàm D’Alembert của W.H.Wilson (xem [7]) Bài toán 1: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y), ∀x, y ∈ R. (1.19) Bài toán 2: f (x + y) + g(x − y) = 2h(x)k(y), ∀x, y ∈ R. (1.20) Các kết quả cho hai bài toán trên được cho bởi các định lý sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Định lý 1.2. Nghiệm liên tục tổng quát của (1.19) là f (t) = 0, g(t) bất kỳ; f (t) = a cos(bt) + c sin(bt), g(t) = cos(bt); f (t) = a cosh(bt) + c sinh(bt), g(t) = cosh(bt); f (t) = a + ct, g(t) = 1. Nếu bỏ điều kiện liên tục thì ta có kết quả sau: Định lý 1.3. Xét phương trình (1.19) (i) Nếu f (t) ≡ 0 thì g(t) là hàm tùy ý. (ii) Nếu f (t) ≡ 0 thì g(t) là hàm tùy ý không đồng nhất bằng 0 và thỏa mãn phương trình D’Alembert (1.18) g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) Hơn nữa, nếu g(t) ≡ 1 thì f (t) = c + f0 (t), trong đó f0 (t) là nghiệm của phương trình Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y). Ngược lại, nếu g(t) 6= 1 thì f (t) = cg(t) + af1 (t), trong đó f1 (t) là một hàm số đặc biệt thỏa mãn phương trình f1 (x − y) = f1 (x).g(y) − f1 (y)g(x) với a, c là hằng số tùy ý. Định lý 1.4. Với giả thiết f, g, h, k : R → R là các hàm liên tục thì phương trình (1.20) có các bộ nghiệm sau (i) f (t) = c; g(t) = −c; h(t) = 0; k(t) tùy ý. (ii) f (t) = c; g(t) = −c; h(t) tùy ý; k(t) = 0. (iii) f (t) = c1 cos bt + a1 sin bt + γ1 . g(t) = c2 cos bt + a2 sin bt + γ2 . h(t) = c cos bt + a sin bt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn