Tài liệu Phương trình hàm cauchy và một số biến thể của nó

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o BÒI THÀ HŒNG PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ MËT SÈ BI˜N THš CÕA N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, 2017 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o BÒI THÀ HŒNG PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ MËT SÈ BI˜N THš CÕA N Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 60 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: TS. NGUY™N œNH BœNH THI NGUY–N, 2017 i LÍI CƒM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤à håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS.NGUY™N œNH BœNH. T¡c gi£ xin tr¥n trång b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS.NGUY™N œNH BœNH, th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, h÷îng d¨n, ëng vi¶n kh½ch l» v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu luªn v«n. Qua b£n luªn v«n n y, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ trong tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤à håc Th¡i Nguy¶n nâi chung v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tin håc nâi ri¶ng ¢ d¤y b£o v  d¼u d­t t¡c gi£ trong suèt thíi gian qua. T¡c gi£ công xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  t§t c£ måi ng÷íi ¢ quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp ï º t¡c gi£ câ thº ho n th nh luªn v«n cõa m¼nh. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 06 n«m 2017 Håc vi¶n Bòi Thà H¬ng ii Möc löc MÐ †U. 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. 1 5 1.1 Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m. . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  ùng döng. 25 2.1 Ti¸p cªn gi¡ trà ban ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Tr÷íng hñp khi eif l  ë o àa ph÷ìng, Rn . . . . . 26 2.1.2 Ph²p t½nh g¦n óng gi¡ trà ban ¦u . . . . . . . . . 29 2.1.3 Tr÷íng hñp eif l  o ÷ñc, h¼nh xuy¸n Topo . . . . 39 2.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy tr¶n mi·n h¤n ch¸. . . . . . . . . . . 42 2.3 Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. . . . . . . 45 2.3.1 Ph÷ìng tr¼nh Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nh¥n t½nh . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy lu¥n phi¶n . . . . . . . . . . 47 2.3.4 Ph÷ìng tr¼nh Pexider. . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.5 T½nh ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Mët sè v½ dö minh håa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 K˜T LUŠN. T i li»u tham kh£o. 55 57 1 MÐ †U 1. Lþ do chån · t i. Mët ph÷ìng tr¼nh ÷ñc nhi·u ng÷íi bi¸t ¸n v  l  ph÷ìng tr¼nh cì b£n trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l  mët trong nhúng l¾nh vüc hay v  khâ cõa to¡n håc sì c§p, nâ câ nhi·u ùng döng trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m v  trong c¡c l¾nh vüc to¡n håc v  khoa håc kh¡c, bao gçm h¼nh håc gi£i t½ch, nghi¶n cùu gi£i t½ch, gi£i t½ch phùc, x¡c xu§t thèng k¶, gi£i t½ch h m, ëng lüc håc, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, cì håc cê iºn, cì håc thèng k¶ v  kinh t¸ håc. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc giîi thi»u trong s¡ch cõa æng tø n«m 1821. Cauchy ¢ ph¥n t½ch ch°t ch³ ph÷ìng tr¼nh â tø c¡c gi£ thuy¸t r¬ng h m sè f b§t k¼ l  mët h m sè li¶n töc tø R ¸n R v  c¡c bi¸n x, y câ thº l  c¡c sè thüc b§t k¼. Gauss công ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy trong cuèn s¡ch cõa æng tø n«m 1809, nh÷ng sü nghi¶n cùu n y khæng ch°t ch³ v  công khæng rã r ng. Trð l¤i nhúng n«m tr÷îc núa, n«m 1794, ta câ thº t¼m th§y trong s¡ch cõa Legendre, ð ph¦n d nh cho sü nghi¶n cùu t¿ sè di»n t½ch cõa c¡c h¼nh chú nhªt, c£ ùng döng v  ph¥n t½ch cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, tuy nhi¶n chóng v¨n ch÷a ch°t ch³ v  khæng rã r ng. Do â nâ ¢ thu hót sü chó þ cõa c¡c t¡c gi£ trong kho£ng thíi gian d i. Kannappan ¢ vi¸t: C¡c nh  nghi¶n cùu ¢ am m¶ nhúng ph÷ìng tr¼nh n y [Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  3 kiºu t÷ìng ÷ìng], v  sü £o t÷ðng n y s³ ti¸p töc v  d¨n ¸n nhi·u th nh qu£ thó và hìn. H÷îng i chung cõa vi»c nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l  sû döng nhi·u lo¤i i·u ki»n thæng th÷íng tr¶n h m sè b§t k¼. Nâ ch¿ ra 2 r¬ng trong tr÷íng hñp °c bi»t khi f : R → R, méi i·u ki»n n y suy ra sü tçn t¤i cõa c ∈ R, sao cho f (x) = cx, vîi måi x ∈ R, v  thüc t¸ n y ¢ ÷ñc chùng minh b¬ng nhi·u c¡ch. V½ dö, Cauchy ¢ gi£ sû f li¶n töc. Darboux ¢ chùng minh r¬ng f câ thº ÷ñc gi£ thi¸t ho°c ìn i»u ho°c bà ch°n tr¶n mët kho£ng, Fr²chet, Blumberg, Banach, Sierpinski, Kac, Alexiewicz-Orlicz, v  Figiel ¢ gi£ thi¸t r¬ng f l  o ÷ñc Lebesgue, Kormes ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tr¶n tªp o ÷ñc d÷ìng, Ostrowski v  Kestelman ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tø mët b¶n tr¶n tªp o ÷ñc d÷ìng, v  Mehdi ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tr¶n tr¶n tªp nhâm Baire. M°t kh¡c, Hamel ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy khi khæng câ b§t k¼ i·u ki»n kh¡c cõa f . B¬ng vi»c sû döng cì sð Hamel, æng ta ¢ suy ra r¬ng câ nhi·u nghi»m khæng tuy¸n t½nh tø ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  æng ¢ t¼m ra t§t c£ chóng. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc kh¡i qu¡t hâa hay bê sung theo nhi·u h÷îng. Mët h÷îng iºn h¼nh l  l§y mi·n x¡c ành v  mi·n gi¡ trà cõa f th nh c¡c nhâm cõa lo¤i n o â, v½ dö (compact àa ph÷ìng) nhâm Polish, v  º chùng minh r¬ng n¸u f thäa m¢n mët i·u ki»n b§t k¼ cõa gi£ thuy¸t o ÷ñc (Baire, Haar, hay Christensen), v  câ thº l  c¡c gi£ thuy¸t cëng t½nh, th¼ nâ ph£i li¶n töc (Chó þ: thay v¼ nâi ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, ta nâi l  h m thu¦n nh§t ho°c cëng t½nh). Mët h÷îng kh¡c l  lñi döng c¡c gi£ thuy¸t tø t½nh o ÷ñc. Ch÷a h÷îng i têng qu¡t n o l  thay êi ành ngh¾a mi·n x¡c ành cõa f º m  s³ khæng câ mët c§u tróc ¤i sè µp núa, m  l  s³ ch¿ ìn thu¦n l  tªp con n o â cõa mi·n x¡c ành ch½nh thùc, v½ dö mët tªp lçi, ph¦n bò cõa tªp o ÷ñc 0, vv. Sü bi¸n êi n y l  º thay êi mi·n gi¡ trà cõa ph÷ìng tr¼nh, v½ dö, gi£ sû r¬ng f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ch¿ vîi c°p (x, y) thuëc v o tªp con cõa R2n , v½ dö a t¤p (v  f câ thº ÷ñc ành ngh¾a tr¶n to n khæng gian ho°c tr¶n tªp con cõa nâ). Trong t§t c£ c¡c tr÷íng hñp n y, ta câ thº k¸t luªn sü tçn t¤i nghi»m khæng tuy¸n t½nh cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy (m°c dò c¡c i·u ki»n ·u m¤nh) ho°c (trong tr÷íng hñp khi f ÷ñc gi£ ành ành ngh¾a tr¶n to n bë khæng gian) f ph£i thäa m¢n nâ vîi t§t c£ c¡c c°p (x, y) câ thº. B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè bi¸n thº cõa nâ l  cæng 3 cö º gi£i quy¸t r§t nhi·u b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hay v  khâ, nâ xu§t hi»n nhi·u trong c¡c · thi håc sinh giäi trong n÷îc v  quèc t¸ v  th÷íng l  mët th¡ch thùc èi vîi håc sinh. Nhi·u t i li»u v  c¡c · t i v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc bi¶n so¤n v  thüc hi»n. Tuy nhi¶n méi t i li»u ch¿ tr¼nh b y mët sè v§n · v  c¡c ùng döng, ch÷a bao qu¡t ÷ñc ¦y õ. V¼ vªy, c¡c v§n · v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v¨n cán r§t phong phó. 2. Möc ½ch. Möc ½ch cõa luªn v«n l  nghi¶n cùu c¡c v§n · li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè bi¸n thº cõa nâ, xem x²t kh£ n«ng gi£i ÷ñc v  sü ên ành t÷ìng èi cõa nâ èi vîi c¡c tªp con cõa khæng gian Euclide a chi·u. Mët sè lo¤i i·u ki»n mîi ÷ñc tr¼nh b y, ch¯ng h¤n nh÷ mët ph÷ìng tr¼nh trong â mët sè mô phùc t¤p c¡c h m ch÷a bi¸t.... C¡c ph¥n t½ch ÷ñc mð rëng ¸n mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. °c bi»t l  ùng döng c¡c lþ thuy¸t n y trong vi»c gi£ng d¤y v  bçi d÷ïng ki¸n thùc to¡n håc cho håc sinh THPT v  l  t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n ng nh To¡n håc. 3. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu. èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn v«n l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè bi¸n thº cõa nâ. Mët c¡ch cö thº, luªn v«n s³ tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ch½nh trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3] v  c¡c b i b¡o [4], [5]. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. Thu thªp c¡c b i b¡o khao håc v  t i li»u cõa c¡c t¡c gi£ nghi¶n cùu li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  ùng döng. Trao êi qua email vîi th¦y h÷îng d¨n v· c¡c ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè bi¸n thº cõa nâ. 5. Bè cöc luªn v«n. 4 T¡c gi£ ti¸n h nh nghi¶n cùu hai nëi dung ch½nh t÷ìng ùng vîi hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. 1.1. Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m. 1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. 1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t. 1.4. Mët sè b i to¡n ùng döng. Ch÷ìng 2. Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  ùng döng. 2.1. Ti¸p cªn gi¡ trà ban ¦u. 2.2. Ph÷ìng tr¼nh Cauchy tr¶n mi·n h¤n ch¸. 2.3. Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy. 2.4. Mët sè v½ dö minh håa. 5 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. Trong ch÷ìng n y, t¡c gi£ tr¼nh b y ành ngh¾a, t½nh ch§t cõa ph÷ìng tr¼nh h m. Trong â, t¡c gi£ i s¥u v· nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè b i to¡n ùng döng. Nëi dung ch½nh ÷ñc tham kh£o t¤i c¡c t i li»u [1], [2], [3]. 1.1 Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m. ành ngh¾a 1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m l  ph÷ìng tr¼nh m  ©n l  c¡c h m sè. Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m tùc l  t¼m c¡c h m sè ch÷a bi¸t â. Ti¸p cªn ph÷ìng tr¼nh h m, méi ng÷íi câ nhúng cì sð v  ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau. Tuy nhi¶n, düa v o °c tr÷ng cõa c¡c h m ta câ thº x¥y düng ÷ñc mët sè ành h÷îng nh÷ sau: 1. Th¸ c¡c gi¡ trà bi¸n phò hñp: H¦u h¸t c¡c gi¡ trà ban ¦u câ thº th¸ v o l : x = 0, x = 1, ...; tø â t¼m ra mët t½nh ch§t quan trång n o â ho°c c¡c gi¡ trà °c bi»t cõa h m ho°c t¼m c¡ch chùng minh h m sè h¬ng. 2. Quy n¤p to¡n håc: ¥y l  ph÷ìng ph¡p sû döng gi¡ trà f (x) v  b¬ng c¡ch quy n¤p vîi n ∈ N º t¼m f (n). Sau â t¼m f ( n1 ) v  f (e). Ph÷ìng ph¡p n y th÷íng ¡p döng trong b i to¡n m  ð â h m f ¢ ÷ñc x¡c ành tr¶n Q; tø â mð rëng tr¶n c¡c tªp sè rëng hìn. 3. Sû döng ph÷ìng tr¼nh Cauchy v  kiºu Cauchy. 6 4. Nghi¶n cùu t½nh ìn i»u v  t½nh li¶n töc cõa c¡c h m. C¡c t½nh ch§t n y ¡p döng trong ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ho°c kiºu Cauchy. C¡c ph÷ìng tr¼nh â n¸u khæng câ t½nh ìn i»u, li¶n töc th¼ b i to¡n trð n¶n phùc t¤p hìn nhi·u. 5. T¼m iºm cè ành ho°c gi¡ trà 0 cõa c¡c h m. 6. Nghi¶n cùu t½nh ìn ¡nh v  to n ¡nh cõa c¡c h m lôy thøa trong ph÷ìng tr¼nh. 7. Dü o¡n h m v  dòng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng º chùng minh i·u dü o¡n óng. 8. T¤o n¶n c¡c h» thùc truy hçi. 9. Mi¶u t£ t½nh ch§t ch®n, l´ cõa h m sè. Tø mët sè ành h÷îng n¶u tr¶n, t¡c gi£ t¥m ­c ph¦n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy n¶n ¢ i s¥u v o nghi¶n cùu nâ. 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. ành ngh¾a 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l  ph÷ìng tr¼nh h m câ d¤ng: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, trong â, f (x) l  h m x¡c ành tr¶n (1.1) R. H m f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, ÷ñc gåi l  h m cëng t½nh. ành lþ 1.1 H m sè li¶n töc f (x) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) khi v  ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R, trong â, a l  h¬ng sè tòy þ. 7 Chùng minh: Cho x = y , ta câ: f (2x) = 2f (x). B¬ng c¡ch quy n¤p theo n, ta s³ chùng minh: f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N, x ∈ R. Thªt vªy, Vîi n = 1 v  n = 2 h» thùc c¦n chùng minh l  óng. Gi£ sû: f (kx) = kf (x), k ≥ 1. Khi â: f ((k + 1)x) = f (x + kx) = f (x) + f (kx) = f (x) + kf (x) = (k + 1)f (x). Cho x = y = 0, suy ra: f (0) = 0. Ti¸p theo, thay x = −y , ta ÷ñc: 0 = f (x − x) = f (x) + f (−x), hay f (−x) = −f (x). N¸u n < 0, th¼: f (nx) = f ((−n).(−x)) = −nf (−x) = nf (x). Vªy f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z. N¸u n ∈ Z, n 6= 0 th¼: x  x = n.f , f (x) = f n. n n hay f x = f (x) . n n m X²t p = ∈ Q, trong â m, n ∈ Z. Ta câ: n   x  x m m  .x = f m =mf = f (x) = p f (x). f (p x) = f n n n n [n α] Vîi måi α ∈ R, n ∈ N, °t rn = ∈ Q, n 1 Ta câ rn ≤ α < rn + . n Do â ta câ : lim rn = α n→∞ v  α x = lim (rn x). n→∞ 8 V¼ f li¶n töc n¶n: f (αx) = lim f (rn x) = lim rn f (x) = αf (x). n→∞ n→∞ (1.2) °t a = f (1) th¼ f (x) = f (x.1) = xf (1) = ax. Vªy f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R cho tr÷îc. Ng÷ñc l¤i, n¸u f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R th¼ d¹ th§y r¬ng f l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy.  i·u ki»n li¶n töc cõa h m f t÷ìng ÷ìng vîi mët trong c¡c i·u ki»n sau: Bê · 1.1 Cho f : R → R l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy (1.1) khæng çng nh§t b¬ng 0. Khi â, c¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (1) f li¶n töc tr¶n R, (2) f li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ R, (3) f li¶n töc t¤i iºm 0, (4) f ìn i»u thüc sü tr¶n mët kho£ng trong R, (5) f bà ch°n tr¶n mët kho£ng (ho°c mët o¤n) trong R. Chùng minh: Tø ph²p chùng minh cõa ành lþ 1.1, ta câ: f (rx) = rf (x), ∀x ∈ R, r ∈ Q. Tø (1) suy ra (2) v  tø (2) suy ra (3) l  hiºn nhi¶n. Ta chùng minh: (3) suy ra (1). Thªt vªy, ∀x0 ∈ R, f (x) = f (x − x0 + x0 ) = f (x − x0 ) + f (x0 ). N¸u limn→∞ (xn ) = x0 th¼: lim f (xn ) = lim [f (xn − x0 ) + f (x0 )] = f (0) + f (x0 ) = f (x0 ). n→∞ n→∞ Vªy f li¶n töc t¤i x0 . 9 Do â, f l  h m sè li¶n töc. Chùng minh: tø (1) suy ra (4). Gi£ sû f li¶n töc. Theo ành lþ 1.1: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a l  h¬ng sè. V¼ f khæng çng nh§t b¬ng 0 n¶n a 6= 0. Do â f ìn i»u tr¶n R. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f ìn i»u tr¶n mët kho£ng I ⊂ R. Ta gi£ thi¸t, f ìn i»u t«ng. L§y x0 ∈ I v  ε > 0, sao cho: (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I . ε ε V¼ x0 − < x0 < x0 + n¶n: n n   ε ε f (ε) f (ε) = f x0 − < f (x0 ) < f x0 + = f (x0 ) + f (x0 ) − n n n n Do â:  ε ε lim f x0 − = lim f x0 + = f (x0 ) n→∞ n→∞ n n Gi£ sû: limn→∞ xn = x0 .  (1.3) Vîi måi δ > 0, chån n0 ∈ N sao cho: ε ε < xn < x0 + , ∀n > n0 , x0 − n0  n0 ε  ε v  f x0 + − f x0 − < δ. n n     ε ε < f (xn ) < f x0 + . Khi â, f x0 − n0 n0 Suy ra, |f (xn ) − f (x0 )| < δ, ∀n > n0 . Vªy f li¶n töc t¤i x0 n¶n f li¶n töc. Chùng minh: (1) ⇔ (5). Ta ch¿ c¦n chùng minh (5) suy ra (1). Gi£ sû f bà ch°n tr¶n kho£ng I ⊂ R. L§y x0 ∈ I, ε > 0, sao cho: (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I . Vîi måi x ∈ (−ε, ε) : f (x) = f (x + x0 ) − f (x0 ) vîi x + x0 ∈ I . Do â, f bà ch°n tr¶n (−ε, ε). Hay, tçn t¤i M > 0, sao cho: |f (x)| ≤ M , vîi |x| < ε. Gi£ sû, lim xn = 0. n→∞ " °t kn = p 1 |xn | # ∈ N. Ta câ: |kn xn | ≤ p 1 |xn | |xn | = p |xn |. 10 Vîi måi δ > 0, chån n0 ∈ N sao cho: p M < δ v  |kn xn | < |xn | < ε, ∀n > n0 . kn Khi â, |f (xn )| = |f ( kn xn f (kn xn ) M )| = ≤ < δ. kn kn kn Vªy limn→∞ f (xn ) = 0 = f (0) n¶n f li¶n töc t¤i 0. Do â, f li¶n töc.  Tø ành lþ 1.1 v  Bê · 1.1 , suy ra h m f thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n cõa Bê · l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy khi v  ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R, vîi a l  h¬ng sè. Ta câ mët sè h» qu£ sau: H» qu£ 1.1 H m sè f li¶n töc tr¶n R l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R, khi v  ch¿ khi f (x) = bx , ∀x ∈ R, b > 0 (1.4) l  h¬ng sè. Chùng minh. N¸u câ x0 ∈ R, sao cho: f (x0 ) = 0, th¼: f (x) = f (x − x0 + x0 ) = f (x − x0 )f (x0 ) = 0, ∀x ∈ R. Tùc l , f ≡ 0. Ta gi£ thi¸t f (x) 6= 0, ∀x ∈ R. Hay f (x) khæng çng nh§t b¬ng 0. Khi â,  x 2 x + =f > 0. f (x) = f 2 2 2 H» thùc (1.4) t÷ìng ÷ìng vîi: x ln[f (x + y)] = ln[f (x)f (y)] = lnf (x) + lnf (y), hay g(x + y) = g(x) + g(y), 11 trong â: g(x) = ln[f (x)]. Theo ành lþ 1.1, ta câ: g(x) = ax, a ∈ R. Vªy f (x) = eax = bx , b = ea > 0.  H» qu£ 1.2 H m sè f li¶n töc tr¶n R {0} l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R {0} , khi v  ch¿ khi: f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}. Chùng minh. +) Vîi x, y ∈ R+ , °t x = eu v  y = ev . Ta câ: f (eu+v ) = f (eu ) + f (ev ) ⇔ g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R. trong â, g(u) = f (eu ) li¶n töc tr¶n R. p döng ành lþ 1.1, ta câ: g(u) = a u. Suy ra: f (x) = g(lnx) = a lnx, ∀x ∈ R+ . +) Vîi x < 0, ta câ:
f x2 = f (x) + f (x), hay
1
1 f x2 = a lnx2 = a ln(−x). 2 2 Vªy f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}, vîi a ∈ R tòy þ. f (x) =  H» qu£ 1.3 H m sè f li¶n töc tr¶n R l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R {0} , khi v  ch¿ khi f (x) = |x|α , ∀x ∈ R {0} , α Chùng minh. Thay y = 1, ta ÷ñc: l  h¬ng sè. 12 f (x) = f (x).f (1) ⇔ f (x).(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R. N¸u f (1) 6= 1 th¼ f (x) = 0, ∀x ∈ R {0}. Do vªy, f ≡ 0. X²t f (1) = 1.    1 1 Khi â, f (1) = f x. = f (x).f , ∀x ∈ R {0}. x x Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R {0}. Do â:
f x2 = f (x).f (x) = f 2 (x) > 0, ∀x ∈ R {0} .  Suy ra, f (x) > 0, ∀x ∈ R+ . °t g(t) = f (et ), t ∈ R. Khi â, g(t + u) = f (et+u ) = f (et .eu ) = f (et )f (eu ) = g(t).g(u). Ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ nghi»m l : g(t) = at , ∀t ∈ R. V¼ x = et , t÷ìng ÷ìng t = ln x, n¶n:
ln x
ln f (x) = g(ln x) = aln x = eln a = eln x a = xln a = xα , α ∈ R. X²t x, y ∈ R− , khi â −x, −y ∈ R+ .
N¸u x = y , ta nhªn ÷ñc: f x2 = f 2 (x) > 0.

α V¼ x2 > 0, theo chùng minh tr¶n f x2 = x2 , α ∈ R. Do â: f 2 (x) = x2α . Suy ra f (x) = ±|x|α . Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l : (1) f (x) = 0, ∀x ∈ R {0}. (2) f (x) = |x|α , ∀x ∈ R {0}. ( |x|α , x > 0, (3) f (x) = −|x|α , x < 0. 13 1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t Cho ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng: f (x) + f (y) − f (x + y) = g(H(x, y)) (1.5) trong â, f v  g l  c¡c h m ph£i t¼m, H l  h m ¢ cho. Khi g ≡ 0 th¼ (1.5) trð th nh ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. C¡c h m sè ð ¥y ÷ñc x²t l  h m sè thüc, tùc l  tªp x¡c ành v  tªp gi¡ trà cõa nâ l  R ho°c tªp con cõa R. Sau ¥y ta x²t mët sè tr÷íng hñp °c bi»t cõa (1.5). + H(x, y) = xy , khi â (1.5) trð th nh: f (x) + f (y) − f (x + y) = g(xy) + H(x, y) = 1 1 + v  g = −f , khi â (1.5) trð th nh: x y f (x) + f (y) − f (x + y) = −f (x−1 + y −1 ) + H(x, y) = (1.6) xy(x + y) v  g = f : (1.5) trð th nh: x2 y 2 + xy   xy(x + y) f (x) + f (y) − f (x + y) = f x2 + y 2 + xy (1.7) (1.8) Ta nhªn th§y r¬ng, c¡c ph÷ìng tr¼nh (1.6)-(1.8) l  nhúng d¤ng b i to¡n quen thuëc trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m. Nhªn x²t: + N¸u g(x) = c (g l  h m h¬ng) th¼ vîi b§t cù h m H ¢ cho n o, (1.5) ·u t÷ìng ÷ìng vîi: f (x) + f (y) − f (x + y) = c. Rã r ng nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n l : f (x) = A(x) + c, 14 trong â, A(x) l  mët h m cëng t½nh b§t ký, hay A(x) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy (1.1). Vªy nghi»m cõa (1.5) trong tr÷íng hñp n y l : f (x) = A(x) + c, v  g(x) = c. + T÷ìng tü trong tr÷íng hñp H(x, y) = c, cæng thùc nghi»m cõa (1.5) l : f (x) = A(x) + g(c) v  g l  h m b§t ký. trong â, A(x) l  h m cëng t½nh tòy þ. Chóng ta gåi nghi»m (f, g) cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) l  t¦m th÷íng n¸u f l  afin, tùc l  f (x) = A(x) + c, trong â A(x) l  cëng t½nh v  c l  h¬ng sè. + º þ r¬ng c¡c ph÷ìng tr¼nh (1.6)-(1.8) l  d¤ng ph÷ìng tr¼nh (1.5) vîi H(x, y) câ d¤ng sau: H(x, y) = ψ(φ(x) + φ(y) − φ(x + y)) (1.9) V¼ d¹ th§y (1.6)-(1.8) t÷ìng ùng vîi vi»c chån: φ(x) = x2 , ln x, x−1 −u −u −1 , e , u . v  ψ(u) = 2 B¥y gií ta x²t mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa (1.5) câ d¤ng nh÷ sau f (x) + f (y) − f (x + y) = g(φ(x) + φ(y) − φ(x + y)) (1.10) Rã r ng, n¸u φ l  afin th¼ vîi måi g ph÷ìng tr¼nh (1.10) ·u câ nghi»m f l  afin, tùc l  (1.10) câ nghi»m t¦m th÷íng. V¼ vªy chóng ta x²t φ khæng afin v  kþ hi»u I l  (α, +∞), (ho°c [α, +∞), (−∞, +∞), (−∞, −α], (−∞, −α)), trong â α ≥ 0. 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng Tø cì sð lþ thuy¸t ¢ n¶u ð ph¦n tr¶n, sau ¥y t¡c gi£ s³ tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy º gi£i quy¸t mët sè b i to¡n. 15 B i to¡n 1.1 X¡c ành h m sè f (x) ìn i»u tr¶n R v  thäa m¢n (1.1). Líi gi£i: V¼ f (x) thäa m¢n (1.1) n¶n: f (x) = a x, ∀x ∈ R, vîi a = f (1) ∈ R tòy þ. Ta ch¿ ra, n¸u f ìn i»u th¼: f (x) = a x, ∀x ∈ R. Ta chùng minh tr÷íng hñp f khæng gi£m, cán tr÷íng hñp f khæng t«ng th¼ chùng minh t÷ìng tü. Gi£ sû, f khæng gi£m tr¶n R. Khi â, a = f (1) ≥ f (0) = 0. Vîi méi x ∈ R b§t k¼, ta x²t hai d¢y sè húu t¿ sn gi£m v  qn t«ng còng câ giîi h¤n l  x. Khi â, ∀n ∈ N, ta câ: ( f (sn ) = a sn , f (qn ) = a qn . M°t kh¡c, f khæng gi£m tr¶n R n¶n: a sn ≥ f (sn ) ≥ f (x) ≥ f (qn ) = a qn , ∀n ∈ N. L§y giîi h¤n hai v¸ khi n → +∞, ta câ: limn→+∞ asn ≥ f (x) ≥ limn→+∞ aqn , ⇒ ax ≥ f (x) ≥ ax. Vªy f (x) = ax, nh÷ng x ∈ R b§t k¼ n¶n f (x) = ax, ∀x ∈ R.  Nhªn x²t: + Tø gi£ thi¸t f ìn i»u tr¶n R v  thäa m¢n (1.1), ta câ thº suy ra f li¶n töc t¤i x = 0. Suy ra, f (x) = x f (1), ∀x ∈ R. C¡ch l m tr¶n s³ kh¡ ng­n gån v  rã r ng ëc lªp hìn l  n¸u ta quy v· t½nh li¶n töc cõa f . ¥y l  k¸t qu£ n·n t£ng cõa c¡c b i to¡n v· lîp ph÷ìng tr¼nh h m vøa cëng t½nh vøa ìn i»u. + N¸u thay gi£ thi¸t f ìn i»u bði: f (x) > 0, ∀x ∈ R v  f thäa m¢n (1.1) th¼ suy ra f l  h m khæng gi£m tr¶n R, do â: f (x) = ax, ∀x ∈ R v  a ≥ 0. N¸u f (x2n ) = [f (x)]2n , n ∈ N∗ , suy ra: f (x) ≡ 0 ho°c f (x) = x, ∀x ∈ R. 16 Cán n¸u, f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 0 suy ra: h m f khæng t«ng tr¶n R, hay f (x) = ax, ∀x ∈ R, vîi a ≤ 0. B i to¡n 1.2 T¼m c¡c h m sè f (x) x¡c ành tr¶n R v  thäa m¢n (1.1) v  bà ch°n tr¶n o¤n [c, d] vîi c < d b§t k¼. Líi gi£i: Gi£ sû f l  h m thäa m¢n b i to¡n. Do f thäa m¢n (1.1) n¶n: f (x) = ax, ∀x ∈ Q, trong â: a = f (1). Ta chùng minh: f (x) = ax, ∀x ∈ R. Thªt vªy, l§y x ∈ R b§t ký. Khi â, vîi méi n ∈ N tçn t¤i rn ∈ Q (phö thuëc v o n v  x), sao cho: nx − d ≤ rn ≤ nx − c. Suy ra, f (nx − rn ) bà ch°n, do c ≤ nx − rn ≤ d. Ta câ: |f (nx − rn )| = |f (nx) + f (−rn )| = |nf (x) − arn | = |n(f (x) − ax) + a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax| − |a(nx − rn )|. Suy ra, |f (nx − rn )| + |a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax|. M°t kh¡c, |a(nx − rn )| ≥ max{|ac|, |ad|}, v  f (nx − rn ) bà ch°n vîi måi n ∈ N. Do â, n|f (x) − ax| công bà ch°n vîi måi n ∈ N. i·u n y ch¿ x£y ra khi: f (x) − ax = 0. Vªy f (x) = ax, ∀x ∈ R.  B i to¡n 1.3 X¡c ành h m sè f (x) li¶n töc tr¶n R thäa m¢n  f x+y+z 3  = f (x) + f (y) + f (z) , ∀x, y, z ∈ R. 3 Líi gi£i: °t g(x) = f (x) − f (0) th¼ g(0) = 0. Do vªy, ∀x, y, z ∈ R.