Tài liệu Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số

www.MATHVN.com Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x2 − 6x + 6 > 0. c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ 0. b) −4x2 + x − 2 ≥ 0. d) x4 + x2 + 4x − 3 ≥ 0. Lời giải. √ √ √

x > 3 + √3 . Vậy tập nghiệm S = −∞; 3 − 3 ∪ 3 + 3; +∞ . a) Ta có x − 6x + 6 > 0 ⇔ x<3− 3 2 b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x + x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm. c) Bất phương trình tương đương với


x4 + 3x2 − 10 − 4x3 + 8x ≤ 0 ⇔ x2 − 2 x2 + 5 − 4x x2 − 2 ≤ 0 √ √

⇔ x2 − 2 x2 − 4x + 5 ≤ 0 ⇔ x2 − 2 ≤ 0 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2  2  √ √  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − 2; 2 . d) Bất phương trình tương đương với x4 + 2x2 + 1 ≥ x2 − 4x + 4 ⇔ x2 + 1
2 ≥ (x − 2) 2 " 2 ⇔ x +x−1
2 2
x −x+3 ≥0⇔x +x−1≥0⇔ x≥ x≤ √ −1+ 5 2√ −1− 5 2   h √ i √ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; −1−2 5 ∪ −1+2 5 ; +∞ . Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau x−2 a) 2 ≥ 0. x − 9x + 8 2x − 1 x+5 + > 2. c) 2x − 1 x+5 x2 − 3x − 2 ≥ 2x + 2. x−1 1 1 d) 2 < 2 . x − 5x + 4 x − 7x + 10 b) Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x x−2 x2 − 9x + 8 VT −∞ − + − 1 | 0 || − − + 2 0 | 0 + − − 8 | 0 || +∞ + + + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞). x2 − 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2) −x2 − 3x b) Bất phương trình tương đương với ≥0⇔ ≥ 0. x−1 x−1 Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com 1 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −x2 − 3x x−1 VT −∞ −3 0 | 0 − − + + − − 0 0 | 0 − − + 1 | 0 || +∞ − + − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1). 2 2 (x + 5) + (2x − 1) − 2 (x + 5) (2x − 1) x2 − 12x + 36 c) Bất phương trình tương đương với >0⇔ > 0. (2x − 1) (x + 5) 2x2 + 9x − 5 Ta có bảng xét dấu x x2 − 12x + 36 2x2 + 9x − 5 VT −∞ 1 2 −5 | 0 || 6 + | + 0 − 0 + | − || + 0
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪ 12 ; 6 ∪ (6; +∞). x2 − 7x + 10 − x2 + 5x − 4 d) Bất phương trình tương đương với 2 <0⇔ (x − 5x + 4) (x2 − 7x + 10) Ta có bảng xét dấu x −2x + 6 x2 − 5x + 4 x2 − 7x + 10 VT + + + −∞ 1 | 0 | || + + + + + − + − 2 | | 0 || + − − + 3 0 | | 0 − − − − 4 | 0 | || +∞ + + + −2x + 6 < 0. (x2 − 5x + 4) (x2 − 7x + 10) − + − + 5 | | 0 || +∞ − + + − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞). Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau a) x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0. c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0.
3
3 3 e) x2 + 1 + (1 − 3x) = x2 − 3x + 2 . √ √ b) x3 − 3 3x2 + 7x − 3 = 0. 3 3 d) (x − 3) + (2x + 3) = 18x3 .
2 3 f) (4 + x) − (x − 1) = (1 − x) x2 − 2x + 17 . Lời giải. 
x=1 √ a) Ta có x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x − 1) x2 − 4x + 1 = 0 ⇔ . x=2± 3 √ Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ± 3. √  √ 2 √ √
2 √
x = √3 √ 3 . b) Ta có x − 3 3x + 7x − 3 = 0 ⇔ x − 3 x − 2 3x + 1 = 0 ⇔ x= 3± 2 √ √ √ Vậy phương trình có ba nghiệm x = 3, x = 3 ± 2.  x=1
c) Ta có x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x − 1) x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0 ⇔  x = 3 . x = ±2 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2. d) Phương trình tương đương với 3 (x − 3 + 2x + 3) − 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x3

⇔ 9x3 − 9x 2x2 − 3x − 9 = 0 ⇔ 9x 7x2 + 3x + 9 = 0 ⇔ x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. e) Phương trình tương đương với
3
3 x2 + 1 + 1 − 3x − 3(x2 + 1)(1 − 3x)(x2 + 1 + 1 − 3x) = x2 − 3x + 2  x = 31 2 2  x =1 ⇔ − 3(x + 1)(1 − 3x)(x − 3x + 2) = 0 ⇔ x=2 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 31 , x = 1, x = 2. f) Phương trình tương đương với

2 3 2 (4 + x) = (x − 1) − (x − 1) x2 − 2x + 17 ⇔ (4 + x) = (x − 1) x2 − 2x + 1 − x2 + 2x − 17 = 0  x=0 2 2 ⇔ x + 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x + 24x = 0 ⇔ x = −24 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24. www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.4. Giải
các phương trình
sau 2 2 a) x2 − 4x + 3 − x2 − 6x + 5 = 0. c) x4 + 3x2 + 3 = 2x. e) x4 = 6x2 − 12x + 8. 2 b) x4 = (2x − 5) . d) x4 − 4x − 1 = 0. f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1. Lời giải. 2 a) Ta có x − 4x + 3
2 2 − x − 6x + 5
2 
2 = 0 ⇔ 2x − 10x + 8 (2x − 2) = 0 ⇔ x=1 . x=4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x
= 4. √
2 b) Ta có x4 = (2x − 5) ⇔ x2 + 2x − 5 x2 − 2x + 5 = 0 ⇔ x = −1 ± 6. √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± 6.


2 2 c) Ta có x4 + 3x2 + 3 = 2x ⇔ x2 + 2 = (x + 1) ⇔ x2 + x + 3 x2 − x + 1 = 0. Vậy phương trình vô nghiệm. √ √
√ √

2 2 d) Ta có x4 − 4x − 1 = 0 ⇔ x2 + 1 = 2(x + 1) ⇔ x2 + 2x + 1 + 2 x2 − 2x + 1 − 2 = 0. p √ √ 2± 4 2−2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 2 √


2 2 e) Ta có x4 = 6x2 − 12x + 8 ⇔ x2 − 1 = (2x − 3) ⇔ x2 + 2x − 4 x2 − 2x + 2 = 0 ⇔ x = −1 ± 5. √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± 5. " √ −1± 5


x = 2 2 2 √ f) Ta có x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1 ⇔ x2 − x = (2x − 1) ⇔ x2 + x − 1 x2 − 3x + 1 = 0 ⇔ . x = 3±2 5 √ √ −1 ± 5 3± 5 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ,x = . 2 2 Bài tập 2.5. Giải các phương trình sau 4 4 a) (x + 3) + (x + 5) = 2. 4 4 c) (x + 3) + (x − 1) = 82. 4 4 b) (x + 1) + (x + 3) = 16. 4 d) x4 + (x − 1) = 41 8 . Lời giải. a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành 4 4 4 2 (t − 1) + (t + 1) = 2 ⇔ 2t + 12t = 0 ⇔  t2 = 0 ⇔t=0 t2 = −6 (loại) Với t = 0 ⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4. b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành  2 t =1 4 4 4 2 (t − 1) + (t + 1) = 16 ⇔ 2t + 12t − 14 = 0 ⇔ ⇔ t = ±1 t2 = −7 (loại) Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3. c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành  2 t =1 4 4 (t + 2) + (t − 2) = 16 ⇔ 2t4 + 48t2 − 50 = 0 ⇔ ⇔ t = ±1 t2 = −25 (loại) Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2. d) Đặt x − 21 = t. Phương trình trở thành  1 t+ 2 4  1 + t− 2 4 41 = ⇔ 2t4 + 3t2 − 5 = 0 ⇔ 8  t2 = 1 ⇔ t = ±1 t2 = − 25 (loại) Với t = 1 ⇒ x = 23 ; t = −1 ⇒ x = − 12 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 23 , x = − 12 . Bài tập 2.6. Giải các phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 .
b) x2 − 1 (x +
3) (x + 5) + 16
= 0. d) x2 − 2x + 4 x2 + 3x + 4 = 14x2 . Lời giải. a) Phương trình tương đương với

(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔ x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 = 3  t=1 Đặt x2 + 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔ . t = −3 www.MATHVN.com 3 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu √ −5 ± 13 Với t = 1 ⇒ x + 5x + 4 = 1 ⇔ x = ; t = −3 ⇒ x2 + 5x + 4 = −3 (vô nghiệm). 2 √ −5 ± 13 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 2 b) Phương trình tương đương với

(x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔ x2 + 4x − 5 x2 + 4x + 3 + 16 = 0 2 Đặt x2 + 4x − 5 = t. Phương trình trở thành √ t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4. √ Với t = −4 ⇒ x2 + 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ± 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ± 5. c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

(x − 1) (x − 6) (x − 2) (x − 3) = 3x2 ⇔ x2 − 7x + 6 x2 − 5x + 6 = 3x2    6 6 ⇔ x−7+ x−5+ =3 x x  t=1 6 Đặt x − 7 + x = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔ . t = −3 √ Với t = 1 ⇒ x − 7 + x6 = 1 ⇔ x2 − 8x + 6 = 0 ⇔ x = 4 ± 10; t = −3 ⇒ x − 7 + x6 = −3 ⇔ x2 − 4x + 6 = 0 (vô nghiệm). √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4 ± 10. d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với    4 4 x−2+ x+3+ = 14 x x  t=2 Đặt x − 2 + x4 = t. Phương trình trở thành t (t + 5) = 14 ⇔ . t = −7 Với t = 2 ⇒ x − 2 + 4 x = 2 ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2; t = −7 ⇒ x − 2 + 4 x = −7 ⇔ x2 + 5x + 4 ⇔ Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = −1, x = −4. Bài tập 2.7. Giải các phương trình sau a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0. c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0. b) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x + 2 = 0. d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + 4 = 0. Lời giải. a) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với   4 1 1 1 x2 − 4x + 6 − + 2 = 0 ⇔ x2 + 2 − 4 x + +6=0 x x x x 1 1 = t ⇒ x2 + 2 = t2 − 2. Phương trình trở thành t2 − 2 − 4t + 6 = 0 ⇔ t = 2. x x 1 Với t = 2 ⇒ x + = 2 ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với     3 2 1 1 2x2 + 3x − 9 − + 2 = 0 ⇔ 2 x2 + 2 + 3 x − −9=0 x x x x 
1 1 t=1 2 2 2 Đặt x − = t ⇒ x + 2 = t + 2. Phương trình trở thành 2 t + 2 + 3t − 9 = 0 ⇔ . t = − 52 x x √ 1 1± 5 Với t = 1 ⇒ x − = 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔ x = . x 2 √ 5 1 5 −5 ± 41 Với t = − ⇒ x − = − ⇔ 2x2 + 5x − 2 = 0 ⇔ x = 2 x 2 √ √ 4 1± 5 −5 ± 41 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ,x = . 2 4 c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với     8 4 2 6 2x2 + 3x − 27 + + 2 = 0 ⇔ 2 x2 + 2 + 3 x + − 27 = 0 x x x x Đặt x + www.MATHVN.com 4  x = −1 . x = −4 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 
2 4 t = −5 = t ⇒ x2 + 2 = t2 − 4. Phương trình trở thành 2 t2 − 4 + 3t − 27 = 0 ⇔ . t = 27 x x √ −5 ± 17 2 . Với t = −5 ⇒ x + = −5 ⇔ x2 + 5x + 2 = 0 ⇔ x = x √2 7 2 7 7 ± 17 Với t = ⇒ x + = ⇔ 2x2 − 7x + 4 = 0 ⇔ x = . 2 x 2 4 √ √ −5 ± 17 7 ± 17 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ,x = . 2 4 d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với   2 10 4 4 2 2 x − 5x + 8 − + 2 =0⇔x + 2 −5 x+ +8=0 x x x x  2 4 t=4 2 2 2 . Đặt x + = t ⇒ x + 2 = t − 4. Phương trình trở thành t − 4 − 5t + 8 = 0 ⇔ t=1 x x √ 2 Với t = 4 ⇒ x + = 4 ⇔ x2 − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± 2. x 2 Với t = 1 ⇒ x + = 1 ⇔ x2 − x + 2 = 0 (vô nghiệm). x √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ± 2. Đặt x + Bài tập 2.8. Giải
2 các phương
trình sau a) x2 + 5x − 2 x2 + 5x − 24 = 0.
2 c) x2 − 2x − 2 − 2x2 + 3x + 2 = 0. b) x2 + x + 1

x2 + x + 2 = 12. 2 d) (4x + 3) (x + 1) (2x + 1) = 810. Lời giải.  t=6 a) Đặt x + 5x = t. Phương trình trở thành t − 2t − 24 = 0 ⇔ . t = −4   x=1 x = −1 Với t = 6 ⇒ x2 + 5x = 6 ⇔ . Với t = −4 ⇒ x2 + 5x = −4 ⇔ . x = −6 x = −4 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6.  t=3 2 b) Đặt x + x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔ . t = −4  x=1 Với t = 3 ⇒ x2 + x + 1 = 3 ⇔ . Với t = −4 ⇒ x2 + x + 1 = −4 (vô nghiệm). x = −2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2. c) Phương trình tương đương với (x2 − 2x − 2)2 − (x2 − 2x − 2) − x2 + x = 0. Đặt x2 − 2x − 2 = t. Phương trình trở thành  t=x 2 2 t − t − x + x = 0 ⇔ (t − x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t − x)(t + x − 1) = 0 ⇔ t=1−x 2 2 3± √ Với t = x ⇒ x − 2x − 2 = x ⇔ x = 17 1± √ 13 ; t = 1 − x ⇒ x − 2x − 2 = 1 − x ⇔ x = . 2 √ 2 √ 3 ± 17 1 ± 13 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ,x = . 2 2 d) Phương trình tương đương với

 
16x2 + 24x + 9 2x2 + 3x + 1 = 810 ⇔ 8(2x2 + 3x + 1) + 1 2x2 + 3x + 1 = 810  t = 10 2 Đặt 2x + 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔ . t = − 81 8  x = −3 81 2 Với t = 10 ⇒ 2x2 + 3x + 1 = 10 ⇔ . Với t = − 81 8 ⇒ 2x + 3x + 1 = − 8 (vô nghiệm). x = 32 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x = 32 . 2 Bài tập 2.9. Giải các phương trình sau 1 1 6 a) + 2 = 2 . 2 2x − x + 1 2x − x + 3 2x − x + 7 x2 + 1 x 5 c) + 2 =− . x x +1 2  2 x e) x2 + = 3. x+1 2 4x 3x + 2 = 1.  − 8x 2+ 7 4x − 10x  + 7 2 x−1 x−3 x−3 d) + −2 = 0. x+2 x+2 x−1  2  2 1 1 13 f) + = . 2 2 x +x+1 x +x+2 36 b) 4x2 www.MATHVN.com 5 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. a) Đặt 2x2 − x + 1 = t (t > 0). Phương trình trở thành  1 6 1 t=2 + = ⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t2 − 2t − 12 = 0 ⇔ t = − 23 (loại) t t+2 t+6  x=1 Với t = 2 ⇒ 2x2 − x + 1 = 2 ⇔ . x = − 21 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = − 12 . b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với 4 4x − 8 + Đặt 4x − 8 + 7 x 7 x + 3 4x − 10 + 7 x =1 = t. Phương trình trở thành 4 3 + = 1 ⇔ 4 (t − 2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t2 − 9t + 8 = 0 ⇔ t t−2  t=1 t=8 7 x = 1 ⇔ 4x2 − 9x + 7 = 0 (vô nghiệm).  x = 12 Với t = 8 ⇒ 4x − 8 + x7 = 8 ⇔ 4x2 − 16x + 7 = 0 ⇔ . x = 72 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 21 , x = 72 . c) Điều kiện: x 6= 0.  x2 + 1 t = −2 1 5 Đặt = t. Phương trình trở thành t + t = − 2 ⇔ . t = − 21 x x2 + 1 Với t = −2 ⇒ = −2 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1. x 1 x2 + 1 1 Với t = − ⇒ = − ⇔ 2x2 + x + 2 = 0 (vô nghiệm). 2 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x = −1. d) Điều kiện: x 6= 1, x 6= −2.  x−1 x−3 u=v 2 2 Đặt = u, = v. Phương trình trở thành u + uv − 2v = 0 ⇔ . u = −2v x+2 x−1 x−1 x−3 Với u = v ⇒ = ⇔ x2 − 2x + 1 = x2 − x − 6 ⇔ x = 7. x+2 x−1 √ x−1 x−3 2 ± 37 2 2 2 Với u = −2v ⇒ = −2. ⇔ x − 2x + 1 = −2x + 2x + 12 ⇔ 3x − 4x − 11 = 0 ⇔ x = . x+2 x−1 3 √ 2 ± 37 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = . 3 e) Điều kiện: x 6= −1. Phương trình tương đương với Với t = 1 ⇒ 4x − 8 + 2 x2 x2 −3=0 +2 x+1 x+1  x2 t=1 2 Đặt = t. Phương trình trở thành t + 2t − 3 = 0 ⇔ . t = −3 x+1 √ x2 1± 5 Với t = 1 ⇒ = 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔ x = . x+1 2 x2 Với t = −3 ⇒ = −3 ⇔ x2 + 3x + 3 = 0 (vô nghiệm). x+1 √ 1± 5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 2 f) Phương trình tương đương với  x−   ⇔ x x+1 2 x =3⇔ + 2x. x+1 1 1 − 2 2 x +x+1 x +x+2  2 1 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) + 2. x2 1 1 13 . 2 = +x+1 x +x+2 36 2 2 13 − =0 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) 36  1 13 t = 16 2 Đặt 2 = t (t > 0). Phương trình trở thành t + 2t − = 0 ⇔ . 2 t = − 13 (x + x + 1) (x + x + 2) 36 6 (loại) + www.MATHVN.com 6 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

1 1 1 ⇒ 2 = ⇔ x2 + x + 1 x2 + x + 2 = 6. 2 6 (x + x + 1) (x + x + 2) 6  u=2 2 Đặt x + x + 1 = u (u > 0). Phương trình trở thành u (u + 1) = 6 ⇔ . u = −3 (loại) √ −1 ± 5 . Với u = 2 ⇒ x2 + x + 1 = 2 ⇔ x = 2 √ −1 ± 5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 2 Với t = Bài tập 2.10. Giải các phương trình sau  a) |x − 1| = x2 − 3x + 1. c) x2 − 5x + 4 − x = 4. e) x2 − 5x + 4 = x2 + 6x + 5.     b) x2 + 4x − 5 = x2 + 5. √ d)  x2 + 4x +4 = 5 − x2 . f) x2 − 5x + 5 = −2x2 + 10x − 11. Lời giải. √ x=2± 2 x − 1 = x − 3x + 1 ⇔ x=0 . x − 1 = −x2 + 3x − 1 x=2 √ Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ± 2, x = 0, x = 2.   2 x = 52 2  2   2  x + 4x − 5 = x + 5  x=0 . b) Ta có x + 4x − 5 = x + 5 ⇔ ⇔ x2 + 4x − 5 = −x2 − 5 x = −2 5 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2 , x = 0, x = −2.   x ≥ 4 x=0 2 2 c) Với x − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ , phương trình trở thành x − 5x + 4 − x = 4 ⇔ (thỏa mãn). x≤1 x=6 2 2 2 Với x − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, phương trình trở thành −x + 5x − 4 − x = 4 ⇔ x − 4x + 8 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6. d) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 − x2 . " √ x = −1+2√13 2 2 Với x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + 2 = 5 − x ⇔ x + x − 3 = 0 ⇔ x = −1−2 13 (loại) " √ 29 x = 1+√ (loại) 2 2 2 Với x + 2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − 2 = 5 − x ⇔ x − x − 7 = 0 ⇔ 1− 29 x= 2 √ √ −1 + 13 1 − 29 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ,x = . 2 2  x≥4 1 (thỏa mãn). e) Với x2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ , phương trình trở thành x2 − 5x + 4 = x2 + 6x + 5 ⇔ x = − 11 x≤1 Với x2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x2 + 5x − 4 = x2 + 6x + 5 ⇔ 2x2 + x + 9 = 0 (vô nghiệm). 1 Vậy phương trình có hai " nghiệm x = − 11 .   a) Ta có |x − 1| = x2 − 3x + 1 ⇔ f) Với x2 − 5x + 5 ≥ 0 ⇔ Với x2 − 5x + 5 < 0 ⇔ x≥ x≤ √ 5− 5 2  2  √ 5+ 5 2√ 5− 5 2 , PT trở thành x2 − 5x + 5 = −2x2 + 10x − 11 ⇔ x = √ 5+ 5 2 , √ 15± 33 2 PT trở thành −x2 + 5x − 5 = −2x2 + 10x − 11 ⇔ √ 15 ± 33 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = , x = 2, x = 3. 2 0). Phương trình trở thành 2 − t − 2 = 0 ⇔ t3 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1. 2x − 1  t     x+1  x=2  = 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔ x + 1 = 2x − 1 Với t = 1 ⇒  ⇔ . x + 1 = −2x + 1 x=0 2x − 1  www.MATHVN.com 7 (thỏa mãn). www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0.    2 x=2     2  2 x + 3x − 10 = 0 x−5 ⇔ ⇔ x = 2. c) Ta có x + 3x − 10 + x − 4 = 0 ⇔ x2 − 4 = 0  x = ±2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.    2 x = 1 (thỏa mãn)   2   2011  x + 3x − 4 = 0 d) Ta có x + 3x − 4+x + 2011x − 2012 = 0 ⇔ ⇔ . x = −4 (loại) x2011 + 2011x − 2012 = 0  2011 x + 2011x − 2012 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Bài tập 2.12. Giải các bất phương trình sau    2x − 3    ≤ 1. b)    x2 − 3  d) x − 2x + x2 − 4 > 0. a) |x − 2| < |2x + 1|.   c) x2 − 5x + 4 ≤ x2 + 6x + 5. Lời giải. 2 2  2 a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2) < (2x + 1) ⇔ 3x + 8x − 3 > 0 ⇔
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪ 13 ; +∞ . b) Điều kiện: x 6= 3. Bất phương trình tương đương với 2 x > 13 . x < −3 2 |2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3) ≤ (x − 3) ⇔ 3x2 − 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có tập  nghiệm S = [0; 2]. x≥4 c) Với x2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ , bất phương trình trở thành x≤1   1 1 x − 5x + 4 ≤ x + 6x + 5 ⇔ x ≥ − ⇒ S1 = − ; 1 ∪ [4; +∞) 11 11 2 2 Với x2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành −x2 + 5x − 4 ≤ x2 + 6x + 5 ⇔ 2x2 + x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S2 = (1; 4)  1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = − 11 ; +∞ . x≥2 d) Với x2 − 2x ≥ 0 ⇔ , bất phương trình trở thành x≤0  x>2 2 2 x − 2x + x − 4 > 0 ⇔ (thỏa mãn) ⇒ S1 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) x < −1 Với x2 − 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành −x2 + 2x + x2 − 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S2 = ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). Bài tập 2.13. Giải các phương trình sau a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|. c) |7 √ + |x + 2|. √ − 2x| = |5 − 3x| e) x2 − 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 5.     b) x2 − 5x + 4 + x2 − 5x = 4. d) p |x − 1| − 2 |x − 2|p + 3 |x − 3| = 4. √ √ f) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2. Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x 9−x 6 − 5x 4x + 3 −∞ + + − − 34 | | 0 6 5 + + + | 0 | + − + 9 0 | | +∞ − − +  Với x ∈ −∞; − 34 , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = − 43 (thỏa mãn).   Với x ∈ − 34 ; 56 , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng , ∀x ∈ − 34 ; 65 ).  Với x ∈ 65 ; 9 , phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = 56 (loại). Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = − 43 (loại).   Vậy phương trình có tập nghiệm S = − 34 ; 65 . b) Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com 8 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x x2 − 5x + 4 x2 − 5x −∞ + + 0 | 0 1 0 | + − 4 0 | − − 5 | 0 + − +∞ + +  x = 0 (thỏa mãn) . x = 5 (loại) Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x2 − 5x + 4 − x2 + 5x = 4 ⇔ 4  = 4 (đúng , ∀x ∈ (0; 1]). x = 4 (thỏa mãn) 2 2 Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x + 5x − 4 − x + 5x = 4 ⇔ . x = 1 (loại) Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x2 − 5x + 4 − x2 + 5x = 4 ⇔ 4 =4 (đúng , ∀x ∈ (4; 5]). x = 0 (loại) Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x2 − 5x + 4 + x2 − 5x = 4 ⇔ . x = 5 (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [4; 5]. c) Ta có bảng xét dấu 2 2 Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x − 5x + 4 + x − 5x = 4 ⇔ x 7 − 2x 5 − 3x x+2 −∞ + + − −2 | | 0 5 3 + + + | 0 | 7 2 + − + 0 | | +∞ − − + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x − x − 2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn).   Với x ∈ −2; 35 , phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng , ∀x ∈ −2; 35 ).  Với x ∈ 53 ; 72 , phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = 35 (loại).
Với x ∈ 72 ; +∞ , phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại).   Vậy phương trình có tập nghiệm S = −2; 35 . d) Ta có bảng xét dấu x x−1 x−2 x−3 −∞ − − − 1 0 | | + − − 2 | 0 | + + − 3 | | 0 +∞ + + + Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn). Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (1; 2]). Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại). Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪ {5}. e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5. Ta có bảng xét dấu x x−1 x+2 −∞ − − −2 | 0 − + 1 0 | +∞ + + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại). Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý). Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = √ 2. √  f) Phương trình tương đương với x − 1 + 1 +  x − 1 − 1 = 2. √  √ √ √ Với  x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, PT trở thành x − 1 + 1 + x − 1 − 1 = 2 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). √  √ √ Với  x − 1 − 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, PT trở thành x − 1 + 1 − x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng ∀x ∈ [1; 2)). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2]. §2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn Bài tập 2.14. Giải các phương trình sau √ a) x − x − 1 − 7 = 0. √ √ √ c) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4. √ √ √ e) 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x + 1. √ √ √ b) p2x + 9 = 4 − x + 3x + 1. √ 2 + 1 = x + 1. d) √ 2x + 6x √ √ 3 3 f) x + 1 + x + 2 + 3 x + 3 = 0. www.MATHVN.com 9 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. a) Phương trình tương đương với √  x−1=x−7⇔   x ≥7 x≥7 x = 5 (loại) ⇔ 2 x − 1 = x − 14x + 49  x = 10 ⇔ x = 10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. b) Điều kiện: − 31 ≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với p p 2x + 9 = 4 − x + 3x + 1 + 2 (4 − x) (3x + 1) ⇔ 4 = 2 −3x2 + 11x + 4  x=0 ⇔ − 3x2 + 11x + 4 = 4 ⇔ (thỏa mãn). x = 11 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 11 3 . c) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với p √ √ √ 3x − 3 = 5 − x + 2x − 4 ⇔ 3x − 3 = 5 − x + 2x − 4 + 2 (5 − x) (2x − 4) p 2 ⇔ 2x − 4 = 2 (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4) = 4 (5 − x) (2x − 4)  x=2 ⇔ (2x − 4) (2x − 4 − 20 + 4x) = 0 ⇔ (thỏa mãn). x=4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4. d) Phương trình tương đương với  x + 1√ ≥0 ⇔ 2x + 6x2 + 1 = x2 + 2x + 1  x ≥ −1     x=0 x ≥ −1 ⇔  x=2 6x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1    x = −2 (loại)   ⇔ x=0 x=2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2. e) Phương trình tương đương với p √ √
2x − 1 + x − 1 + 3 3 (2x − 1) (x − 1) 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3x + 1  p x=0 ⇒ 3 (2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = 1 ⇒ 6x3 − 7x2 = 0 ⇒ x = 67 Thử lại ta thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 76 . f) Phương trình tương đương với p √ √ √ √ √
3 x + 1 + 3 x + 2 = − 3 x + 3 ⇔ x + 1 + x + 2 + 3 3 (x + 1) (x + 2) 3 x + 1 + 3 x + 2 = −x − 3 p ⇒ 3 (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ x = −2 Thử lại ta thấy x = −2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2. Bài tập √ 2.15. Giải các bất phương trình sau a) √x2 − 4x − 12 > 2x + 3. c) 3 6x − 9x2 < 3x. √ b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − 4. d) x3 + 1 ≥ x + 1. Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với   x < − 23    x≥6   x ≤ −2 ⇔    x ≥ − 32 −3 < x < − 37   2x + 3 < 0 2    x − 4x − 12 ≥ 0  2x + 3 ≥ 0 x2 − 4x − 12 > 4x2 + 12x + 9 ⇔ x ≤ −2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2]. b) Bất phương trình tương đương với   x≥4    x−4≥0   x≥6 2 x − 4x − 12 ≥ 0 ⇔ x ≤ −2  2  2  x − 4x − 12 ≤ x − 8x + 16  x≤7 ⇔6≤x≤7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7]. c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x2 < 27x3 ⇔ 27x3 + 9x2 − 6x > 0. Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 1 0 +∞ − 32 3 − 0 + 0 − 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − 23 ; 0 ∪ 13 ; +∞ . d) Bất phương trình tương đương với     x < −1 x+1<0 (vô nghiệm) 3   3    x ≥ −1 −1 ≤ x ≤ 0   x +1≥0  x ≥ −1 ⇔ ⇔     x+1≥0 x≥2  −1 ≤ x ≤ 0 x3 + 1 ≥ x2 + 2x + 1  x≥2 x VT −∞ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 0] ∪ [2; +∞). Bài tập 2.16. √ Giải các bất trình sau √ phương √ a) (CĐ-09) x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5x + 1. p √ c) 2x + 6x2 + 1 > x + 1. √ √ √ b) (A-05) p5x − 1 − x − 1 > 2x − 4. 2 (x2 − 16) √ 7−x √ + x−3> √ . d) (A-04) x−3 x−3 Lời giải. a) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với p x + 1 + 4 (x − 2) + 4 (x + 1) (x − 2) ≤ 5x + 1 ⇔ x2 − x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3]. b) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với p √ √ √ 5x − 1 > x − 1 + 2x − 4 ⇔ 5x − 1 > x − 1 + 2x − 4 + 2 (x − 1) (2x − 4) p ⇔ x + 2 > (x − 1) (2x − 4) ⇔ x2 + 4x + 4 > 2x2 − 6x + 4 ⇔ 0 < x < 10 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10). c) Bất phương trình tương đương với     x + 1√ <0 x √< −1 2+1≥0 2   2x + 6x    6x + 1 ≥ −2x ⇔   x + 1√ ≥0 x ≥ −1 6x2 + 1 > x4 + 2x2 + 1 2x + 6x2 + 1 > x2 + 2x + 1   x < −1 2 2     6x + 1 ≥ 4x (đúng,∀x ∈ R) x < −1  ⇔  x ⇔ ≥ −1  0 7 − x ⇔  x > 5 x ≤ 5√ √ 10 − 34 < x < 10 + 34 ⇔ p 2 (x2 − 16) > 10 − 2x ⇔   ⇔ √ x > 5√ ⇔ x > 10 − 34 10 − 34 < x ≤ 5 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 10 − Bài tập 2.17.pGiải các phương trình sau √ √ a) (D-05) 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4. r 2 x +q c) x + x + 12 + x + 14 = 9. 10  − 2x < 0 10 − 2x ≥ 0 2x2 − 32 > 100 − 40x + 4x2 √
34; +∞ . p √ √ x − 1 + 2 x − 2 − x − 1 − 2 x − 2 = 1. q q √ √ x+3 d) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = . 3 b) p Lời giải.
√ √ √ a) Phương trình tương đương với 2 x + 1 + 1 − x + 1 = 4 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 3. Vậy phương trình có nghiệm x = 3. www.MATHVN.com 11 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu b) Phương trình tương đương với √  √  √ √ x − 2 + 1 −  x − 2 − 1 = 1 ⇔ x − 2 −  x − 2 − 1 = 0 √ √ √ Với √x − 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, PT trở thành x − √2 − x − √2 + 1 = 0 ⇔ 1 = 0 (vô lý). Với x − 2 − 1 < 0 ⇔ 2 ≤ x < 3, PT trở thành x − 2 + x − 2 − 1 = 0 ⇔ 4(x − 2) = 1 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 94 . c) Phương trình tương đương với r r 1 1 1 17 x+ x+ + =9⇔ x+ = −x 4 2 4 2  17  17  x ≤ 2 −x≥0 2 x = 12 (loại) ⇔ ⇔x=6 2 ⇔ x + 14 = 289  4 − 17x + x x=6 √  √ d) Phương trình tương đương với x − 1 + 1 +  x − 1 − 1 = x+3 3 . √ Với x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành 9 4 (thỏa mãn). √ √ √ x+3 x−1+1+ x−1−1= ⇔6 x−1=x+3 3  √ x ≥ −3 √ x+3≥0 ⇔ x = 15 ± 6 5 ⇔ ⇔ 36(x − 1) = x2 + 6x + 9 x = 15 ± 6 5 Với √ x − 1 − 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành √ x−1+1− √ x−1+1= x+3 ⇔ 6 = x + 3 ⇔ x = 3 (loại) 3 √ Vậy phương trình có nghiệm x = 15 ± 6 5. Bài tập Giải các bất phương trình sau q 2.18. √ x a) 4 + x − 4 ≥ 8 − x. √ 2 c) (x < x2 − 4. √ − 2) x + 4 √ √ 2 e) x − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4.
√ b) (D-02) x2 − 3x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0. √ 2 ≤ x2 − 2x − 8. d) √ (x + 2) 9 − x√ √ 2 f) x + x − 2 + x2 + 2x − 3 ≤ x2 + 4x − 5. Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với q √ √ √ x + 4 x − 4 ≥ 16 − 2x ⇔ x − 4 + 2 ≥ 16 − 2x ⇔ x − 4 ≥ 14 − 2x     x>7 14 − 2x < 0    25 x>7 x≥4 x − 4 ≥ 0     ⇔ ⇔ ⇔ 25 ⇔x≥ x≤7 14 − 2x ≥ 0 ≤ x ≤ 7 4 4 25 x − 4 ≥ 196 − 56x + 4x2 4 ≤x≤8 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 25 4 ; +∞ . b) Bất phương trình tương đương với  x=2   x = −1   √ x=2 2    2 x=2 2x − 3x − 2 = 0 1     √ x>2 x = −2     x≥3 ⇔ ⇔ ⇔  2x2 − 3x − 2 > 0 1   x≥3   x < −2 x ≤ − 21 x2 − 3x ≥ 0   x≥3 x < − 12   x≤0  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; − 12 ∪ [3; +∞) ∪ {2}. c) Bất phương trình tương đương với p  p (x − 2) x2 + 4 < (x − 2) (x + 2) ⇔ (x − 2) x2 + 4 − x − 2 < 0     x−2>0 x>2 √  2+42     ⇔ ⇔ ⇔ x − 2 < 0 x < 2 x<0 √ 2 2 2 x + 4 > x + 4x + 4 x +4>x+2 www.MATHVN.com 12 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞). d) Bất phương trình tương đương với p  p 9 − x2 − x + 4 ≤ 0 (x + 2) 9 − x2 ≤ (x + 2) (x − 4) ⇔ (x + 2)     x ≥ −2     x−4≥0 x + 2 ≥ 0  √ (vô nghiệm)    9 − x2 ≥ 0 9 − x2 ≤ x − 4    ⇔ ⇔ ⇔ −3 ≤ x ≤ −2  2 2  x+2≤0   9 − x ≤ x − 8x + 16 √  x ≤ −2 9 − x2 ≥ x − 4 9 − x2 ≥ 0 Vậy bất phương  trình có tập nghiệm S = [−3; −2]. p p p x≥4 e) Điều kiện: . BPT tương đương với (x − 1) (x − 2) + (x − 1) (x − 3) ≥ 2 (x − 1) (x − 4). x≤1 Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.
√ √ √ √ √ √ √ Với x ≥ 4, bất phương trình trở thành x − 1 x − 2 + x − 3 − 2 x − 4 ≥ 0 ⇔ x − 2+ x − 3 ≥ 2 x − 4. √ √ √ √ − 4 nên √ bất phương [4; +∞). √ Vì x − 2 > x − 4 và x − 3 > x √
∀x ∈ √ √ trình nghiệm √ đúng √ Với x < 1, bất phương trình trở thành 1 − x 2 − x + 3 − x − 2 4 − x ≥ 0 ⇔ 2 − x+ 3 − x ≥ 2 4 − x. √ √ √ √ Vì 2 − x < 4 − x và 3 − x > 4 − x nên bất phương trình vô nghiệm. Vậy bất phương  trình đã cho có tập nghiệm S = [4; +∞) ∪ {1}. p p p x≥1 f) Điều kiện: . BPT tương đương với (x − 1) (x + 2) + (x − 1) (x + 3) ≤ 2 (x − 1) (x + 5). x ≤ −5 Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình. Với x > 1, bất phương trình trở thành √ √ √ √ √ √ √
x−1 x+2+ x+3− x+5 ≤0⇔ x+2+ x+3≤ x+5 p p ⇔ x + 2 + x + 3 + 2 (x + 2) (x + 3) ≤ x + 5 ⇔ 2 (x + 2) (x + 3) ≤ −x (vô nghiệm) Với x ≤ −5, bất phương trình trở thành √ √ √ √ √ √ √
1 − x −x − 2 + −x − 3 − −x − 5 ≤ 0 ⇔ −x − 2 + −x − 3 ≤ −x − 5 p p ⇔ − x − 2 − x − 3 + 2 (x + 2) (x + 3) ≤ −x − 5 ⇔ 2 (x + 2) (x + 3) ≤ x Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x = 1. Bài tập 2.19. √ Giải các phương trình sau a) (D-06) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. √ √ c) 2x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2. √ e) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1. p √ √ b) 7 − x√2 + x
x + 5 = √3 − 2x − x2 . d) 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6. r r 7 7 2 f) x − 2 + x − 2 = x. x x Lời giải. a) Phương trình tương đương với √  −x2 + 3x − 1 ≥ 0 2x − 1 = −x2 + 3x − 1 ⇔ 2x − 1 = x4 + 9x2 + 1 − 6x3 + 2x2 − 6x   −x2 + 3x − 1 ≥ 0 −x2 + 3x − 1 ≥ 0
⇔ ⇔ 2 4 3 2 x − 6x + 11x − 8x + 2 = 0 (x − 1) x2 − 4x + 2 = 0  −x2 + 3x − 1 ≥ 0      x=1 x=0 √ √ ⇔ ⇔  x = 2 + 2 (loại) x=2− 2   √  x=2− 2 √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 − 2. b) Ta có q p √ √ 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 ⇒ 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2  √ x = −1 ⇒ x x + 5 = −2x − 4 ⇒ x2 (x + 5) = 4x2 + 16x + 16 ⇒ x = ±4 www.MATHVN.com 13 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Thử lại ta thấy  x = ±4 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = −1. x≥1 c) Điều kiện:  x = −1 . Phương trình tương đương với x ≤ −3 p 2 (x + 1) (x + 3) + p (x − 1) (x + 1) = 2(x + 1) Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình. Với x ≥ 1, phương trình trở thành √ √ √ √ √ √ √
x + 1 2x + 6 + x − 1 − 2 x + 1 = 0 ⇔ 2x + 6 + x − 1 = 2 x + 1 p p ⇔ 2x + 6 + x − 1 + 2 (2x + 6) (x − 1) = 4 (x + 1) ⇔ 2 2x2 + 4x − 6 = x − 1 
x=1 ⇔ 4 2x2 + 4x − 6 = x2 − 2x + 1 ⇔ 7x2 + 18x − 25 = 0 ⇔ x = − 25 7 (loại) Với x ≤ −3, phương trình trở thành √ √ √ √ √ √ √
−x − 1 −2x − 6 + 1 − x − 2 −x − 1 = 0 ⇔ −2x − 6 + 1 − x = 2 −x − 1 p p ⇔ − 2x − 6 + 1 − x + 2 (2x + 6) (x − 1) = 4 (−x − 1) ⇔ 2 2x2 + 4x − 6 = 1 − x 
x = 1 (loại) ⇔ 4 2x2 + 4x − 6 = x2 − 2x + 1 ⇔ 7x2 + 18x − 25 = 0 ⇔ x = − 25 7 d) Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình tương đương với √ √ 9 (x − 2) − (x + 6) √ 3 x − 2 − x + 6 = 2x − 6 ⇔ √ = 2x − 6 3 x−2+ x+6 √ √ √ √

⇔ 8 (x − 3) = 2 (x − 3) 3 x − 2 + x + 6 ⇔ 2 (x − 3) 3 x − 2 + x + 6 − 4 = 0   x=3 x√= 3 p √ ⇔ ⇔ 3 x−2+ x+6=4 9 (x − 2) + x + 6 + 6 (x − 2) (x + 6) = 16   x=3 x√= 3 ⇔ ⇔  14 − 5x ≥ 0
2 3 x + 4x − 12 = 14 − 5x 9 x2 + 4x − 12 = 196 − 160x + 25x2   x=3 x=3 √ 14  x≤ 5 ⇔ ⇔ x = 49± 2 2097 (loại) 16x2 − 196x + 304 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. e) Ta có phương trình hệ quả x4 + 9x2 + 1 + 6x3 + 2x2 + 6x = x2 + 6x + 9
x2 + 1
√ ⇒ x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 = x4 + 6x3 + 10x2 + 6x + 9 ⇒ x = ±2 2 √ √ Thử lại ta thấy x = ±2 2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2 2. f) Ta có phương trình hệ quả r r r 7 7 7 7 7 2 2 2 x − 2 = x − x − 2 ⇒ x − 2 = x + x − 2 − 2x x − 2 x x x x x ! r r   7 7 7 ⇒ x 1−2 x− 2 =0⇒2 x− 2 =1⇒4 x− 2 =1 x x x ⇒ 4x3 − x2 − 28 = 0 ⇒ x = 2 Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Bài tập 2.20. Giải các bất phương trình sau √ 1 − 1 − 4x2 a) < 3. x 2x c) √ > 2x + 2. 2x + 1 − 1 √ 21 − 4x + x2 ≥ 0. x+1 x2 d)
2 > x − 4. √ 1+ 1+x b) 1− www.MATHVN.com 14 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Lời giải.   a) Điều kiện x ∈ − 21 ; 12 \ {0}. Phương trình tương đương với
p p 1 − 1 − 4x2 √
< 3 ⇔ 4x < 3 + 3 1 − 4x2 ⇔ 3 1 − 4x2 > 4x − 3 2 x 1 + 1 − 4x     Vì 4x − 3 < 0, ∀x ∈ − 21 ; 12 \ {0} nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ − 21 ; 12 \ {0}.   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − 21 ; 12 \ {0}. b) Điều kiện: x 6= −1. Bất phương trình tương đương với
1 − 21 − 4x + x2 −x2 + 4x − 20 √
≥0⇔ ≥ 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1 x+1 (x + 1) 1 + 21 − 4x + x2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1). c) Điều kiện: x ≥ − 21 , x 6= 0. Bất phương trình tương đương với √ 2x + 1 + 1 > 2x + 2 ⇔ √ 2x + 1 > 2x + 1 ⇔ 2x + 1 > 4x2 + 4x + 1 ⇔ − 1 x−4⇔1+x+1−2 x+1>x−4⇔ x+1<3⇔x<8 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8). Bài tập 2.21. Giải các √ phương trình sau a) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x. p √ √ c) x + 1 + 4 − x + (x + 1) (4 − x) = 5. p b) (x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x2 . √ √ √ d) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2. Lời giải. √ √ 3x + 3 x2 + 3x − 10 = 0. a) Phương trình tương đương với −x2 − 3x + 10 = 3 x2 + 3x ⇔ x2 +  √ t=2 Đặt x2 + 3x = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t2 + 3t − 10 = 0 ⇔ . t = −5 (loại)  √ x=1 Với t = 2 ⇒ x2 + 3x = 2 ⇔ x2 + 3x − 4 = 0 ⇔ . x = −4 Vậy phương trình có hai nghiệm x√= 1, x = −4.
b) Phương trình tương đương với 2 + x − x2 = 1 + 2 x − x2 .  √
t = −1 (loại) 2 2 2 Đặt 2 + x − x = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t = 1 + 2 t − 2 ⇔ 2t − t − 3 = 0 ⇔ x = 23 √
Với t = 32 ⇒ 2 + x − x2 = 32 ⇔ 4 2 + x − x2 = 9 ⇔ 4x2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 21 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 12 . p √ √ 2 c) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4. Đặt x + 1 + 4 − x = t (t ≥ 0) ⇔ (x + 1) (4 − x) = t 2−5 . Phương trình trở thành t2 − 5 t+ = 5 ⇔ t2 + 2t − 15 = 0 ⇔ 2 Với t = 3 ⇒ √ −x2  2 + 3x + 4 = 2 ⇔ −x + 3x + 4 = 4 ⇔  t=3 t = −5 (loại) x=0 (thỏa mãn). x=3 Vậy phương trình có nghiệm x = 3. √ √ x = 0, √ d) Điều kiện: t ≥ 1. Đặt 3x − 2 + x − 1 = t (t ≥ 0) ⇔ 4x + 2 3x2 − 5x + 2 = t2 + 3. Phương trình trở thành  t=3 2 2 t=t +3−9⇔t −t−6=0⇔ t = −2 (loại) √  p 7 − 21 x ≤ 32 2 Với t = 3 ⇒ 3x − 5x + 2 = 3 − 2x ⇔ ⇔x= (thỏa mãn). 3x2 − 5x + 2 = 9 − 12x + 4x2 2 √ 7 − 21 Vậy phương trình có nghiệm x = . 2 www.MATHVN.com 15 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com Bài tập 2.22. Giải các phương trình sau q √ √ x+1 b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3) x−3 = −3. a) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2 . ! √ √ √ √ x2 5 x 4 4 − x2 + +√ c) 2 + + 2 = 0. d) (B-2011) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x. 2 x 4−x 2 x 4 − x2 Lời giải. √ √ 2 a) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Đặt x + 4 − x2 = t ⇒ x 4 − x2 = t 2−4 . Phương trình trở thành
 3 t2 − 4 t=2 2 t=2+ ⇔ 3t − 2t − 8 = 0 ⇔ t = − 34 2  √ x=0 2 2 2 Với t = 2 ⇒ 4 − x = 2 − x ⇔ 4 − x = 4 − 4x + x ⇔ (thỏa mãn). x=2   4 √ √ x ≤ − 34 √ x ≤ −3 −2− 14
⇔ (thỏa mãn). Với t = − 43 ⇒ 4 − x2 = − 43 − x ⇔ 2 2 −2± 14 ⇔ x = 3 9 4 − x = (4 + 3x) x= 3  q x>3 x+1 b) Điều kiện: . Đặt (x − 3) x−3 = t ⇒ (x − 3) (x + 1) = t2 . x ≤ −1  t = −1 Phương trình trở thành t2 + 4t + 3 = 0 ⇔ . t = −3   q √ x<3 √ x<3 x+1 = −1 ⇔ ⇔ Với t = −1 ⇒ (x − 3) x−3 ⇔ x = 1 − 5 (thỏa mãn). (x − 3) (x + 1) = 1 x=1± 5   q √ x<3 √ x < 3 x+1 = −3 ⇔ ⇔ x = 1 − 13 (thỏa mãn). Với t = −3 ⇒ (x − 3) x−3 ⇔ (x − 3) (x + 1) = 9 x = 1 ± 13 √ √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = √ 1 − 5, x = 1 − 13. x x2 4 x2 4 − x2 4 − x2 +√ + = t2 −2 ⇔ 2 + = t2 −1. c) Điều kiện: −2 < x < 2, x 6= 0. Đặt =t⇒ 2 2 2 2 x x 4 − x x 4 − x 4 − x  5 t = −2 Phương trình trở thành t2 − 1 + t + 2 = 0 ⇔ . t = − 12 2 √  p √ 4 − x2 x x<0√ Với t = −2 ⇒ ⇔ x = − 2 (thỏa mãn). +√ = −2 ⇔ 4 = −2x 4 − x2 ⇔ 2 x=± 2 4−x √ x  4 − x2 1 x 1 1 p x<0 (vô nghiệm). Với t = − ⇒ +√ = − ⇔ 4 = − x 4 − x2 ⇔ 2 x4 − 4x2 + 64 = 0 2 x 2 2 4−x √
√ √ d) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Phương trình tương đương với 3 2 + x − 2 2 − x + 4 4 − x2 = 10  − 3x. √ √ √ t=0 2 2 Đặt 2 + x − 2 2 − x = t ⇒ 4 4 − x2 = 10 − 3x − t . Phương trình trở thành 3t − t = 0 ⇔ . t=3 √ √ Với t = 0 ⇒ 2 + x = 2 2 − x ⇔ 2 + x = 4 (2 − x) ⇔ x = 56 (thỏa mãn). √ √ √ Với t = 3 ⇒ 2 + x = 2 2 − x + 3 ⇔ 12 2 − x = 5x − 15 (vô nghiệm vì 5x − 15 < 0, ∀x ∈ [−2; 2]). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 56 . Bài tập 2.23. Giải các √ phương trình sau a) x2 + 3x + 2√≥ 2 x2 + 3x + 5. 2 c) x (x + 1) − r x + x + 4 + 2 ≥ 0. x x+1 e) −2 > 3. x+1 x Lời giải. √ b) x2 + 2x2 + 4xp + 3 ≥ 6 − 2x. d) x2 − 2x + 8 − 6 (4 − x) (2 + x) ≤ 0. √ √ √ f) x + 2 + x − 1 + 2 x2 + x − 2 ≤ 11 − 2x. √  t≥3 x2 + 3x + 5 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t2 − 3 ≥ 2t ⇔ . t ≤ −1 (loại)  x≥1 Với t ≥ 3 ⇒ x2 + 3x + 5 ≥ 9 ⇔ . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −4] ∪ [1; +∞). x ≤ −4  √ t≥3 t2 −3 2 b) Đặt 2x + 4x + 3 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành 2 + t ≥ 6 ⇔ . t ≤ −5 (loại)  x≥1 Với t ≥ 3 ⇒ 2x2 + 4x + 3 ≥ 9 ⇔ . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [1; +∞). x ≤ −3  √ t≥2 c) Đặt x2 + x + 4 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t2 − 4 − t + 2 ≥ 0 ⇔ . t ≤ −1 (loại)  x≥0 Với t ≥ 2 ⇒ x2 + x + 4 ≥ 4 ⇔ . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1] ∪ [0; +∞). x ≤ −1 √ d) Bất phương trình tương đương với x2 − 2x + 8 − 6 8 + 2x − x2 ≤ 0. a) Đặt www.MATHVN.com 16 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số √ 8 + 2x − x2 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành 8 − t2 + 8 − 6t ≤ 0 ⇔ √ √ Với t ≥ 2 ⇒ 8 + 2x − x2 ≥ 4 ⇔ 1 − 5 < x < 1√+ 5. √
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 1 − 5; 1 + 5 . r  x+1 x>0 e) Điều kiện: . Đặt = t (t > 0). Bất phương trình trở thành x < −1 x Đặt  t≥2 . t ≤ −8 (loại) 1 1 2 − 2t > 3 ⇔ 2t3 + 3t2 − 1 < 0 ⇔ (t + 1) (2x − 1) < 0 ⇔ t < t2 2 1 x+1 1 3x + 4 4 ⇒ < ⇔ < 0 ⇔ − < x < 0. 2 x 4 4x 3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = − 34 ; −1 . p √ √ f) Điều kiện: x ≥ 1. Đặt x + 2 + x − 1 = t (t ≥ 0) ⇒ 2 (x + 2) (x − 1) = t2 − 2x − 1. Bất phương trình trở thành t + t2 ≤ 12⇔ −4 ≤ t ≤ 3 ⇔ t ≤ 3 (vì t ≥ 0). √ x≤4 x≤4 Với t ≤ 3 ⇒ 2 x2 + x − 2 ≤ 8 − 2x ⇔ ⇔ ⇔ x ≤ 2. x2 + x − 2 ≤ 16 − 8x + x2 x≤2 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [1; 2]. Với t < Bài tập 2.24. Giải √ các phương trình sau a) x2 − 1 =√2x x2 − 2x. c) (4x − 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1. √ b) x2 − 1 = 2x x2 +√2x. d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24. Lời giải. √ a) Đặt x2 − 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x2 = t2 + 2x. Phương trình trở thành t2 + 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t − 1) ⇔ (t − 1) (t + 1 − 2x) = 0 ⇔  t=1 t = 2x − 1 √ √ x2 − 2x = 1 ⇔ x2 − 2x − 1= 0 ⇔ x = 1 ± 2.  √ 2x − 1 ≥ 0 x ≥ 21 2 (vô nghiệm). Với t = 2x − 1 ⇒ x − 2x = 2x − 1 ⇔ ⇔ 2 2 x − 2x = 4x − 4x + 1 3x2 − 2x + 1 = 0 √ Vậy phương √ trình có hai nghiệm x = 1 ± 2. b) Đặt x2 + 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x2 = t2 − 2x. Phương trình trở thành  t = −1 (loại) t2 − 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t + 1) ⇔ (t + 1) (t − 1 − 2x) = 0 ⇔ t = 2x + 1   √ 2x + 1 ≥ 0 x ≥ 21 Với t = 2x + 1 ⇒ x2 + 2x = 2x + 1 ⇔ ⇔ (vô nghiệm). 2 2 x + 2x = 4x + 4x + 1 3x2 + 2x + 1 = 0 Vậy phương trình vô nghiệm. √ c) Đặt x3 + 1 = t (t ≥ 0) ⇒ x3 = t2 − 1. Phương trình trở thành 
t = 21 2 2 (4x − 1) t = 2 t − 1 + 2x + 1 ⇔ 2t − (4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔ t = 2x − 1 √ 3 p 1 1 3 6 3 3 Với t = ⇒ x + 1 = ⇔ x = − ⇔ x = − . 2 2 4 2   x ≥ 21   √ 2x − 1 ≥ 0 3 x=0 Với t = 2x − 1 ⇒ x + 1 = 2x − 1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 2. x3 + 1 = 4x2 − 4x + 1  x=2 Với t = 1 ⇒ √ 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 26 , x = 2. √ d) Đặt x2 − 2x + 24 = t (t ≥ 0) ⇒ x2 = t2 + 2x − 24. Phương trình trở thành  t=6 2 2 t + 2x − 24 + 4x = (x + 2) t ⇔ t − (x + 2) t + 6x − 24 = 0 ⇔ t=x−4 √ √ Với t = 6 ⇒ x2 − 2x + 24 = 6 ⇔ x2 − 2x −  12 = 0 ⇔ x = 1 ± 13.  √ x≥4 x−4≥0 2 Với t = x − 4 ⇒ x − 2x + 24 = x − 4 ⇔ ⇔ (vô nghiệm). x2 − 2x + 24 = x2 − 8x + 16 x = − 34 √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ± 13. Bài tập 2.25. Giải √ các phương trình sau √ 3 a) 2 − x =
1 − √ x − 1. c) 2 x2 + 2 = 5 x3 + 1. √ √ b) (A-09) 2 3 3x −
2 + √ 3 6 − 5x − 8 = 0. d) 2 x2 − 3x + 2 = 3 x3 + 8. www.MATHVN.com 17 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. √ 3 √  u = 1 − v (1) 2 − x = u, x − 1 = v (v ≥ 0) ⇒ 2 − x = u , x − 1 = v . Phương trình trở thành u3 + v 2 = 1 (2)   v=0 x=1 3 Thay (1) vào (2) ta có (1 − v) + v 2 = 1 ⇔ 1 − 3v + 3v 2 − v 3 + v 2 = 1 ⇔  v = 1 ⇒  x = 2 . v=3 x = 10 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2, x = 10.  √ √ 2u + 3v − 8 = 0 (1) 3 3 2 b) Đặt 3x − 2 = u, 6 − 5x = v (v ≥ 0) ⇒ 3x−2 = u , 6−5x = v . Phương trình trở thành 5u3 + 3v 2 = 8 (2) 8 − 2u vào (2) ta có Từ (1) ⇒ v = 3  2 8 − 2u 5u3 + 3 = 8 ⇔ 15u3 + 64 − 32u + 4u2 = 24 ⇔ u = −2 ⇒ v = 4 ⇒ x = −2 3 a) Đặt 3 2 Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2. p
c) Phương trình tương đương với 2 x2 + 2 = 5 (x + 1) (x2 − x + 1). √ √ Đặt x + 1 = u, x2 − x + 1 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ u2 + v 2 = x2 + 2. Phương trình trở thành 
u = 2v 2 2 2 2 2 u + v = 5uv ⇔ 2u − 5uv + 2v = 0 ⇔ v = 2u √
√ Với u = 2v ⇒ x + 1 = 2 x2 − x + 1 ⇔ x + 1 = 4 x2 − x + 1 ⇔ 4x2 − 5x + 3 = 0 (vô nghiệm). √ √ √ Với v = 2u ⇒ x2 − x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x2 − x + 1 = 4 (x + 1) ⇔ x = 5±2 37 . √ 5 ± 37 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 2 p
2 d) Phương trình tương đương với 2 x − 3x + 2 = 3 (x + 2) (x2 − 2x + 4). √ √ Đặt x + 2 = u, x2 − 2x + 4 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ v 2 − u2 = x2 − 3x + 2. Phương trình trở thành 
u = −2v (loại) 2 2 2 2 2 v − u = 3uv ⇔ 2u + 3uv − 2v = 0 ⇔ v = 2u √ √ √ Với v = 2u ⇒ x2 − 2x + 4 = 2 x + 2 ⇔√x2 − 2x + 4 = 4 (x + 2) ⇔ x = 3 ± 13. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ± 13. Bài tập 2.26. √ Giải các phương trình sau a) x2 + x +√ 5 = 5. c) x3 + 1 = 2 3 2x − 1. √ b) x3√+ 2 = 3 3 3x −√2.
d) x 3 35 − x3 x + 3 35 − x3 = 30. Lời giải. √ x2 = −t + 5 (1) . t2 = x + 5 (2)  t = −x 2 2 Trừ theo vế (2) và (1) ta có t − x = x + t ⇔ (x + t) (t − x − 1) = 0 ⇔ . t=x+1 √   √ x≤0 √ 1 − 21 −x ≥ 0 Với t = −x ⇒ x + 5 = −x ⇔ ⇔ ⇔x= . x + 5 = x2 2 x = 1±2 21 √   √ x ≥ −1 √ −1 + 17 x+1≥0 Với t = x + 1 ⇒ x + 5 = x + 1 ⇔ ⇔ ⇔x= . x + 5 = x2 + 2x + 1 2 x = −1±2 17 √ √ 1 − 21 −1 + 17 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ,x = . 2  2 3 √ x + 2 = 3t (1) b) Đặt 3 3x − 2 = t. Phương trình trở thành . t3 + 2 = 3x (2) Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x3 − t3 = 3t − 3x ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 = 3 (t − x) 
x=t ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 + 3 = 0 ⇔ x2 + xt + t2 + 3 = 0 (vô nghiệm)  √ x=1 Với t = x ⇒ 3 3x − 2 = x ⇔ 3x − 2 = x3 ⇔ . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2. x =3 −2 √ x + 1 = 2t (1) c) Đặt 3 2x − 1 = t. Phương trình trở thành . t3 + 1 = 2x (2) a) Đặt  x + 5 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành www.MATHVN.com 18 www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x3 − t3 = 2t − 2x ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 = 2 (t − x) 
x=t 2 2 ⇔ (x − t) x + xt + t + 2 = 0 ⇔ x2 + xt + t2 + 2 = 0 (vô nghiệm)  √ x=1 √ 3 3 . Với t = x ⇒ 2x − 1 = x ⇔ 2x − 1 = x ⇔ x = −1±2 5 √ −1 ± 5 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = . 2 √ 3 d) Đặt 35 − x3 = t. Phương trình trở thành      xt(x + t) = 30 xt(x + t) = 30 xt(x + t) = 30 xt = 6 x=2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ 3 3 t3 + x3 = 35 t+x=5 x=3 (t + x) − 3xt (x + t) = 35 (t + x) = 125 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3. Bài tập 2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau √ x− x √ √ 2 p b) (A-2010) ≥ 1. a) (B-2012) x + 1 + x − 4x + 1 ≥ 3 x. 2 − x + 1) 1 − 2 (x p
√ √ d) x + 3 (1 − x2 ) = 2 1 − 2x2 . c) 3 x2 − 2 = 2 − x3 . Lời giải.  a) Điều kiện: 0 ≤ x ≤√ 2− x≥2+ 3 √ 3 . Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình. r √ 1 1 Với x > 0, bất phương trình tương đương với x + √ + x + − 4 ≥ 3. x x √ 1 Đặt x + √ = t (t > 0) ⇒ x + x1 = t2 − 2, bất phương trình trở thành x   3− t < 0 p 5 t>3 2  3−t≥0 t −6≥3−t⇔ ⇔ 5 ⇔t≥ ≤ t ≤ 3 2 2 t2 − 6 ≥ 9 − 6t + t2  √  √ √ 1 5 5 x≥2 x≥4 √ Với t ≥ ⇒ x + √ ≥ ⇔ 2x − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ ⇔ . x ≤ 12 0 < x ≤ 14 2 2 x  1 Kết hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = 0; 4 ∪ [4; +∞). p b) Điều kiện: x ≥ 0. Nhận thấy x2 − x + 1 ≥ 34 ⇒ 2 (x2 − x + 1) > 1. Do đó PT tương đương với p p √ √ x − x ≤ 1 − 2 (x2 − x + 1) ⇔ 2x2 − 2x + 2 ≤ 1 + x − x   √ √ 1+ x−x≥0 x≥x−1 √ √ √ √ ⇔ ⇔ 2x2 − 2x + 2 ≤ 1 + x + x2 + 2 x − 2x − 2x x 1 + x + x2 − 2 x − 2x + 2x x ≤ 0  √  √  √ x≥x−1 x≥ x−1 √ √x ≥ x − 1 √ ⇔ ⇔ ⇔ 2 1− x−x=0 x=1−x (1 − x − x) ≤ 0  √ √   x≥x−1 x≤1 √ 3− 5 1−x≥0 ⇔ ⇔ 3± 5 ⇔ x =  2 x= 2 x = 1 − 2x + x2 √  √ √ √ x≥ √ 2 c) Điều kiện: x ≤ 3 2. Nhận thấy 2 − x3 ≥ 0 ⇒ 3 x2 − 2 ≥ 0 ⇔ . x≤− 2 √
2
3 Từ điều kiện ta có x ≤ − 2. Khi đó phương trình tương đương với x2 − 2 = 2 − x3 ⇔ x4 − 4x2 + 4 = 8 − 12x3 + 6x6 − x9 = 0 ⇔ x9 − 6x6 + x4 + 12x3 − 4x2 − 4 = 0  2 1 15 9 6 3 ⇔ x − 5x − x − x + 12x3 − x2 − 4 = 0 (vô nghiệm). 2 4 Vậy phương trình vô nghiệm. Bài tập √ các phương trình sau √ 2.28. Giải a) √ 4x − 1 + √ 4x2 − 1 = 1. c) 2x − 1 + x2 + 3√= 4 − x. e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + 3 = 0. √ 3 b) x − 1 = −x √ − 4x + 5. 5 3 d) x + x − 1 − 3x + 4 = 0. √ f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x + 1) 2x + 1 = 0. www.MATHVN.com 19 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com Lời giải. a) Điều kiện: x ≥ 12 . Nhận thấy x = 12 là một nghiệm của phương trình. √ 

√ 2 + √4x4x2 −1 > 0, ∀x ∈ 12 ; +∞ . Xét hàm số y = 4x − 1 + 4x2 − 1 trên 12 ; +∞ có y 0 = √4x−1
1 Do đó hàm số đồng biến trên 2 ; +∞ suy ra x = 21 là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 12 . √ b) Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình tương đương với x − 1 + x3 + 4x = 5. Nhận thấy x = 1√là một nghiệm của phương trình. 1 Xét hàm số y = x − 1 + x3 + 4x trên [1; +∞) có y 0 = 2√x−1 + 3x2 + 4 > 0, ∀x ∈ (1; +∞). Do đó hàm số đồng biến trên [1; +∞) suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. √ √ c) Điều kiện: x ≥ 12 . Phương trình tương đương với 2x − 1 + x2 + 3 + x = 4. Nhận thấy x = 1√là một nghiệm √ của phương trình.

 1 Xét hàm số y = 2x − 1 + x2 + 3 + x trên 12 ; +∞ có y 0 = √2x−1 + √xx2 +3 + 1 > 0, ∀x ∈ 21 ; +∞ . 
Do đó hàm số đồng biến trên 12 ; +∞ suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. d) Điều kiện: x ≤ 31 . Nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình. 
√ 3 Xét hàm số y = x5 + x3 − 1 − 3x + 4 trên −∞; 13 có y 0 = 5x4 + 3x2 + 2√1−3x > 0, ∀x ∈ −∞; 13 .  Do đó hàm số đồng biến trên −∞; 13 suy ra x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1.
√ e) Đặt 2x + 3 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành x3 + 4x − u2 + 4 u = 0 ⇔ x3 + 4x = u3 + 4u. Xét hàm số f (t) = t3 + 4t trên [0; +∞) có f 0 (t) = 3t2 + 4 > 0, ∀t ∈ [0; +∞). Do đó phương trình tương đương với  √ x≥0 u = x ⇒ 2x + 3 = x ⇔ ⇔x=3 2x + 3 = x2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. √ f) Điều kiện: x ≥ − 21 . Phương trình tương đương với 8x3 + 2x = (2x + 2) 2x + 1.
√ 3 Đặt 2x + 1 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành 8x3 + 2x = u2 + 1 u ⇔ (2x) + 2x = u3 + u. Xét hàm số f (t) = t3 + t trên [0; +∞) có f 0 (t) = 3t2 + 1 > 0, ∀t ∈ [0; +∞). Do đó phương trình tương đương với √  √ 1+ 5 x≥0 u = 2x ⇒ 2x + 1 = 2x ⇔ ⇔x= 2x + 1 = 4x2 4 √ 1+ 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = . 4 Bài tập √ 2.29. Giải các √ phương trình sau a) x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2.
2 √ √ √ c) 2 x − 2 − 1 + x + 6 + x − 2 − 2 = 0. √ √ b) x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11. √ d) 5x3 + 3x2 + 3x − 2 = 21 x2 + 3x − 21 . Lời giải. q √ 2 a) Phương trình tương đương với (x − 1) + 4 + x − 1 = 2. ( q q 2 (x − 1) + 4 ≥ 2 ⇒ (x − 1)2 + 4 + √x − 1 ≥ 2. Ta có √ x−1≥0 ( q 2 (x − 1) + 4 = 2 ⇔ x = 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi √ x−1=0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. 2 b) Ta có x2 − 6x + 11 = (x − 3) + 2 ≥ 2 (1). √ √ 1 1 Xét hàm số y = x − 2 + 4 − x trên [2; 4] có y 0 = √ − √ ; y 0 = 0 ⇔ x = 3. 2 x − 2 2 4 − x √ √ √ √ Ta có y(2) = 2, y(4) = 2, y(3) = 2 ⇒ max y = y(3) = 2 ⇒ x − 2 + 4 − x ≤ 2 (2). [2;4]  2 x 11 = 2 √ − 6x + √ Từ (1) và (2) ta có phương trình tương đương với ⇔ x = 3. x−2+ 4−x=2 Vậy phương trình có nghiệmduy nhất x = 3.
2 √  2√ x − 2 − 1 ≥ 0
2 √ √ √ c) Điều kiện: x ≥ 2. Khi đó ⇒ 2 x − 2 − 1 + x + 6 + x − 2 > 2. x + 6 > 2  √ x−2≥0 www.MATHVN.com 20