Tài liệu Phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM NGỌC ANH THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 3 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan . . . . 12 1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều kiện Lipschitz 20 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Phương pháp xấp xỉ trong không Lipschitz 33 3.1 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Một số kết quả tính toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (M V I) 4.1 41 Thuật toán kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1 41 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 4.1.2 4.2 4.3 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Thuật toán mới và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2 Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) . . . . . . . . . . . 51 Kết luận 55 Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 56 Tài liệu tham khảo 57 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo TS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông). Thầy luôn động viên và hướng dẫn tận tình cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa cao học này. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 2 (2008 - 2010) đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Xin cảm ơn các bạn học viên cao học toán khóa 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9-2010 Người viết luận văn Dương Thị Bình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, · · · . Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities and their application" của D.Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8] và trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984. Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện được. Vì vậy các nhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm của bài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được. Do đó người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó. Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điều này giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong đó có bài toán bất đẳng thức biến phân. Vì vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị cũng có những bước phát triển mới. Nhiều phương pháp đã được đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, · · · . Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interior proximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] và một kết quả mới về thuật toán điểm gần kề mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. [6] Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương. Chương 1 nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz và ánh xạ đa trị đơn điệu. Phần tiếp theo, phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, các bài toán liên quan và một số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm của bài toán này. Chương 2 gồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phương pháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bài toán (M V I) giả đơn điệu Lipschitz và chứng minh sự hội tụ của thuật toán. Chương 3 đề xuất thuật toán giải bài toán (M V I) không có điều kiện Lipschitz. Chương này đưa ra thuật toán xấp xỉ, trong đó có sự kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuật đường tìm kiếm. Cuối chương trình bày một số kết quả tính toán cụ thể minh họa cho thuật toán ở chương 2 và chương 3. Chương 4 trình bày phương pháp mới để giải bài toán (M V I) và các kết quả tính toán để minh họa thuật toán đã đề xuất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Euclid n chiều Rn . Mỗi phần tử x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn là một véc tơ cột của Rn . Với hai véc tơ bất kì x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn )T ∈ Rn thì hx, yi = n X xi yi i=1 được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y. Chuẩn Euclid (hay độ dài) của véc tơ x ∈ Rn , kí hiệu ||x|| được xác định bởi ||x|| = p hx, xi. Ta gọi R̄ = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} là tập số thực mở rộng. Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, · · · . 1.1.1 Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.1. [10] Một tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.2. [10] Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng được gọi là tập lồi đa diện hay là khúc lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Định nghĩa 1.3. [10] Một tập C ⊆ Rn được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau: (a) λC ⊆ C, ∀λ > 0 (b) C + C ⊆ C Tập C ⊆ Rn dưới đây luôn giả thiết là một tập lồi (nếu không giải thích gì thêm). Định nghĩa 1.4. Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là NC (x), được xác định bởi công thức NC (x) := {w ∈ Rn | hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}. Định nghĩa 1.5. Cho ánh xạ f : C → R̄. Khi đó, miền hữu hiệu của f , kí hiệu là domf , được xác định bởi domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅, f (x) > −∞, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.6. [10] Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, hàm f được gọi là (i) lồi trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. (ii) lồi chặt trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1). (iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định lí 1.1. [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi trên tập lồi C. Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta có f (y) − f (x) ≥ h∇f (x), y − xi. (ii) Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi C thì với mọi x, y ∈ C và x 6= y, ta có f (y) − f (x) > h∇f (x), y − xi. (iii) Nếu f lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi trên tập lồi C thì f (y) − f (x) ≥ h∇f (x), y − xi + β||y − x||2 , 1.1.2 ∀x, y ∈ C. Dưới vi phân Giả sử f : C → R̄ là hàm lồi trên C ⊆ Rn . Ta có định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau. Định nghĩa 1.7. Véc tơ w ∈ Rn được gọi là dưới gradient của f tại x0 ∈ C nếu hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C. Tập tất cả các dưới gradient của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 , kí hiệu ∂f (x0 ), tức là ∂f (x0 ) := {w ∈ Rn : hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C}. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) 6= ∅. Ví dụ 1.1. Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn . Xét hàm chỉ trên tập C  0 nếu x ∈ C, δC (x) := +∞ nếu x ∈ / C. Khi đó ∂δC (x0 ) = NC (x0 ), ∀x0 ∈ C. Thật vậy, nếu x0 ∈ C thì δC (x0 ) = 0 và ∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : δC (x) ≥ hw, x − x0 i, ∀x ∈ C}. Hay ∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : 0 ≥ hw, x − x0 i, ∀x ∈ C} = NC (x0 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 6 Ví dụ 1.2. (Hàm lồi thuần nhất dương) [10] Cho f : Rn → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là: Một hàm lồi f : Rn → R thỏa mãn f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn . Khi đó ∂f (x0 ) = {w ∈ Rn |hw, x0 i = f (x0 ), hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C}. Chứng minh. Nếu w ∈ ∂f (x0 ) thì hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C. (1.1) Thay x = 2x0 vào (1.1), ta có hw, x0 i ≤ f (2x0 ) − f (x0 ) = f (x0 ). (1.2) Còn nếu thay x = 0 vào (1.1), ta được −hw, x0 i ≤ −f (x0 ). (1.3) Kết hợp (1.2) và (1.3), suy ra hw, x0 i = f (x0 ). Hơn nữa hw, x − x0 i = hw, xi − hw, x0 i = hw, xi − f (x0 ). Do đó hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C. Ngược lại, nếu x0 ∈ Rn thỏa mãn hw, x0 i = f (x0 ) và hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C thì hw, x − x0 i = hw, xi − hw, x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 2 Vậy nên w ∈ ∂f (x0 ). Nếu hàm f là hàm lồi thuần nhất dương thỏa mãn: f (−x) = f (x) ≥ 0, ∀x ∈ C thì hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C tương đương với |hw, xi| ≤ f (x), ∀x ∈ C. Định lí 1.2. [10] Cho fi , i = 1, · · · , m là các hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó, với mọi x ∈ Rn thì m m X X ∂( fi (x)) ⊇ ∂fi (x) i=1 Nếu tồn tại một điểm a ∈ ∩ni=1 domfi i=1 mà tại điểm đó mọi hàm fi (có thể trừ ra một hàm nào đó) là liên tục, thì bao hàm thức trên sẽ xảy ra dấu bằng với mọi x ∈ Rn . 1.2 Ánh xạ đa trị Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và đưa ra một số ví dụ minh họa. Định nghĩa 1.8. [3] Cho X, Y là hai tập con bất kì của Rn và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y . Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y , tức là, với mỗi x ∈ X, F (x) là tập con của Y . (F (x) có thể là tập rỗng). Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . 2 Ví dụ 1.3. Cho X ⊆ R2 , X = {(x, 0)| x ∈ R}. Xét ánh xạ F : X → 2R thỏa mãn ( 1 {(x, y) ∈ R2 | y = |x| } nếu x 6= 0, F (x, 0) := {0} × (0, +∞) nếu x = 0 là một ánh xạ đa trị từ X vào R2 . Với ánh xạ đa trị F : X → Y , ta xác định đồ thị và miền hữu hiệu của ánh xạ F tương ứng bằng các công thức graphF : = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}, domF : = {x ∈ X| F (x) 6= ∅} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Ta biết rằng, ánh xạ liên tục Lipschitz là một khái niệm có vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Trong mục này ta sẽ định nghĩa liên tục Lipschitz của một ánh xạ đa trị dựa trên khoảng cách Hausdorff như sau: Định nghĩa 1.9. (Khoảng cách Hausdorff) Với A, B là hai tập con đóng và khác rỗng bất kì của Rn , khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và B được xác định bởi ρ(A, B) := max{d(A, B), d(B, A)}, trong đó d(A, B) = sup inf ||a − b|| inf ||a − b|| b∈B a∈A d(B, A) = sup a∈A b∈B Định nghĩa 1.10. (Ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz) n Cho C ⊆ Rn . Ánh xạ đa trị F : C → 2R được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 (viết tắt là L-Lipschitz) trên C, nếu ρ(F (x), F (y)) ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C. Nếu L < 1 thì F là co trên C. Nếu L = 1 thì F được gọi là không giãn trên C. 2 Ví dụ 1.4. Cho C = {(x, 0) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1} và ánh xạ F : C → 2R thỏa mãn F (x, 0) := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ x2 }. Khi đó F là ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz, với hằng số L = Thật vậy: Với mọi (x1 , 0), (x2 , 0) ∈ C d(F (x1 , 0), F (x2 , 0)) = = = 5. (x1 < x2 ) thì ||(x1 , y1 ) − (x2 , y2 )|| q (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 max min (x1 ,y1 )∈F (x1 ,0) (x2 ,y2 )∈F (x2 ,0) max min (x1 ,y1 )∈F (x1 ,0) (x2 ,y2 )∈F (x2 ,0) max √ |x1 − x2 | (x1 ,y1 )∈F (x1 ,0) = |x1 − x2 | = ||(x1 , 0) − (x2 , 0)||. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 d(F (x2 , 0), F (x1 , 0)) = min (x1 ,y1 )∈F (x1 ,0) = max min (x2 ,y2 )∈F (x2 ,0) (x1 ,y1 )∈F (x1 ,0) ≤ max √ (x2 ,y1 )∈F (x1 ,0) = = ||(x1 , y1 ) − (x2 , y2 )|| q (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 max (x2 ,y2 )∈F (x2 ,0) √ √ 5|x1 − x2 | 5|x1 − x2 | 5||(x1 , 0) − (x2 , 0)||. Do đó ρ(F (x1 , 0), F (x2 , 0)) ≤ √ 5||(x1 , 0) − (x2 , 0)||, ∀(x1 , 0), (x2 , 0) ∈ C hay F là ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz, với hằng số L = √ 5. 2 n Định nghĩa 1.11. [3] Ánh xạ đa trị F : C → 2R , được gọi là: (i) Nửa liên tục trên tại x̄ ∈ domF nếu với mọi tập mở V chứa F (x̄), tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho F (x) ⊆ V, ∀x ∈ U (ii) Nửa liên tục dưới tại x̄ ∈ domF nếu với mọi tập mở V thỏa mãn F (x̄) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên C nếu nó nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc domF . Ta nói F là liên tục tại x̄ ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x̄. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là liên tục trên C. Ví dụ 1.5. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R thỏa mãn:  nếu x < 0, {0} F (x) = [−1, 1] nếu x = 0,  {1} nếu x > 0. Khi đó, ánh xạ F là nửa liên tục trên trên R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Chứng minh. Dễ thấy ánh xạ F nửa liên tục trên tại mọi điểm x 6= 0. Hơn nữa, F nửa liên tục trên tại x̄ = 0, vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0), tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn (−1, 1), ta có  nếu − 1 < x < 0, {0} F (x) = [−1, 1] nếu x = 0,  {1} nếu 0 < x < 1. Do đó F (x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1, 1). 2 Vậy F là ánh xạ nửa liên tục trên trên R . Ví dụ 1.6. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R thỏa mãn  [0, 1] nếu x 6= 0, F (x) = {0} nếu x = 0 Khi đó F nửa liên tục dưới tại x̄ = 0. Thật vậy: Với mọi tập mở (a, b) thỏa mãn (a, b) ∩ F (0) = {0} = 6 ∅, tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn U = (− 21 , 12 ). Ta có  [0, 1] nếu x 6∈ (− 12 , 12 )\{0}, F (x) = {0} nếu x = 0 Do đó F (x) ∩ (a, b) 6= 0, 1 1 ∀x ∈ (− , ) 2 2 2 Vậy F nửa liên tục dưới tại x̄ = 0. n Định nghĩa 1.12. [3] Một ánh xạ F : Rn → 2R được gọi là đóng tại x, nếu với mọi dãy xk → x, mọi dãy y k ∈ F (xk ) và y k → y, thì y ∈ F (x). Ánh xạ F là đóng trên tập C, nếu nó đóng tại mọi điểm thuộc C. F được gọi là ánh xạ giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈domF . Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ giữa tính nửa liên tục trên và ánh xạ đóng. n Mệnh đề 1.1. Giả sử F : C → 2R là ánh xạ đa trị, U là tập con lồi của C. (i) Nếu F là nửa liên tục trên trên U và có giá trị đóng, thì nó đóng trên U . (ii) Nếu F đóng và với mỗi tập compact X ⊆ U , tập F (X) là compact thì F là nửa liên tục trên trên U . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 n Định nghĩa 1.13. [9] Với C ⊆ Rn , ánh xạ đa trị F : C → 2R , được gọi là: (i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu 0 0 0 0 hw − w , x − x i ≥ β||x − x ||2 , 0 0 ∀x, x ∈ C, w ∈ F (x), w ∈ F (x ) (ii) đơn điệu ngặt trên C, nếu 0 0 0 hw − w , x − x i > 0, 0 0 ∀x, x ∈ C, w ∈ F (x), w ∈ F (x ), x 6= x 0 (iii) đơn điệu trên C, nếu 0 0 0 hw − w , x − x i ≥ 0, 0 0 ∀x, x ∈ C, w ∈ F (x), w ∈ F (x ) 0 0 0 (iv) giả đơn điệu trên C, nếu với mọi x, x ∈ C, w ∈ F (x), w ∈ F (x ), ta có 0 0 0 hw , x − x i ≥ 0 kéo theo hw, x − x i ≥ 0 Ví dụ 1.7. Ánh xạ F được định nghĩa như sau: F (x, 0) := {(x, y) ∈ C| 0 ≤ y ≤ x} C := {(x, 0)| x ≥ 0} 0 0 0 là đơn điệu trên C, vì với mọi (x, 0), (x , 0) ∈ C và với mọi (x, y) ∈ F (x, 0), (x , y ) ∈ 0 F (x , 0), ta có 0 0 0 h(x, y) − (x , y ), (x, 0) − (x , 0)i 0 0 0 = h(x − x , y − y ), (x − x , 0)i 0 = (x − x )2 ≥ 0. Hơn nữa, F còn đơn điệu ngặt trên C vì bất đẳng thức trên là ngặt khi (x, 0) 6= 0 (x , 0). Ví dụ 1.8. (Tính đơn điệu của dưới vi phân của hàm lồi). n Với bất kì hàm lồi, chính thường f : Rn → R̄, ánh xạ ∂f : Rn → 2R là đơn điệu trên dom(∂f ). 0 0 0 Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi, với mọi x, x ∈ dom(∂f ), w ∈ ∂f (x) và w ∈ ∂f (x ), ta có 0 0 0 hw , x − x i ≤ f (x) − f (x ) 0 0 hw, x − xi ≤ f (x ) − f (x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 0 với các giá trị f (x) và f (x ) hữu hạn. Cộng hai bất đẳng thức trên ta được 0 0 0 hw , x − x i + hw, x − xi ≤ 0 0 0 hay hw − w , x − x i ≥ 0, 0 0 0 ∀x, x ∈ dom(∂f ), w ∈ ∂f (x), w ∈ ∂f (x ) 2 Vậy ∂f đơn điệu. 1.3 1.3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan n Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và F : C → 2R là một ánh xạ đa trị. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị được phát biểu như sau:  Tìm x∗ ∈ C và w∗ ∈ F (x∗ ) sao cho (M V I) hw∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I). Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng (viết tắt (V I)) Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán khác của giải tích, như là: Bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động và bài toán quy hoạch lồi, · · · . Bài toán điểm bất động Kakutani Cho C là tập lồi, đóng tùy ý trong Rn và T là ánh xạ đa trị từ C vào chính nó. Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị T được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ T (x∗ ). (1.4) Đặc biệt, nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trở thành bài toán điểm bất động Brower có dạng: Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗ ). Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa bài toán (M V I) với bài toán điểm bất động (1.4). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Mệnh đề 1.2. Nếu ánh xạ F được xác định bởi F (x) := x − T (x), ∀x ∈ C thì bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I) xảy ra đồng thời với bài toán điểm bất động (1.4). Chứng minh . Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (M V I) và F (x) = x − T (x), tức là hw∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, w∗ ∈ F (x∗ ) Do w∗ ∈ F (x∗ ) = x∗ − T (x∗ ) nên tồn tại ξ ∗ ∈ T (x∗ ) sao cho w∗ = x∗ − ξ ∗ . Ta có hx∗ − ξ ∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C Cho x = ξ ∗ ta được ||x∗ − ξ ∗ || ≤ 0 Suy ra x∗ = ξ ∗ hay x∗ ∈ T (x∗ ). Vậy nên x∗ là nghiệm của bài toán (1.4). 2 Chiều ngược lại hiển nhiên đúng. Bài toán bù phi tuyến Chú ý rằng khi C là một nón lồi trong Rn thì bài toán (M V I) trở thành bài toán bù: 0 Tìm x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗ ), w∗ ∈ C sao cho hw∗ , x∗ i = 0, (CP ) trong đó 0 C := {y ∈ Rn | hx, yi ≥ 0, ∀x ∈ C} là nón đối ngẫu của C. Khi đó, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3. Nếu C là một nón lồi, đóng trong Rn thì bài toán bù (CP ) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I). Chứng minh. Nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I) và w∗ ∈ F (x∗ ) thì hw∗ , x − x∗ i ≥ 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∀x ∈ C http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.5) 14 Do C là nón lồi, x∗ ∈ C nên x∗ + x ∈ C, ∀x ∈ C Trong bất đẳng thức trên ta thay x bởi x∗ + x, ta được hw∗ , x∗ + x − x∗ i = hw∗ , xi ≥ 0, ∀x ∈ C. 0 Suy ra w∗ thuộc nón đối ngẫu C . Còn nếu thay x = 0 vào (1.5), ta được hw∗ , x∗ i ≤ 0 0 Suy ra hw∗ , x∗ i = 0, hay x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗ ), w∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bù CP ) Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bù thì hw∗ , x∗ i = 0, w∗ ∈ F (x∗ ), 0 Vì x∗ ∈ C nên hw∗ , x∗ i ≤ 0, 0 w∗ ∈ C . ∀x ∈ C. Ta có hw∗ , x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ C, hay x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗ ) là nghiệm của bài toán (M V I) . 2 Bài toán quy hoạch lồi Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và f : C → R ∪ {+∞} là một hàm lồi trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ ) = min{f (x) | x ∈ C}. (1.6) Trong trường hợp f là hàm lồi, khả vi, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.4. Giả sử f : C → R là hàm khả vi, lồi trên tập lồi C ⊂ Rn . Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.6) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (V I), với F (x) := ∇f (x). Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (1.6), tức là: f (x∗ ) ≤ f (x), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∀x ∈ C. http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Để chứng minh x∗ là nghiệm của bài toán (V I), ta giả sử ngược lại rằng: h∇f (x∗ ), x − x∗ i < 0, ∀x ∈ C. Khi đó, lấy α > 0 đủ nhỏ, do C là tập lồi nên yα = x∗ + α(x − x∗ ) = αx + (1 − α)x∗ ∈ C, ∀x ∈ C. và f (yα ) = f (x∗ ) + αh∇f (x∗ ), x − x∗ i + θ(α) < f (x∗ ), tức là x∗ không là nghiệm của bài toán (1.6). Điều này trái với giả thiết. Vậy x∗ là nghiệm của bài toán (V I). Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán V I), tức là: h∇f (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Do f là hàm lồi, khả vi nên f (x) − f (x∗ ) ≥ h∇f (x∗ ), x − x∗ i, ∀x ∈ C Suy ra f (x) ≥ f (x∗ ), ∀x ∈ C. 2 hay x∗ là nghiệm của bài toán (1.6). Trong trường hợp f là hàm không khả vi thì ta có cách tiếp cận dựa trên mệnh đề sau: Mệnh đề 1.5. Cho f : C → R là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C. Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán (1.6) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (M V I), với F (x) := ∂f (x). Chứng minh. Giả sử x∗ ∈ C và w∗ ∈ ∂f (x∗ ) thỏa mãn hw∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Vì w∗ ∈ ∂f (x∗ ) nên hw∗ , x − x∗ i ≤ f (x) − f (x∗ ), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∀x ∈ C. http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Từ đó suy ra f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C. hay x∗ là nghiệm của bài toán (1.6). 2 Ngược lại hiển nhiên đúng. Dưới đây ta xét hai ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân. Ví dụ 1.9. Bài toán cân bằng mạng giao thông Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi •N : tập hợp các nút mạng. •A: là tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng). Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử của O được gọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi là một tuyến đường). Kí hiệu: •fai là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt f là véc tơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các phương tiện giao thông). •cia là chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A. Đặt c là véc tơ có các thành phần là cia với i ∈ I, a ∈ A. •diw là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w = (O, D) với O ∈ O, D ∈ D. Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f ) là một hàm của f . •λiw là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông i. •xiw là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D. Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn diw = X xip ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.7) p∈Pw trong đó, Pw kí hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm nguồn O và điểm đích D). Theo phương trình (1.7), thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến đường w bằng đúng mật độ giao thông của phương tiện đó trên mọi tuyến đường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn