Tài liệu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất động

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——–o0o——– NGUYỄN MẠNH HÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——–o0o——– NGUYỄN MẠNH HÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 1 Một số vấn đề cơ bản 3 1.1 Không gian Banach và một số đặc trưng của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép cho bài toán điểm bất động 13 2.1 Tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn . . . . . 13 2.2 Tìm điểm bất động cho họ đếm được ánh xạ không giãn 19 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 1 Bảng ký hiệu R N N∗ H X ∅ ∀x ∃x h., .i kxk xn → x xn * x I ∩ inf A sup A lim sup xn tập số thực tập hợp các số tự nhiên tập hợp các số tự nhiên khác 0 không gian Hilbert không gian Banach tập rỗng mọi x tồn tại x tích vô hướng chuẩn của vectơ x {xn } hội tụ mạnh đến x {xn } hội tụ yếu đến x toán tử đồng nhất phép giao cận dưới đúng của tập hợp A cận trên đúng của tập hợp A giới hạn trên của dãy số xn n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số xn F ix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T n→∞ 2 Mở đầu Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò rất quan trọng trong Toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết kinh tế... Nhiều nhà toán học đã mở rộng những kết quả của bài toán điểm bất động của ánh xạ trong không gian Hilbert và không gian Banach. Trong đó đề cập đến sự tồn tại điểm bất động; phương pháp lặp xấp xỉ mềm, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động. Luận văn này nhấn mạnh đến cách kết hợp giữa phương pháp xấp xỉ mềm và phương pháp lai ghép trong việc giải bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và của một họ các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Luận văn được cấu trúc như sau: Chương 1: Một số khái niệm cơ bản. Chương này trình bày các nội dung sau: Khái niệm và một số đặc trưng của không gian Banach; Khái niệm điểm bất động và một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach (Phương pháp lặp Mann, Phương pháp lặp Halpern, Phương pháp lặp Ishikawa, Phương pháp xấp xỉ mềm, Phương pháp chiếu đường dốc). Chương 2: Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất động. Chương này nêu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất động nhiều cấp của một ánh xạ không giãn và của một họ đếm được các ánh xạ không giãn. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường. Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy đã dành thời gian và tâm huyết để hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làm luận văn. Thái nguyên, tháng 9 năm 2016 Học viên: Nguyễn Mạnh Hà 3 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản Trong chương gồm 02 mục: Mục 1.1 trình bày không gian Banach và một số đặc trưng của không gian Banach; mục 1.2 đề cập đến khái niệm điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động. Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]-[6]. 1.1 Không gian Banach và một số đặc trưng của không gian Banach Các không gian Banach được định nghĩa là các không gian định chuẩn đầy đủ. Nghĩa là một không gian Banach là một không gian X trên trường số thực hay số phức với một chuẩn k.k sao cho mọi dãy Cauchy có giới hạn trong X. Dưới đây, ta sẽ chỉ ra một số ví dụ về không gian Banach với K ký hiệu cho trường số thực hoặc số phức. Không gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid của x được cho bởi x = (x1 , x2 , · · · , xn ) là không gian Banach. Không gian của tất cả các hàm số liên tục f : [a, b] → K xác định trên một đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu ta định nghĩa chuẩn của hàm số như sau: kf k = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Không gian này được ký hiệu là C[a,b] . Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường K, tập hợp các hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W được ký hiệu là L(V, W ). Vì L(V, W ) là một không gian vectơ và bằng cách định nghĩa chuẩn kAk = sup{kAxk : x ∈ V, kxk ≤ 1. Ta có L(V, W ) là một không gian Banach. Nếu V là một không gian Banach và K là một trường nền (số thực hoặc số phức) thì bản thân K là một không gian Banach và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V ∗ như là L(V, K), không 4 gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K. Không gian này lại là không gian Banach với chuẩn của toán tử. Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach. Gọi U = {x ∈ X : kxk = 1}. (i) X được gọi là lồi đều nếu với mỗi  ∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U x + y kx − yk ≥  thỏa mãn ≤ 1 − δ. 2 (ii) X được gọi là trơn nếu giới hạn kx + tyk − kxk t→0 t lim (1.1) tồn tại với mọi x, y ∈ U. X được gọi là trơn đều nếu giới hạn (1.1) đạt được đều với x, y ∈ U. (iii) Chuẩn của X gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ U , giới hạn (1.1) đạt được đều với x ∈ U. Định nghĩa 1.1.2 Cho số thực q > 1. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq từ X vào X ∗ được định nghĩa như sau  Jq (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx, x∗ i = kxkq , kx∗ k = kxkq−1 với mọi x ∈ X. Ánh xạ J = J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và Jq (x) = kxkq−2 J(x) với mọi x ∈ X Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có các tính chất sau: (i) Nếu X là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ 1 − 1 và hx − y, x∗ − y ∗ i > 0 với (x, x∗ ), (y, y ∗ ) ∈ J, x 6= y; (ii) Nếu X là không gian phản xạ thì J là toàn ánh; (iii) Nếu X là không gian trơn đều thì J liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập con bị chặn của X. 5 Định nghĩa 1.1.3 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của X. Ánh xạ T : C → C được gọi là L-Lipshitzian nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C. Nếu L = 1 thì T được gọi là không giãn. Định nghĩa 1.1.4 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach X. Một ánh xạ A : C → X được gọi là: (a) accretive nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0; (b) α-accretive mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ αkx − yk2 , α ∈ (0, 1); (c) Giả co nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2 ; (d) β-giả co mạnh nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≤ βkx − yk2 , α ∈ (0, 1); (e) λ-giả co chặt nếu x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx−Ay, j(x−y)i ≤ kx−yk2 −λkx−y−(Ax−Ay)k2 , λ ∈ (0, 1); (f) Dương mạnh nếu tồn tại hằng số γ̄ > 0 sao cho hAx, J(x)i ≥ γ̄kxk2 , β ∈ (0, 1), kaI − bAk = sup | h(aI − bA)x, Jxi |, với mọi kxk≤1 a ∈ [0, 1], b ∈ [−1, 1], I là ánh xạ đồng nhất. Mệnh đề 1.1.5 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của một không gian Banach trơn đều X. Cho T : C → C là ánh xạ giả co liên tục với F ix(T ) 6= ∅ và f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipshitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) và hằng số Lipshitzian L > 0. ChoA : C → C là toán tử tuyến tính dương bị chặn với hằng số γ̄ > 0. Giả sử rằng C ± C ⊂ C và 0 < β < γ̄. Cho dãy {xt } được xác định bởi xt = tf (xt ) + (I − tA)T xt . Khi đó nếu t → 0 thì {xt } hội tụ mạnh 6 đến một điểm z nào đó sao cho z ∈ F ix(T ) là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân sau: h(A − f )z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ). Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng của một không gian Banach trơn đều X sao cho C ± C ⊂ C. Cho T : C → C là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ và f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) và hằng số Lipschitzian L > 0. Cho F : C → C là ánh xạ accretive mạnh và λ-giả co chặt với α + λ > 1 và A : C → C là toán tử tuyến tính dương bị chặn. Ta đưa vào lược đồ gắn kết lai ghép ẩn để giải bài toán điểm bất động nhiều cấp của ánh xạ không giãn T : xt = (I − θt A)T xt + θt [T xt − t(F (T xt ) − f (xt ))], trong đó 0 < θt ≤ kAk−1 , lim θt = 0. Ta chứng minh được khi t → 0, t→0 {xt } hội tụ mạnh đến một điểm z ∈ F ix(T ) là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân: h(A − I)z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ). Mặt khác, cho {Tn }∞ n=0 là một họ đếm được những ánh xạ không giãn từ C vào chính nó sao cho Ω = ∩∞ i=0 F ix(Ti ) 6= ∅. Người ta đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép ẩn để giải bài toán điểm bất động của một họ ánh xạ không giãn {Tn }:    x0 ∈ C
yn = αn f (yn ) + βn xn = (1 − βn )I − αn A Tn yn    xn+1 = γn f (yn ) + (I − γn F )Tn yn , ∀n ≥ 0, trong đó f : C → C là ánh xạ co cố định và {αn }, {βn }, {γn } là ba dãy trong (0, 1). Dãy {xn } hội tụ đến một điểm z ∈ Ω với z là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân: h(A − f )z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ Ω. Ngoài ra, người ta còn đề xuất một phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép 7 hiện để giải bài toán điểm bất động nhiều bậc của một họ ánh xạ không giãn {Tn }:  x ∈ C 0  xn+1 =(I − βn A)Tn xn + βn [Tn xn − αn (F (T xn ) − f (xn ))], ∀n ≥ 0, trong đó, f : C → C là ánh xạ co cố định và {αn }, {βn } là hai dãy trong (0, 1). Dãy {xn } hội tụ mạnh đến một điểm z ∈ Ω với z là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân: h(A − I)z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ Ω. Bổ đề 1.1.6 Cho dãy {sn } ⊂ R thỏa mãn: sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn βn + γn , ∀n ≥ 0. Trong đó, các dãy {αn }, {βn }, {γn } thỏa mãn các điều kiện: ∞ P (i) {αn } ⊂ [0, 1], αn = ∞; n=0 (ii) lim supn→∞ βn ≤ 0; ∞ P (iii) γn ≥ 0 (∀n ≥ 0), γn < ∞. n=0 Khi đó lim sup sn = 0. n→∞ Bổ đề 1.1.7 Cho dãy {an } ⊂ R sao cho an+1 ≤ (1 − γn )an + γn βn , ∀n ≥ 0. Trong đó {γn } ⊂ (0, 1), {βn } ⊂ R thỏa mãn các điều kiện: ∞ P (i) γn = ∞; n=0 (ii) lim supn→∞ βn ≤ 0. Khi đó lim an = 0. n→∞ Bổ đề 1.1.8 Cho X là không gian Banach trơn. Khi đó: kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, J(x + y)i, ∀x, y ∈ X. Gọi LIM là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và (a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ . Kí hiệu LIM an = LIM (a0 , a1 , · · · ). LIM được gọi là 8 giới hạn Banach nếu kLIM k = LIM 1 = 1 và LIM an+1 = LIM an , ∀(a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ . Đối với giới hạn Banach, ta có các khẳng định sau đây là đúng: (i) ∀n ≥ 1, an ≤ cn ⇒ LIM an ≤ LIM cn ; (ii) LIM an+N = LIM an , ∀N ∈ N∗ ; (iii) lim inf n→∞ an ≤ LIM an ≤ lim supn→∞ an ∀(a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ . Bổ đề 1.1.9 Cho (a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ . Nếu LIM an = 0 thì tồn tại dãy con {ank } của {an } sao cho ank → 0 khi k → ∞. Một không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial’s nếu mọi dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến x khi n → ∞ thì lim sup kxn − xk < lim sup kxn − yk, n→∞ ∀y ∈ X, y 6= x. n→∞ Bổ đề 1.1.10 Cho X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial’s. C là tập con lồi, đóng khác rỗng của X và T : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó ánh xạ (I − T ) nửa đóng trên C, trong đó I là ánh xạ đồng nhất, nếu {xn } là một dãy trong C sao cho xn → x, (I − T )xn → y thì (I − T )x = y. Nhận xét 1.1.11 Nếu ánh xạ đối ngẫu J : x 7→ {x∗ ∈ X ∗ : (x, x∗ ) = kxk2 = kx∗ k2 } từ X và X ∗ là đơn trị và liên tục yếu thì X thỏa mãn điều kiện Opial’s. Cả không gian Hilbert và không gian dãy lp với 1 < p < ∞ đều thỏa mãn điều kiện Opial’s. Bổ đề 1.1.12 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach trơn thực X và F : C → X là ánh xạ. (i) Nếu F : C → X là α-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với α+λ ≥ 1 thì I − F không giãn và F là liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số 1 + λ1 . (ii) Nếu F : C → X α-accretive mạnh và λ-giả co chặt với r α+λ>1   1−α thì ∃τ ∈ (0, 1), I − τ F là ánh xạ co với hệ số 1 − τ 1 − . λ Chứng minh. 9 (i) Từ tính chất λ-giả co chặt của F , ta có ∀x, y ∈ C, λk(I − F )x − (I − F )yk2 ≤ h(I − F )x − (I − F )y, J(x − y)i ≤ k(I − F )x − (I − F )ykkx − yk. 1 kx − yk. λ Từ đó suy ra k(I − F )x − (I − F )yk ≤ Do đó kF (x) − F (y)k ≤ k(I − F )x − (I − F )yk + kx − yk 1
≤ 1 − kx − yk. λ Hơn nữa, từ các tính chất α-accretive mạnh và λ-giả co chặt của F , ta có ∀x, y ∈ C, λk(I − F )x − (I − F )yk2 ≤ kx − yk2 hF (x) − F (y), J(x − y)i ≤ (1 − α)kx − yk2 . Từ đó suy ra r k(I − F )x − (I − F )yk ≤ r Do α + λ ≥ 1 ⇔ 1−α kx − yk. λ 1−α ≤ 1, ta có I − F không giãn. λ (ii) Lấy điểm cố định τ ∈ (0, 1). Chú ý rằng ∀x, y ∈ C, k(I − τ F )x − (I − τ F )yk   = k(1 − τ )(x − y) + τ (I − F )x − (I − F )y k ≤ (1 − τ )kx − yk + τ k(I − F )x − (I − F )yk r ≤ (1 − τ )kx − yk + τ r  1−α = 1−τ 1− λ r Do α + λ > 1 ⇔  1−α kx − yk λ ! kx − yk. 1−α < 1. Ta có I − τ F là ánh xạ co với hệ λ 10  số 1 − τ 1 − r  1−α . λ Bổ đề 1.1.13 Cho X là không gian Banach, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của X và T : C → C là ánh xạ liên tục giả co. Khi đó T có duy nhất một điểm bất động trong C. Bổ đề 1.1.14 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach thực và T : C → C là ánh xạ liên tục giả co mạnh. Khi đó các khẳng định sau đây đúng: (i) Ánh xạ B := B = (2I − T )−1 là ánh xạ không giãn từ C vào chính nó. (ii) Nếu lim kxn − T xn k = 0 thì lim kxn − Bxn k = 0. n→∞ n→∞ Bổ đề 1.1.15 Giả sử rằng A là toán tử tuyến tính dương mạnh, bị chặn trên không gian Banach trơn X với hệ số γ̄ > 0 và 0 < ρ ≤ kAk−1 thì kI − ρAk ≤ 1 − ργ̄. 1.2 Điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H thực, T : C → C là một ánh xạ không giãn tức là kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C. Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu T x = x. Tập điểm bất động của T ký hiệu là F ix(T ). Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert được cho bởi định lý dưới đây. Định lý 1.2.1 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động. Dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động. Bài toán: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Hãy tìm x∗ ∈ C : T (x∗ ) = x∗ . 11 Phương pháp lặp Mann:  x ∈ C 0 xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0 (1.2) trong đó, {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1, ∞ X αn = ∞. n=0 Dãy lặp (1.2) được gọi là dãy lặp Mann. Nếu dãy {αn } được chọn thỏa ∞ P αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy {xn } xác định bởi (1.2) sẽ hội tụ yếu mãn n=0 đến một điểm bất động của ánh xạ T . Chú ý rằng nếu H là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.2) chỉ cho sự hội tụ yếu. Phương pháp lặp Halpern:  x ∈ C 0 (1.3) xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0 Trong đó, u ∈ C, αn ⊂ (0, 1). Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp Halpern. Nếu αn = n−α , αn ⊂ (0, 1) thì dãy lặp (1.3) hội tụ mạnh về điểm bất động của ánh xạ không giãn T . Wittmann R. đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn } về một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert nếu dãy số {αn } thỏa mãn các điều kiện sau (1) lim αn = 0; (2) n→∞ ∞ P (3) n=0 ∞ P αn = +∞; |αn+1 − αn | < ∞. n=0 Phương pháp lặp Ishikawa:    x0 ∈ C yn = βn xn + (1 − βn )T xn    xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (yn ), n ≥ 0 (1.4) 12 Trong đó, {αn }, {βn } là các dãy số thực trong đoạn [0, 1] thỏa mãn ∞ P 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1, n ≥ 1, lim βn = 0, αn βn = ∞ Dãy lặp (1.4) gọi n→∞ n=0 là dãy lặp Ishikawa. Trong trường hợp βn = 1, ∀n thì phương pháp lặp Ishikawa (1.4) trở thành phương pháp lặp Mann (1.2). Phương pháp lặp xấp xỉ mềm: Nội dung của phương pháp này được trình bày thông qua Định lí sau: Định lý 1.2.2 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H, T là ánh xạ không giãn trên C thỏa mãn F ix(T ) 6= ∅, f là ánh xạ co trên C với hệ số α̃ ∈ [0, 1), dãy {xn } là dãy sinh bởi x1 ∈ C và 1 λn f (xn ) + T xn , n ≥ 1 (1.5) xn = 1 + λn 1 + λn xn+1 = 1 λn f (xn ) + T xn , n ≥ 1 1 + λn 1 + λn (1.6) Trong đó, λn ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện sau: (1) lim λn = 0; (2) n→∞ ∞ P λn = ∞; n=0  ∞  P   1 1  = 0.  = − (3)   λn+1 λ n n=0 Khi đó dãy {xn } xác định bởi (1.6) hội tụ mạnh tới p∗ ∈ F ix(T ), ở đây p∗ = PF (T ) f (p∗ ). Ngoài ra, nếu dãy {λn } thỏa mãn điều kiện (1) ở trên thì dãy {xn } xác định bởi (1.5) hội tụ tới p∗ . Khi f (x) = u, ∀x ∈ C thì phương pháp xấp xỉ gắn kết trên trở về phương pháp lặp Halpern B. Phương pháp chiếu đường dốc:
xn+1 = PC xn − µn [xn − T (xn )] , ∀n ≥ 0. (1.7) Chương 1 đã đề cập đến một số khái niệm và các tính chất đặc trưng của không gian Banach. Trong chương sau, chứng ta sẽ dùng những nội dung này để chứng minh một số định lí liên quan đến bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn và một họ đếm được những ánh xạ không giãn. 13 Chương 2 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép cho bài toán điểm bất động Chương này gồm hai mục: Mục 2.1 đề cập đến bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn; mục 2.2 trình bày bài toán tìm điểm bất động của một họ đếm được các ánh xạ không giãn. Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ tài liệu [3] 2.1 Tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn Định lý 2.1.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach trơn đều X thỏa mãn C ± C ⊂ C. Cho T : C → C là ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ và F : C → C là α-accretive mạnh và λ-giả co chặt với α + λ > 1. Cho f : C → C là ánh xạ giả co mạnh thỏa r mãn 1−α điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, r0 ), r0 = 1 − λ và hệ số Lipschitzian L > 0. Cho A : C → C là γ̄-toán tử tuyến tính dương mạnh bị chặn với γ̄ ∈ (1, 2). Cho {xt } được xác định:   xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) ,   2 − γ̄ −1 trong đó 0 < θt ≤ kAk , ∀t ∈ 0, và lim θt = 0 thì khi t → 0, t→0 r0 − β {xt } hội tụ mạnh đến một điểm z nào đó trong T , z là nghiệm duy nhất trong F ix(T ) của bài toán bất đẳng thức biến phân dưới đây: h(A − I)z, J(z − p)i ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ). (2.1) 14 Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng dãy {xt } được định nghĩa đúng. Thật vậy, định nghĩa ánh xạ St : C → C xác định bởi: h
i St x = (I − θt A)T x + θt T x − t F (T x) − f (x) , ∀x ∈ C. Chú ý rằng: hSt x − St y, J(x − y)i =h(I − θt A)T x − (I − θt A)T y, J(x − y)i + θt h(I − tF )T x − (I − tF )T y, J(x − y)i + θt thf (x) − f (y), J(x − y)i  r ≤(1 − θt γ̄)kx − yk2 + θt 1 − t 1 − ! 1−α kx − yk2 λ + tθt βkx − yk2 ≤[1 − θt (γ̄ − 1) + t(r0 − β)]kx − yk2 .  2 − γ̄ thì St : C → C là ánh xạ liên tục và giả co mạnh Nếu t ∈ 0, r0 − β với hệ số giả co 1 − θt (γ̄ − 1 + t(r0 − β)) ∈ (0, 1). Do đó, theo Bổ đề 1.1.13, tồn tại duy nhất một điểm trong C (ký hiệu là xt ) là nghiệm duy nhất của phương trình:    xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t(F (T xt ) − f (xt )) . Ta chứng minh tính duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.1). Giả sử z1 , z2 ∈ F ix(T ) đều là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.1). Khi đó, ta có: h(A − I)z1 , J(z1 − z2 )i ≤ 0 và h(A − I)z2 , J(z2 − z1 )i ≤ 0 theo vế hai bài toán bất đẳng thức biến phân trên ta nhận được: h(A − I)z1 − (A − I)z2 , J(z1 − z2 )i ≤ 0. 15 Chú ý rằng h(A − I)z1 − (A − I)z2 , J(z1 − z2 )i = hA(z1 − z2 ), J(z1 − z2 )i − hz1 − z2 , J(z1 − z2 )i ≥ γ̄kz1 − z2 k2 − kz1 − z2 k2 = (γ̄ − 1)kz1 − z2 k2 ≥ 0. Nhớ rằng 0 < γ̄ − 1 < 1, ta có z1 = z2 . Khi đó tính duy nhất được chứng minh. Ta ký hiệu x̃ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.1). Tiếp theo, ta gọi {xt } là dãythực bị chặn.  2 − γ̄ Chú ý rằng 0 < θt ≤ kAk−1 , ∀t ∈ 0, . Lấy một điểm cố định γ0 − β p ∈ F ix(T ) bất kỳ. Sử dụng bổ đề 1.1.15, ta có kxt − pk2 D h E
i = (I − θt A)T xt + θt T xt − t F (T xt ) − f (xt ) − p, J(xt − p)  = (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p, J(xt − p)
 + θt T xt − t F (T xt ) − f (xt ) − p, J(xt − p)  + θt (I − A)p, J(xt − p)  = (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p, J(xt − p) h  + θt (I − tF )T xt − (I − tF )T p, J(xt − p)  i + t f (xt ) − f (p), J(xt − p) + f (p) − F (p), J(xt − p) + θt h(I − A)p, J(xt − p)i h ≤ (I − θt A)T xt − (I − θt A)T p kxt − pk + θt (1 − tγ0 )kxt − pk2
i 2 + t βkxt − pk + kf (p) − F (p)kkxt − pk + θt kI − Akkpkkxt − pk. Từ đó ta có kết quả h kxt − pk ≤(1 − θt γ̄)kxt − pk + θt (1 − tγ0 )kxt − pk
i + t βkxt − pk + kf (p) − F (p)k + θt kI − Akkpk. Khi đó ta có 16 kI − Akkpk + tkf (p) − F (p)k γ̄ − 1 + t(γ0 − β) kI − Akkpk + tkf (p) − F (p)k ≤ γ̄ − 1 kI − Akkpk + kf (p) − F (p)k . ≤ γ̄ − 1 kxt − pk ≤ Do đó dãy {xt } bị chặn. Giả sử rằng tn → 0 khi n → ∞. Đặt θn = θtn , xn := xtn và định nghĩa µ : C → R bởi µ(x) = LIM kxn − x0 k, ∀x ∈ C, trong đó LIM là giới hạn Banach trên l∞ . Giả sử  K = x ∈ C : µ(x) = min LIM kxn − x0 k2 . x∈C Dễ dàng thấy rằng K là tập con lồi đóng khác rỗng của X. Chú ý rằng kxn − T xn k = θn kT xn − tn (F (T xn ) − f (xn )) − AT xn k → 0 khi n → ∞. Theo Bổ đề 1.1.14, ta biết rằng ánh xạ B = (2I −T )−1 là ánh xạ không giãn và F ix(T ) = F ix(B), lim kxn − Bxn k = 0. Trong đó, I là toán n→∞ tử đồng nhất. Từ đó ta có µ(Bx) = LIM kxn −Bxk2 = LIM kBxn −Bxk2 ≤ LIM kxn −xk2 = µ(x). Suy ra B(K) ⊂ K; K là tập bất biến trên B. Từ tính trơn đều của không gian Banach có tính chất điểm bất động cho ánh xạ không giãn, B có điểm bất động z ∈ K. Từ z cũng là một cực tiểu hóa của µ trên C, ∀t ∈ (0, 1), x ∈ C, ta có
µ z + t(x − Az) − µ(z) 0≤ t kxn − z + t(Az − x)k2 − kxn − zk2 = LIM t D
E xn − z, J xn − z + t(Az − x) = LIM t 17 D
E xn − z, J xn − z + t(Az − x) = LIM t D
E ! t Az − x, J xn − z + t(Az − x) − kxn − zk2 + . t Từ X là không gian trơn đều, ta kết luận rằng ánh xạ đối ngẫu J là chuẩn liên tục đều trên tập con bị chặn bất kỳ của X. Cho t → 0, ta thấy rằng hai giới hạn có thể hoán đổi và chúng ta thu được LIM (x − Az, J(xn − z)) ≤ 0, ∀x ∈ C. (2.2) Mặt khác ta có xn − z =(I − θn A)T xn − (I − θn A)T z h i
+ θn T xn − tn F (T xn ) − f (xn ) − z + θn (I − A)z =(I − θn A)(T xn − T z) h i
+ θn tn F (xn ) − f (z) + (I − tn F )T xn − (I − tn F )z + θn (I − A)z. h  + θn tn f (xn ) − F z, J(xn − z) i + (I − tn F )T xn − (I − tn F )z, J(xn − z)  + θn (I − A)z, J(xn − z) h  2 ≤(1 − θn γ̄)kxn − zk + θn (1 − tn γ0 )kxn − zk2 + tn βkxn − zk2 Suy ra  kxn − zk2 = h(I − θn A)(T xn − T z), J(xn − z) i  + tn f (z) − F (z), J(xn − a) + θn (I − A)z, J(xn − z) h
i = 1 − θn γ̄ − 1 + tn (γ0 − β) kxn − zk2    + θn tn f (z) − F (z), J(xn − z) + (I − A)z, J(xn − z) . Vậy ta có