Tài liệu Phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của phương trình laplace với điều kiện biên kì dị

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 1.2 1.3 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . . . 8 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 10 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . . 10 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . 13 Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng nghiệm yếu . . 16 2 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) đối với bài toán biên có biên kì dị 20 2.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) . . . . . . . . . . . . 22 2.3 2.2.1 Cơ sở phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Các phương pháp BAMs . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ứng dụng của phương pháp BAMs cho bài toán Motz . . . 24 2.3.1 2.4 Các phương pháp BAMs . . . . . . . . . . . . . . . 25 Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.4.1 Penalty BAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Hybrid BAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3 Penalty/Hybrid BAM . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh 37 3.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz 44 3.4 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Rn Ω ∂Ω C k (Ω) L2 (Ω) W 1,p (Ω) H 1/2 (∂Ω) H01 (Ω) H −1 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω) k . kV (.)V Cγ (Ω) CΩ E Toán tử elliptic. Không gian Euclide n chiều. Miền giới nội trong không gian Rn . Biên trơn Lipschitz. Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục. Không gian các hàm đo được bình phương khả tích. Không gian Sobolev với chỉ số p. Không gian Sobolev với chỉ số 1/2. Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω. Không gian đối ngẫu với H01 (Ω). Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω). Chuẩn xác định trên không gian V . Tích vô hướng xác định trên không gian V . Hằng số vết. Hằng số Poincare. Ma trận đơn vị. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Khi mô hình bài toán mô tả các quá trình trong các môi trường liên tục thường dẫn đến các bài toán biên với các loại điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi trên một biên chỉ gồm một loại điều kiện biên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp yếu. Đối với bài toán này đã có nhiều công trình nghiên cứu về các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn của các tác giả trên thế giới công bố nhiều năm qua. Tuy nhiên trong trường hợp khi trên một đoạn biên gồm hai loại điều kiện biên được phân cách tại một điểm nào đó trên biên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay còn gọi là bài toán biên với điều kiện biên kì dị. Do tính chất thay đổi của điều kiện biên sẽ sinh ra điểm kì dị tại điểm phân chia. Đối với bài toán này, các phương pháp thông thường này sẽ gặp khó khăn. Năm 2006, các tác giả Z. C. Li, Y. L. Chan, G. C. Georgiov, C. Xenophontos khi nghiên cứu về bài toán Motz đã đưa ra các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường được gọi là các phương pháp BAMs [1]. Ngoài phương pháp trên việc tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán với biên kì dị có thể sử dụng các sơ đồ lặp trên cơ sở của phương pháp chia miền [2, 3, 4]. Nội dung chính của luận văn là trình bày cơ sở của phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của bài toán biên với điều kiện biên kì dị bằng các phương pháp BAMs, đánh giá sai số của các phương pháp tương ứng cùng các kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz, đồng thời đưa ra phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm của bài toán Motz tương ứng cũng như trường hợp tổng quát, tiến hành thực nghiệm tính toán, so sánh độ chính xác giữa hai phương pháp xấp xỉ biên 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 theo BAMs và phương pháp chia miền đối với bài toán Motz. Luận văn gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau: Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức quan trọng về các không gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, khái niệm về nghiệm yếu, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thông qua bài toán cực trị phiếm hàm. Đây là các kiến thức quan trọng để trình bày các nội dung trong chương 2 của luận văn. Chương 2: Luận văn trình bày cơ sở toán học của các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (các phương pháp BAMs) bao gồm mối quan hệ giữa bài toán Galerkin và bài toán cực trị phiếm hàm, ứng dụng của các phương pháp BAMs đối với các bài toán Motz đồng thời đưa ra các kết quả đánh giá sai số của phương pháp, các kết quả thực nghiệm trong các trường hợp cụ thể. Các kết quả này đã được đưa ra trong tài liệu [1]. Chương 3: Luận văn trình bày phương pháp chia miền giải bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, sự hội tụ của phương pháp. Xuất phát từ sơ đồ lặp chia miền tổng quát, luận văn đưa ra kết quả áp dụng thuật toán chia miền giải bài toán Motz, tiến hành tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử để xác định tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ đồ lặp, so sánh kết quả với các phương pháp BAMs do các giả đã đưa ra trong tài liệu [1]. Mở rộng việc áp dụng thuật toán trong trường hợp tổng quát từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương pháp chia miền trong việc xác định nghiệm xấp xỉ đối với các bài toán biên với điều kiện biên kì dị. Các kết quả được tính toán số trong luận văn được lập trình trên môi trường Matlab version 7.0 chạy trên máy tính PC. Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 1.1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm Không gian C k (Ω) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ...) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn X k u kC k (Ω) = max | Dα u(x) |, (1.1) pαp=k trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ) là vecto với các tọa độ nguyên không âm, ∂ α1 +α2 +...+αn u α | α |= α1 + α2 + ... + αn , D u = . ∂xα1 1 ...∂xαnn Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k , kể cả k . Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) là một không gian Banach. 1.1.2 Không gian Lp (Ω) Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương. Ta ký hiệu Lp (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trong Ω sao cho Z | f (x) |p dx < ∞. (1.2) Ω Trong Lp (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như vậy các phần tử của Lp (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Vì | f (x) + g(x) |p ≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p (| f (x) |p + | g(x) |p ) nên rõ ràng Lp (Ω) là một không gian vectơ. Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm k . kp được xác định bởi Z  p1 p k u kp = | f (x) | dx . Ω Định lí 1.1. (Bất đẳng thức Höder) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω) thì uv ∈ Lp (Ω) và Z | u(x)v(x) | dx ≤k u(x) kp . k v(x) kp0 , Ω trong đó p0 = p 1 1 , tức là + 0 = 1, p0 được gọi là số mũ liên hợp đối p−1 p p với p. Định lí 1.2. ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1 < p < ∞ thì k f + g kp ≤k f kp + k g kp . Định lí 1.3. Không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach. 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1. Cho Ω là miền trong Rn . Hàm u(x) được gọi là khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong Ω. Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền trong Rn . Giả sử u(x), v(x) là hai hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức Z Z ∂kϕ k u k1 dx = (−1) vϕ dx ∂x1 ...∂xknn Ω 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + k2 + ... + kn , ki ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n). Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x). Ký hiệu ∂ku ∂xk11 ...∂xknn v(x) = Thường ký hiệu ∂ku D u = u; D u = k1 ∂x1 ...∂xknn 0 k Định nghĩa 1.3. Giả sử p là một số thực, 1 ≤ p < ∞, Ω là miền trong Rn . Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như sau W 1,p (Ω) = {u | u ∈ Lp (Ω), ∂u ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, ..., n}, ∂xi trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng. Với p = 2, ta ký hiệu W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω), nghĩa là H 1 (Ω) = {u | u ∈ L2 (Ω), ∂u ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, ..., n}. ∂xi Bổ đề 1.1. i) Không gian W 1,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn k u kW 1,p (Ω) =k u kLp (Ω) + n X i=1 k ∂u kLp (Ω) . ∂xi ii) Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v)H 1 (Ω) 1.1.4 n X ∂u ∂v = (u, v)L2 (Ω) + ( , )L2 (Ω) , ∂x ∂x i i i=1 ∀u, v ∈ H 1 (Ω). Vết của hàm Định nghĩa 1.4. Không gian Sobolev W01,p (Ω) được định nghĩa như các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω tương ứng với chuẩn của W 1,p (Ω). Không gian H01 (Ω) được định nghĩa bởi H01 (Ω) = W01,2 (Ω). 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Định lí 1.4. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó i) Nếu 1 ≤ p < n thì W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) là: - Nhúng compact đối với q ∈ [1, p∗ ), trong đó 1 1 1 = − . p∗ p n - Nhúng liên tục với q = p∗ . ii) Nếu p = n thì W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞). iii) Nếu p > n thì W01,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω) là nhúng compact. Định lí 1.5. (Định lý vết) Giả sử Ω là tập mở trong Rn sao cho biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục γ : H 1 (Ω) −→ L2 (∂Ω) sao cho với bất kỳ u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta có γ(u) = u |∂Ω . Hàm γ(u) được gọi là vết của u trên ∂Ω. Định nghĩa 1.5. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ , tức là H 1/2 (∂Ω) = γ(H 1 (Ω)). Định lí 1.6. i) H 1/2 (∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn Z Z Z | u(x) − u(y) |2 2 k u kH 1/2 (∂Ω) = dSx dSy . | u(x) | dSx + | x − y |n+1 ∂Ω ∂Ω ∂Ω ii) Tồn tại một hằng số Cγ (Ω) sao cho k γ(u) kH 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω) k u kH 1 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω). Khi đó, Cγ (Ω) được gọi là hằng số vết. Bổ đề 1.2. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω) có các tính chất sau: i) Tập {u |∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật trong H 1/2 (∂Ω). 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) là compact. iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H 1/2 (∂Ω) 7−→ ug ∈ H 1 (Ω) với γ(ug ) = g và tồn tại hằng số C1 (Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho k ug kH 1 (Ω) ≤ C1 (Ω) k g kH 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω). Bổ đề 1.3. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó H01 (Ω) = {u | u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0}. Định lí 1.7. (Bất đẳng thức Poincaré) Tồn tại hằng số CΩ sao cho: k u kL2 (Ω) ≤ CΩ k Ou kL2 (Ω) . Nhận xét 1.1. Bất đẳng thức Poincaré có ý nghĩa rằng k u k=k Ou kL2 (Ω) là một chuẩn trên H01 (Ω) được xác định bởi k u k2H 1 (Ω) =k u k2L2 (Ω) + k Ou k2L2 (Ω) . Định lí 1.8. ( Bất đẳng thức Poincaré mở rộng) Giả sử biên Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , trong đó Γ1 , Γ2 là các tập đóng , rời nhau, Γ1 có độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số CΩ sao cho k u kL2 (Ω) ≤ CΩ k Ou kL2 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0 trên Γ1 . 1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm Định nghĩa 1.6. Ký hiệu H −1 (Ω) là không gian Banach được định nghĩa bởi H −1 (Ω) = (H01 (Ω))0 , 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 tức là không gian đối ngẫu của H01 (Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H −1 (Ω) được xác định như sau k F kH −1 (Ω) =    F, u sup H −1 (Ω),H01 (Ω) k u kH01 (Ω) H01 (Ω)\{0}   , trong đó Z  F, u H −1 (Ω),H 1 (Ω) = F u dx. 0 Ω Bổ đề 1.4. Cho F ∈ H −1 (Ω). Khi đó tồn tại n + 1 hàm f0 , f1 , ..., fn trong L(Ω) sao cho F = f0 + n X ∂fi i=1 Hơn nữa kF k2H −1 (Ω) = inf ∂xi n X . (1.3) k fi k2L2 (Ω) , i=1 trong đó infimum lấy trên tất cả các vecto (f0 , f1 , ..., fn ) trong [L2 (Ω)]n+1 thoả mãn điều kiện (1.3). Định nghĩa 1.7. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H −1/2 (∂Ω) là không gian Banach được định nghĩa bởi H −1/2 (∂Ω) = (H 1/2 (∂Ω))0 , tức là không gian đối ngẫu của không gian H 1/2 (∂Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H −1/2 (∂Ω) được xác định như sau     F, u −1/2  H (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) k F kH −1/2 (∂Ω) = sup , k u kH 1/2 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω)\{0} trong đó  F, u H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) = Z F u dS. ∂Ω 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Bổ đề 1.5. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H −1/2 (∂Ω) có các tính chất sau i) Nhúng L2 (∂Ω) ⊃ H −1/2 (∂Ω) là compact. ii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục v ∈ H(Ω, div) 7−→ v.n ∈ H −1/2 (∂Ω), với không gian H(Ω, div) = {v|v ∈ L2 (Ω), divv ∈ L2 (Ω)}. Hơn nữa, nếu v ∈ H(Ω, div) và w ∈ H 1 (Ω) thì Z Z  − (divv)w dx = vOw dx + v.n, w H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) . Ω 1.2 1.2.1 Ω Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai Khái niệm nghiệm yếu của phương trình Xét phương trình −4u = f (1.4) Giả sử u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.4) thoả mãn trong miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4). Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C0∞ (Ω) nhân với hai vế của (1.4) với ϕ rồi lấy tích phân trong miền Ω ta được Z Z − 4uϕ dx = f ϕ dx. Ω (1.5) Ω Áp dụng công thưc Green vào (1.5) và kết hợp với điều kiện ϕ|∂Ω=0 ta có Z X Z n ∂ϕ ∂u dx = f ϕ dx, ∂x ∂x i i i=1 Ω 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.6) Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 hay Z Z f ϕ dx. OuOϕ dx = Ω Ω Như vậy, nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4) hệ thức (1.6) thỏa mãn. Nhưng nếu f ∈ / C(Ω) thì phương trình (1.4) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L2 (Ω). Định nghĩa 1.8. Giả sử u ∈ H 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω), u được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thoả mãn. Mệnh đề 1.1. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −4u = f. Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.4), tức là u ∈ H 1 (Ω) và ta có (1.6) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C 2 (Ω) ta suy ra Z (4u + f )ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω). Ω Vì D(Ω) trù mật trong L2 (Ω), 4u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên 4u + f = 0 trong L2 (Ω). Nhưng vì 4u liên tục nên 4u + f ≡ 0 trong C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4). 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên • Bài toán Dirichlet Xét bài toán n −4u = f, u = ϕ, x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω, (1.7) trong đó f ∈ L2 (Ω). Hàm u ∈ H 1 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.7) nếu u − w ∈ H01 (Ω), 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 trong đó w là hàm thuộc H 1 (Ω), có vết bằng ϕ và Z Z OuOv dx = f v dx, ∀v ∈ H01 (Ω) (1.8) Ω Ω Nhận xét 1.2. - Nghiệm yếu của bài toán (1.7) là nghiệm yếu của phương trình −4u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u ∈ H 1 (Ω) thoả mãn (1.8) với mọi v ∈ C0∞ (Ω) ⊂ H01 (Ω). - Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.7) và u, f, ϕ đủ trơn thì u là nghiệm theo nghĩa cổ điển. • Bài toán Neumann Xét bài toán ( −4u = f, x ∈ Ω, ∂u (1.9) = h, x ∈ ∂Ω, ∂ν trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω̄), u ∈ C 2 (Ω̄) là nghiệm cổ điển. Nhân hai vế của phương trình −4u = f với v ∈ H 1 (Ω) rồi lấy tích phân ta được Z − Z v4u dx = Ω vf dx. (1.10) Ω Áp dụng công thức Green vào (1.10) ta có Z Z Z ∂u − v dS + OuOv dx = vf dx, ∂ν Ω ∂Ω Ω kết hợp với (1.9) ta suy ra Z Z Z OuOv dx = f v dx + hv dS, Ω Ω ∀v ∈ H 1 (Ω). (1.11) ∂Ω Định nghĩa 1.9. Nếu h ∈ L2 (∂Ω), f ∈ L2 (Ω) thì nghiệm yếu của bài toán Neumann (1.9) là hàm u ∈ H 1 (Ω) thoả mãn (1.11). 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Nhận xét 1.3. Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ cho một loại điều kiện biên. Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn hợp  −4u = f, x ∈ Ω,   u = ϕ, x ∈ Γ1 ,   ∂u = h, x ∈ Γ2 . ∂ν Trong trường hợp này, ta đưa vào không gian V = {v ∈ H 1 (Ω), v|Γ1 = 0}. Giả sử w ∈ H 1 (Ω) : w|Γ1 = ϕ. Khi đó, nghiệm yếu của phương trình −4u = f với các điều kiện biên trên là hàm u ∈ H 1 (Ω) sao cho u−w ∈ V và Z Z Z OuOv dx = vf dx + vh dS, ∀v ∈ V. Ω 1.2.3 Ω Γ2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Định lí 1.9. (Định lý Lax-Milgram) Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (v, u). B(v, u) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H , tức là tồn tại k > 0 sao cho |B(v, u)| ≤ k k v kk u k, ∀u, v ∈ H và tồn tại α > 0 sao cho B(v, u) ≥ α k v k2 , ∀v ∈ H. Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn trong dạng F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H, trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và k z k≤ 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 kF k. α http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 ( Nói cách khác là với mọi v ∈ H , bài toán biến phân B(v, z) = F (v) có 1 duy nhất nghiệm z ∈ H thoả mãn k z k≤ k F k). α • Bài toán Dirichlet thuần nhất Xét bài toán n −4u = f, u = 0, x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω, (1.12) trong đó f ∈ L2 (Ω). Bài toán (1.12) có nghiệm yếu là hàm u ∈ H01 (Ω) thoả mãn B(u, v) = F (v), ∀v ∈ H01 (Ω) (1.13) trong đó Z Z OuOv dx, B(u, v) = F (v) = Ω f v dx. Ω Kiểm tra các điều kiện của định lý Lax-Milgram ta thấy B(u, v) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục. Từ bất đẳng thức Fridrich Z Z 2 C |Ov| dx ≥ |v|2 dx Ω Ω suy ra Z (1 + C) |Ov|2 dx ≥k v k2H 1 (Ω) . Ω Do đó Z B(v, u) = |Ov|2 dx ≥ 1 k v k2H 1 (Ω) . 1+C Ω Như vậy B(u, v) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H. Theo định lý Lax-Milgram, bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất u ∈ H01 thoả mãn k u kH 1 (Ω) ≤ (1 + C) k F k . Vì k v kL2 (Ω) ≤k v kH01 (Ω) nên k F k= sup v6=0 k f kL2 (Ω) k v kL2 (Ω) |F (v)| ≤ sup ≤k f kL2 (Ω) k v kH01 (Ω) k v kH01 (Ω) v6=0 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Do đó k u kH 1 (Ω) ≤ (1 + C) k f kL2 (Ω) . • Bài toán Dirichlet không thuần nhất Xét bài toán n −4u = f, x ∈ Ω, u = ϕ, x ∈ ∂Ω, (1.14) trong đó ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω), f ∈ L2 (Ω). Vì ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω) nên tồn tại w ∈ H 1 (Ω) sao cho w|∂Ω = ϕ. Khi đó, nghiệm yếu của bài toán (1.14) là hàm u ∈ H 1 (Ω) thoả mãn điều kiện u − w ∈ H01 (Ω) và B(u, v) = (f, v)L2 (Ω) , ∀v ∈ H01 (Ω), trong đó Z B(u, v) = OuOv dx. Ω Theo định lý Lax-Milgram, tồn tại duy nhất z ∈ H01 (Ω) sao cho B(z, v) = (f, v)L2 (Ω) − B(w, v). Khi đó, hàm u = w + z là nghiệm yếu của bài toán (1.14). Thật vậy, ta có u − w ∈ H01 (Ω) và B(u, v) = B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v) = B(w, v) + (f, v)L2 (Ω) − B(w, v) = (f, v)L2 (Ω) , tức là tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.14). Ta đánh giá nghiệm: Theo định lý Max-Milgram ta có " # |(f, v)L2 (Ω) | 1 B(w, v) k z kH01 (Ω) ≤ sup + sup . α v6=0 k v kH01 (Ω) v6=0 k v kH01 (Ω) Ta thấy |(f, v)L2 (Ω) | ≤k f kL2 (Ω) , k v kH01 (Ω) 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn