Tài liệu Phương pháp vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối tài liệu khảo sát hàm số tổng hợp đầy đủ dạng

Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. PHÖÔNG PHAÙP KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Dạng 1 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C1 ) : y1 = f ( x) y ( ) : C y y = =  1 Ta coù: 1 − y Do ñoù ñoà thò Neáu y ≥ 0 Neáu y ≤ 0 (C1 ) : y1 = f ( x) coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía döôùi Ox laáy ñoái xöùng qua Ox Dạng 2 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C2 ) : y2 = f ( x ) Nhaän xeùt : Neân (C2 ) : y2 = f ( x ) laø haøm soá chaün (C2 ) : y2 = f ( x ) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng.  f ( x) = y Neáu x ≥ 0 (1) C y = f x = ( ) : ( )  2 2 Ta coù: Neáu x ≤ 0  f (− x) Do ñoù ñoà thò (C2 ) : y2 = f ( x ) coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía beân phaûi Oy ( Do (1) ta coù) + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Oy vì haøm soá chaün Dạng 3 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C3 ) : y3 = f ( x) Nhaän xeùt : Neáu M ( x0 ; y0 ) ∈ (C3 ) ⇒ M ( x0 ; − y0 ) ∈ (C3 ) Neân Ta coù: (C3 ) : y3 = f ( x) nhaän Ox laøm truïc ñoái xöùng. (C3 ) : y3 = f ( x) = y ⇒ y3 = y Neáu y ≥ 0 Trang 1 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Do ñoù ñoà thò (C3 ) : y3 = f ( x) coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox . Dạng 4 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) = u ( x ).v ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C4 ) : y4 = u ( x) .v( x) Ta coù: Neáu u ( x) ≥ 0 u ( x ).v ( x) = f ( x ) = y (C4 ) : y4 = u ( x) .v( x) =  −u ( x).v( x ) = − f ( x ) = − y Neáu u ( x ) ≤ 0 Do ñoù ñoà thò (C4 ) : y4 = u ( x) .v( x) coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm treân mieàn u ( x ) ≥ 0 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm treân mieàn u ( x ) ≤ 0 laáy ñoái xöùng qua Ox Ta hay gaëp daïng ñôn giaûn sau: Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) = ( x − a ).v ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C4 ) : y4 = x − a .v( x), a ∈ ℝ Ta coù: Neáu x ≥ a ( x − a ).v ( x) = f ( x) = y (C4 ) : y4 = x − a .v( x) =   −( x − a ).v( x) = − f ( x ) = − y Neáu x ≤ a Do ñoù ñoà thò (C4 ) : y4 = x − a .v( x), a ∈ ℝ coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân phaûi ñöôøng thaúng x = a + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân traùi ñöôøng thaúng x = a laáy ñoái xöùng qua Ox. Trang 2 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. TOÅNG QUAÙT Töø 4 daïng ñoà thò coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái cô baûn treân ta coù theå suy ra nhieàu daïng ñoà thò coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái khaùc chaúng haïn: Dạng 5 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C5 ) : y5 = f ( x ) Ñeå veõ Dạng 6 (C5 ) : y5 = f ( x ) ta laøm 2 böôùc nhö sau: + Böôùc 1: veõ y51 = f ( x ) = g ( x) döïa vaøo daïng 2 + Böôùc 2: veõ y5 = f ( x ) = g ( x) döïa vaøo daïng 1 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C6 ) : y6 = f ( x ) Ñeå veõ Dạng 7 (C6 ) : y6 = f ( x ) ta laøm 2 böôùc nhö sau: + Böôùc 1: veõ y61 = f ( x ) = g ( x) + Böôùc 2: veõ y6 = g ( x) döïa vaøo daïng 2 döïa vaøo daïng 3 Dựa vào ñồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) suy ra ñồ thị hàm số (C7 ) : y7 = f ( x ) Ñeå veõ (C7 ) : y7 = f ( x ) ta laøm 3 böôùc nhö sau: + Böôùc 1: veõ y71 = f ( x ) = g ( x) + Böôùc 2: veõ y72 = f ( x ) = g ( x) = h( x) + Böôùc 3: veõ (C7 ) : y7 = h( x) Trang 3 döïa vaøo daïng 2 döïa vaøo daïng 1 döïa vaøo daïng 3 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA Ví duï 1. 3 2 Cho haøm soá y = 2 x − 3 x + 1 coù ñoà thò (C). 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng thaúng x = − 1. 3 2 3) Tìm tham soá m ñeå phöông trình 2 x − 3 x + 2 = m coù boán nghieäm phaân bieät. Giaûi 1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
TXÑ: D = R 2
y ' = 6 x − 6 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoaëc x = 1
HSÑB treân khoaûng ( −∞ ;0) ; ( 1; +∞ ). HSNB treân khoaûng ( 0;1 ) Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 0; yCÑ = 1 ; Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x =1; yCT = 0 y = ±∞
xlim →±∞
BBT x −∞ y 0 1 ÑÑB: P( − 1; − 4) Q(2;5) +∞ y’ + 0 – 0 + 1 +∞ y CÑ CT −∞ 0 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1
y '' = 12 x − 6 ; y '' = 0 ⇔ x = 1/2 x −∞ y’ – ÑTHS Loài Q 5 NX: Ñoà thò nhaän ñieåm uoán I laøm taâm ñoái xöùng P 1/2 +∞ 0 + ÑU Loõm I(1/2;1/2) -1 O 1 2 3 4 3 2 y = 2 x − 3 x +1 -3 -2 -4 -5 Hình 1 2) Vieát PTTT cuûa ñoà thò (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng thaúng x = − 1 x = − 1 => y = f( − 1) = − 4 => giao ñieåm M( − 1; − 4) pttt coù daïng d: y = f ' ( x 0 ).( x − x 0 ) + y 0 . f '( x0 ) = f '(−1) = 12 => pttt d: y = 12( x + 1) − 4 = 12 x + 8 . Trang 4 5 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 3 3) Tìm tham soá m ñeå phöông trình 2 x − 3 x + 2 = m coù boán nghieäm 2 phaân bieät. 3 3 2 2 Ta coù: 2 x − 3 x + 2 = m ⇔ 2 x − 3 x + 1 = m − 1 3 2 Ñaây laø PT HÑGÑ cuûa ñoà thò (C1 ) : y1 = 2 x − 3 x + 1 vaø ñöôøng thaúng d: y = m − 1  2 x 3 − 3 x 2 + 1 neuá x ≥ 0 T a coù (C1 ) : y1 =  3 2  −2 x − 3 x + 1 neáu x < 0 => (C1 ) coù 2 phaàn ñoà thò: Phaàn I : Ñoà thò (C) naèm beân phaûi truïc Oy (caû ñieåm naèm treân Oy) Phaàn II : Laáy ñoái xöùng ñoà thò Phaàn I qua Oy vì haøm soá y1 laø haøm soá chaün Veõ (C1 ) ( Hình 2) y Q 5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 O 1 2 3 4 3 y1 = 2 x −3x2 +1 -4 -5 Döïa vaøo (C1 ) ta coù: 0 < m − 1 < 1 Hình 2 <=> 1 < m < 2 1 4 x − 4 x 2 + 3 coù ñoà thò laø (C) 2 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Ví duï 2. Cho haøm soá y = Trang 5 5 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. b) Ñònh m ñeå phöông trình : bieät. c) Ñònh m ñeå phöông trình : 1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 4 nghieäm phaân 2 1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 8 nghieäm phaân 2 bieät. Giaûi a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá.
TXÑ: D = R.Haøm soá chaün 3
y ' = 2 x − 8 x ; y ’= 0 <=> x = 0 hoaëc x = ± 2
Giôùi haïn : xlim →±∞ y = +∞ BBT : 2 +∞ x −∞ –2 0 y’ – 0 + 0 – 0 + +∞ 3 +∞ y CT CÑ CT –5 –5
HSÑB treân khoaûng (–2;0) vaø (2; +∞ ). HSNB treân khoaûng ( −∞ ;–2) vaø (0;2)
y '' = 6 x 2 − 8 ; y '' = 0 ⇔ x = ±2 3 / 3 BXD y ’’ x −∞ – 2 3 / 3 2 3 / 3 +∞ y ’’ + 0 – 0 + ÑT (C) Loõm ÑU Loài ÑU Loõm (–2 3 / 3 ;–13/9) (2 3 / 3 ;–13/9)
Ñoà thò: o NX: ñoà thò nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng o ÑÑB: A(–3; 15/2), B(3;15/2) Trang 6 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 8 y 7 6 5 4 CÑ ← 3 → 2 1 A B x O -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 ← → -5 CT -6 -7 b) Ñònh m ñeå phöông trình : 1 2 3 y= 4 5 6 1 4 x − 4x2 + 3 2 ← → CT 1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 4 nghieäm phaân bieät. 2 YCBT <=> −5 < lg m < 3 <=> lg10−5 < lg m < lg103 ⇔ 10−5 < m < 103 1 4 x − 4 x 2 + 3 = lg m coù 8 nghieäm phaân bieät. 2 1 Ñaây laø PT HÑGÑ cuûa ñoà thò (C1 ) : y1 = x 4 − 4 x 2 + 3 vaø ñöôøng thaúng 2 d: y = m − 1 c) Ñònh m ñeå phöông trình : y Neáu y ≥ 0 − y Neáu y ≤ 0 T a coù : (C1 ) : y1 = y =  Do ñoù ñoà thò (C1 ) : y1 = f ( x) coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía döôùi Ox laáy ñoái xöùng qua Ox y 5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 -2 -3 1 y1 = x4 − 4x2 + 3 2 -4 -5 Trang 7 2 3 4 5 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. YCBT <=> 0 < lg m < 3 <=> lg1 < lg m < lg103 ⇔ 1 < m < 1000 Veõ ñồ thị hàm số Ví duï 3. Ta veõ ñoà thò haøm soá x2 (C1 ) : y1 = x −1 x2 (C ) : y = x −1 8 7 6 5 4 3 2 1 x2 (C) : y = x −1 -5 -4 -3 -2 -1 y x 1 -1 -2 -3 x2 (C1 ) : y1 = Döïa vaøo (C) ta coù: x −1 2 3 4 5 coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân phaûi ñöôøng thaúng x = 1 + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm beân traùi ñöôøng thaúng x = 1 laáy ñoái xöùng qua Ox. x2 (C1 ) : y1 = x −1 -5 -4 -3 -2 -1 8 7 6 5 4 3 2 1 y -1 -2 -3 Trang 8 x 1 2 3 4 5 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Ví duï 4. Veõ ñồ thị hàm số Ta veõ ñoà thò haøm soá (C1 ) : y1 = (C ) : y = x −1 x +1 x −1 x +1 y 5 4 (C) : y = 3 x −1 x +1 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 x −1 ( C ) : y = 1 1 Döïa vaøo (C) ta coù: x +1 coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox . y 5 4 3 (C1): y1 = 2 x −1 x +1 1 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 Trang 9 1 2 3 4 5 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Ví duï 5. Veõ ñồ thị hàm số Döïa vaøo ñoà thò haøm soá x2 (C5 ) : y5 = x −1 x2 (C5 ) : y5 = x −1 x2 (C ) : y = x −1 ôû ví duï 3 ta coù: coù 2 phaàn ñoà thò : + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C ) : y = f ( x ) naèm phía beân phaûi Oy + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Oy vì haøm soá chaün 8 7 6 5 4 3 2 1 x2 (C 5 ) : y5 = x −1 -5 Ví duï 6. -4 -3 -2 -1 Veõ ñồ thị hàm số Döïa vaøo ñoà thò haøm soá -1 -2 -3 -4 -5 y x 1 2 3 4 5 x2 (C6 ) : y6 = x −1 x2 (C5 ) : y5 = x −1 Trang 10 ôû ví duï 5 ta coù: Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. x2 (C6 ) : y6 = x −1 coù 2 phaàn ñoà thò : (C5 ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò (C5 ) naèm phía döôùi Ox + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò laáy ñoái xöùng qua Ox 8 7 6 5 4 3 2 1 x2 (C 6 ) : y 6 = x −1 -5 -4 Ví duï 7. -3 -2 -1 Veõ ñồ thị hàm số -1 -2 -3 -4 -5 y x 1 2 3 4 5 x2 (C7 ) : y7 = x −1 Döïa vaøo ñoà thò haøm soá x2 (C6 ) : y6 = x −1 x2 (C7 ) : y7 = x −1 coù 2 phaàn ñoà thò : ôû ví duï 6 ta coù: + Phaàn 1: laø phaàn ñoà thò (C6 ) naèm phía treân Ox + Phaàn 2: laø phaàn ñoà thò 1 laáy ñoái xöùng qua Ox . Trang 11 Moät soá phöông phaùp veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. x2 (C7 ) : y7 = x −1 -5 -4 -3 -2 7 6 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 Trang 12 y x 1 2 3 4 5