Tài liệu Phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bải toán biến đổi với phương trình ELLIPTIC không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 KÍ HIỆU Rn là không gian thực n chiều. Ω là miền bị chặn có biên trơn trong Rn . ∂Ω là biên của Ω. α = (α1 . . . . , αn ), αi ∈ N(i = 1, . . . , n) được gọi là đa chỉ số. |α| = α1 + . . . + αn được gọi là cấp của đa chỉ số α. kukX chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert. hu, vi: tích trong của u và v trong không gian Hilbert. ∂ |α| u α . D u = α1 α2 ∂x1 ∂x2 . . . ∂xαnn Dk u ={Dα u : |α| = k}.  ∂u ∂u ∂u ∇u = ; ;...; . ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = 2 + 2 + . . . + 2 . ∂x1 ∂x2 ∂xn Các không gian hàm: C k (Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k}. ∞ \ ∞ C (Ω) = C k (Ω) : các hàm khả vi vô hạn trong Ω. k=0 k ∞ C0 (Ω), C0 (Ω) kí hiệu các hàm trong C k (Ω), C ∞ (Ω)với giá compact. W 1,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}với chuẩn kukW 1,p = kukLp (Ω) + k∇ukLp (Ω) . W01,p (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = 0 trên ∂Ω} với chuẩn kukW01,p = k∇ukLp (Ω) . W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu của W01,p (Ω), 1 1 + = 1. p q H01 (Ω) : không gian hàm W01,p (Ω) với p = 2. H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = 2. Mục lục Lời nói đầu 3 1 Phương pháp toán tử đơn điệu. 5 1.1 Giới thiệu chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bài toán xuất phát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Toán tử trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được . . . . . . . . 24 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính. 27 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Toán tử −∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Một số định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 35 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 35 Mục lục 2.2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . 2.2.3 42 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient 45 2.2.4 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 phụ thuộc tham số với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 48 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . 2.3.2 50 50 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient. 54 2.3.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 62 -2- Lời nói đầu Các phương pháp của giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Trong luận văn này, tác giả trình bày về phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 bao gồm các kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu trên Rn , trên không gian Hilbert thực, không gian Hilbert thực tách được. Chương 2 của luận văn xét việc áp dụng phương pháp toán tử đơn điệu nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán Dirichlet và Neumann với những lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với phần chính là toán tử Laplace − ∆u = g(x, u) hoặc − ∆u = h(x, u, ∇u) trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong Rn . Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tích của khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ 3 Mục lục vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc. Tác giả Nguyễn Thị Duyên. -4- Chương 1 Phương pháp toán tử đơn điệu. 1.1 Giới thiệu chung. Giải tích phi tuyến là một lĩnh vực tương đối rộng. Về một khía cạnh nào đó nó cho chúng ta những bài toán thực tế hơn so với giải tích tuyến tính. Vì thế việc giải các bài toán phi tuyến cũng khó khăn hơn và ta thường sử dụng các kết quả của bài toán tuyến tính tương ứng. Một số phương pháp truyền thống thường được sử dụng khi giải quyết các bài toán phi tuyến đó là: Phương pháp hàm Green, phương pháp biến phân, phương pháp bậc ánh xạ, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động, phương pháp toán tử đơn điệu .... Mỗi phương pháp đều có những ưu - nhược điểm riêng mà nếu nắm rõ chúng, ta có thể lựa chọn sử dụng đối với từng bài toán cụ thể. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp toán tử đơn điệu. 1.2 Bài toán xuất phát. Định nghĩa 1.2.1. Cho một toán tử F : R → R. Ta nói: (i) F đơn điệu tăng nếu F (x) ≤ F (y), 5 ∀x < y. 1.2. Bài toán xuất phát. (ii) F đơn điệu giảm nếu F (x) ≥ F (y), ∀x < y. (iii) F đơn điệu tăng thực sự nếu F (x) < F (y), ∀x < y. (iv) F đơn điệu giảm thực sự nếu F (x) > F (y), ∀x < y. (v) F đơn điệu nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm. (vi) F đơn điệu thực sự nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm thực sự. Định lý 1.2.1. Cho một hàm số F : R → R liên tục. Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình F (x) = y (1.1) có nghiệm duy nhất x ∈ R với mỗi y ∈ R là: (i) F đơn điệu thực sự. (i) |F (x)| → ∞ khi |x| → ∞. Chứng minh. Điều kiện cần: (i) Giả sử ngược lại F không đơn điệu thực sự. Thế thì tồn tại u < v < x thỏa mãn F (u) < F (x) < F (v). Vì F liên tục nên tồn tại z ∈ (u, v) sao cho F (z) = F (x). Điều này mâu thuẫn với tính duy nhất nghiệm của phương trình F (x) = y . Do đó F đơn điệu thực sự. (ii) Hiển nhiên. Điều kiện đủ: giả sử F liên tục và đơn điệu thực sự trên R suy ra F là song ánh trên R. Từ đó ta có điều phải chứng minh. -6- 1.3. Toán tử trên Rn 1.3 Toán tử trên Rn Định nghĩa 1.3.1. Cho toán tử F : Rn → Rn . Ta nói: (i) F đơn điệu nếu (F (x) − F (y)).(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn . (ii) F đơn điệu chặt nếu (F (x) − F (y)).(x − y) > 0, ∀x, y ∈ Rn : x 6= y. (iii) F đơn điệu mạnh nếu tồn tại c > 0 (F (x) − F (y)).(x − y) ≥ c|x − y|2 , ∀x, y ∈ Rn . Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề cơ bản). Giả sử F : Rn → Rn liên tục và tồn tại r > 0 thỏa mãn F (x).x > 0 ∀x ∈ Rn : |x| = r. Khi đó tồn tại nghiệm của phương trình F (x) = 0 trong hình cầu đóng Br = {x ∈ Rn : |x| ≤ r}. Chứng minh. Giả sử ngược lại F (x) 6= 0 ∀x ∈ Br . Khi đó ánh xạ r F (x) |F (x)| được xác định và do F (x) liên tục nên g(x) liên tục trên hình cầu đóng Br . g : Br → Br , g(x) = − Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer tồn tại x∗ ∈ Br sao cho g(x∗ ) = x∗ .     r ∗ ∗ ∗  = r. Từ đó suy ra |x | = |g(x )| = − F (x )  |F (x∗ )| Suy ra F (x∗ ).x∗ > 0. Do đó r2 = x∗ .x∗ = g(x∗ ).x∗ = − (vô lý). Vậy tồn tại x ∈ Br sao cho F (x) = 0. -7- r F (x∗ ).x∗ < 0 ∗ |F (x )| 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Định lý 1.3.1. Cho một toán tử F : Rn → Rn liên tục và thỏa mãn F (x).x = ∞. |x|→∞ |x| lim (1.2) Khi đó phương trình F (x) = y có nghiệm x ∈ Rn với mỗi y ∈ Rn . Hơn nữa nếu F đơn điệu chặt thì phương trình có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Xét ánh xạ G : Rn → Rn , G(x) = F (x) − y. Vì F (x) liên tục nên G(x) liên tục. Mặt khác từ (1.2) suy ra với mỗi y ∈ Rn cố định ta có G(x).x = F (x).x − y.x > 0 khi |x| = r đủ lớn. Theo Bổ đề 1.3.1 tồn tại x ∈ Br sao cho G(x) = 0 hay F (x) = y. Hơn nữa nếu F đơn điệu chặt, giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ∈ Rn phân biệt thì (F (x1 ) − F (x2 )).(x1 − x2 ) = 0, mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của F . Vậy phương trình F (x) = 0 có nghiệm duy nhất. 1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.4.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Một toán tử T :H→H sao cho lim kT (u)kH = ∞ kukH →∞ được gọi là thỏa mãn điều kiện bức yếu. -8- 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.4.2. Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., .iH và cho một toán tử T : H → H . Ta nói: (i) T đơn điệu nếu hT (x) − T (y), x − yiH ≥ 0, ∀x, y ∈ H. (ii) T đơn điệu chặt nếu hT (x) − T (y), x − yiH > 0, ∀x, y ∈ H; x 6= y. (iii) T đơn điệu mạnh nếu ∃c > 0 sao cho hT (x) − T (y), x − yiH ≥ ckx − yk2H , ∀x, y ∈ H. Nhận xét 1.4.1. (i) Dễ thấy T đơn điệu mạnh thì T đơn điệu chặt và do đó T đơn điệu. (ii) Tất cả các toán tử đơn điệu mạnh đều thỏa mãn điều kiện bức yếu. Chứng minh. Giả sử T : H → H đơn điệu mạnh, khi đó tồn tại c > 0 sao cho hu, T (u) − T (0)iH ≥ ckuk2H . (1.3) Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có hu, T (u) − T (0)iH ≤ kukH · kT (u) − T (0)kH ≤ kukH · [kT (u)kH + kT (0)kH ]. Từ (1.3) và (1.4) ta có c.kuk2H i h ≤ kukH . kT (u)kH + kT (0)kH ⇒ c.kukH ≤ kT (u)kH + kT (0)kH ⇒ kT (u)kH ≥ ckukH − kT (0)kH ⇒ lim kT (u)kH = ∞. kukH →∞ -9- (1.4) 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Bổ đề 1.4.1. Cho H là một không gian Hilbert thực, T : H → H là một toán tử liên tục yếu và thỏa mãn hh − T (v), u − viH ≥ 0, ∀v ∈ H. (1.5) Khi đó T (u) = h. Chứng minh. Đặt v = u ± tω (t > 0). Thế thì từ (1.5) suy ra ± hh − T (u ± tω), ωiH ≥ 0. Vì T liên tục yếu nên khi cho t ↓ 0 ta có ± hh − T (u), ωiH ≥ 0. Do đó hh − T (u), ωiH = 0, ∀ω ∈ H. Suy ra T (u) = h. Định lý 1.4.1. (Zarantonello-1960). Giả sử H là một không gian Hilbert thực, T : H → H là toán tử đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 kT (u) − T (v)kH ≤ Lku − vkH , ∀u, v ∈ H. Khi đó phương trình T (u) = h có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H . Chứng minh. Xét ánh xạ G : H → H, G(u) = u − t(T (u) − h) với t > 0 đủ nhỏ được cố định. Dễ thấy nghiệm của phương trình T (u) = h là điểm bất động của G và ngược lại. Mặt khác từ tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của T ta có kG(u) − G(u)k2H = ku − uk2H − 2t hT (u) − T (u), u − uiH + t2 kT (u) − T (u)k2H ≤ (1 − 2tc + t2 L2 )ku − uk2H . -10- 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực 2c ) ta có 1 − 2tc + t2 L2 < 1, khi đó G là ánh xạ co và theo 2 L định lí ánh xạ co Banach ta có G có điểm bất động duy nhất hay phương Với t ∈ (0, trình T (u) = h có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H . Định lí đã được chứng minh. Định lý 1.4.2. (Lax-Milgram phi tuyến). Giả sử H là một không gian Hilbert thực. Giả thiết rằng các phiếm hàm thực a : H ×H → R và b : H → R thỏa mãn: (i) b(.) là tuyến tính liên tục. (ii) a(u, .) là tuyến tính liên tục với mỗi u ∈ H. (iii) Tồn tại L, c > 0 thỏa mãn: a(u, u − v) − a(v, u − v) ≥ cku − vk2H , |a(u, ω) − a(v, ω)| ≤ Lku − vkH kωkH , ∀u, v ∈ H. ∀u, v, ω ∈ H. Khi đó phương trình a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H có nghiệm duy nhất u ∈ H. Chứng minh. Theo định lí Riesz, từ (i) và (ii) suy ra tồn tại h, T (u) ∈ H sao cho b(v) = hh, vi và a(u, v) = hT (u), vi với mọi v ∈ H. Từ (iii) ta có T là toán tử đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz vì hT (u) − T (v), u − viH = a(u, u − v) − a(v, u − v) ≥ cku − vk2H , kT (u) − T (v)kH = sup | hT (u) − T (v), ωiH | kωkH ≤1 = sup |a(u, ω) − a(v, ω)| kωkH ≤1 ≤ Lku − vkH , -11- ∀u, v ∈ H. ∀u, v ∈ H. 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Theo định lí Zarantonello suy ra phương trình T (u) = h có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H . Do đó phương trình a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H có nghiệm duy nhất u ∈ H . Định lí được chứng minh. Định lý 1.4.3. (Lax-Milgram tuyến tính). Giả sử H là một không gian Hilbert thực. Giả thiết rằng các phiếm hàm thực a : H ×H → R và b : H → R thỏa mãn các điều kiện sau: (i) b(.) là tuyến tính liên tục. (ii) a(., .) là song tuyến tính liên tục. (iii) a thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là tồn tại c > 0 thỏa mãn a(u, u) ≥ ckuk2H , ∀u ∈ H. Khi đó phương trình a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H có nghiệm duy nhất u ∈ H. Chứng minh. Ta suy trực tiếp từ định lí trên vì lúc này: a(u, u − v) − a(v, u − v) = a(u − v, u − v) ≥ cku − vk2H , |a(u, ω) − a(v, ω)| = |a(u − v, ω)| ≤ Lku − vkH kωkH , ∀u, v ∈ H. ∀u, v, ω ∈ H. Để phục vụ cho việc chứng minh định lí tiếp theo chúng ta cần chứng minh mệnh đề sau. -12- 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Mệnh đề 1.4.1. Cho H là một không gian Hilbert thực và S : H → H là toán tử liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó S(H) = H. Chứng minh. Vì H là không gian metric liên thông, nên ta chỉ cần chứng minh S(H) vừa đóng vừa mở trong H thì S(H) = H , bởi vì chỉ có một tập con khác rỗng của H vừa mở, vừa đóng chính là H . Đầu tiên ta chứng minh S(H) đóng. Bổ đề 1.4.2. Cho D là một tập đóng trong không gian Hilbert H , S : D → H là một toán tử liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó S(D) là tập đóng trong H . Chứng minh. Cho {un }+∞ n=1 ⊂ D sao cho S(un ) → h (n → +∞). Do S là toán tử đơn điệu mạnh nên tồn tại c > 0 sao cho ckun − um k2H ≤ hun − um , S(un ) − S(um )iH ≤ kun − um kH .kS(un ) − S(um )kH . Suy ra kS(un ) − S(um )kH ≥ c.kun − um kH , 1 kun − um kH ≤ .kS(un ) − S(um )kH . c Do đó {un } là dãy Cauchy trong D, mà D là tập đóng trong không gian Hilbert H nên tồn tại u0 ∈ D sao cho: un → u0 . Mặt khác S là toán tử liên tục, ta có S(un ) → S(u0 ) nên h = S(u0 ) ∈ S(D) (do tính duy nhất của giới hạn). Vậy S(D) là tập đóng trong H . Để chứng minh S(H) mở, ta cần chứng minh bổ đề sau về sự mở rộng của toán tử liên tục Lipschitz. Bổ đề 1.4.3. Cho D là một tập con của không gian Hilbert thực H , V :D→H -13- 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực là một toán tử thỏa mãn kV (u) − V (v)kH ≤ ku − vkH , với u, v ∈ D. Khi đó tồn tại toán tử W : H → H sao cho kW (u) − W (v)kH ≤ ku − vkH , Hơn nữa W (u) = V (u), với u, v ∈ H. ∀u ∈ D. Chứng minh. Gọi Φ là tập hợp các toán tử W : DomW → H có miền xác kW (u) − W (v)k ≤ ku − vk H H định DomW chứa D sao cho W (u) = V (u), ∀u ∈ D. Dễ thấy Φ 6= ∅ vì V ∈ Φ. Ta đưa vào Φ một quan  hệ như sau: nếu W1 và W2 là hai phần tử của Φ DomW ⊂ DomW 1 2 thì W1 ≤ W2 khi và chỉ khi W (u) = W (u), ∀u ∈ DomW . 2 1 1 Khi đó ” ≤ ” là một quan hệ thứ tự bộ phận và nếu F là một tập sắp thứ tự toàn phần trong Φ thì F có cận trên. Theo bổ đề Zorn: "Với một tập khác rỗng được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận, nếu mọi tập con được sắp thứ tự tuyến tính của nó đều có cận trên thì tập này có ít nhất một phần tử cực đại". Do đó tồn tại một phần tử cực đại W trong Φ thỏa mãn    D ⊂ DomW ⊂ H   W (u) = V (u) ∀u ∈ D    kW (u) − W (v)k ≤ ku − vk . H H Ta cần chứng minh DomW = H . Giả sử ngược lại tồn tại u0 ∈ H \ DomW , ta sẽ chứng minh tồn tại v0 ∈ H sao cho kv0 − W (u)kH ≤ ku0 − ukH (u ∈ DomW ). Khi đó bằng cách đặt  v 0 W̃ : u 7−→ W (u) -14- nếu u = u0 nếu u ∈ DomW. 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Ta thu được toán tử W̃ : DomW ∪ {u0 } −→ H thỏa mãn    DomW ⊂ DomW̃   W̃ |DomW = W    kW̃ (u) − W̃ (v)k ≤ ku − vk . H H Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của W . Để kết thúc chứng minh bổ đề, ta chỉ ra rằng tồn tại v0 . Lấy B là một tập con hữu hạn của DomW . Kí hiệu AB = {v0 ∈ H : kv0 − W (u)kH ≤ ku0 − ukH , ∀u ∈ B}, A = {v0 ∈ H : kv0 − W (u)kH ≤ ku0 − ukH , ∀u ∈ DomW }. Bn là hệ thống các tập con hữu hạn B của DomW được chứa trong hình T cầu đóng {u ∈ H : kukH ≤ n}, n ∈ N. Đặt An = AB . Ta có B∈Bn A= ∞ \ An và An+1 ⊂ An ⊂ A1 . n=1 Ta sẽ chứng minh rằng A = 6 ∅, điều đó sẽ hoàn tất chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng minh AB 6= ∅. Thật vậy, giả sử tồn tại tập B = {u1 , u2 , . . . , um } ⊂ DomW sao cho AB = ∅. Đặt Hf = Lin{u1 − u0 , . . . , um − u0 , W (u1 ), . . . , W (um )}. Khi đó Hf là không gian con của H và dimHf ≤ 2m. Với mỗi ω ∈ Hf đặt kω − W (uj )kH . 1≤j≤m ku0 − uj kH h(ω) = max Nếu tồn tại v0 ∈ Hf sao cho h(v0 ) ≤ 1 thì v0 ∈ AB điều này mâu thuẫn với giả thiết, vì vậy giả sử rằng h(ω) > 1 ∀ω ∈ Hf . Mặt khác hàm h là hàm liên tục trên Hf và lim kωkH →∞ h(ω) = ∞ (ω ∈ Hf ). Do đó tồn tại ω0 ∈ Hf sao cho 1 < λ = h(ω0 ) = min h(ω). ω∈Hf -15- 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Ta đánh số lại u1 , u2 , . . . , um sao cho kω0 − W (uj )kH , ku0 − uj kH kω0 − W (uj )kH λ> , ku0 − uj kH 1 ≤ j ≤ k, 1<λ= k + 1 ≤ j ≤ m. Dễ thấy ω0 thuộc vào bao lồi của {W (u1 ), . . . , W (uk )}. Nếu không ta sẽ tìm được ω1 ∈ Hf trong một lân cận  kω − W (uj )kH < λ, U = ω ∈ Hf : ku0 − uj kH  k+1≤j ≤m của ω0 sao cho kω1 − W (uj )kH < kω0 − W (uj )kH , 1 ≤ j ≤ k. Suy ra kω1 − W (uj )kH kω0 − W (uj )kH < = λ, ku0 − uj kH ku0 − uj kH kω1 − W (uj )kH < λ, k + 1 ≤ j ≤ m. ku0 − uj kH 1 ≤ j ≤ k, Do đó h(ω1 ) < h(ω0 ) điều này mâu thuẫn với h(ω0 ) = min h(ω). Vì vậy tồn ω∈Hf tại c1 , . . . , ck sao cho ω0 = k X cj ≥ 0, cj W (uj ), j=1 k X cj = 1. j=1 Đặt zj = ω0 − W (uj ), ẑj = u0 − uj , 1 ≤ j ≤ k . Khi đó ta có k X j=1 cj zj = k X cj (ω0 − W (uj )) = ω0 j=1 k X j=1 kẑj k2H < kzj k2H , cj − k X cj W (uj ) = 0, j=1 1 ≤  ≤ k. Với 1 ≤ j, n ≤ k ta có kzj − zn k2H = kW (un ) − W (uj )k2H ≤ kun − uj k2H = kẑj − ẑn k2H . -16- (1.6) 1.4. Toán tử trên không gian Hilbert thực Suy ra kzj k2H + kzn k2H − 2 hzj , zn iH ≤ kẑj k2H + kẑn k2H − 2 hẑj , ẑn iH . (1.7) Từ (1.6) và (1.7) ta có hẑj , ẑn iH < hzj , zn iH , 1 ≤ j, n ≤ k. Suy ra k X cj cn hẑj , ẑn iH < j,n=1 Nhưng k P j,n=1 cj cn hzj , zn iH = k k X cj cn hzj , zn iH . j,n=1 k P j=1 cj zj k2H = 0. Suy ra k X cj cn hẑj , ẑn iH = k j,n=1 k X cj ẑj k2H < 0 (vô lý). j=1 Vậy AB 6= ∅ với mỗi tập hữu hạn B ∈ DomW . Mặt khác AB và An là các tập compact yếu (bị chặn và đóng yếu) nên An 6= ∅ với mỗi n ∈ N. Áp dụng quá trình trên một lần nữa ta thu được A = 6 ∅. Bây giờ ta chứng minh S(H) là tập mở trong H . Bổ đề 1.4.4. Cho D ⊂ H là một tập mở; S : D → H là một toán tử liên tục và đơn điệu mạnh. Khi đó S(D) là một tập mở của H . Chứng minh. Để chứng minh bổ đề này ta chỉ cần chứng minh với S đơn điệu mạnh trong trường hợp c = 1 nghĩa là hu − u1 , S(u) − S(u1 )iH ≥ ku − u1 k2H . Đặt F (u) = S(u) − u. Khi đó F là toán tử đơn điệu, thật vậy với -17-