Tài liệu Phương pháp tích phân đầu và sóng mặt rayleigh ba thành phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Nguyễn Thị Nam PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU VÀ SÓNG MẶT RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN LUẬN VĂN THẠC SỸ Hà Nội 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Nguyễn Thị Nam PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU VÀ SÓNG MẶT RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SỸ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội 2010 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Chí Vĩnh. Các kết quả thu được không sao chép từ bất kỳ công trình nào. Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán-CơTin học Trường ĐHKHTN và các thầy cô dạy các chuyên đề cao học đã trang bị cho tôi kiến thức nền tảng để thực hiện luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar "Sóng và ứng dụng" bộ môn Cơ học trường ĐHKHTN, tại đây tôi đã trình bày những kết quả chính của luận văn và nhận được sự góp ý bổ ích từ các thành viên trong nhóm. Nguyễn Thị Nam Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Phương pháp tích phân đầu 1.1 1.2 1.3 1 4 Phương pháp truyền thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Hệ phương trình đối với ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Phương pháp tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần . . . . . . . . 15 2 Sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường đàn hồi nén được có ứng suất trước 21 2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Dạng ma trận của các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường đàn hồi có ứng suất trước . 24 2.4 Phương trình đối với ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1 Trường hợp 0 < θ < π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2 Trường hợp θ = 0 hoặc θ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Danh mục công trình của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 Mở đầu Sóng mặt Rayleigh được phát hiện bởi Rayleigh [11] từ hơn một thế kỷ qua (vào năm 1885), vẫn đang được nghiên cứu rất mạnh mẽ, bởi những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều ngành khác nhau của khoa học và kỹ thuật như: âm học, địa chấn học, khoa học vật liệu, công nghệ viễn thông, khoa học đánh giá độ bền của vật liệu mà không phá hủy vật liệu... Theo Destrade [6], xuất hiện cách đây khoảng hơn 30 năm, các thiết bị sóng mặt (Rayleigh) đã được sử dụng rộng rãi và hết sức thành công trong ngành công nghiệp truyền thông. Theo Hess [8], trong những năm gần đây sóng mặt (Rayleigh) tạo ra bởi laze đã cung cấp những công cụ mới để nghiên cứu các tính chất của vật liệu. Có thể nói không quá rằng, sự phát hiện ra sóng mặt của Rayleigh có ảnh hưởng to lớn và sâu rộng đến thế giới ngày nay, trải dài từ chiếc mobile phone đến các nghiên cứu động đất, như Adams và các cộng sự [3] đã nhấn mạnh. Theo Malischewsky [9], vận tốc sóng Rayleigh là một đại lượng cơ bản và quan trọng, thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà địa chấn học, vật liệu khoa học và các nhà nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác của vật lý. Vì vận tốc sóng Rayleigh là nghiệm của phương trình tán sắc, nên phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu cơ bản khi nghiên cứu sóng Rayleigh. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: nghiên cứu sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh vào các tham số vật liệu (và các tham số khác), đặc biệt sử dụng để giải bài toán ngược: đánh giá (không hư hỏng) các tham số vật liệu (và các tham số khác) thông qua các giá trị đo được của vận tốc sóng. Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc môi trường dị hướng đơn giản (chẳng hạn môi trường đàn hồi trực hướng), để tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh ta sử dụng phương trình đặc trưng của sóng. Vì nó là phương trình trùng phương nên ta dễ dàng tìm được biểu thức nghiệm của nó. Tuy nhiên, đối với môi trường dị hướng phức tạp hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic (xem [4]), môi trường gồm các tinh thể trực hướng bị xoắn (xem [5])), phương trình đặc trưng của sóng là phương trình bậc bốn đầy đủ, hoặc bậc sáu, việc tìm biểu thức nghiệm của nó là rất khó khăn, nếu không nói là không thể thực hiện được. Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [10] đã đưa ra một phương pháp được gọi là “phương pháp tích phân đầu” (method of first intergrals). Phương pháp này cho phép ta tìm được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh mà không cần sử dụng phương trình đặc trưng. 2 Destrade [6] đã cải tiến phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [10] và đã ứng dụng rất thành công vào các bài toán sóng Rayleigh có hai thành phần. Theo hướng này cũng cần kể đến nghiên cứu gần đây của PGS.TS Phạm Chí Vĩnh và các cộng sự [15]. Gần đây, Destrade [4] và Ting [13] đã khẳng định rằng: phương pháp tích phân trình bầy bởi Mozhaev [10] không có hiệu lực đối với sóng Rayleigh có ba thành phần (chẳng hạn sóng Rayleigh trong môi trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = 0 hay x2 = 0, hoặc sóng Rayleigh trong môi trường dị hướng tổng quát). Gần đây hơn, PGS.TS Phạm Chí Vĩnh và Nguyễn Thị Nam [1] đã áp dụng thành công phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần. Các tác giả đã không xuất phát từ phương trình đối với chuyển dịch như Mozhaev [10], mà dựa vào phương trình đối với ứng suất, và không dừng lại ở hệ chín phương trình đại số tuyến tính thuần nhất phụ thuộc lẫn nhau đối với chín ẩn số như Ting [13], mà đi đến hệ gồm ba phương trình độc lập đối với ba ẩn số. Vật liệu có ứng suất trước đã và đang được sử dụng rộng dãi trong thực tiễn, nên việc đánh giá (không phá hủy) ứng suất trước trong các công trình trước và trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết và quan trọng. Vì sóng mặt Rayleigh là một công cụ hữu hiệu để thực hiện nhiệm vụ này, nên việc nghiên cứu tìm ra phương trình tán sắc, dạng tường minh, của nó là hết sức cần thiết và có ý nghĩa, đang được nhiều tác giả quan tâm. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu sóng mặt Rayleigh ba thành phần truyền trong môi trường đàn hồi nén đựợc có biến dạng trước. Áp dụng các kỹ thuật đã được sử dụng trong [1], phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng đã được tìm ra. Đây là một kết quả mới. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1: Phương pháp tích phân đầu. Chương này nhằm giới thiệu phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [10] cho sóng Rayleigh ba thành phần, và chứng minh rằng "phương pháp tích phân đầu Mozhaev không dẫn dến một phương trình tán sắc, như mong muốn, mà dẫn đến một đồng nhất thức". Chứng minh chi tiết này dựa trên chứng minh vắn tắt của Ting [13]. Để hiểu rõ nguồn gốc của phương pháp tích phân đầu, và sự khác nhau của phương pháp này khi áp dụng đối với sóng Rayleigh hai và ba thành phần, chương này cũng trình bày phương pháp truyền thống và phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần. Chương 2: Sóng Rayleigh ba thành phần truyền trong môi trường đàn hồi nén được có ứng suất trước. Chương này nghiên cứu sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi nén được có ứng suất trước, 3 truyền theo hướng không phải là hướng chính của biến dạng ban đầu. Khi đó sóng Rayleigh là sóng có ba thành phần (chuyển dịch). Áp dụng phương pháp tích phân đầu trình bày trong [1], tác giả khóa luận đã tìm ra phương trình tán sắc dạng tường minh. 4 Chương 1 Phương pháp tích phân đầu 1.1 Phương pháp truyền thống 1.1.1 Đặt bài toán Xét bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được (x2 ≥ 0) Hình 1.1: Sóng phẳng truyền theo hướng Ox1 . Xét bài toán biến dạng phẳng ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0, (1.1.1) trong đó ui là thành phần của vector chuyển dịch. Khi đó phương trình chuyển động có dạng ( (λ + 2µ)u1,11 + µu1,22 + (λ + µ)u2,12 = ρu¨1 , (1.1.2) (λ + µ)u1,12 + µu2,12 + (λ + 2µ)u2,12 = ρu¨2 , hay ( c1 2 u1,11 + c2 u1,22 + (c1 2 − c2 2 )u2,12 = u¨1 , (c1 2 − c2 2 )u1,12 + c1 2 u2,22 + c2 2 u2,11 = u¨2 , (1.1.3) 5 r r λ + 2µ µ trong đó c1 = , c2 = tương ứng là vận tốc sóng dọc, sóng ngang trong môi ρ ρ trường đàn hồi đẳng hướng nén được, λ, µ là các hằng số Lamé, ρ là mật độ khối lượng, σ12 , σ22 liên hệ với các thành phần chuyển dịch u1 , u2 bởi ( σ12 = µ(u1,1 + u2,1 ), σ22 = λ(u1,1 + u2,2 ). (1.1.4) Các thành phần ứng suất σ12 , σ22 thoả mãn điều kiện tự do với ứng suất σ12 = σ22 = 0, x2 = 0. (1.1.5) Đối với sóng mặt Rayleigh, ứng suất và chuyển dịch phải tắt dần ở vô cùng u1 (+∞) = u2 (+∞) = σ12 (+∞) = σ22 (+∞) = 0. 1.1.2 (1.1.6) Phương trình đặc trưng Ta tìm nghiệm của hệ phương trình chuyển động (1.1.3) dưới dạng sóng truyền theo Ox1 với vận tốc c ( u1 = Ae−bx2 eik(x1 −ct) , u2 = Be−bx2 eik(x1 −ct) , (1.1.7) trong đó k là số sóng, A, B, b là các hằng số, Reb > 0 để thoả mãn điều kiện tắt dần ở vô cùng. Thay (1.1.7) vào (1.1.3) dẫn đến hệ ( [(c2 − c1 2 )k 2 + c2 2 b2 ]A − i(c2 − c1 2 )kbB = 0, −i(c1 2 − c2 2 )kbA + [(c2 − c1 2 )k 2 + c1 b2 ]B = 0. (1.1.8) Do A, B không đồng thời bằng 0 nên định thức của (1.1.8) phải bằng 0, tức là [c2 2 b2 − k 2 (c1 2 − c2 )][c1 b2 − k 2 (c2 2 − c2 )] + k 2 (c1 2 − c2 2 )b2 = 0, (1.1.9) hay c1 2 c2 2 b4 − k 2 b2 [2c1 2 c2 2 − (c1 2 + c2 2 )c2 ] + k 4 (c1 2 − c2 )(c2 2 − c2 ) = 0. (1.1.10) Phương trình (1.1.10) được gọi là phương trình đặc trưng của sóng mặt Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng. Đó là phương trình trùng phương đối với b. Biệt thức ∆ của (1.1.10) ∆ = k 4 (c1 2 − c2 2 )2 c4 . (1.1.11) 6 Dễ dàng chứng minh được rằng 0 < c2 < c2 2 [2]. Điều này có nghĩa là vận tốc của sóng Rayleigh nhỏ hơn vận tốc sóng ngang. Hai nghiệm dương của phương trình đặc trưng là  s  c2    , b = k 1 −  1 c21 s (1.1.12)  c2    b 2 = k 1 − c 2 . 2 Thay b2 vào (1.1.8)1 ; b1 vào (1.1.8)2 ta có hệ thức sau  B b   1 = − 1, A1 ik ik B 2   =− . A2 b2 1.1.3 (1.1.13) Phương trình tán sắc Nghiệm tổng quát của (1.1.3) tính đến (1.1.13) cho ta  u1 = (A1 e−b1 x2 + A2 e−b2 x2 )eik(x1 −ct) , b ik u1 = (− 1 A1 e−b1 x2 + A2 e−b2 x2 )eik(x1 −ct) . ik b2 (1.1.14) Để tìm ứng suất σ12 , σ22 ta thay (1.1.14) vào (1.1.4) và chú ý đến điều kiện tự do với ứng suất (1.1.5) ta được  c2 2 2 A 2   )k 2b A + (2 − = 0,  1 1 c22 b2 A2 c2   = 0. (2 − 2 )A1 + 2b2 c2 b2 Do A1 , A2 không đồng thời bằng 0 nên định thức của (1.1.15) phải bằng 0, hay s s c2 2 c2 c2 (2 − 2 ) − 4 1 − 2 1 − 2 = 0, c2 c1 c2 (1.1.15) (1.1.16) đây là phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, được Rayleigh [11] tìm ra năm 1885. Để có được (1.1.16) ta phải giải (1.1.10). Đây là một phương trình trùng phương đối với b, tức là phương trình bậc hai đối với b2 . Do đó, ta dễ dàng tìm được công thức biểu diễn hai nghiệm với phần thực dương. Tuy nhiên, với môi trường phức tạp hơn thì phương trình đặc trưng của sóng không có dạng trùng phương, mà có dạng bậc bốn đầy đủ (hoặc bậc sáu đối với sóng ba thành phần). 7 Việc tìm công thức biểu diễn hai (hoặc ba) nghiệm với phần thực dương là không thể thực hiện được, lúc đó phương pháp truyền thống không còn hiệu lực nữa. Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [10] đưa ra phương pháp "Tích phân đầu" vào năm 1995 và được Destrade [4] cải tiến năm 2001. 8 1.2 Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần Ta trình bày phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần thông qua bài toán truyền sóng Rayleigh trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0 (xem [12]). Chú ý rằng bài toán này được công bố một cách vắn tắt bởi Destade [4] vào năm 2001. 1.2.1 Phương trình chuyển động Xét bài toán truyền sóng mặt Rayleigh trong bán không gian đàn hồi (x2 ≥ 0), nén được, monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0. Xét bài toán biến dạng phẳng Hình 1.2: Sóng Rayleigh hai thành phần truyền trong bán không gian x2 ≥ 0 theo hướng Ox1 ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0, (1.2.1) ui là thành phần của vector chuyển dịch. Khi đó phương trình chuyển động có dạng ( σ11,1 + σ12,2 = ρu¨1 σ12,1 + σ22,2 = ρu¨2 , (1.2.2) trong đó σij là các thành phần của ten xơ ứng suất, ρ là mật độ khối lượng của vật liệu, dấu "." chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, dấu "," chỉ đạo hàm theo biến không gian xk . 9 Liên hệ giữa ứng suất σij (i, j = 1, 2) và biến dạng ij , (i, j = 1, 2) bởi      σ11 C11 C12 C13 0 0 C16 11 σ22  C12 C22 C23 0   0 C26       22  σ33  C13 C23 C33 0   0 C36   =   33  σ23   0   0 0 C44 C45 0      223  σ13   0   0 0 C45 C55 0 213  σ12 C16 C26 C36 0 0 C66 212   σ11 = C11 11 + C12 22 + 2C16 12 ⇒ σ12 = C16 11 + C26 22 + 2C66 12   σ22 = C12 11 + C22 11 + 2C26 12 , (1.2.3) (1.2.4) trong đó Cij là các hằng số đàn hồi của vật liệu, và 11 = u1,1 , 22 = u2,2 , 212 = u1,2 + u2,1 . (1.2.5) Thay (1.2.4), (1.2.5) vào (1.2.2) ta thu được các phương trình chuyển động đối với chuyển dịch có dạng ( C11 u1,11 + 2C16 u1,12 + C66 u1,22 + C16 u2,11 + (C12 + C66 )u2,12 + C26 u2,22 C16 u1,11 + (C12 + C26 )u1,12 + C26 u1,22 + C66 u2,11 + 2C26 u2,12 + C22 u2,22 . (1.2.6) Như vậy, các thành phần của vector chuyển dịch của sóng Rayleigh , u1 , u2 phải thỏa mãn phương trình (1.2.6) đồng thời phải thỏa mãn điều kiện tắt dần ở vô cùng u1 (+∞) = u2 (+∞) = 0. (1.2.7) Điều kiện tự do với ứng suất tại x2 = 0 σ12 = σ22 = 0. 1.2.2 (1.2.8) Phương trình đặc trưng Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng dương của trục Ox1 , khi đó ta tìm nghiệm của (1.2.6) dưới dạng ui = Ui (y)eik(x1 −ct) , i = 1, 2, (1.2.9) trong đó y = kx2 , k là số sóng, c là vận tốc truyền sóng, Ui (y) là biên độ của sóng. Thay (1.2.9) vào (1.2.6) ta thu được hai phương trình vi phân cấp hai đối với hai ẩn U1 (y), U2 (y). Dưới dạng ma trận nó được viết như sau αU 00 + iβU 0 − γU = 0, (1.2.10) 10 trong đó " #   U1   U =    U2       " #     C66 C26   α=   C26 C22   (1.2.11) " #    2C C + C  16 12 66   β=   C12 + C66 2C66        " #   2  C − ρc C  11 16   , γ = C16 C66 − ρc2 dấu ”0 ” chỉ đạo hàm theo biến y = kx2 . Ta tìm nghiệm của (1.2.10) dưới dạng U1 = Aeipy , U2 = Beipy , (1.2.12) trong đó phần ảo của p phải dương để thỏa mãn điều kiện tắt dần ở vô cùng (1.2.7), A, B là các hằng số. Thay (1.2.12) vào (1.2.10) ta thu được phương trình xác định p ω4 p4 − 2ω3 p3 + ω2 p2 − 2ω1 p + ω0 = 0 (1.2.13) trong đó   ω4      ω3      ω2 ω1         ω0     0 = S11 0 = S16 0 2 0 0 0 2 0 0 0 ]X S66 ) − S12 − S16 (S22 = S66 + 2S12 − [S11 0 0 0 0 0 0 0 = S26 + [S22 (S22 − S12 ) + S26 (−S11 S12 )]X   0 0 0 S11 S12 S16  0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 , = S22 − [(S11 + S66 ) − S26 − S26 ]X + S12 S22 S26  0 0 0 S16 S26 S66 (1.2.14) X = ρc2 , các hằng số Sij (i, j = 1, 2, 6) được gọi là các hằng số độ mềm của vật liệu, và đuợc xác định qua Cij như sau   0    0 0 C11 C12 C16 S11 S12 S16 1 0 0 0 0 0  C12 C22 C26  S12 S22 S26 = 0 1 0 . 0 0 0 C16 C26 C66 S16 S26 S66 0 0 1 (1.2.15) Phương trình (1.2.13) là phương trình đặc trưng của sóng Rayleigh trong môi trường đang xét. Đó là phương trình bậc 4 đầy đủ đối với p không phải là phương trình trùng phương 11 như trong trường hợp đàn hồi đẳng hướng. Để tìm phương trình tán sắc của nó ta cần sử dụng phương pháp tích phân đầu. 1.2.3 Hệ phương trình đối với ứng suất Hệ (1.2.10) là hệ phương trình đối với chuyển dịch. Đặt σi2 = kti (y)eik((x1 −ct) (i = 1, 2), (1.2.16) ta xem ti (y) là biên độ của các thành phần ứng suất (trên mặt x2 = const). Mục đích tiếp theo là ta đi tìm một hệ phương trình đối với ứng suất t1 (y), t2 (y) tương tự như (1.2.10), được gọi là hệ phương trình đối với ứng suất. Thay (1.2.9), (1.2.16) vào (1.2.4)2 (1.2.4)3 và sử dụng (1.2.5) ta có t = P U 0 + iQU, (1.2.17)       t1 C66 C26 C16 C66 t= ,P = ,Q = . t2 C26 C22 C12 C26 (1.2.18) U 0 = P −1 t − iP −1 QU = iN1 U + N2 t, (1.2.19) trong đó Từ (1.2.17) suy ra trong đó     −r6 −1 −1 n66 n26 N1 = −P Q = , N2 = P , −r2 0 n26 n22    C  S0  C 1  12 16    ∆ = C22 C66 − C26 2 r = −   = 16  6 0    ∆ S  C C 16 66 11             C  S0 S 0 S 0    C 1 C 1  12  26  26 16    r2 = −  = 0  11 n26 = −  = 12   0 0 0      ∆ C16 C66 S11 ∆ S11 S12 S22   −1    S 0  c 2 1   2  n66 = = 0  11  0  ∆ S11 S16           S 0  1 C   11 66   = n =  22 0  0 ∆ S11 S12 (1.2.20) (1.2.21)  0  S16   0  S66  0  S12  . 0  S22 Thay (1.2.9), (1.2.16) vào (1.2.2) và chú ý đến (1.2.4)1 (1.2.5) ta có ( t01 = (C11 − ρc2 )U1 + C16 U2 − iC16 U10 − iC12 U20 t02 = −it1 − ρc2 U2 , (1.2.22) 12 Sử dụng (1.2.19) để biểu diễn U10 , U20 qua U1 , U2 , t1 , t2 rồi thay vào (1.2.22)1 ta thu được t01 = (η − ρc2 )U1 − ir6 t1 − ir2 t2 , (1.2.23)   C11 C12 C16    1 1 η = C11 − C12 r2 − C16 r6 = C12 C22 C26  = 0 . ∆ S11 C16 C26 C66  (1.2.24) trong đó Từ (1.2.19) (1.2.23) (1.2.22)2 ta thu được hệ phương trình vi phân cấp 1 đối với 4 ẩn U1 , U2 , t1 , t2 viết dưới dạng ma trận như sau ξ 0 = N ξ,   U1 U2   ξ=  t1  , t2   iN1 N2 N= , −(N3 + XI) i(N1 )T (1.2.25)   η 0 N3 = , 0 0 (1.2.26) N1 , N2 được xác định bởi (1.2.20),(1.2.21), ký hiệu T chỉ sự chuyển vị của ma trận. Phương trình (1.2.25) được viết như sau    0  U iN1 N2 U , = T 0 −(N3 + XI) iN1 t t (1.2.27) hay ( U 0 = iN1 U + N2 t t0 = −(N3 + XI)U + iN1 T t. (1.2.28) Khử U 0 từ hệ (1.2.28) ta thu được phương trình sau α̂t00 − iβ̂t0 − γ̂t = 0, (1.2.29) trong đó α̂, β̂, γ̂ là các ma trận thực đối xứng và được xác định như sau  −1  α̂ = −(N3 + XI) β̂ = −N1 (N3 + XI)−1 − (N3 + XI)−1 N1 T   γ̂ = N2 − N1 (N3 + XI)−1 N1 T , cụ thể r6 0   η−X r2 1  , β̂ =  1 − 0 − X η−X X   2 r6 r2 r6 n66 + η − X n26 + η − X  . γ̂ =   r2 r6 r2 2  n26 + n22 + η−X η−X 1 η − X α̂ =     −2  1 r2 − X η − X,  0 (1.2.30) 13 1.2.4 Phương pháp tích phân đầu Giả sử ϕ(y), g(y) là các hàm giá trị phức của biến thực y ∈ [0; +∞). Ta định nghĩa tích vô hướng của chúng như sau Z ∞ (ϕḡ + ϕ̄g)dy, < ϕ, g >= (1.2.31) 0 trong đó ký hiệu ḡ, ϕ̄ chỉ giá trị liên hợp của g, ϕ. Dưới dạng thành phần (1.2.29) được viết như sau α̂ik t00k − iβ̂ik t0k − γ̂ik tk = 0, i = 1, 2, 3. (1.2.32) Nhân hai vế của (1.2.32) với itj ta được α̂ik it00k tj + β̂ik t0k tj + γ̂ik tk itj = 0, i = 1, 2, 3. (1.2.33) i = 1, 2, 3. (1.2.34) Lấy liên hợp hai vế của (1.2.33) ta được α̂ik it00k tj + β̂ik t0k tj + γ̂ik tk itj = 0, Cộng vế với vế của (1.2.33) và (1.2.34) cho ta 0 α̂ik (it00k tj + it00k tj ) + β̂ik (t0k tj + tk tj ) + γ̂ik (tk itj + tk itj ) = 0. (1.2.35) Đưa vào các ma trận vuông cấp hai D, E, F xác định như sau Dkj =< it00k , tj >, Ekj =< t0k , tj >, Fkj =< tk , itj > . (1.2.36) Khi đó, bằng cách lấy tích phân hai vế (1.2.35) từ 0 đến +∞ ta có α̂ik Dkj + β̂ik Ekj + γ̂ik Fkj , (1.2.37) α̂D + β̂E + γ̂F = 0. (1.2.38) hay dưới dạng ma trận Tiếp theo ta đi chứng minh các ma trận D, E, F là các ma trận phản đối xứng, tức là Dkj = −Dkj , Ekj = −Ekj , Fkj = −Fkj . Thật vậy, từ (1.2.31) và (1.2.36) ta có Z +∞ Z ∞ Fkj = (tk itj + tk itj )dy = (−itk tj + itk tj )dy, 0 0 Z +∞ Z ∞ (tj itk + tj itk )dy = (−itj tk + itj tk )dy, Fjk = 0 ⇒ Fkj + Fjk = 0, 0 (1.2.39) 14 ⇒ (Fkj )là ma trận phản đối xứng. Z +∞ (it00k tj + it00k tj + it00j tk + it00j tk )dy Dkj + Djk = Z0 +∞ = (−it00k tj + it00k tj − it00j tk + it00j tk )dy, 0 xét tích phân từng phần Z +∞ 00 Z (g f )dy = 0 +∞ 0 f dg = (f g 0 )|+∞ 0 Z +∞ − 0 g 0 df, 0 áp dụng tích phân từng phần trên và chú ý đến các điều kiện trên biên ta được Dkj +Djk = 0. Chứng minh tương tự ta có Ekj + Ejk = 0. Như vậy các ma trận D, E, F có thể biểu diễn dưới dạng như sau       0 d 0 e 0 f D= , E= , , −d 0 −e 0 −f 0          0 f 0 e γ̂11 γ̂12 0 d β̂11 β̂12 α̂11 α̂12 = 0, + + ⇒ γ̂12 γ̂22 −f 0 α̂12 α̂12 −d 0 β̂12 β̂22 −e 0  −α̂12 d − β̂12 e − γ̂12 f = 0    α̂ d + β̂ e + γ̂ f = 0 11 11 11 ⇒  α̂12 d + β̂12 e + γ̂12 f = 0    α̂22 d + β̂22 e + γ̂22 f = 0. Do d, e, f không đồng thời bằng 0 nên   α̂11 β̂11 γ̂11    α̂12 β̂12 γ̂12  = 0.    α̂ 22 β̂22 γ̂22 (1.2.40) (1.2.41) (1.2.42) (1.2.43) Đây chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi monoclinic. Do α12 = β22 = 0 nên ta có β̂12 (α̂11 α̂12 − α̂22 α̂11 ) = −α̂22 β̂12 β̂12 . (1.2.44) Sử dụng (1.2.30) phương trình (1.2.44) trở thành [η − (1 − r2 )X](η − X)[(η − X)(n66 X − 1) + r6 2 X] + X 2 [(η − X)n22 + r2 2 ] +2r6 X 2 (η − X)[(η − X)n26 + r2 r6 ] = 0. (1.2.45) Đây là phương trình bậc 4 đối với X = ρc2 . Như vậy, bằng phương pháp tích phân đầu ta đã tìm được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi nén được, monoclinic mà không cần sử dụng phương trình đặc trưng. Khác với Mozhaev [10] sử dụng phương trình chuyển động đối với chuyển dịch, Destrade [4] xuất phát từ phương trình chuyển động đối với ứng suất, nên các điều kiện tự do với ứng suất và tắt dần ở vô cùng được sử dụng một cách triệt để. 15 1.3 Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần Phần này trình bày "Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần" được giới thiệu bởi Mozhaev [10]. Xét môi trường đàn hồi bất đẳng hướng nén được tổng quát, chiếm phần không gian x3 ≥ 0. Phương trình chuyển động có dạng ∂σij ∂ 2 ui =ρ 2 , ∂xj ∂t (i, j = 1, 2, 3). (1.3.1) Tìm nghiệm của (1.3.1) dưới dạng ui = Ui (kx3 )eik(x1 −ct) , (1.3.2) k là số sóng, c là vận tốc sóng. Tính đến (1.3.2), các thành phần biến dạng xác bởi các công thức sau 11 = ikU1 eik(x1 −ct) , 33 = kU3 ek(x1 −ct) , 212 = ikU2 eik(x1 −ct) , 213 = k(U10 + iU3 )eik(x1 −ct) , 223 = kU20 eik(x1 −ct) , (1.3.3) dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến y = kx3 . Do (1.3.3) liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị có dạng (xem [12])    c11 σ11 σ22   0    σ33  c13  = σ23  c14    σ13  c15 c16 σ12 0 0 0 0 0 0 c13 0 c23 c34 c35 c36 c14 0 c34 c44 c45 c46 c15 0 c35 c45 c55 c56   c16 11   0   22    c36    33  .   c46  223   c56  213  212 c66 (1.3.4) Thay (1.3.3), (1.3.4) vào (1.3.1) ta thu được hệ phương trình chuyển động sau đây αik Uk00 + iβik Uk0 − γik Uk = 0,    c55 c45 c35 2c15 c14 + c56 2c46 αik = c45 c44 c34  , βik = c14 + c56 c35 c34 c33 c13 c36 + c45    c11 − ρv 2 c16 c15 c11 c16 c66 − ρv 2 c56  = c16 c66 γik =  c16 c15 c56 c55 − ρv 2 c15 c56 (1.3.5)  c13 + c55 c36 + c45  , 2c35  c15 c56  − IX, c55 I là ma trận đơn vị. Để đơn giản trong trình bày, từ nay về sau, thay cho Ui ta viết là ui (i = 1, 2, 3). Nhân hai vế phương trình (1.3.5) với u0j hoặc iuj cho ta ( αik < u00k , u0j > +βik < iu0k , u0j > −γik < uk , u0j > =0 00 0 αik < uk , iuj > +βik < iuk , iuj > −γik < uk , iuj > = 0, (1.3.6)