Tài liệu Phương pháp thu hẹp và loại đường dốc nhất cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thu Tính PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thu Tính PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Khai triển trực giao. Toán tử chiếu . . . . . . . . 5 1.1.3 Mối quan hệ giữa chuẩn và tích vô hướng . . . . 6 Ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn . . . . . . 7 1.2.1 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Một số định lý điểm bất động 8 . . . . . . . . . . 2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn 10 2.1 Một số phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn . . . 11 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 16 18 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . i Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 ii Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cám ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa họcĐại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn Bường. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TS. Nguyễn Bường, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, lãnh đạo cơ quan đơn vị công tác, bạn bè, đồng nghiệp... những người đã tạo điều kiện, động viên tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả Nguyễn Thị Thu Tính iii Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu H Không gian Hilbert thực. ∅ Tập rỗng. M⊥ Phần bù trực giao của M . I Toán tử đồng nhất. A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A. N (A) Không gian con không của toán tử A. R(A) Miền giá trị của toán tử A. PC x Phép chiếu của phần tử x lên tập C . F Tập các điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t > 0}. F (T ) Tập các điểm bất động của ánh xạ T . * Hội tụ yếu. → Hội tụ mạnh. iv Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cho C là một tập con của không gian X và T là một ánh xạ từ C vào X . Có tồn tại hay không một điểm x0 trong C sao cho T x0 = x0 ? Và có thể có những cách nào để tìm ra điểm x0 hay xấp xỉ điểm x0 như vậy? Điểm x0 như vậy được gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Lý thuyết điểm bất động ra đời từ rất sớm và đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ Lipschitz khác nhau như ánh xạ không giãn tiệm cận, ánh xạ Lipschitz đều (hệ số Lipschitz lớn hơn 1 thực sự). Lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn như Brouwer, Bannach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Ky Fan,...Có nhiều định lý không chỉ đề cập đến sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ mà nó còn đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ nói chung là một trong những kết quả kinh điển được nghiên cứu, có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các phương pháp này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu... Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về một cải biên mới trong phương pháp đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn và điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn, dựa trên cơ sở bài báo của GS.TS.Nguyễn Bường. Đồng thời khái quát lại một số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn và một số phương pháp tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn, được tổng hợp từ những tài liệu đã được công bố. Luận văn gồm 2 chương với những nội dung chính sau đây: 1 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi luận văn. Chương 2. Trình bày một số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn và điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn, bao gồm một số phương pháp cơ bản và một số mở rộng của chúng. Đặc biệt, ở chương này chúng tôi trình bày một số cải biên của phương pháp đường dốc nhất cùng với một số phương pháp đã được biết đến trong các tài liệu của Takahashi, Alber, Solodov, Saejung.... Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn! 2 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này chúng tôi sẽ nhắc lại một số định nghĩa, một số định lí và bổ đề cơ bản trong không gian Hilbert. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Giả sử E là không gian véc tơ trên trường K . Tích vô hướng trên E là ánh xạ ϕ:E×E →K thỏa mãn (i) ϕ(x, x) > 0 nếu x 6= 0; và nếu ϕ(x, x) = 0 thì x = 0. (ii) ϕ(x, y) = ϕ(y, x). (iii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y). (iv) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y). Kí hiệu ϕ(x, x) = hx, xi. Khi đó q kxk = hx, xi. xác định một chuẩn trên E . 3 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.2. Không gian E cùng với tích vô hướng trên nó gọi là không gian tiền Hilbert. Một không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không gian Hilbert. Một không gian tiền Hilbert không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung thành một không gian Hilbert. Không mất tính tổng quát, trong luận văn này, chúng tôi thống nhất dùng kí hiệu H để kí hiệu không gian Hilbert. Ví dụ 1.3. Trong C n , với x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), y = (η1 , η2 , ..., ηn ), ta đặt: n X hx, yi = ξi η i . i=1 Khi đó, C n là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.4. Trong L2 [a, b] ta đưa vào tích vô hướng: Zb hx, yi = x(t)y(t)dt, (x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] a thì L2 [a, b] là một không gian Hilbert. 1.1.1 Sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.5. Dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H , nếu: lim hxn , yi = hx, yi, ∀y ∈ H n→∞ . Sau đây, chúng tôi sẽ dùng kí hiệu * và → tương ứng biểu thị cho sự hội tụ yếu và mạnh. Mệnh đề 1.6. Giả sử H là không gian Hilbert, xn * x và yn → y . Khi đó, hxn , yn i → hx, yi. Định lý 1.7. Giả sử H là không gian Hilbert, xn * x trong H và kxn k → kxk. Khi đó, xn → x. 4 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.1.2 Khai triển trực giao. Toán tử chiếu Trong không gian Hilbert H ta có: Định nghĩa 1.8. Hai véc tơ x, y ∈ H gọi là trực giao với nhau, ký hiệu x⊥y , nếu hx, yi = 0. Véc tơ x gọi là trực giao với tập M ⊂ H nếu x là phần bù trực giao của M . Bổ đề 1.9. M ⊥ là không gian con đóng của H . Định nghĩa 1.10. Cho một toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian HilbertH , tồn tại một toán tử duy nhất A∗ để cho hAx, yi = hx, A∗ yi. Toán tử A∗ gọi là toán tử liên hợp của A. Một số tính chất của toán tử liên hợp: (i) (A∗ )∗ = A. (ii) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = αA∗ . (iii) (AB)∗ = B ∗ A∗ . ⊥ (iv) N (A) = R(A∗ )⊥ , N (A∗ ) = R(A) . Trong đó, R(A) là miền giá trị của toán tử A, N (A) là không gian con không của toán tử A. Định lý 1.11. Cho M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H . Khi đó, bất kỳ phần tử nào của H cũng biểu diễn được duy nhất dưới dạng: x = y + z , với y ∈ M, z ∈ M ⊥ , trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là kx − yk ≤ kx − uk , ∀u ∈ M. Đặt P (x) = y , P gọi là toán tử chiếu từ H lên M . 5 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nhận xét. (a) P liên tục và kP k = 1. (b) I − P là toán tử chiếu lên không gian con đóng M ⊥ Định lý 1.12. Giả sử P là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H . Khi đó, P là toán tử chiếu ⇔ P = P ∗ , P 2 = P. Đồng thời, P là toán tử chiếu lên không gian con đóng M = R(P ). Định lý 1.13. Giả sử M1 , M2 là các không gian con đóng của không gian Hilbert H . P1 , P2 tương ứng là các toán tử chiếu lên M1 , M2 . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) M1 ⊥M2 ; (ii) P1 P2 = 0 hoặc P2 P1 = 0; (iii) P1 + P2 là toán tử chiếu. Đồng thời P1 + P2 là toán tử chiếu lên M1 ⊕ M2 . Định lý 1.14. Giả sử M1 , M2 là các không gian con đóng của không gian Hilbert H . P1 , P2 tương ứng là các toán tử chiếu lên M1 , M2 . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) M1 ⊂ M2 ; (ii) P1 P2 = P1 hoặc P2 P1 = P1 ; (iii) P1 ≤ P2 , tức là P2 − P1 là một toán tử dương. (iv) P2 − P1 là toán tử chiếu. Đồng thời P2 − P1 là toán tử chiếu lên M2 ΘM1 là phần bù trực giao của M1 trong M2 . 1.1.3 Mối quan hệ giữa chuẩn và tích vô hướng Cho H là không gian Hilbert, với mọi phần tử x, y ∈ H , ta luôn có: a, Bất đẳng thức Cauchy-Schwarts: |hx, yi| ≤ kxk . kyk 6 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b, Đẳng thức hình bình hành: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ). Ngoài ra chúng ta còn có một số bổ đề sau: Bổ đề 1.15. [7] kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi . Bổ đề 1.16. [2] Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó ta có đồng nhất thức sau: (i) kx − yk2 = kxk2 − kyk2 − 2hx − y, yi. (ii) kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 , với λ ∈ [0, 1] 1.2 Ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn 1.2.1 Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.17. Cho (X, d1 ), (Y, d2 ) là hai không gian mêtric và ánh xạ F : X → Y là ánh xạ tuyến tính. Nếu F thỏa mãn d2 (F x, F z) ≤ M d1 (x, z) với M là hằng số cố định và mọi x, z ∈ X thì F được gọi là ánh xạ Lipschitz. Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz L(F ) của F . Nếu L(F ) < 1 và X = Y, d1 = d2 , ánh xạ F được gọi là ánh xạ co với hằng số co L(F ). Nếu L(F ) = 1, ánh xạ F được gọi là ánh xạ không giãn. 7 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn Cho C là tập con lồi đóng của không gian Hilbert H . Xét tập hợp {T (t) : t > 0} thỏa mãn: (1) Với mỗi t > 0, T (t) là một ánh xạ không giãn trên C ; (2) T (0)x = x với mọi x ∈ C ; (3) T (s + t) = T (s) ◦ T (t) với mọi s, t > 0; và (4) Với mỗi x ∈ C , ánh xạ T (.)x biến đổi (0, ∞) vào trong C là liên tục. Khi đó {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên tập con lồi đóng C của không gian Hilbert . Kí hiệu F là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t > 0}. Nghĩa là F = ∩t>0 F (T (t)) với F (T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T . Ta có F lồi đóng và F 6= ∅ nếu C compăc (xem [6]) 1.2.3 Một số định lý điểm bất động Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng khá rộng rãi là nguyên lý ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác tùy ý. Định lý 1.18. (Nguyên lý ánh xạ co Bannach). Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất một điểm bất động u và F n x → u với mỗi x ∈ X . Trong đó, F n x = F (F n−1 x) và F n x được gọi là bước lặp thứ n của F x với n = 1, 2, ... và x = F 0 (x) Nguyên lí ánh xạ co Bannach phát biểu cho ánh xạ co trong một không gian mêtric đầy đủ tùy ý. Cho không gian một cấu trúc phức tạp hơn ta có thể nới lỏng tính co của ánh xạ thành tính không giãn, tất 8 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nhiên tính duy nhất của điểm bất động khó có thể bảo toàn. Trong luận văn này, chúng ta xét không gian Hilbert thực như sau: Cho T là một ánh xạ không giãn trên C . Sau đây là một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Định lý 1.19. (Browder-Goebel-Kirk). Cho C là một tập khác rỗng, lồi đóng, bị chặn trong không gian Hilbert. Khi đó, mỗi ánh xạ không giãn T : C → C có ít nhất một điểm bất động. Bổ đề 1.20. [2]. Giả sử T là ánh xạ không giãn trên một tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H , nếu T có một điểm bất động thì I − T là nửa đóng. Nghĩa là: Nếu {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x ∈ C và dãy {(I − T )xk } hội tụ mạnh tới y thì (I − T )x = y . Bổ đề 1.21. [7]. Nếu C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H , T là một ánh xạ không giãn trên C , {xn } là một dãy trong C thỏa mãn xn * x và xn − T xn → 0, thì x − T x = 0. Bổ đề 1.22. [7]. Mọi không gian Hilbert H có tính chất Randon-Riesz hoặc tính chất Kadec-Klee, tức là với dãy {xn } ⊂ H thỏa mãn xn * x và kxn k → kxk , thì xn → x. 9 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được biểu thị bởi ký hiệu lần lượt là h., .i và k.k, và cho C là một tập hợp con lồi giới nội, khác rỗng của H . Ký hiệu PC x là phép chiếu mêtric của một phần tử x ∈ H lên tập C . Ta đã biết rằng PC là một ánh xạ không giãn trên H với mọi tập hợp con lồi đóng C trong H . Nhắc lại rằng một ánh xạ T được gọi là không giãn trên C , nếu T : C → C và kT x−T yk ≤ kx−yk với mọi x, y ∈ C. Sử dụng ký hiệu F (T ) để ký hiệu tập hợp các điểm bất động của T , có nghĩa là F (T ) = {x ∈ C : x = T x}. Chúng ta đã biết rằng F (T ) không rỗng, nếu C giới nội, chi tiết hơn xem [2]. Cho {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C . Giả thiết rằng F = ∩t>0 F (T (t)) 6= ∅. Ta biết rằng F là một tập con lồi đóng [8] và F 6= ∅, nếu C giới nội [6]. 10 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đã có nhiều phương pháp để tìm điểm bất động trong F (T ) hay điểm bất động chung trong F . Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. 2.1 Một số phương pháp cơ bản Phần này chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn cùng với một số mở rộng của nó. Chẳng hạn như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp đường dốc nhất đối với ánh xạ không giãn và phương pháp lặp Mann-Halpern đối với nửa nhóm không giãn. Các chứng minh của các phương pháp không được trình bày chi tiết trong mục này. 2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn Giả sử H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và T là một ánh xạ không giãn trên C . Năm 1953, Mann đã đề xuất phương pháp tìm điểm bất động của T như sau: x0 ∈ C là một phần tử bất kỳ, xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , (2.1) Đây là thuật toán mở rộng của Kransnocelskii và chỉ hội tụ yếu trong H . Ông đã chứng minh rằng, nếu dãy αn được chọn sao cho X∞ αn (1 − αn ) = ∞ n=1 11 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thì dãy {xn } sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T . Ở đây T : C → C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H vào chính nó. Tuy nhiên, trong trường hợp H là một không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp xác định bởi (2.1) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh. Định lý 2.1. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Bannach E và T : C → C là ánh xạ liên tục. Nếu dãy {xn } xác định bởi (2.1) hội tụ mạnh đến điểm p ∈ C thì p là điểm bất động của T . Kết quả sau đây được ứng dụng nhiều trong xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mệnh đề 2.2. Cho C là tập con lồi, khác rỗng của không gian định chuẩn X và T : C → C là ánh xạ với điểm bất động p trong C sao cho kT x − pk ≤ kx − pk với mọi x ∈ C . Khi đó dãy lặp {xn } xác định bởi (2.1) với {αn } ⊂ [0, 1], tồn tại lim kxn − pk. n→∞ Reich đã mở rộng kết quả của Mann cho trường hợp T : C → C từ một tập con lồi đóng khác rỗng của một không gian Bannach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet và ông cũng đã chứng minh được rằng nếu dãy P {αn } được chọn sao cho ∞ n=1 αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy {xn } sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T . (Chi tiết hơn xem [4]) Năm 1967, Halpern đã đề xuất sơ đồ lặp tìm điểm bất động của T như sau: xn+1 = βn u + (1 − βn )T xn, n ≥ 0, (2.2) trong đó u, x0 là hai phần tử cố định trong C và {βn } ⊂ (0, 1). Halpern P đã chỉ ra rằng các điều kiện lim βn = 0 hoặc ∞ n=0 βn = 0 là điều kiện n→∞ cần để dãy lặp (2.2) hội tụ về một điểm bất động của T . Đề xuất này của Halpern đã được nghiên cứu bởi Reich. 12 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Năm 1974, phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa. Với phương pháp lặp này thì dãy lặp {xn } được xác định bởi x1 ∈ C, yn = βn + (1 − βn )T (xn ), (2.3) xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 1, trong đó {αn } và {βn } là các dãy số thực trong đoạn [0, 1]. *Chú ý: Trong trường hợp βn = 1, ∀n thì phương pháp lặp Ishikawa (2.3) trở thành phương pháp lặp Mann (2.1). Tuy nhiên, S.A. Mutangadura và C. E. Chidume đã xây dựng một ví dụ cho trường hợp T là một ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy lặp Ishikawa hội tụ về một điểm bất động của T nhưng dãy lặp Mann lại không hội tụ. Năm 2006 Yanes và Xu đã cải tiến phương pháp lặp (2.2) như sau: x0 ∈ C là một phần tử bất kì, yn = βn x0 + (1 − βn )T xn , n o 2 2 2 Cn = z ∈ C : kyn − zk ≤ kxn − zk + β n (kxo k + 2hxn − x0 , zi) , Qn = {z ∈ C : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0} , xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ). (2.4) Hai tác giả trên đã chứng minh rằng nếu T là một ánh xạ không giãn trên một tập con lồi đóng C với F (T ) 6= ∅ và dãy {βn } ⊂ (0, 1) được chọn sao cho lim βn = 0, thì dãy {xn } xác định bởi (2.4) hội tụ mạnh n→∞ về PF (T ) (x0 ) khi n → ∞. (Xem trong [4]) Năm 2009, S. Y. Cho; S. M. Kang và X. Qin đã cải tiến phương pháp 13 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lặp Ishikawa dạng x1 ∈ C, Zn = pxn + (1 − p)S(xn ), yn = βn xn + (1 − βn )T (zn ), (2.5) xn+1 = αn u + γn xn + µn yn , n ≥ 1, trong đó S : C → C là một ánh xạ giả co chặt và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Với u là một phần tử bất kỳ trong C và {αn } , {γn } , {µn } , {βn } là các dãy số nằm trong đoạn [0, 1], và p là một hằng số nào đó.(Xem trong [4]) Dựa trên phương pháp lặp Kransnocelskii-Mann tìm điểm bất động của các ánh xạ không giãn từ một tâp con lồi, đóng trong không gian Hilbert thực vào chính nó, Moudafi đã đưa ra phương pháp xấp xỉ mềm và cũng đã chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp như sau: Định lý 2.3. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H , T là ánh xạ không giãn trên C và thỏa mãn F (T ) 6= ∅, f là ánh xạ co trên C với hằng số α̃ ∈ [0, 1) , dãy {xk } là dãy sinh bởi: x1 ∈ C, xk = λk λk f (xk ) + T xk , k ≥ 1, 1 + λk 1 + λk λk λk f (xk ) + T xk , k ≥ 1, 1 + λk 1 + λk trong đó, λk ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện sau xk+1 = (2.6) (2.7) (M1) lim λk = 0; k→∞ P (M2) ∞ k=1  λk = 0;    (M3) lim  λk1+1 − λ1k  = 0. k→∞ Khi đó dãy {xk } xác định bởi (2.7) hội tụ mạnh tới p∗ ∈ F (T ), ở đây, p∗ = PF (T ) f (p∗ ) và với điều kiện (M1) dãy {xk } xác định bởi (2.6) hội tụ tới p∗ . 14 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/