..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Đào Xuân Tuấn
PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Đào Xuân Tuấn
PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. VŨ VINH QUANG
Thái Nguyên - 2015
i
MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ iv
DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ...................................................................................... v
DANH SÁCH HÌNH VẼ ............................................................................................ vi
DANH SÁCH BẢNG ................................................................................................ vii
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .......... 3
1.1 Phương trình vi phân cấp một ........................................................................... 3
1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm ........................................ 3
1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích ...................................................... 4
1.2 Phương trình vi phân cấp hai .......................................................................... 12
1.2.1 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm ..................................................................... 12
1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích ..................................................... 13
1.2.2.1 Phương trình khuyết................................................................................... 13
1.2.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai ................................................................. 14
1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ................................................ 14
1.2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số ................................................................. 17
1.3 Phương trình vi phân cấp cao ........................................................................... 19
1.3.1 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm ................................................................ 19
1.3.2 Các phương trình giải được bằng cầu phương ............................................... 20
1.3.3 Tích phân trung gian – phương trình hạ cấp được ......................................... 23
1.3.3.1 Tích phân trung gian .................................................................................. 23
ii
1.3.3.2 Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian .......... 24
1.3.3.3 Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm ...................................... 24
1.3.3.4 Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng ................................................... 25
Chương 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN
TÍNH VÀ PHI TUYẾN ............................................................................................. 26
2.1 Phương pháp sai phân ...................................................................................... 26
2.1.1 Lưới sai phân ................................................................................................ 26
2.1.2 Hàm lưới....................................................................................................... 27
2.1.3 Đạo hàm lưới ................................................................................................ 27
2.1.4 Quy ước viết vô cùng bé ............................................................................... 27
2.1.5 Công thức Taylor .......................................................................................... 28
2.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới ................................................................ 28
2.2 Một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp một .............................. 30
2.2.1 Thuật toán Euler ........................................................................................... 30
2.2.2 Phương pháp Crank_Nicolson ...................................................................... 33
2.2.3 Thuật toán RK4 ............................................................................................ 34
2.2.4 Phương pháp đa bước Adams ....................................................................... 35
2.2.5 Phương pháp Euler_Cauchy .......................................................................... 37
2.3 Một số phương pháp số giải bài toán vi phân cấp hai ...................................... 37
2.3.1 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo................................................................ 37
2.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên ...................... 40
2.3.3 Phương trình vi phân phi tuyến cấp hai tổng quát với hệ điều kiện đầu ......... 42
2.3.3.1 Sơ đồ sai phân dạng Runge_Kutta.............................................................. 42
2.3.3.2 Sơ đồ sai phân Nyström ............................................................................. 44
iii
Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM .................................................... 49
3.1 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp một ................................... 49
3.1.1 Thuật toán Euler 1 ........................................................................................ 49
3.1.2 Thuật toán Euler 2 ........................................................................................ 51
3.1.3 Thuật toán Euler_Cauchy.............................................................................. 52
3.1.4 Thuật toán RK_4 .......................................................................................... 53
3.2 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp hai..................................... 55
3.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên ...................... 55
3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện đầu ....................... 58
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 64
Phụ lục: MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN......................................................... 65
iv
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
của TS. Vũ Vinh Quang – Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông – Đại
học Thái Nguyên. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin trân trọng gửi tới các Thầy giáo, Cô giáo thuộc khoa Toán – Tin, phòng
Đào tạo – Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên cũng như các Thầy, Cô
giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 – 2015 lời cám ơn sâu sắc nhất.
Tôi xin cám ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám hiệu, các
đồng nghiệp Trường THPT Đông Triều – Quảng Ninh, gia đình, bạn bè,... đã tạo điều
kiện giúp đỡ, động viên, cổ vũ để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Thái Nguyên, ngày 04 tháng 04 năm 2015
Đào Xuân Tuấn
Học viên cao học lớp: Toán A
Khóa: 06/2013 – 06/2015
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Trường ĐH khoa học – ĐH Thái Nguyên
v
DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU
Trong luận văn này có sử dụng một số kí hiệu sau:
W y1, y2 : Định thức Wronsky của y1, y 2
1(x ) : Là một nguyên hàm của 1(x ) .
2 (x ) : Là một nguyên hàm của 2 (x ) .
h : Là một lưới sai phân trên x 0, X .
xi : Là một nút của lưới.
O h : Độ chính xác trong sai số tính toán
h : Là bước đi của lưới.
ui u(x i ), i 0,1,..., n : Hàm lưới.
u * (x ) : Nghiệm đúng.
vi
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán RK_4
Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán khử lặp
Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 1
Hình 3.4: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 2
vii
DANH SÁCH BẢNG
Bảng 2.1: Nyström bậc 4
Bảng 2.2: Phương pháp cho y '' f (x , y ) , Nyström bậc 4
Bảng 2.3: Phương pháp cho y '' f (x , y ) , Nyström bậc 5
Bảng 3.1: Sai số phương pháp ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.2: Sai số phương pháp Euler_2 ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.3: Sai số phương pháp Euler_Cauchy ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.4: Sai số phương pháp RK_4 ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.5: Sai số phương pháp khử lặp ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.6: Sai số phương pháp Nyström dạng 1 ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.7: Sai số phương pháp Nyström dạng 2 ứng với hàm nghiệm đúng
1
MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương trình
cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng đối với các bài
toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định. Về mặt lý thuyết tổng quát của
lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiên cứu từ rất lâu. Tuy nhiên vấn đề
tìm nghiệm giải tích của các phương trình này chỉ thực hiện được đối với các phương
trình dạng đặc biệt còn chủ yếu là phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp
gần đúng. Chính vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp gần đúng và xây
dựng các chương trình trên máy tính điện tử tìm nghiệm số của các lớp phương trình
trên và có ý nghĩa về mặt khoa học, mang tính ứng dụng cao.
Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp sai phân đưa
các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến với các hệ điều kiện ban đầu khác
nhau về các hệ phương trình sai phân đồng thời nghiên cứu một số các thuật toán giải
đúng và gần đúng các hệ phương trình sai phân để xác định nghiệm xấp xỉ của các
phương trình vi phân, trên cơ sở đó tiến hành xây dựng hệ thống hàm mẫu mô tả các
thuật toán bằng ngôn ngữ máy tính, thử nghiệm tính chính xác của các chương trình
trên các ví dụ cụ thể.
Cấu trúc của luận văn gồm 3 chương với những nội dung như sau:
Chương 1: Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân,
một số phương pháp tìm nghiệm giải tích đối với lớp các phương trình cấp một và cấp
cao. Đây là các kiến thức cơ bản làm nền tảng để nghiên cứu các nội dung trong các
chương tiếp sau của luận văn.
Chương 2: Trên cơ sở của phương pháp sai phân, luận văn trình bày một số kết
quả nghiên cứu cơ bản về mặt lý thuyết các thuật toán giải số các phương trình vi phân
cấp một với điều kiện ban đầu và phương trình vi phân cấp hai với hệ điều kiện biên.
Trên cơ sở đó nghiên cứu thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp hai. Các kết
quả lý thuyết chính là nền tảng để xây dựng các thuật toán giải số các phương trình vi
phân trong chương 3 của luận văn.
2
Chương 3: Xuất phát từ các kết quả lý thuyết phân tích về các thuật toán giải số
các phương trình vi phân cấp một và cấp hai dựa trên cơ sở của phương pháp sai phân,
trong chương 3 luận văn sẽ trình bày các kết quả khi cài đặt các thuật toán giải số trên
máy tính điện tử, đánh giá tính đúng đắn của các thuật toán thông qua việc đánh giá sai
số. Ngôn ngữ sử dụng cài đặt các thuật toán là ngôn ngữ Matlab version 7.0.
Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh được những sai
sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy giáo, Cô giáo, đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Học viên
Đào Xuân Tuấn
3
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương
trình vi phân, một số dạng phương trình vi phân thường gặp và phương pháp giải. Đây
là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trong chương 2 và
chương 3 của luận văn. Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],
[3].
1.1 Phương trình vi phân cấp một
1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm
Bài toán Cauchy
Xét phương trình:
dy
f (x , y )
dx
(1.1)
Khi đó bài toán tìm nghiệm y y (x ) của (1.1) sao cho khi x x 0 thì y y 0
được gọi là bài toán Cauchy, ở đây (x 0 , y 0 ) là các giá trị tuỳ ý cho trước được gọi là
giá trị ban đầu (điều kiện đầu).
Định lí tồn tại duy nhất nghiệm
Định nghĩa 1.1 Ta nói hàm f (x , y ) thoả mãn trong miền G 2 điều kiện
Lipschitz đối với y nếu N 0 sao cho với bất kỳ x , y, y mà (x , y ) G ,(x , y ) G
thì:
f (x , y ) f (x , y ) N y y
(1.2)
Chú ý: Bất đẳng thức (1.2) sẽ thoả mãn nếu hàm f (x , y ), fy' (x , y ) giới nội
trong G , tức là: fy' (x , y ) N , (x , y ) G .
4
Vì theo Lagrange:
f (x , y ) f (x , y ) fy' (x , y t (y y ) y y N y y
Nhưng điều ngược lại không đúng vì có thể (1.2) thoả mãn nhưng fy' (x , y ) không
tồn tại.
Định lí 1.1 Xét phương trình (1.1) với giá trị ban đầu (x 0 , y 0 ) . Giả sử:
a. Hàm số f (x , y ) là hàm liên tục hai biến trong miền kín giới nội G
x a x x a
0
0
; a, b 0
y 0 b y y 0 b
vì f liên tục trong G kín, giới nội nên M để
f (x , y ) M , (x , y ) G .
b. Hàm số f (x , y ) thoả mãn trong G điều kiện Lipshitz đối với y .
Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y (x ) của phương trình (1.1) xác định
và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn x 0 h x x 0 h trong đó
b
h min a, sao cho khi x x 0 thì (x 0 ) y 0 .
M
1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích
Phương trình tách biến
M (x )dx N (y )dy 0
(1.3)
Giả sử M (x ), N (y ) liên tục trong miền nào đó của 2 , khi đó tích phân tổng
quát của (1.3) có dạng
M (x )dx N (y)dy C .
Tổng quát hơn ta xét phương trình:
M (x )N (y )dx P (x )Q (y )dy 0
(1.4)
5
Trong đó M , N , P,Q là các hàm liên tục theo đối số của chúng trong miền đang
xét.
Giả sử N (y )P (x ) 0 . Khi đó từ (1.3)
phân tổng quát có dạng:
M (x )
Q(y )
dx
dy 0 , do đó tích
P (x )
N (y )
M (x )
Q(y )
dx
dy C .
P (x )
N (y )
Trong trường hợp N (y )P (x ) 0 , những trường hợp y y 0 làm cho
N (y ) 0 cũng là nghiệm của phương trình (1.4), những giá trị x x 0 làm cho
P (x ) 0 cũng là nghiệm của phương trình.
Chú ý: Dạng phương trình
dy
f (ax by c) . Có thể đưa về tách biến bằng
dx
dz
a
dy
dz
dx
phép đổi biến z ax by c
hay
a bf (z ) . Đây là
dx
b
dx
phương trình tách biến.
Phương trình thuần nhất
Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x , y ) gọi là hàm thuần nhất bậc n, nếu:
f (tx , ty ) t n f (x , y ) .
Xét phương trình :
dy
f (x , y )
dx
(1.5)
với f (x , y ) liên tục và là hàm thuần nhất bậc không.
Đặt t
Ta có:
1
f (x , y )
x
y
y
f 1, .
x
x
y
dy
.
x
dx
(1.6)
6
Đặt z
y
dy
dz
z x
thế vào phương trình (1.6).
x
dx
dx
Ta có: z x
dz
dz
(z ) hay (z ) z x
.
dx
dx
Đây là phương trình tách biến
dz
dx
với giả thiết (z ) z 0 .
(z ) z
x
Chú ý: Xét phương trình dạng:
+ Giả sử
a1
b1
a2
b2
a x b y c
dy
1
1
f 1
.
a2x b2y c2
dx
0.
x h
Dùng phép đổi biến
y k
dạng:
(h, k const ) , khi đó phương trình có
a b a h b k c
d
1
1
1
1
f 1
.
a2 b2 a2h b2k c2
d
a h b k c 0
1
1
1
thì ta được phương trình thuần
a2h b2k c2 0
Nếu chọn h, k thoả mãn
nhất:
a b
d
1
f 1
.
a2 b2
d
+) Nếu
a1
b1
a2
b2
0
a1
b
1 , do đó:
a2
b2
a x b y c
dy
1
1
f 1
dx
a 2x b2y c2
(a x b y ) c
2
2
1
f
.
a2x b2y c2
7
Đặt z a 2x b2y và lập phương trình theo z ta có
dz
(z ) đây là phương
dx
trình tách biến.
Phương trình tuyến tính
dy
P (x )y Q(x )
dx
Dạng tổng quát:
Xét phương trình
(1.7)
dy
P (x )y 0 , phương trình này được gọi là phương trình
dx
tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình đã cho.
+ Phương pháp biến thiên hằng số
Bước 1: Xét phương trình:
dy
P (x )y 0
dx
Giả sử y 0 khi đó phương trình (1.8) đưa về dạng:
P(x )dx ln C
Do đó ln y
1
(1.8)
dy
P (x )dx .
y
(C 1 0)
P (x )dx
P (x )dx
hay y Ce
y C1 e
(1.9)
P (x )dx
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.8) là y Ce
trong đó C là
hằng số tuỳ ý.
Bước 2: Ta thử tìm nghiệm của (1.8) dưới dạng (1.9) trong đó coi C C (x ) khi
đó
P (x )dx
dy dC P (x )dx
e
p(x )Ce
thay hệ thức này vào phương trình (1.7) ta
dx
dx
có:
P (x )dx
P (x )dx
dC P (x )dx
e
P (x )Ce
P (x )Ce
Q(x ).
dx
8
Do đó
P (x )dx
dC
Q(x )e
hay C C (x )
dx
Q(x )e
P (x )dx
C 1 . Trong đó
C 1 là hằng số tuỳ ý.
Vậy y Ce
P (x )dx e P (x )dx Q(x )e P (x )dx
(1.10)
+ Phương trình Becnuli
Dạng phương trình:
dy
P (x )y Q(x )y ; R
dx
(1.11)
Nếu 0 ta được phương trình tuyến tính.
Nếu 1 ta được phương trình tuyến tính thuần nhất.
Giả thiết 0, 1 .
Chia hai vế của phương trình cho y (y 0) ta được:
1 dy
1
P
(
x
)
Q(x )
y dx
y 1
Đổi biến z y 1 ta có (1 )y
(1.12)
dy
dz
và do đó:
dx
dx
1 dz
P (x )z Q(x )
1 dx
Hay
dz
(1 )P(x )z (1 )Q(x ) đây là phương trình tuyến tính không
dx
thuần nhất.
Phương trình hoàn chỉnh – thừa số tích phân
Xét phương trình: M (x , y )dx N (x , y )dy 0
(1.13)
Nếu vế trái của (1.13) là vi phân toàn phần của một hàm u(x , y ) nào đó.
Tức là:
M (x , y )dx N (x , y )dy du (x , y )
(1.14)
9
Thì ta nói (1.13) là phương trình vi phân hoàn chỉnh, khi đó tích phân tổng quát
của phương trình là u(x , y ) C .
Ví dụ: xdx ydy 0
1 2
x y2
2
Ta có xdx ydy d
vì vậy tích phân tổng quát là x 2 y 2 C .
Định lí 1.2 Điều kiện cần và đủ để biểu thức vi phân
M (x , y )dx N (x , y )dy
(1.15)
Trong đó M , N xác định, liên tục và không đồng thời triệt tiêu tại bất cứ điểm
nào trong một miền đơn liên G 2 và có trong miền ấy các đạo hàm liên tục
và
M
y
N
, là một vi phân toàn phần của hàm u(x , y ) là đẳng thức:
x
M
N
phải thoả mãn (x , y ) G
y
x
Ví dụ: (7x 3y )dx (3x 5y )dy 0 .
Ta có:
M
3
y
N
N 3x 5y
3
x
M 7x 3y
Đây là phương trình vi phân hoàn chỉnh.
Ta xác định hàm u . Ta có:
u
7x 3y
x
u
3x 5y
y
(*)
(**)
(1.16)
10
Từ (*) u(x , y )
(7x 3y)dx (y)
u
5
3x '(y ) 3x 5y vậy (y ) y 2 C .
2
y
Cuối cùng u(x , y )
7 2
5
x 3xy y 2 C .
2
2
Phương trình có tích phân tổng quát là: 7x 2 6xy 5y 2 C .
Các phương trình dạng phi tuyến
+ Phương trình: F (x , y ' ) 0
(1.17)
Trường hợp 1: Phương trình đang xét xác định y ' như là hàm ẩn của x và có thể
giải ra được
y
y ' f (x ) . Khi đó nghiệm nghiệm tìm được bằng một lần cầu phương
f (x )dx C .
Trường hợp 2: Từ (1.17) ta giải ra được x theo y ' : x (y ' ) . Khi đó đặt
y ' p xem p là tham số ta được x (p ) , vì
dy
p dy pdx . Do
dx
x (p ) dx ' (p)dp .Vậy: dy p ' (p)dp y
p (p)dp C .
'
x (p)
Nghiệm thu được dưới dạng tham số:
y p' (p)dp C
Trường hợp 3: Từ (1.17) x , y ' đều biểu diễn bằng một hàm đơn trị theo tham số
x (t )
'
y (t )
Khi đó y
y dx C (t ) (t )dt C .
'
'
11
x (t )
Nghiệm tìm được dưới dạng
y (t )' (t )dt C .
+ Phương trình F (y, y ' ) 0
(1.18)
Trường hợp 1: Giải được y ' theo y : y ' f (y ) .
Khi đó
dy f (y )dx
dy
x C . Ngoài ra giá trị y y 0 mà
f (y )
f (y ) 0 cũng là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: Giải được y theo y ' : y (y ') . Giả sử là hàm khả vi liên tục.
Đặt y ' p ta có y (p ) .
Từ
dy
1
1
p dx dy ' (p)dp x
dx
p
p
1 '
(p)dp C .
p
x 1 ' (p )dp C
p
Vậy nghiệm tổng quát có dạng
y (p)
y (t )
Trường hợp 3:
'
y (t )
Giả thiết là hàm khả vi liên tục và (t ) 0 ta tìm x theo t .
dy
1 '
Từ
y ' (t ) dx
(t )dt x
dx
(t )
' (t )
dt C .
(t )
y (t )
Vậy nghiệm tổng quát có dạng
' (t )
x
dt C
(t )
+ Phương trình F (x , y, y ' ) 0
(1.19)
- Xem thêm -