Tài liệu Phương pháp sai phân hữu hạn và ứng dụng giải phương trình poisson với điều kiện biên hỗn hợp

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC É THÀ L› THU PH×ÌNG PHP SAI PH…N HÚU H„N V€ ÙNG DÖNG GIƒI PH×ÌNG TRœNH POISSON VÎI I—U KI›N BI–N HÉN HÑP LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2014 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC É THÀ L› THU PH×ÌNG PHP SAI PH…N HÚU H„N V€ ÙNG DÖNG GIƒI PH×ÌNG TRœNH POISSON VÎI I—U KI›N BI–N HÉN HÑP Chuy¶n ng nh : TON ÙNG DÖNG M¢ sè : 60 46 01 12 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H÷îng d¨n khoa håc: TS. NG THÀ OANH Th¡i Nguy¶n - 2014 1 Möc löc B£ng kþ hi»u Danh möc b£ng v  h¼nh v³ 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ 1.1 H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ph÷ìng ph¡p truy uêi ba ÷íng ch²o . . . . . . 1.1.2 Ph÷ìng ph¡p l°p Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mët sè b i to¡n tø thüc t¸ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 B i to¡n truy·n nhi»t trong thanh vªt ch§t . . . 1.2.2 B i to¡n truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng ph¯ng . . 1.2.3 B i to¡n truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng khæng gian ba chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 B i to¡n truy·n nhi»t døng . . . . . . . . . . . . 1.3 Kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìng ph¡p sai ph¥n . . . . . . . 1.3.1 B i to¡n vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 L÷îi sai ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 H m l÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 ¤o h m l÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Ph÷ìng ph¡p truy uêi gi£i b i to¡n sai ph¥n . . 1.3.7 Sü ên ành cõa b i to¡n sai ph¥n . . . . . . . . . 1.3.8 Sü x§p x¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.9 Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10 Sai sè t½nh to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 8 8 9 11 13 13 15 16 17 19 19 19 20 20 20 21 24 26 27 28 2 2 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp 29 2.1 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n gi£i b i to¡n hén hñp hai chi·u . 2.1.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 L÷îi sai ph¥n v  h m l÷îi . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 B i to¡n sai ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 L÷ñc ç sai ph¥n gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sü ên ành v  hëi tö cõa l÷ñc ç sai ph¥n gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp . . . . . . . . . 2.2.1 Sü ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 B i to¡n sai ph¥n èi vîi sai sè . . . . . . . . . . 2.2.3 Sü hëi tö v  sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 V· sai sè t½nh to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Thû nghi»m sè 3.1 Sü ríi r¤c hâa b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson 3.2 Thuªt to¡n gi£i b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson 3.3 Mët sè k¸t qu£ thû nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Thû nghi»m 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Thû nghi»m 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Thû nghi»m 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn T i li»u tham kh£o 29 29 30 31 34 39 39 40 41 41 43 43 44 45 45 46 47 48 49 50 3 LÍI CƒM ÌN Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Ti¸n sÿ °ng Thà Oanh - Tr÷íng ¤i håc Cæng ngh» Thæng Tin v  Truy·n Thæng, HTN, ¢ h÷îng d¨n v  ch¿ b£o tªn t¼nh º em câ thº ho n th nh luªn v«n n y. Em công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ gi¡o trong tr÷íng ¤i håc Khoa Håc, ¤i Håc Th¡i Nguy¶n, Pháng  o T¤o tr÷íng ¤i håc Khoa Håc ¢ d¤y b£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa. çng thíi em công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao håc To¡n K6A - Tr÷íng ¤i håc Khoa Håc ¢ ëng vi¶n gióp ï em trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n n y. Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n em, cê vô, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n tèt nghi»p. Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 5 n«m 2014 T¡c gi£ é Thà L» Thu 4 B£ng kþ hi»u const ||A|| ∀x ∃x ∈ Rd max min Σ Ω ∆x ∆t ∂u ∂x ∂u ∂y ∂ 2u 2 ∂x ∂ 2u ∂y 2  0  u (x, y) H¬ng sè Chu©n cõa A Vîi måi x Tçn t¤i x thuëc Khæng gian thüc d chi·u Gi¡ trà lîn nh§t Gi¡ trà nhä nh§t Têng Bao âng tªp Ω Sai sè lîn nh§t cõa ¤o h m theo bi¸n x Sai sè lîn nh§t cõa ¤o h m theo bi¸n t ¤o h m ri¶ng cõa h m u theo bi¸n x ¤o h m ri¶ng cõa h m u theo bi¸n y ¤o h m ri¶ng c§p 2 cõa h m u theo bi¸n x ¤o h m ri¶ng c§p 2 cõa h m u theo bi¸n y Γ ¤o h m cõa h m u(x, y) tr¶n bi¶n Γ 5 Danh möc b£ng v  h¼nh v³ H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh H¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Thanh vªt ch§t °t tr¶n tröc Ox tø x = a ¸n x = a + L = b B£n mäng vªt ch§t Ω câ ÷íng bi¶n l  mët ÷íng cong kh²p k½n Γ Khèi vªt ch§t ν câ m°t bi¶n kh²p k½n l  Σ L÷îi sai ph¥n Mi·n chú nhªt Ω L÷îi sai ph¥n H¼nh trán trong m°t ph¯ng (x, y) phõ k½n mi·n Ω Sai sè lîn nh§t cõa b i to¡n 1 Sai sè trung b¼nh cõa b i to¡n 1 Sai sè lîn nh§t cõa b i to¡n 2 Sai sè trung b¼nh cõa b i to¡n 2 Sai sè lîn nh§t cõa b i to¡n 3 Sai sè trung b¼nh cõa b i to¡n 3 6 MÐ †U Nhi·u hi»n t÷ñng khoa håc v  kÿ thuªt d¨n ¸n c¡c b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh vªt lþ to¡n. Gi£i c¡c b i to¡n â ¸n ¡p sè b¬ng sè l  mët y¶u c¦u quan trång cõa thüc ti¹n. Trong mët sè ½t tr÷íng hñp thªt ìn gi£n, vi»c â câ thº l m ÷ñc nhí v o nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n d÷îi d¤ng c¡c cæng thùc sì c§p, c¡c t½ch ph¥n ho°c c¡c chuéi h m. Cán trong ¤i a sè tr÷íng hñp kh¡c, °c bi»t l  èi vîi c¡c b i to¡n câ h» sè bi¸n thi¶n, c¡c b i to¡n phi tuy¸n, c¡c b i to¡n tr¶n mi·n câ h¼nh håc phùc t¤p th¼ nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n khæng câ, ho°c câ nh÷ng r§t phùc t¤p. Trong nhúng tr÷íng hñp â vi»c t½nh nghi»m ph£i düa v o c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng. Hi»n nay câ nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i sè b i to¡n n y nh÷: Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n, ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n, ph÷ìng ph¡p ph¦n tû bi¶n, ph÷ìng ph¡p khæng l÷îi, v.v. Méi ph÷ìng ph¡p câ ÷u v  nh÷ñc iºm ri¶ng. Nëi dung cõa luªn v«n l  t¼m hiºu v  c i °t thû nghi»m ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n cho vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng nëi dung ch½nh, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, mët sè b i to¡n tø thüc t¸ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng elliptic, kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìng ph¡p sai ph¥n. Ch÷ìng 2: Bao gçm ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n gi£i b i to¡n poisson 2 chi·u vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp; Sü ên ành v  hëi tö cõa l÷ñc ç sai ph¥n húu h¤n. Ch÷ìng 3: Tr¼nh b y sü ríi r¤c cõa b i to¡n hén hñp vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson; Thuªt to¡n gi£i b i to¡n hén hñp; Cuèi còng l  mët sè k¸t qu£ thû nghi»m tr¶n b i to¡n hén hñp. K¸t qu£ thû nghi»m thº hi»n tr¶n ç thà l  sai sè lîn nh§t v  sai sè trung b¼nh b¼nh ph÷ìng. 7 Dò ¢ r§t cè g­ng, nh÷ng ch­c ch­n nëi dung ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n cán nhúng thi¸u sât nh§t ành, em r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n º b£n luªn v«n n y ÷ñc ho n thi»n hìn. 8 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ 1.1 H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh X²t vi»c gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh n ph÷ìng tr¼nh n ©n:    a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1n+1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2n+1 ... ...   an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = ann+1 (1.1) trong â h» sè aij , (i, j = 1, n) l  nhúng sè ¢ bi¸t. V¸ ph£i cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1) ain+1 , (i = 1, n) công l  nhúng sè ¢ bi¸t v  xi (i = 1, n) l  c¡c ©n sè ph£i t¼m. Ta kþ hi»u:   a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n  A =  ...  ... an1 an2 ... ann l  ma trªn h» sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1).   a1n+1   a2n+1  b =  ..  v  x =  . ann+1   x1 x2  ..  . xn l  v²c tì v¸ ph£i v  v²c tì ©n sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1). H» ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ thº vi¸t gån d÷îi d¤ng Ax = b. (1.2) 9 N¸u ma trªn h» sè A khæng suy bi¸n, ngh¾a l      det(A) =    a11 a21 ... an1 a12 ... a1n a22 ... a2n ... an2 ... ann      6= 0   th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t nghi»m. 1.1.1 Ph÷ìng ph¡p truy uêi ba ÷íng ch²o X²t h» ph÷ìng tr¼nh (1.3) Ax = −f, trong â ma trªn A l  ma trªn ba ÷íng ch²o d¤ng: c1 b1 0 a  2 −c2 b2 .... A=  0 0 0 0 0 0  ... ... 0 0  0 0  .  ... −cn−1 bn−1 ... an −cn (1.4) C¡c ph÷ìng tr¼nh cõa h» câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:  −c1 x1 + b1 x2 ai xi−1 − ci xi + bi xi+1  an xn−1 − cn xn = −f1 = fi , (i = 2, . . . n − 1) = −fn . (1.5) Gi£ sû c1 6= 0, tø ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h» (1.5) ta rót ra x1 = f1 b1 x2 + . c1 c1 (1.6) Th¸ biºu thùc tr¶n v o ph÷ìng tr¼nh thù hai khi i = 2 ta câ biºu di¹n cõa x2 qua x3 . Nh÷ vªy ta s³ t¼m nghi»m cõa h» (1.5) trong d¤ng xi = αi xi+1 + βi (1.7) trong â αi v  βi l  c¡c h» sè c¦n x¡c ành. Tø (1.7) ta câ xi−1 = αi−1 xi + βi−1 , th¸ v o ph÷ìng tr¼nh thù hai cõa h» (1.5) ta câ ai αi−1 xi + ai βi−1 − ci xi + bi xi+1 = −fi . Suy ra xi (ci − ai αi−1 ) = bi xi+1 + ai βi−1 + fi . (1.8) 10 Gi£ sû c1 − ai αi−1 6= 0, tø (1.8) ta câ xi = − bi ai βi−1 + fi xi+1 + . ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 (1.9) So s¡nh (1.7) ta ÷ñc αi = bi ai βi−1 + fi βi = , (i = 2, ..., n − 1). ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 º þ ¸n (1.6) ta câ α1 = b1 f1 , β1 = . c1 c1 (1.10) (1.11) Thay i bði n − 1 trong (1.7) ta câ xi−1 = αn−1 xn + βn−1 . (1.12) Th¸ v o ph÷ìng tr¼nh cuèi còng cõa (1.5) ta ÷ñc αn (αn−1 xn + βn−1 ) − cn xn = −fn . Suy ra xn = αn βn−1 + fn , cn − an αn−1 6= 0. cn − an αn−1 (1.13) Nh÷ vªy, nghi»m cõa h» (1.5) ÷ñc t¼m theo cæng thùc    α1       αi     xn     xi f1 b1 , β1 = ; c1 c1 bi ai βi−1 + fi = , βi = , (i = 2, ..., n − 1); ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 αn βn−1 + fn = ; cn − an αn−1 = αi xi+1 + βi , (i = n − 1, ..., 1). = (1.14) Cæng thùc t¼m nghi»m cõa h» (1.5) theo (1.14) ÷ñc gåi l  cæng thùc truy uêi. Xu§t ph¡t tø α1 , β1 t½nh α2 , β2 ,.... cuèi còng câ αn−1 , βn−1 , tø â câ xn , ta t½nh ti¸p xn−1 , .., x1 . V¼ khi t½nh nghi»m xu§t ph¡t tø xn b¶n ph£i n¶n cán gåi l  cæng thùc truy uêi ph£i. Khèi l÷ñng t½nh to¡n theo ph÷ìng ph¡p tr¶n cï 8n. Trong mët sè i·u ki»n nh§t ành ph÷ìng ph¡p tr¶n l  kh£ thi v  ên ành. ành lþ sau ¥y · cªp ¸n v§n · n y. 11 ành lþ 1.1. Gi£ sû c¡c h» sè cõa ma trªn (1.4) thäa m¢n i·u ki»n ai , bi , ci 6= 0, (i = 1, ..., n) v  |c1 | ≥ |b1 | , |cn | ≥ |an | , |ci | ≥ |ai | + |bi | , (i = 2, ..., n − 1), trong â câ ½t nh§t mët b§t ¯ng thùc ch°t. Khi â: ∆i = ci − aiαi−1 6= 0 v ; |αi−1| ≤ 1, (i = 2, ..., n). |b1 | Chùng minh. V¼ |c1| ≥ |b1| = 6 0 n¶n |α1 | = ≤ 1. |c | 1 Khi â, |c2 − a2 α1 | ≥ |c2 | − |a2 | |α1 | ≥ |a2 | + |b2 | − |a2 | |α1 | = |a2 | (1 − |α1 | + |b2 |) ≥ |b2 | > 0 ⇒ |c2 − a2 α1 | = 6 0. Do â, |α2 | = |b2 | ≤ 1. |c2 − a2 α1 | T÷ìng tü, tø |α2 | ≤ 1 suy ra |α3 | ≤ 1, ..., |αi−1 | ≤ 1, (i = 2, ..., n) Suy ra |ci − ai αi−1 | ≥ |ci | − |ai | |αi−1 | ≥ |ai | + |bi | − |ai | |αi−1 | = |ai | (1 − |αi−1 |) + |bi | > |bi | > 0, ∀i . Vªy ci − ai αi−1 6= 0, (i = 2, ..., n). 1.1.2 Ph÷ìng ph¡p l°p Jacobi Ta vi¸t h» Ax = b trong d¤ng chi ti¸t aii xi + X a xj = bi , i = 1, 2, ..., n ij (1.15) j6=i ! ! b1 x1 trong â A ∈ Mn , b = ... , x = ... . Khi â xu§t ph¡t tø mët xn bn (0) x§p x¿ x b§t ký câ thº t½nh c¡c th nh ph¦n cõa c¡c x§p x¿ ti¸p theo cõa h» tø ph÷ìng tr¼nh X (k+1) (k) aii xi + a xj = bi , i = 1, 2, ..., n; k = 0, 1, 2, . . . (1.16) ij j6=i Gi£ sû ∀i, aii 6= 0. Khi â tø (1.16) ta ÷ñc (k+1) xi =− Xa j6=i ij aii (k) xj + bi , i = 1, 2, ..., n; k = 0, 1, 2, . . . aii (1.17) 12 C¡ch t½nh c¡c x§p x¿ li¶n ti¸p cõa h» theo cæng thùc tr¶n ch½nh l  ph÷ìng ph¡p l°p Jacobi. ành lþ 1.2. N¸u tçn t¤i mët sè 0 < q < 1 sao cho n X (1.18) |aij | ≤ q |aii | , ∀i = 1, 2, ..., n j6=i ,j=1 th¼ ph÷ìng ph¡p l°p Jacobi gi£i h» ph÷ìng tr¼nh Ax = b hëi tö vîi b§t ký x§p x¿ ban ¦u x(0) v  èi vîi sai sè ta câ c¡c ¡nh gi¡ qk (0) (1) ≤ x − x , k = 0, 1, 2, ... ∞ ∞ 1−q q (k) (k) (k−1) x − x x − x ≤ , k = 0, 1, 2, ... ∞ ∞ 1−q (k) x − x (1.19) (1.20) trong â x l  nghi»m óng cõa h». Nhªn x²t 1.1. Câ tr÷íng hñp khæng thº ¡p döng ph÷ìng ph¡p Jacobi ngay cho h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, m  ph£i thüc hi»n vi»c êi chê c¡c ph÷ìng tr¼nh º ÷ñc h» vîi ma trªn ch²o trëi. V½ dö, ta êi ché h ng 1 v  h ng 2 cu£ ma trªn " 1 3 1 5 1 −1 2 1 6 # " → 5 1 −1 1 3 1 2 1 6 # Nhªn x²t 1.2. N¸u trong khængn gian Rn ta sû döng chu©n ||.||1 cõa vectì ÷ñc x¡c ành bði kxk1 = kSk1 = max 1≤j≤n |xi | th¼ P i=1 n X P |Sij | = max 1≤j≤n i=1 |aij | i6=j |aij | . Do â ta công câ k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ 1.2, trong â thay cho i·u ki»n (1.18) l  i·u ki»n tçn t¤i 0 < q1 < 1 sao cho ∀j = 1, ..., n, n X |aij | ≤ q1 |aii | (1.21) j6=i i=j v  trong c¡c ¡nh gi¡ (1.19), (1.20) thay cho chu©n k.k∞ l  chu©n k.k1 . 13 1.2 Mët sè b i to¡n tø thüc t¸ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng elliptic Nhi·u hi»n t÷ñng thay êi tòy thuëc ho°c nhi·u bi¸n khæng gian, ho°c c£ bi¸n khæng gian v  bi¸n thíi gian, ÷ñc mæ t£ b¬ng c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. 1.2.1 B i to¡n truy·n nhi»t trong thanh vªt ch§t X²t mët thanh vªt ch§t çng ch§t, d i L(cm), câ thi¸t di»n th¯ng 3 nhä khæng êi l  S(cm2 ), câ khèi l÷ñng ri¶ng l  ρ(g/cm ), câ nhi»t dung l  C(cal/g.o C). X²t mët bë phªn vªt ch§t câ thº t½ch V (cm3 ). N¸u bë phªn â câ nhi»t ë khæng êi th¼ nhi»t ë u(o C) v  nhi»t l÷ñng H(cal) cõa nâ li¶n h» vîi nhau bði cæng thùc: H = uρCV. (1.22) Ng÷íi ta quan s¡t th§y khi thanh vªt ch§t câ vòng nâng l¤nh th¼ nhi»t l÷ñng câ kh£ n«ng khu¸ch t¡n tø vòng nâng sang vòng l¤nh. Ta gåi su§t khu¸ch t¡n nhi»t l  k(cm2 /s). Chó þ 1.1. æi khi ng÷íi ta công gåi c [cal/(s.cm.o C)] cõa vªt ch§t. = kρC l  su§t d¨n nhi»t C£ k v  c ·u l  nhúng tham sè ph£n ¡nh kh£ n«ng truy·n nhi»t cõa vªt ch§t. Gi£ sû thanh vªt ch§t bà c¡ch nhi»t khäi mæi tr÷íng xung quanh, trø t¤i hai ¦u mót. X²t di¹n bi¸n theo thíi gian cõa ph¥n bè nhi»t ë trong thanh. Ta t÷ðng t÷ñng thanh vªt ch§t °t tr¶n tröc Ox tø x = a ¸n x = a + L = b (h¼nh 1.1). H¼nh 1.1 Thanh vªt ch§t °t tr¶n tröc Ox tø x = a ¸n x = a + L = b Gåi u(x, t) l  nhi»t ë cõa thanh t¤i iºm x ð thíi iºm t. Nhi»t truy·n tø nìi câ nhi»t ë cao tîi nìi câ nhi»t ë th§p hìn. Sü lan truy·n nhi»t di¹n ra dåc theo thanh vªt ch§t tùc l  theo ph÷ìng x. Nâ 14 tu¥n theo ành luªt truy·n nhi»t thüc nghi»m cõa Fourier: Luçng nhi»t q(cal/(cm2.s)) theo ph÷ìng x (tùc l  nhi»t l÷ñng khu¸ch t¡n qua mët ìn và di»n t½ch cõa thi¸t di»n th¯ng nhä S trong mët ìn và thíi gian) t¿ l» vîi vªn tèc bi¸n thi¶n cõa nhi»t ë u dåc theo ph÷ìng x, tùc l  t¿ l» vîi ∂u : ∂x ∂u q = −kρC . (1.23) ∂x D§u trø (−) ð v¸ ph£i þ nâi r¬ng nhi»t truy·n theo chi·u gi£m cõa nhi»t ë. Do câ luªt b£o to n nhi»t l÷ñng n¶n câ sü c¥n b¬ng nhi»t ð méi ph¥n bè nhä S∆x cõa thanh tø x ¸n x + ∆x trong thíi gian ∆l. Sü c¥n b¬ng n y di¹n ¤t b¬ng cæng thùc: Nhi»t truy·n v o ph¥n tè − Nhi»t ra khäi ph¥n tè = Nhi»t t½ch lôy trong ph¥n tè. Nhi»t truy·n v o ph¥n tè l  q(x, t)S∆t; Nhi»t ra khäi ph¥n tè l  q(x + ∆x, t)S∆t; Nhi»t t½ch lôy trong ph¥n tè l  S∆xρC∆u, trong â ∆u l  bi¸n thi¶n cõa nhi»t ë trong thíi gian ∆t. Vªy câ: q(x, t)S∆t − q(x + ∆x, t)S∆t = S∆xρC∆u. Chia cho S∆x∆t ta ÷ñc: q(x, t) − q(x + ∆x, t) ∆u = ρC . ∆x ∆t Chuyºn qua giîi h¤n (b¬ng c¡ch cho ∆x → 0, ∆t → 0 ) ta câ: − ∂u ∂q = ρC . ∂x ∂t p döng ành luªt Fuorier (1.23) ta suy ra: 2 ∂ u ∂u k 2= , a < x < b, t > 0, k = const > 0. ∂x ∂t (1.24) Ph÷ìng tr¼nh (1.24) mæ t£ hi»n t÷ñng truy·n nhi»t trong thanh vªt ch§t çng ch§t, gåi l  ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t cõa thanh, cán gåi l  ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t mët chi·u. Chó þ 1.2. Khi k 6= const th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.24) câ d¤ng: 15 ∂ ∂u ∂u (k ) = , a < x < b, t > 0. ∂x ∂x ∂t (1.25) Nâi chung k phö thuëc x, t, u, ngh¾a l  k = k(x, t, u) v  ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t trong thanh vªt ch§t câ d¤ng: ∂ ∂u ∂u [k(x, t, u) ] = , a < x < b, t > 0. ∂x ∂x ∂t (1.26) Têng qu¡t hìn, khi thanh vªt ch§t cán câ mët nguçn nhi»t (sinh hay h§p thö nhi»t) °c tr÷ng bði h m f (x, t) th¼ ta câ ph÷ìng tr¼nh: ∂u ∂u ∂ [k(x, t, u) ] + f (x, t, u) = , a < x < b, t > 0. ∂x ∂x ∂t (1.27) N¸u k v  f khæng phö thuëc u th¼ ta câ ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t tuy¸n t½nh: ∂u ∂ ∂u = [k(x, t, u) ] − q(x, t)u + f (x, t), a < x < b, t > 0. ∂t ∂x ∂x (1.28) N¸u trong mæi tr÷íng truy·n nhi»t cán câ hi»n t÷ñng èi l÷u th¼ câ ph÷ìng tr¼nh : ∂u ∂ ∂u ∂u = [k(x, t) ] + r(x, t) − q(x, t)u + f (x, t), a < x < b, t > 0, ∂t ∂x ∂x ∂x (1.29) trong â sè h¤ng r(x, t) ∂u mæ t£ hi»n t÷ñng èi l÷u. ∂x 1.2.2 B i to¡n truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng ph¯ng Thay thanh vªt ch§t b¬ng mët "b£n mäng" vªt ch§t Ω câ ÷íng bi¶n l  mët ÷íng cong kh²p k½n Γ, °t trong m°t ph¯ng Oxy (h¼nh 1.2). Khi â ta câ ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng ph¯ng çng ch§t:  2  ∂u ∂ u ∂ 2u =k + , (x, y) ∈ Ω, t > 0, k = const ∂t ∂x2 ∂y 2 (1.30) 16 H¼nh 1.2 B£n mäng vªt ch§t Ω câ ÷íng bi¶n l  mët ÷íng cong kh²p k½n Γ hay trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn:     ∂u ∂ ∂u ∂u ∂ = k1 (x, y, t, u) + k2 (x, y, t, u) ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y + f (x, y, t, u), (x, y) ∈ Ω, t > 0 (1.31) hay khi k1 , k2 , f khæng phö thuëc u th¼ câ ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh:     ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = k1 (x, y, t) + k2 (x, y, t) − q(x, y, t)u ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y + f (x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0. (1.32) C¡c ph÷ìng tr¼nh (1.30) , (1.31), (1.32) cán gåi l  ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t hai chi·u. 1.2.3 B i to¡n truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng khæng gian ba chi·u Thay b£n mäng vªt ch§t b¬ng mët khèi vªt ch§t ν câ m°t bi¶n kh²p k½n l  Σ °t trong khæng gian Oxyz (h¼nh 1.3). Khi â ta câ ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t trong mæi tr÷íng khæng gian çng ch§t:  2  ∂u ∂ u ∂ 2u ∂ 2u =k + + , k = const, ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (x,y,z) ∈ ν, t>0 (1.33) 17 H¼nh 1.3 Khèi vªt ch§t ν câ m°t bi¶n kh²p k½n l  Σ hay trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn:       ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = k1 (x, y, z, t, u) + k2 (x, y, z, t, u) + k3 (x, y, z, t, u) ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z + f (x, y, z, t, u), (x, y, z) ∈ ν, t > 0. (1.34) hay khi k1 , k2 , k3 , f khæng phö thuëc v o u ta câ ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t tuy¸n t½nh:       ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = k1 (x, y, z, t) + k2 (x, y, z, t) + k3 (x, y, z, t) ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z − q(x, y, z, t) + f (x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ν, t > 0. (1.35) C¡c ph÷ìng tr¼nh (1.33),(1.34), (1.35) cán gåi l  c¡c ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t ba chi·u. 1.2.4 B i to¡n truy·n nhi»t døng N¸u ¸n mët lóc n o â ph¥n bè nhi»t ë tr¶n thanh vªt ch§t, b£n mäng vªt ch§t ¢ ên ành, khæng thay êi theo thíi gian núa th¼ ta nâi hi»n t÷ñng truy·n nhi»t ¢ døng. Khi â, nhi»t ë khæng thay êi theo ∂u thíi gian n¶n = 0, v  do â ta câ c¡c ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t døng ∂t sau: Trong tr÷íng hñp mët chi·u ta câ b i to¡n truy·n nhi»t døng: d2 u = 0, a < x < b dx2 (1.36) 18 hay:   d du k(x, u) = f (x, u), a < x < b dx dx (1.37)   d du k(x) − q(x)u = f (x), a < x < b. dx dx (1.38) ta câ thº vi¸t l¤i: Trong tr÷íng hñp hai chi·u ta câ b i to¡n sau: ∂ 2u ∂ 2u + = 0, (x, y) ∈ Ω ∂x2 ∂y 2 (1.39) hay:     ∂ ∂u ∂ ∂u k1 (x, y, u) + k2 (x, y, u) = f (x, y, u), (x, y) ∈ Ω (1.40) ∂x ∂x ∂y ∂y ta câ thº vi¸t l¤i b i to¡n d÷îi d¤ng:     ∂ ∂u ∂ ∂u k1 (x, y) + k2 (x, y) − q(x, y)u = f (x, y), (x, y) ∈ Ω. ∂x ∂x ∂y ∂y (1.41) Trong tr÷íng hñp ba chi·u ta câ b i to¡n truy·n nhi»t døng: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0, (x, y, z) ∈ ν ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (1.42) hay:     ∂ ∂u ∂ ∂u k1 (x, y, z, u) + k2 (x, y, z, u) f (x, y, z, u) = ∂x ∂x ∂y ∂y   ∂ ∂u + k3 (x, y, z, u) , (x, y, z) ∈ ν (1.43) ∂z ∂z ta câ:     ∂ ∂u ∂ ∂u k1 (x, y, z) + k2 (x, y, z) f (x, y, z) = ∂x ∂x ∂y ∂y   ∂u ∂ + k3 (x, y, z) − q(x, y, z)u, (x, y, z) ∈ ν. ∂z ∂z (1.44)