Tài liệu Phương pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

.. ®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc Tr-¬ng tiÕn hoµng PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi bµi to¸n truyÒn nhiÖt ®èi l-u kh«ng dõng cã hÖ sè liªn tôc luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i nguyªn, n¨m 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc Tr-¬ng tiÕn hoµng PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi bµi to¸n truyÒn nhiÖt ®èi l-u kh«ng dõng cã hÖ sè liªn tôc Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông M· sè : 60 46 01 12 luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: Ts. NguyÔn ®×nh b×nh Th¸i nguyªn, n¨m 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu iii 1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một chiều 1 1.1 1.2 Phát biểu bài toán . Lưới sai phân và hàm 1.2.1 Lưới sai phân 1.2.2 Hàm lưới . . . 1.3 1.4 Xấp xỉ các đạo hàm . . . . . . . Phương pháp ẩn . . . . . . . . . 1.4.1 Xây dựng phương pháp . 1.4.2 Bài toán sai phân đối với 1.4.3 Sự xấp xỉ . . . . . . 1.4.4 Sự ổn định . . . . . . 1.4.5 Sự hội tụ . . . . . . Phương pháp sai phân hiện 1.5 . . . lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 3 . . . . . . sai . . . . . . số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 . . số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 10 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 Xây dựng phương pháp . Bài toán sai phân đối với Sự xấp xỉ . . . . . . . . Sự ổn định . . . . . . . . 1.5.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . sai . . . . . . . . 2 Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục 13 i Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1 Bài toán đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và 2.2.1 Lưới sai phân . . . 2.2.2 Hàm lưới . . . . . . 2.2.3 Đạo hàm lưới . . . đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bài toán sai phân . . . . . . . . . . 2.3.1 Ký hiệu chung . . . . . . . . 2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng . 2.3.3 Phát biểu bài toán sai phân 2.4 Phương pháp giải bài toán sai phân . . . 2.4.1 Quy bài toán sai phân về dạng trình ba đường chéo . . . . . . . 2.4.2 Phương pháp truy đuổi . . . . . . 13 lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 18 25 . . . . . . . hệ phương . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . 3 Sự ổn định, hội tụ và sai số 26 30 32 3.1 Sự ổn 3.1.1 3.1.2 3.1.3 định của phương pháp sai phân . . . . . . . . . Khái niệm về sự ổn định, bất đẳng thức ổn định Xét bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ý nghĩa của bất đẳng thức ổn định . . . . . . 3.2 Sự hội tụ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 36 36 42 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Bài toán truyền nhiệt là một trong ba bài toán vật lý toán cơ bản mà chúng ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó để có được đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt đối với các bài toán có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài toán là khó có thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp. Vì vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp giải gần đúng để tìm nghiệm. Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân sao cho việc tính toán thuận tiện, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng của bài toán. Trong phạm vi của bản luận văn này, tác giả tìm hiểu về phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục, mà cụ thể được trình bày theo bố cục sau Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một chiều. Chương 2: Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục. Chương 3: Sự ổn định, hội tụ và sai số. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa iii Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ học - Đại học Thái Nguyên. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo Khoa Toán ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Đình Bình, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả quá trình học tập của mình. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 05 tháng 08 năm 2013. Tác giả Trương Tiến Hoàng iv Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt một chiều Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức chuẩn bị về bài toán, lưới sai phân, hàm lưới và hai phương pháp cơ bản để giải bài toán sai phân. 1.1 Phát biểu bài toán Cho các số a, b thỏa mãn a < b và T > 0. Xét QT = (a, b) × (0, T ]; QT = [a, b] × [0, T ] Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn ∂u ∂ 2 u Lu ≡ − = f (x, t); (x, t) ∈ QT , ∂t ∂x2 (1.1) u(x, 0) = g(x); a < x < b, (1.2) u(a, t) = ga (t); u(b, t) = gb (t); 0 < t ≤ T, (1.3) trong đó f (x, t), g(x), ga (t), gb (t) là những hàm số cho trước. Phương trình (1.1) là phương trình loại parabol với u(x, t) là nhiệt độ tại vị trí x. thời điểm t và phương trình (1.1) là phương 1 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trình truyền nhiệt một chiều. với x là biến không gian, t là biến thời gian. Bài toán (1.1)÷ (1.3) là bài toán vừa có điều kiện ban đầu (điều kiện (1.2)) vừa có điều kiện biên (điều kiện (1.3)) nên đó là bài toán biên loại 1 đối với phương trình (1.1). Giả sử (1.1)÷ (1.3) có nghiêm duy nhất đủ hơn trong QT . 1.2 1.2.1 Lưới sai phân và hàm lưới Lưới sai phân Chọn 2 số nguyên N ≥ 1, M ≥ 1. Đặt h= b−a ; xi = a + ih; i = 0, 1, 2, ...N, N τ= T ; ti = jτ ; j = 0, 1, ...M. M Hình 1.1 Chia miền QT thành ô bởi đường thẳng x = xi , t = tj . Mỗi điểm (xi , ti ) gọi là một nút. Nút (xi , tj ) viết gọn là (i, j). h là bước đi theo không gian, τ gọi là bước đi theo thời gian. 2 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên QT . Lưới trên (a, b]( lưới không gian). - Tập Ωh = {xi = |i = 1, 2, ..., N − 1} gọi là tập các nút lân cận trên [a, b]. - Tập Γh = {xi = |i = 0, N } gọi là tập các nút trên [a, b]. Nút 0 và nút N là hai nút biên. - Tập Ωh = Ωh ∪ Γh gọi là một lưới sai phân trên [a, b]. Lưới trên [0, T] (lưới thời gian). - Tập Ωτ = {tj |j = 1, 2, ...M } gọi là một lưới sai phân trên (0, T]. - Tập {Ωτ = {tj |j = 0, 1, ...M } = Ωτ ∪ {t0 = 0} gọi là một lưới sai phân trên [0, T], nút t0 = 0 là nút ban đầu. - Tập Ωhτ = Ωh × Ωτ là tập các nút trên QT . - Tập Γhτ − = {x0 = a} × Ωτ gọi là tập các nút bên trái. - Tập Γhτ + = {x0 = b} × Ωτ gọi là tập các nút bên phải. - Tập Γ0hτ = Ωh × {t0 = 0} gọi là tập các nút ban đầu. vậy tập Ωhτ = Ωh × Ωτ là lưới sai phân trên QT . Ta phân lưới sai phân QT thành nhiều lớp. Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian tj là j Ωh = {(xi , tj ), i = 0, 1, ..., N }, nút (x0 , tj ) = (a, tj ) với (xN , tj ) = (b, ti ) là hai nút biên. 1.2.2 Hàm lưới Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là hàm lưới. Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j) viết là vij . Các giá trị của hàm 3 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ j lưới v tại các nút của lớp Ωh tạo thành hàm lưới v j xác định trên Ωh . Ta có j v j = (v0j , v1j , ..., vN ) ∈ RN +1, , trong tập các hàm lưới này ta xét hai chuẩn k v j k∞ = max {|vij |}. 0≤i≤N q i )2 . k v k2 = (v0i )2 + (v1i )2 + ... + (vN i Mỗi hàm số u(x, t) xác định trên QT có giá trị tại (i, j) là u(xj , tj ) và tạo ra hàm lưới u xác định bởi uji = u(xi , tj ). 1.3 Xấp xỉ các đạo hàm Áp dụng công thức Taylor 4x 0 (4x)2 00 F (x, 4x) = F (x) + F (x) + F (x) + ...+ 1! 2! (4x)m (m) F (x) + O((4x)m+1 ). m! ta có u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj ) + O(τ ), (1.4) τ ∂t u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj+1 ) + O(τ ), (1.5) τ ∂t u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj + l/2) + O(τ 2 ), (1.6) τ ∂t u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) ∂ 2 u = 2 (xi , tj ) + O(h2 ), (1.7) 2 h ∂x u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) ∂ 2 u = 2 (xi , tj+1 ) + O(h2 ), 2 h ∂x (1.8) n 1 u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) + 2 h2 u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) o ∂ 2 u = 2 (xi , tj + τ /2) + O(h2 + τ 2 ), 2 h ∂x (1.9) 4 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Vậy ta có nhiều cách xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng (1.1) nên ta suy ra có nhiều phương án khác nhau thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân. 1.4 Phương pháp ẩn 1.4.1 Xây dựng phương pháp Áp dụng (1.5),(1.8) ta có u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) − τ h2 ∂u ∂ 2u = (xi , tj+1 ) − 2 (xi , tj+1 ) + O(h2 + τ ). ∂t ∂x (1.10) Để có vij ≈ u(xi , tj ), ta viết bài toán sai phân sau đây thay thế cho bài toán vi phân j+1 j+1 j+1 vij+1 − vij vi+1 − 2vi + vi−1 LhT v = − = f (xi , tj+1 ). T h2 (1.11) vi0 = g(xi ); i = 0, 1, 2, ..., N. (1.12) j v0j = ga (tj ); vN = gb (tj ); j = 0, 1, 2, ..., M. (1.13) j+1 j+1 j+1 Mỗi phương trình (1.11) chứa ba ẩn vi−1 , vi , vi+1 ở lớp trên j + 1 và một ẩn vij ở lớp dưới j theo hình 1.3. 5 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hình 1.3 Cũng như trên ta đặt γ = τ /h2 , khi đó (1.11) viết j+1 γvi−1 − (1 + 2γ)vij+1 = −vij − τ f (xi , tj+1 ). (1.14) Tác dụng của các điều kiện (1.12),(1.13) cũng như ở phương án hiện: chúng cho vi0 , v0j , cjN nhưng ở đây khi biết vij ở lớp j muốn tính vij+1 ở lớp j +1 ta phải giải hệ đại số tuyến tính (1.14) đối với j+1 v1j+1 , v2j+1 , ..., vN . Theo nghĩa đó ta nói phương sai sai phân (1.11), (1.12), (1.13) là một phương pháp ẩn. Nó còn có tên là phương pháp ẩn cổ điển. Phương pháp này có sơ đồ ở hình 1.3. Sơ đồ này gọi là sơ đồ ẩn bốn điểm. Hệ (1.31) là một hệ ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy hồi. 1.4.2 Bài toán sai phân đối với sai số Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (1.11), (1.12), (1.13) và u là nghiệm của bài toán vi phân (1.1), (1.2), (1.3). Đặt z = v - u thì z là sai số phương pháp. Ta có Lhτ z = Lhτ v − Lhτ u. Do đó Lhτ z = ϕ, ϕ = f − Lhτ u. 6 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đồng thời zi0 = vi0 − u0i = 0, z0j = v0j − uj0 = 0, j j zN = vN − ujN = 0, vậy z thỏa mãn j Lhτ z = ϕ, zi0 = 0, z0j = 0, zN = 0. 1.4.3 (1.15) Sự xấp xỉ Từ (1.10) ta có Lhτ u = Lu + O(τ + h2 ). (1.16) Do đó ta nói toán tử Lhτ xấp xỉ toán tử L. Từ đó hàm ϕ ở (1.15) viết ϕ = f − Lhτ u = f − [Lu + O(τ + h2 )] = f − Lu + O(τ + h2 ). vậy ϕ = Lhτ z, (1.17) ϕ = 0(τ + h2 ). (1.18) trong đó Ta nói bài toán sai phân (1.11) - (1.13) xấp xỉ bài toán vi phân (1.1) - (1.3), cấp xấp xỉ là cấp một đối với τ và cấp hai đối với h. 1.4.4 Sự ổn định Phương trình (1.17) viết j j (1 + 2γ)zij = γ(zi−1 + zi+1 ) + zij−1 + τ ϕji . Ta suy ra j j (1 + 2γ)|zij | = |γ(zi−1 + zi+1 ) + zij−1 + τ ϕji |, 7 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ γ j ≤ γ(|zi−1 j| + |zi+1 |) + |zij−1 | + τ |ϕji |. Do đó và các điều kiện biên (1.15) (1 + 2γ) k z j k∞ = γ(k z j k∞ + k z j k∞ )+ k z j−1 k∞ +τ k ϕj k∞ . (1.19) vậy k z j k∞ ≤k xj−1 k∞ +τ k ϕi k∞ . (1.20) Do đó, i 0 k ϕ k∞ ≤k ϕ k∞ + j X τ k ϕs k∞ . (1.21) s=0 Đây là bất đẳng thức ổn định , nó nói lên sự ổn định của nghiệm của bài toán sai phân đối với vế phải và điều kiện ban đầu. 1.4.5 Sự hội tụ Từ bất đẳng thức ổn định (1.21),kết hợp với các điều kiện phụ thuần nhất ở (1.15) cho j k z k∞ ≤ j X τ k ϕs k∞ . (1.22) s=0 Do đó, sự xấp xỉ (1.18) cho k z j k∞ :=k v j − uj k∞ = 0(τ + h2 ). (1.23) Đó là sự hội tụ và đánh giá sai số. 1.5 1.5.1 Phương pháp sai phân hiện Xây dựng phương pháp Ta tính vij ≈ u(xi , tj ) tại mọi nút (xi , tj ). Sử dụng (1.4), (1.7) ta suy ra u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) − τ h2 (1.24) 2 ∂u ∂ u = (xi , tj ) − 2 (xi , tj ) + O(h2 + τ ). ∂t ∂x 8 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do đó để có vij ≈ u(xi , tj ). Dựa vào (1.24), (1.2), (1.3) ta viết bài toán sai phân sau thay thế cho bài toán vi phân (1.1), (1.2), (1.3) j j j vij+1 − vij vi+1 − 2vi + vi−1 LhT v = − = f (xi , tj ). T h2 vi0 = g(xi ); i = 0, 1, 2, ..., N. j v0j = ga (tj ); vN = gb (tj ); j = 0, 1, 2, ..., M. (1.25) (1.26) (1.27) Mỗi phương trình (1.25) chứa một ẩn vij+1 ở lớp trên j + 1 với 3 j j ẩn vi−1 ; vij ; vi+1 ở lớp dưới j theo sơ đồ hình 1.2. Đặt γ = τ /h2 . Giải (1.25) ra ẩn vij+1 . j j vij+1 = (1 − 2γ)vij + γ(vi+1 + vi−1 ) + τ f (xi , tj ). (1.28) j Điều kiện (1.26) cho vi0 ở lớp 0. Điều kiện (1.27) cho v0j và vN ở j 2 nút biên (0, j) và (N, j) của Ωh . vậy (1.25) tức (1.28) và điều kiện (1.27). Hình 1.2 1.5.2 Bài toán sai phân đối với sai số Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (1.25), (1.26), (1.27) và u là nghiệm của bài toán vi phân (1.1), (1.2), (1.3). Đặt z = v - u thì z là sai số phương pháp. Ta có Lhτ z = Lhτ v − Lhτ u = f − Lhτ u, 9 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do đó Lhτ z = ϕ, ϕ = f − Lhτ u, (1.29) Đồng thời zi0 = vi0 − u0i = 0, z0j = v0j − uj0 = 0, j j zN = vN − ujN = 0. Vậy z thỏa mãn: j Lhτ z = ϕ, zi0 = 0, z0j = 0, zN = 0. 1.5.3 (1.30) Sự xấp xỉ Từ (1.24) ta có Lhτ u = Lu + O(τ + h2 ). Ta nói toán tử Lhτ xấp xỉ toán tử L. Từ đó hàm ϕ ở (1.30) viết được ϕ = f − Lhτ u = f − [Lu + O(τ + h2 )] = f − Lu + O(τ + h2 ). Vậy ϕ = O(τ + h2 ). (1.31) Do có (1.30),(1.31), ta nói bài toán sai phân (1.25) - (1.27) xấp xỉ bài toán vi phân (1.1) - (1.3), cấp xấp xỉ là cấp một đối với τ và cấp hai đối với h. 1.5.4 Sự ổn định Phương trình Lhτ z = ϕ ở (1.30) viết j j zij+1 = (1 − 2γ)zij + γ(zi+1 + zi−1 ) + τ ϕji , i = 1, 2, ...N − 1. 10 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Phương trình này có dạng (1.28) trong đó thay v bởi z và f bởi ϕ. Ta suy ra j j |zij+1 | ≤ |1 − 2γ|.|zij | + γ{|zi+1 | + |zi−1 |} + τ |ϕji |, |zij+1 | ≤ max {|zij |}{|1 − 2γ| + 2γ} + τ |ϕji |. 0≤i≤N (1.32) Giả sử giữa τ và h có hạn chế γ= thì 1 − 2γ ≥ 1 − 2 τ 1 ≤ . h2 2 (1.33) τ ≥ 0 ⇒ |1 − 2γ| = 1 − 2γ. h2 Do đó (1.32) thành |zij+1 | ≤ max {|zij |} + τ |ϕji |. 0≤i≤N j vì theo (1.30) còn có z0j = zN = 0 nên ta suy ra k z j+1 k∞ ≤k z j k∞ +τ k ϕi k∞ . trong đó k ϕi k∞ = max {|ϕj |}. 1≤i≤N −1 Do đó, với hạn chế (1.33) ta có i 0 k ϕ k∞ ≤k ϕ k∞ + j−1 X τ k ϕs k∞ . (1.34) s=0 Đó là bất đẳng thức nói lên sự ổn định của z đối với vế phải ϕ và điều kiện ban đầu z 0 . 1.5.5 Sự hội tụ Từ bất đẳng thức ổn định (1.34), sự xấp xỉ (1.31) và zi0 = 0, theo (1.30) ta suy ra i k z k∞ ≤ j−1 X τ k ϕs k ∞ . (1.35) s=0 11 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do đó, với hạn chế (1.33), sự xấp xỉ (1.31) cho k z i k∞ :=k v i − ui k∞ = 0(τ + h2 ). (1.36) Đó là sự hội tụ: Khi τ và h dần đến số không mà vẫn luôn tuân theo hạn chế (1.33) thì sai số z j = v j − uj → 0, đồng thời sai số có đánh giá (1.36) là một vô cùng bé bậc một đối với τ và bậc hai đối với h. 12 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục Trong chương này sẽ trình bày về "bài toán biên loại 3" (bài toán về truyền nhiệt trên một thanh vật chất mỏng, đồng chất có chiều dài 1 đơn vị dài, có các hệ số vật lý là các hàm số liên tục trên miền xét là 1 đơn vị dài và khoảng thời gian là 1 đơn vị thời gian). Đây cũng chính là nội dung chính của luận văn. 2.1 Bài toán đạo hàm riêng Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn các điều kiện ∂u ∂  ∂u  ∂u Lu = (x, t) − A(x, t) − B(x, t) + D(x, t)u = f (x, t), ∂t ∂x ∂x ∂x 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 (2.1) u(x, 0) = g(x) , x ∈ [0, 1], ∂u l0 u = −A(0, t) (0, t) + σ0 (t)u(0, t) = g0 (t), ∂x ∂u l1 u = A(1, t) (1, t) + σ1 (t)u(1, t) = g1 (t). ∂x (2.2) (2.3) (2.4) 13 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trong đó A(x, t), B(x, t), D(x, t), f (x, t), σ0 (t), σ1 (t), g(x), g0 (t), g1 (t) là những hàm số cho trước thỏa mãn    0 < C0 ≤ A(x, t) < C1 ,       |B(x, t)| < C2 ,   0 ≤ D(x, t) < C3 , C, C0 , C1 , C2 , C3 là các hằng số dương,      σ1 (t) ≥ C > 0, σ0 ≥ 0,     σ (t) ≥ C > 0, σ ≥ 0. 0 1 (2.5) và   ∂B   ∂D   ∂A       (x, t) ≤ C5 ,  (x, t) ≤ C6 , (2.6)  (x, t) ≤ C4 ,  ∂t ∂t ∂t C4 , C5 là các hằng số dương. Giả sử bài toán (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t) và nghiệm đó đủ trơn đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp 4 đối với x, cấp 2 đối với t). Nhận xét về bài toán đạo hàm riêng đã đặt ra ∂  ∂u  *) A(x, t) là đại lượng khuếch tán (ở đây là khuếch tán ∂x ∂x nhiệt), A(x, t) là hệ số khuếch tán nhiệt. ∂u *) B(x, t) là đại lượng đối lưu, B(x, t) là hệ số đối lưu. ∂x Chính vì hai lý do trên mà bài toán đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có tên gọi là bài toán "khuếch tán - đối lưu". • Bài toán đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm duy nhất u(x, t), hàm u(x, t) chính là hàm nhiệt độ của thanh vật chất ở vị trí x và thời điểm t. • Hàm A(x, t) không thể khuyết, còn các hàm số khác: hàm B(x, t),,D(x, t) và hàm f (x, t) có thể khuyết trong phương trình (2.1). • Nếu bài toán cho trên đoạn a ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤ T thì bằng 14 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/