Tài liệu Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và phương điều hòa

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành : TOÁN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 3 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Các không gian hàm khả vi và khả tổng . . . . . . . 1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . . . . . . . . . 1.1.2 Các không gian hàm khả tổng . . . . . . . . 1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương . . . . . . . . 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . . . 1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) . . . . . . . . . . 1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt . 1.2.4 Không gian Hok (Q) . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 1.3.1 Không gian H s (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω) . . . 1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng . 1.4.1 Các không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . 1.4.2 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA TRONG MẶT PHẲNG 2.1 Phương trình điều hòa và các công thức Green . . . . . . . 2.1.1 Phương trình điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Các công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . 1 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 5 5 6 7 7 7 7 8 8 8 11 12 12 13 14 14 14 15 15 16 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa . . . . . . . Phát biểu bài toán biên của phương trình điều hòa trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Công thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng và các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp phương trình tích phân biên . . . . . . . . . 2.5.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài toán biên của phương trình điều hòa trong miền ngoài 2.6.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . 18 . 18 . 19 . 21 . . . . . . . . 3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA 3.1 Phát biểu bài toán hỗn hợp đối với phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Hệ phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . . . 22 23 23 23 24 24 24 25 26 26 26 27 28 30 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 2 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô hình toán học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản có thể tìm thấy nghiệm tường minh bằng các phương pháp giải tích. Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh hoặc không có hoặc rất phức tạp. Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình điều hòa và song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học, kỹ sư và các nhà toán học. Việc nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải các bài toán điều hòa và song điều hòa là một lĩnh vực cần được nghiên cứu . Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả về lý thuyết đối với phương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hòa và song điều hòa. Luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn khái quát về phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa. Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số kiến thức bổ trợ về các không gian hàm khả vi và khả tổng, không gian Sobolev cấp nguyên dương H k (Q), H0k (Q), không gian Sobolev cấp thực H s (Rn ), H s (Ω), các không gian Sobolev đối ngẫu và các định lý nhúng. Đây là nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn. Chương hai chúng tôi giới thiệu về phương pháp phương trình tích phân biên đối với phương trình điều hòa trong mặt phẳng, công thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng, các công thức Green và các hàm cơ bản. Đồng thời cũng trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối với các bài toán Dirichlet, bài toán Newmann và bài toán hỗn hợp. Chương ba của luận văn chúng tôi giới thiệu về phương trình song điều hòa và hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài toán. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học 3 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013. Người thực hiện Trần Đức Anh 4 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chuong này trình bày một số khái niệm bổ trợ cần thiết về các hàm khả tổng, khả vi, hàm suy rộng và không gian Sobolev. Nội dung của chương này chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [7], [8]. 1.1 1.1.1 Các không gian hàm khả vi và khả tổng Hàm liên tục và hàm khả vi • Giả sử Ω là một miền mở trong không gian Euclid Rn . Ký hiệu C(Ω) là lớp các hàm liên tục trong Ω. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , ta kí hiệu Ω là bao đóng của Ω, tức là Ω = Ω ∪ ∂Ω. Khi đó C(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn: kf kC = max|f (x)|. (1.1) x∈Ω • Giá của hàm f (x) ∈ C(Rn ) được kí hiệu là suppf là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm x ∈ Rn mà tại đó f (x) 6= 0. Vậy suppf := {∀x ∈ Rn , f (x) 6= 0} là một tập đóng trong Rn . Nếu suppf là tập bị chặn trong Ω thì ta nói f là hàm có giá compact trong Ω. • Ký hiệu C m (Ω) là tập hợp của tất cả các hàm f (x) liên tục trong Ω cùng với các đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m. Như vậy, C 0 (Ω) = C(Ω). Tập hợp của các hàm trong C m (Ω) có các đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m được thác triển 5 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ liên tục vào Ω được ký hiệu là C m (Ω). Chuẩn trong C m (Ω) được xác định theo công thức m X kf kC m (Ω) = sup |Dα f (x)|. Ω |α|=0 • Ký hiệu C ∞ (Ω) là tập hợp của các hàm khả vi vô hạn trong Ω. Tập hợp của các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω được ký hiệu là Co∞ (Ω). Tập hợp các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Rn ký hiệu là Co∞ . Tập hợp các hàm tiêu hạn trong Ω của lớp C m (Ω) ký hiệu là Com (Ω). Tập hợp của các hàm từ C m (Ω) bằng không trên biên ∂Ω cùng với tất cả các đạo hàm cho đến cấp m được ký hiệu là Com (Ω). Cuối cùng, m ký hiệu C o là lớp các hàm thuộc C m (Rn ) bằng không tại vô cùng với tất cả các đạo hàm cho đến cấp m. 1.1.2 Các không gian hàm khả tổng • Tích phân Lebesgue của hàm f trên tập Ω được ký hiệu là Z Z Z f (x)dx, f (x)dx = f (x)dx. Ω Rn • Với 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu p L (Ω) = {f : Ω → C, kf kpLp (Ω) Z := |f (x)|p dx < +∞}, Ω L∞ (Ω) = {f : Ω → C, kf kL∞ (Ω) := essupΩ |f (x)| < +∞}, trong đó essupΩ |f (x)| = inf K {|f (x)| ≤ K hầu khắp x ∈ Ω}. • Nếu f ∈ Lp (Ω0 ) đối với mọi Ω0 b Ω thì hàm f được gọi là p- khả tích tổng địa phương trong Ω. Tập hợp của tất cả các hàm p- khả tích tổng địa phương trong Ω được ký hiệu là Lploc (Ω). • Hàm f (đo được) được gọi là có hạn trong Ω nếu nó bằng không hầu khắp ở ngoài Ω0 b Ω. Tập hợp của các hàm tiêu hạn trong Ω thuộc Lp (Ω) được ký hiệu là Lpo (Ω). 6 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev Định nghĩa 1.1. Giả sử Q là miền bị chặn trong Rn với biên trơn từng mảnh ∂Q và α = (α1 , α2 , · · · , αn ) là bộ đa chỉ số. Hàm f (α) ∈ L1loc (Q) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f ∈ L1loc (Q), nếu Z Z α α |α| < f, D g > := f (x)D g(x)dx = (−1) f (α) (x)g(x) dx Q =< f Q (α) , g >, ∀g ∈ Co|α| (Q). Nếu f ∈ C |α| (Q), thì đạo hàm suy rộng f (α) tồn tại và f (α) = Dα f (x) hầu khắp, nên chúng ta cũng sẽ ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f là Dα f . 1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) Định nghĩa 1.2. Tập hợp của các hàm f ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng cho đến cấp k thuộc L2 (Q) được gọi là không gian Sobolev cấp k và được ký hiệu là H k (Q). H k (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn Z X  α α (f, g) = D f D g dx, Q kf k = |α|≤k hZ  X Q  i1/2 |Dα f |2 dx . |α|≤k Rõ rằng là H 0 (Q) = L2 (Q). Các tính chất quan trọng của không gian Sobolev: 1) C ∞ (Q) trù mật trong H k (Q) theo tiêu chuẩn của H k (Q). 2) H m+1+[n/2] (Q) ⊂ C m (Q). 1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt Định nghĩa 1.3. Giả sử Q là miền giới nội trong Rn và S là một mặt n − 1 chiều được chứa trong Q. Nếu trong Q cho hàm f (x) xác định tại 7 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là một hàm f |x∈S được xác định tại mỗi điểm của S . Nếu chúng ta xét trong Q hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của f trên mặt S được xác định không đơn trị vì mesS = 0. Tuy nhiên, trong một nghĩa hoàn toàn xác định chúng ta có thể nói đến giá trị của hàm số trên một mặt n − 1 chiều khi nó được xác định hầu khắp nơi. Giả sử f ∈ H 1 (Q) và fk ∈ C 1 (Q), (k = 1, 2, ...) hội tụ đến f trong H 1 (Q). Đối với mọi mặt trơn từng mảnh (mỗi một mảnh được chiếu đơn trị xuống mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho Z |fk − fm |2 dx ≤ Ckfk − fm kH 1 (Q) . S Vì L2 (S) là không gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử fS ∈ L2 (S) là giới hạn trong L2 (S) của dãy fk (xS ), xS = x ∈ S . Hàm fS không phụ thuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f trong H 1 (Q) và được gọi là vết của hàm f trên mặt S . 1.2.4 Không gian Hok (Q) Định nghĩa 1.4. Tập hợp của các hàm trong H k (Q) có vết trên biên Γ bằng không được ký hiệu là Hok (Q). Chuẩn trong Hok (Q) được sinh bởi chuẩn trong H k (Q). Khi đó Hok (Q) là không gian con đóng của H k (Q). 1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 1.3.1 Không gian H s (Rn ) Định nghĩa 1.5. Giả sử s là số thực tùy ý. Không gian Sobolev-Slobodeski H s (Rn ) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S 0 = S 0 (Rn ), có biến đổi Fourier û(ξ) thỏa mãn điều kiện: Z kuk2s = (1 + |ξ|)2s |û(ξ)|2 dξ < ∞. (1.2) Rn 8 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cs . Công thức (1.1) xác định chuẩn Ảnh Fourier của H s được ký hiệu là H cs . Nhận xét là H cs là không gian Hilbert với tích cả trong H s lẫn trong H vô hướng Z (1 + |ξ|)2s û(ξ)v̂(ξ)dξ. (u, v)s = (1.3) Rn cs là những không gian đầy đủ. Với u ∈ H s , ϕ ∈ S , Các không gian H s , H ta có Z ∞ Z ∞ 1 (u, ϕ) = u(x)ϕ(x)dx = û(ξ)ϕ̂(ξ)dξ. (1.4) (2π)n −∞ −∞ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy-Buniakovski vào (1.4), ta được |(u, ϕ)| ≤ 1 kuks kϕk−s . (2π)n (1.5) Rõ ràng là tôpô trong S mạnh hơn hội tụ theo chuẩn H s , nghĩa là nếu ϕk → ϕ, trong S , thì hiển nhiên kϕk − ϕks → 0. Mặt khác, vì có (1.5) nên nếu kuk − uks → 0, thì (uk , ϕ) → (u, ϕ), ∀ϕ ∈ S , nghĩa là uk → u trong S 0 . Các trường hợp riêng của H s (Rn ) cs (Rn ) ≡ L2 (Rn ). Theo Định lý Planchel, ta có 1) s = 0. Khi đó H cs ] = L2 (Rn ). H 0 (Rn ) = F −1 [H b(ξ) ∈ L2 (Rn ), 0 ≤ |k| ≤ m. 2) s = m > 0 - nguyên. Khi đó thì (−iξ)k u b(ξ)](x) ∈ L2 (Rn ), 0 ≤ |k| ≤ m. Như vậy Suy ra Dk u = F −1 [(−iξ)k u không gian H m = H m (Rn ) sẽ là H m = {u|u ∈ L2 , Dk u ∈ L2 , 0 ≤ |k| ≤ m}. Khi đó chuẩn (1.1) tương đương với chuẩn sau đây Z X Z ∞ 1 X ∞ k 0 2 k 2 b(ξ)|2 dξ. kukm = |D u(x)| dx = |ξ u n (2π) −∞ −∞ |k|≤m (1.6) |k|≤m Như ta đã biết H m là không gian Sobolev cấp m và thường được ký hiệu là W2m (Rn ). b(ξ). 3) Trường hợp s = −m, m > 0 - nguyên. Đặt vb(ξ) = (1 + |ξ|)−m u m 2 m b(ξ) = (1 + |ξ|) vb(ξ). Có thể biểu Vì u ∈ H , nên vb(ξ) ∈ L . Vậy ta có u b(ξ) ở dạng diễn u X b(ξ) = (1 + |ξ|)m vb(ξ) = u (−iξ)k vbk (ξ), vbk (ξ) ∈ L2 . (1.7) |k|≤m 9 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lấy biến đổi ngược hai vế của (1.7), ta được X u(x) = Dk vk (x), vk (x) ∈ L2 . (1.8) |k|≤m Như vậy H −m (Rn ) bao gồm các hàm suy rộng là đạo hàm theo nghĩa hàm suy rộng của các hàm trong L2 với cấp không vượt quá m. Dễ thấy rằng S ⊂ H s1 ⊂ H s2 ⊂ S 0 , s1 > s2 . Ví dụ. b(ξ) = F [δ] = 1. Suy ra 1) Cho u(x) = δ(x), u Z 2 kδks = (1 + |ξ|)2s dξ < ∞. Rn Nếu chọn −2s = n + ε0 , ε0 > 0. Suy ra s = − n2 − ε, ε = ε0 /2. Vậy ta có δ(x) ∈ H− n2 −ε , ε > 0. 1 1 1 2)Xét u(x) = P . Ta có F [P ] = πi.signξ . Từ đó suy ra P ∈ x x x H−1/2−ε , ε > 0. Định lý 1.6. Tập hợp C0∞ (Rn ) trù mật trong H s theo chuẩn của H s . Chứng minh. Giả sử α(x) ∈ C0∞ (Rn ), α(x) ≥ 0, α(x) = 0 (|x| ≥ 1), Z α(x)dx = 1. Rn 1 x Ký hiệu αε (x) = n α . Hàm αε (x) thường được gọi là hạch làm đều. ε ε Giả sử u là hàm tùy ý của H s . Đặt uε = u ∗ αε . Ta có uε ∈ C ∞ , ngoài ra bε = u b.α bε . Do đó u Z Z x iξ.x dx bε = b(εξ), α α e = α(y)eiy.εξ dy = α n ε ε Rn Rn ngoài ra bε | ≤ |α Z Rn b0 = 1. α(y)dy = α b s và khi ε → 0, thì bε ∈ H Do đó u Z 2 b(ξ)|2 (1 + |ξ|)2s |1 − α b(εξ)|2 dξ → 0. ku − uε ks ≤ |u (1.9) (1.10) Rn 10 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b(εξ) → 0 khi ε → 0 với mọi ξ cố định và |1 − α b(εξ)| ≤ 2, Thật vậy, 1 − α nên theo Định lý Lebesgue ta có thể chuyển qua giới hạn ε → 0 trong (1.10). Như vậy, với mọi δ > 0, tìm được ε1 > 0, sao cho ku − uε ks < δ/2. (1.11) b N với mọi N . Giả sử χ(x) ∈ b(ε1 ξ) ∈ S(Rn ), nên α b(ε1 ξ)u b(ξ) ∈ H Vì α C0∞ (Rn ), χ(x) = 1, khi |x| ≤ 1. Ký hiệu vε (x) = χ(εx)uε1 (x).Khi đó vε (x) ∈ C0∞ (Rn ), vì uε1 (x) ∈ C ∞ (Rn ). ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi N và ε → 0, kuε1 − vε kN → 0. Thật vậy, sử dụng chuẩn (1.6) tương đương với chuẩn (1.1), khi ε → 0, ta có X Z 0 kuε1 − vε kN2 = |Dk [(1 − χ(εx))uε1 (x)]|2 dx → 0. |k|≤N |x|≥1/ε Vậy, nếu N ≥ s, thì tìm được ε2 , sao cho kvε2 (x) − uε1 (x)ks ≤ kvε2 (x) − uε1 (x)kN < δ/2. (1.12) Từ (1.11) và (1.12), suy ra tồn tại hàm vε2 (x) ∈ C0∞ (Rn ), sao cho ku − vε2 ks < δ . Định lý 1.6 được chứng minh. 1.3.2 Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω) Định nghĩa 1.7. Giả sử Ω là một miền mở trong Rn . Ký hiệu Hos (Ω) là không gian con của H s (Ω), được định nghĩa như bao đóng của C0∞ (Ω) theo chuẩn của H s (Rn ). Như vậy, chuẩn trong Hos (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.1) và mọi hàm u ∈ Hos (Ω) có giá suppu ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ Hos (Ω). Theo định nghĩa, tồn tại dãy {uk ∈ C0∞ (Ω)}, hội tụ đến u theo chuẩn của H s (Rn ). Ký hiệu Ω0 = Rn \ Ω. Như vậy, ta có (uk , ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω0 ). Do tính liên tục , suy ra (u, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω0 ). Điều đó chứng tỏ suppu ⊂ Ω. Bằng cách tương tự, dễ dàng chứng tỏ rằng Hos (Ω) là không gian con đóng của H s (Rn ). Ta chuyển sang định nghĩa không gian H s (Ω). 11 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.8. Giả sử f ∈ H s (Rn ). Ký hiệu fΩ là hạn chế của f trên Ω, nghĩa là (fΩ , ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ký hiệu r, l tương ứng là các toán tử hạn chế và toán tử thác triển trên Ω. Như vậy, fΩ = rf, f = lfΩ . Tập hợp các hạn chế trên Ω của các hàm thuộc H s (Rn ) được ký hiệu là H s (Ω). Chuẩn trong H s (Ω) được xác định theo công thức kf ks,Ω = inf klf ks , l (1.13) trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ H s (Rn ) của f ∈ H s (Ω). 1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng 1.4.1 Các không gian đối ngẫu Ký hiệu (H s )∗ là không gian đối ngẫu của H s , nghĩa là không gian của các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H s . Như trong trường hợp của không gian Banach bất kỳ, không gian (H s )∗ được xác định một cách chính xác đến đẳng cấu. Nói riêng, vì không gian H s (Rn ) đẳng cấu với không gian Hilbert với tích vô hướng (1.3), nên (H s )∗ đẳng cấu với chính H s . Khi đó theo Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert, mọi phiếm hàm Φ(u), u ∈ H s , được cho bởi p phần tử v ∈ H s , sao cho chuẩn kΦk = supkuks=1 = (v, v)s = kvks . Ký hiệu b b w(ξ) = (1 + |ξ|)2s vb(ξ), w = F −1 w. (1.14) p Khi đó w ∈ H s , kwk−s = (v, v)s , (u, v)s = (u, w)0 , trong đó Z b(ξ)w(ξ)dξ, b (u, w)0 = u u ∈ H s , w ∈ H −s . (1.15) Rn Như vậy (1.14) thiết lập sự đẳng cấu giữa (H s )∗ và H s , ngoài ra giá trị của phiếm hàm w ∈ H −s trên phần tử u ∈ H s , được cho bởi công thức (1.15). Sau này chúng ta luôn luôn hiểu (H s )∗ ' H −s . 12 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.9. Giả sử (Hos (Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos (Ω), s ∈ R. Khi đó (Hos (Ω))∗ đẳng cấu với H −s (Ω), ngoài ra giá trị của phiếm hàm f ∈ H −s (Ω) trên phần tử u ∈ Hos (Ω) được cho bởi công thức Z b (ξ)dξ b(ξ)lf (u, lf )0 = u (1.16) Rn trong đó lf là thác triển bất kỳ của f từ Ω ra R. 1.4.2 Các định lý nhúng Các định lý nhúng của các không gian Sobolev-Slobodeskii vào không gian các hàm liên tục có một vị trí đặc biệt quan trọng khi chúng ta cần đến giá trị tại từng điểm của các hàm số, đặc biệt là khi ta cần có các kết quả số. Trong mục này chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lý nhúng nói trên. Định lý 1.10. Ký hiệu Cok = Cok (Rn ) là tập hợp các hàm từ C k , triệt tiêu ở vô tận cùng với các đạo hàm cho đến cấp k . Ta có H s (Rn ) ⊂ Com , s > n/2 + m. Phép nhúng là liên tục. Định lý 1.11. Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn , và có biên là siêu mặt n − 1 chiều trơn. Khi đó không gian Hos (Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi n và chỉ khi s > . 2 Định lý 1.12. Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn và có biên trơn. Khi n đó H s (Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi và chỉ khi s > . 2 Định lý 1.13. Giả sử Ω ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện trong định lý 1.11. Khi đó H s (Ω) ⊂ C m (Ω), s > n/2 + m. Định lý 1.14. Giả sử Ω là miền giới nội có biên ∂Ω ∈ C m+1+[n/2] . Khi đó H m+1+[n/2] (Ω) ⊂ C l (Ω), ngoài ra kf kC m (Ω) ≤ Ckf kH m+1+[n/2] (Ω) , C = const, trong đó m là số nguyên không âm. 13 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA TRONG MẶT PHẲNG Chương này giới thiệu về phương trình điều hòa và phương pháp phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài toán. Nội dung chính của chương được hình thành từ tài liệu [2] 2.1 Phương trình điều hòa và các công thức Green 2.1.1 Phương trình điều hòa Phương trình 4u = n X uxk xk = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn , (2.1) k=1 được gọi là phương trình điều hòa, hay phương trình Laplace trong miền Ω. Nghiệm của phương trình Laplace trong Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω. Toán tử 4u, được xác định bởi vế trái của (2.1) được gọi là toán tử Laplace, hay Laplacian. Hàm u điều hòa trong Ω, nếu u điều hòa trong Ω và liên tục trong Ω. 14 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1.2 Công thức tích phân từng phần Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên ∂Ω. Ký hiệu Ω = Ω ∪ ∂Ω. Giả sử f (x), g(x) là các hàm khả vi liên tục trong Ω và có thác triển liên tục trong Ω: f (x), g(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω). Khi đó công thức Z Z Z fxi (x)g(x)dx = − f (x)gxi (x)dx + Ω Ω f (x)g(x)νi ds, (2.2) ∂Ω trong đó νi = cos(νx , xi ) là thành phần thứ i của vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị νx = (ν1 , ν2 , · · · , νn ) đối với Ω tại điểm x ∈ ∂Ω, ds là phần tử mặt nguyên tố. Công thức (2.2) còn được gọi là công thức Gauss - Ostrogadski. 2.1.3 Các công thức Green Định lý 2.1 (Công thức Green thứ nhất). Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω). Khi đó có công thức Z Z X Z n ∂u(x) v(x)∆u(x)dx = − uxi (x)vxi (x)dx + v(x) ds, (2.3) ∂νx Ω Ω i=1 ∂Ω trong đó x ∈ ∂Ω: ∂u(x) là đạo hàm của u(x) theo pháp tuyến ngoài đơn vị νx tại ∂νx n ∂u(x) X = uxi νi , νi = cos(νx , xi ). ∂νx i=1 (2.4) Chứng minh. Áp dụng công thức (2.2) với f (x) = uxi , g(x) = v(x) (i = 1, 2, . . . , n), ta được Z Z Z v(x)uxi xi (x)dx = − uxi (x)vxi (x)dx+ v(x)uxi νi ds (i = 1, 2, . . . , n). Ω Ω ∂Ω Cộng các đẳng thức trên đây theo i từ 1 đến n và chú ý công thức (2.4), ta có công thức (2.3). Định lý được chứng minh. 15 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.2 (Công thức Green thứ hai). Giả sử u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Khi đó ta có công thức Z Z  ∂u ∂v  (v 4 u − u 4 v)dx = v −u ds. (2.5) ∂νx ∂νx Ω ∂Ω Chứng minh. Áp dụng công thức Green thứ nhất với sự hoán đổi vai trò của u(x) và v(x), ta có công thức Z Z X Z n ∂v(x) u(x)∆v(x)dx = − uxi (x)vxi (x)dx + u(x) ds. (2.6) ∂νx Ω Ω i=1 ∂Ω Trừ các vế của các đẳng thức (2.3) và (2.6), ta được công thức (2.5). Định lý được chứng minh. 2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa Định lý 2.3. Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) là hàm điều hòa trong Ω và u(x) = 0, x ∈ ∂Ω. Khi đó u(x) ≡ 0 trong Ω. Chứng minh. Sử dụng công thức Green thứ nhất (2.3). Trong công thức trên cho v(x) = u(x). Do 4u(x) = 4v(x) = 0 trong Ω và u(x) = v(x) = 0 trên ∂Ω, nên: Z X n u2xi (x)dx = 0. Ω i=1 Suy ra uxi (x) = 0 (i = 1, 2, . . . , n), do đó u = const. Vì u ∈ C 1 (Ω) và u = 0 trên ∂Ω, nên const = 0, tức là u(x) ≡ 0, trong Ω. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.4. Giả sử Ω là miền bị chặn. Khi đó bài toán Dirichlet 4u(x) = 0, x ∈ Ω, u|Ω = g trong lớp hàm C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) không thể có quá một nghiệm. Chứng minh. Thật vậy, giả sử u1 , u2 là hai nghiệm của bài toán. Đặt u = u1 − u2 . Khi đó u thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3, vậy u(x) ≡ 0 trong Ω, tức là u1 (x) = u2 (x). 16 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.5. Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) là hàm điều hòa trong Ω và thỏa ∂u mãn điều kiện = 0, x ∈ Ω, trong đó ν = νx là pháp tuyến ngoài của ∂ν Ω tại x. Khi đó u(x) = const. Chứng minh. Sử dụng công thức Green thứ nhất với v = u. Vì 4u = 4v ∂u ∂v trong Ω và = trên ∂Ω, nên ∂ν ∂ν Z X n u2xi (x)dx = 0. Ω i=1 Vì u ∈ C 1 (Ω), nên uxi = 0 (i = 1, 2, . . . , n) trong Ω, do đó u = const trong Ω. Định lý được chứng minh. Định lý 2.6. Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) là hàm điều hòa trong miền giới nội Ω với biên ∂Ω. Khi đó Z ∂u dsx = 0. (2.7) ∂Ω ∂νx Chứng minh. Trong công thức Green thứ nhất cho v(x) ≡ 1. Do 4u = 0, vxi = 0 trong Ω, nên suy ra Z ∂u dsx = 0. ∂Ω ∂νx Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.7. Để bài toán Neumann: 4u(x) = 0, x ∈ Ω, ∂u |∂Ω = g(x) ∂νx có nghiệm cần thiết phải có điều kiện Z g(x)dsx = 0. (2.8) (2.9) ∂Ω Chứng minh. Thật vậy, theo Định lý 2.6, thì u(x) thỏa mãn điều kiện (2.7), nếu có là hàm điều hòa trong Ω. Từ các điều kiện (2.7), (2.8), suy ra điều kiện (2.9). 17 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 Hàm cơ bản 2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa Giả sử x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ). Khoảng cách giữa x và ξ là khoảng cách Euclid bình thường " n # 12 X |x − ξ| = (xi − ξi )2 . i=1 Ta đưa vào hàm số sau:    1 , E(x, ξ) = (n − 2)|x − ξ|n−2  − ln |x − ξ|, n ≥ 2, (2.10) n = 2. Mệnh đề 2.2.1. Ta có các khẳng định sau: ∂E(x, ξ) xi − ξi =− , ∀x 6= ξ ∂xi |x − ξ|n (2.11) ∂E(x, ξ) ∂E(x, ξ) =− , ∀x 6= ξ ∂ξi ∂xi (2.12) Hơn nữa, hàm E (x, ξ) là hàm điều hòa theo x với x 6= ξ và là hàm điều hòa theo ξ và ξ 6= x. Chứng minh. Ta có |x − ξ|2 = (x1 − ξ1 )2 + ... + (xi − ξi )2 + ... + (xn − ξn )2 . Lấy đạo hàm theo xi hai vế đẳng thức trên ta có : 2|x − ξ| Do đó : ∂|x − ξ| = 2(xi − ξi ). ∂xi ∂|x − ξ| x i − ξi = , ∂xi |x − ξ| (2.13) từ đó dễ dàng suy ra (2.11). Công thức (2.12) là hiển nhiên. Để chứng minh phần sau ta lấy đạo hàm hai vế của (2.11) theo xi , từ (2.13) ta nhận 18 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/