Tài liệu Phương pháp lặp song song tìm điểm bất động chung của các toán tử bregman không giãn mạch

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HOÀI TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TOÁN TỬ BREGMAN KHÔNG GIÃN MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2019 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường. Nhân dịp này tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của trường THPT Phổ Yên, gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viện, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. ii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt v Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . . 4 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Phép chiếu Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18 2 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh 21 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại . . . . 29 2.3.3 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii iv 2.3.4 Không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Một số ký hiệu và viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm ∩ phép giao int M phần trong của tập hợp M inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argminx∈X F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ lim inf xn n→∞ giới hạn dưới của dãy số {xn } v vi xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T F̂ (T ) tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f 5f gradient của hàm f M bao đóng của tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co của Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng, bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân ... Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu, đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó được gọi là một điểm bất động của T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = y chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X. Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Một trong những bài toán về xấp xỉ điểm bất động được quan tâm nghiên cứu nhiều đó là bài toán tìm điểm bất động của một hay một họ ánh xạ kiểu không giãn trong không gian Hilbert hay Banach. Một trong những khó khăn khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ điểm bất động và các bài toán liên quan khác (chẳng 1 2 hạn bài toán tìm không điểm) trong không gian Banach là ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu của không gian. Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu rất khó xác định và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính. Do đó việc tìm dạng tường minh của toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu trong không gian Banach là “rất khó”. Để khắc phục khó khăn này, người ta đã sử dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và thay thế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của tác giả Tuyen T.M. trong bài báo [26] về hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh, cùng với một số ứng dụng cho việc giải các bài toán liên quan khác trong không gian Banach phản xạ. Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và toán tử Bregman không giãn mạnh. Chương 2. Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của Tuyen T.M. trong tài liệu [26] về các phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu thu hẹp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh trong không gian Banach phản xạ. Ngoài ra, một số ứng dụng của các định lý chính cho việc giải một số lớp bài toán liên quan khác cũng được giới thiệu ở chương này. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản của không gian phản xạ. Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và toán tử Bregman không giãn mạnh. Mục 1.3 đề cập đến một số phương pháp tìm điểm bất động của toán tử Bregman không giãn mạnh. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 17, 20, 24, 27]. 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ. Định nghĩa 1.1.1. Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của X, đều tồn tại phần tử x thuộc X sao cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với mọi x∗ ∈ X ∗ . Chú ý 1.1.2. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx∗ , xi để chỉ giá trị của phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Mệnh đề 1.1.3. [1] Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) X là không gian phản xạ. 3 4 ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu. Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn. Mệnh đề 1.1.4. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao cho xn * x, nhưng x ∈ / C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.1.5. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng. 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm số. Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < +∞}. Với mỗi x ∈ 5 int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f 0 (x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng y, tức là f 0 (x, y) = lim t↓0 f (x + ty) − f (x) . t Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu giới hạn limt→0 (f (x + ty) − f (x))/t tồn tại với mọi y. Trong trường hợp này f 0 (x, y) trùng với (5f )(x), giá trị của gradient 5f của f tại x. Định nghĩa 1.2.2. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trên tồn tại đều trên tập {y ∈ X : kyk = 1}. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đều trên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và kyk = 1. Chú ý 1.2.3. i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tử gradient 5f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì f liên tục và đạo hàm Gâteaux 5f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* trên int domf (xem [9]). iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho k 5 f (x)k ≤ M , với mọi x ∈ X. Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều. Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8). Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều, thì f liên tục đều trên X. Chứng minh. Lấy bất kỳ u, v ∈ X. Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi t ∈ [0, 1]. Khi đó, ta có f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)] h(t + τ ) − h(t) = . τ τ Vì f khả vi Fréchet đều trên X, nên khi cho τ → 0, ta nhận được h0 (t) = 5f (u + t(v − u))(v − u). 6 Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho h(1) − h(0) = h0 (θ). Suy ra |f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)| = | 5 f (u + θ(v − u))(v − u)| ≤ k 5 f (u + θ(v − u))kku − vk. Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy ra tồn tại M sao cho k 5 f (x)k ≤ M , với mọi x ∈ X. Do đó, ta nhận được |f (u) − f (v)| ≤ M ku − vk. Vậy f liên tục đều trên X. 1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman Định nghĩa 1.2.5. Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}. i) Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞(∀x ∈ D), trong đó dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}. ii) Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong E × R, trong đó epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}. iii) Hàm f : D ⊂ X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) với mọi x ∈ D, kx − xk < δ. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D. Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới. 7 Ví dụ 1.2.6. Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi   x2 khi x 6= 0 f (x) =  −1 khi x = 0. Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục tại x = 0. Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0. Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0 (trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x), với mọi x. Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0. Mệnh đề 1.2.7. Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàm lồi trên D. Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây: i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất. Chứng minh. i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0 không là điểm cực tiểu toàn cục. Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1 ) < f (x0 ). Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (x0 ) ≤ f (x), với mọi x ∈ D ∩ U . Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0 + t(x1 − x0 ) ∈ D ∩ U , do đó ta nhận được f (x0 ) ≤ f (xt ) = f [tx1 + (1 − t)x0 ] ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x0 ). Suy ra f (x0 ) ≤ f (x1 ), mâu thuẫn với f (x1 ) < f (x0 ). Vậy x0 là một điểm cực tiểu của f trên D. 8 ii) Giả sử x1 và x2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x1 6= x2 . Khi đó f (x1 ) = f (x2 ) = m = min f (x). x∈D Từ tính lồi chặt của f suy ra f( x1 + x2 1 ) < (f (x1 ) + f (x2 )) = m, 2 2 mâu thuẫn với m = minx∈D f (x). Vậy điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất. Định nghĩa 1.2.8. Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho x ∈ int domf , dưới vi phân của f tại x được xác định bởi ∂f (x) = {x∗ ∈ E ∗ : f (x) + hx∗ , y − xi ≤ f (y) ∀y ∈ X}. Ví dụ 1.2.9. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = |x − a| với a ∈ R và mọi x ∈ R. Khi đó, ta có    1, nếu x > a,    ∂f (x) = −1, nếu x < a,     [−1, 1], nếu x = a. Ví dụ 1.2.10. Cho f : Rn −→ R xác định bởi f (x) = | Pn i=1 xi |, với mọi x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Khi đó, ta có ∂f (0) = {(a, a, . . . , a) : a ∈ [−1, 1]}. Định nghĩa 1.2.11. Hàm liên hợp của f là f ∗ : X ∗ −→ (−∞, +∞] và được xác định bởi f ∗ (x∗ ) = sup {hx∗ , xi − f (x)}. x∈X Ví dụ 1.2.12. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = ex với mọi x ∈ R. Khi đó, ta có    x∗ (ln x∗ − 1), nếu x∗ > 0,    f ∗ (x∗ ) = 0, nếu x∗ = 0,     +∞, nếu x∗ < 0. 9 Định nghĩa 1.2.13. Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm f : X −→ (−∞, +∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: L1 ) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteaux trên int domf và dom5f = int domf ; L2 ) Phần trong int domf ∗ của miễn hữu hiệu của f ∗ khác rỗng, f ∗ khả vi Gâteaux trên int domf ∗ và dom5f ∗ = int domf ∗ . Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f ∗ (xem [9]). Do đó, từ các điều kiện L1 ) và L2 ), ta có các đẳng thức sau: 5f = (5f ∗ )−1 , ran 5 f = dom 5 f ∗ = int domf ∗ và ran 5 f ∗ = dom 5 f = int domf, trong đó ran5f là miền ảnh của 5f . Khi dưới vi phân của f là đơn trị, thì nó đồng nhất với 5f (xem [12]). Bauschke và cộng sự (xem [6]) các điều kiện L1 ) và L2 ) cũng suy ra rằng các hàm f và f ∗ là lồi chặt trên phần trong của miền hữu hiệu tương ứng. Nếu X 1 là một không gian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = kxkp , 1 < p < +∞ là p hàm Legendre. Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ. Mệnh đề 1.2.14 (xem [19], Mệnh đề 2.1). Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả vi Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì 5f liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X ∗ . Chứng minh. Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn {xn }, {yn } và số dương ε sao cho kxn − yn k → 0, nhưng h5f (xn ) − 5f (yn ), wn i ≥ 2ε, 10 trong đó {wn } là một dãy trong X thỏa mãn kwn k = 1 với mọi n. Vì f khả vi Fréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho f (yn + twn ) − f (yn ) − th5f (yn ), wn i ≤ εt, với mọi t ∈ (0, δ). Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có h5f (xn ), (yn + twn ) − xn i ≤ f (yn + twn ) − f (xn ), với mọi n ≥ 1. Cũng từ tính lồi của hàm f , ta có th5f (xn ), wn i ≤ f (yn + twn ) − f (yn ) ≤ f (yn + twn ) − f (yn ) + h5f (xn ), xn − yn i + f (yn ) − f (xn ) Do đó, ta nhận được 2εt ≤ t 5 f (xn ) − 5f (yn ), wn i ≤ [f (yn + twn ) − f (yn ) − th5f (yn ), wn i] + h5f (xn ), xn − yn i + f (yn ) − f (xn ) ≤ εt + h5f (xn ), xn − yn i + f (yn ) − f (xn ). Vì f là bị chặn trên các tập con bị chặn của X nên 5f (xn ), xn − yn i → 0. Ngoài ra, theo giả thiết f liên tục đều trên các tập con bị chặn của X, nên f (yn ) − f (xn ) → 0. Do đó, trong bất đẳng thức trên, khi cho n → +∞, ta nhận được 2εt ≤ εt, điều này là vô lý. vậy 5f liên tục đều trên các tập con bị chặn của X. Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman. Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux. Hàm Df : domf × int domf −→ [0, +∞) xác định bởi Df (y, x) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi, được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2]). (1.1) 11 Nhận xét 1.2.15. i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩa thông thường, vì nó không có tính đối xứng. ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df (·, x) là hàm lồi chặt và 5Df (·, x)(y) = 5f (y) − 5f (x). iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức ba điểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f , Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = h5f (z) − 5f (y), x − yi, (1.2) và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f , Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) (1.3) + Df (ω, z) = h5f (z) − 5f (x), y − ωi. Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = f (x) − f (y) − h5f (y), x − yi + f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi − [f (x) − f (z) − h5f (z), x − zi] = h5f (z) − 5f (y), x − yi, suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh. Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) + Df (ω, z) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi − [f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi] − [f (w) − f (x) − h5f (x), w − xi] + f (w) − f (z) − h5f (z), w − zi = h5f (z) − 5f (x), y − ωi, suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh. 12 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux. Khi đó, f được gọi là: a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nó tại x, vf : int domf × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định bởi vf (x, t) = inf{Df (y, x) : y ∈ domf, ky − xk = t}, là dương với mọi t > 0; b) lồi hoàn toàn nếu nó là lồi hoàn toàn tại mọi x ∈ int domf ; c) lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu vf (B, t) là dương với mọi tập con bị chặn B của X và t > 0, trong đó modul của tính lồi hoàn toàn của hàm f trên tập B là hàm vf : int dom f × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định bởi vf (B, t) = inf{vf (x, t) : x ∈ B ∩ int domf }. Tính chất của modul lồi của hàm lồi f được giới thiệu trong mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 1.2.16 (xem [2], Mệnh đề 1.1.8). Cho f là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Nếu x ∈ int dom f thì ta có các khẳng định dưới đây: i) Miền hữu hiệu của vf (x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf (x)) hoặc [0, τf (x)] với τf (x) ∈ [0, +∞); ii) Nếu c ∈ [1, +∞) và t ≥ 0, thì vf (x, ct) ≥ cvf (x, t); iii) Hàm vf (x, ·) là cộng tính trên, tức là với mọi s, t ∈ [0, +∞) thì ta có vf (x, s + t) ≥ vf (x, s) + vf (x, t); iv) Hàm vf (x, ·) là đơn điệu tăng và nó là đơn điệu tăng ngặt nếu và chỉ nếu f là hàm lồi hoàn toàn tại x. 13 Tiếp theo, luận văn đề cập đến một số tính chất quan trọng dưới đây. Mệnh đề 1.2.17 (xem [20], Bổ đề 3.1). Cho f : X −→ R là một hàm khả vi Gâteaux và lồi hoàn toàn. Nếu x0 ∈ X và dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn, thì dãy {xn } cũng bị chặn. Chứng minh. Vì dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn nên tồn tại số M > 0 sao cho Df (xn , x0 ) ≤ M với mọi n ≥ 1. Từ định nghĩa của modul của tính lồi hoàn toàn vf (x, t) ta có vf (x0 , kxn − x0 k) ≤ Df (xn , x0 ) ≤ M. (1.4) Suy ra dãy {vf (x0 , kxn − x0 k)} cũng bị chặn bởi M . Vì f là hàm lồi hoàn toàn nên theo Mệnh đề 1.2.16 iv) vf (x, ·) là hàm tăng ngặt và dương trên (0, +∞). Suy ra vf (x, 1) > 0 với mọi x ∈ X. Bây giờ, giả sử ngược lại rằng dãy {xn } không bị chặn. Khi đó, tồn tại một dãy con {xnk } ⊂ {xn } sao cho limk→+∞ kxnk k = +∞. Do đó limk→+∞ kxnk − x0 k = +∞. Từ Mệnh đề 1.2.16 ii), ta có vf (x0 , kxnk − x0 k) ≥ kxnk − x0 kvf (x, 1) → +∞, suy ra dãy {vf (x0 , kxnk − x0 k)} không bị chặn, mâu thuẫn với (1.4). Vậy dãy {xn } bị chặn. Mệnh đề 1.2.18 (xem [23], Mệnh đề 2.2). Nếu x ∈ domf , thì các khẳng định dưới đây là tương đương: i) Hàm f là lồi hoàn toàn tại x; ii) Với bất kỳ dãy {yn } ⊂ domf, lim Df (yn , x) = 0, n→+∞ ta đều có limn→+∞ kyn − xk = 0. Nhắc lại rằng, một hàm f được gọi là ổn định dãy trên C (xem [11]) nếu inf x∈E vf (x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E của C và mọi số thực dương t. 14 Nhận xét 1.2.19. Hàm f là lồi hoàn toàn trên mỗi tập con bị chặn C ⊂ X nếu và chỉ nếu nó ổn định dãy trên C. Mệnh đề 1.2.20 (xem [11], Bổ đề 2.1.2). Hàm f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và C ⊂ int dom f . Khi đó các khẳng định sau là tương đương. i) f là ổn định dãy trên C; ii) Với mọi dãy {xn } và {yn } trong C với {xn } là dãy bị chặn thỏa mãn limn→+∞ Df (yn , xn ) = 0 thì limn→+∞ kxn − yn k = 0. Chứng minh. i)⇒ii) Giả sử f là ổn định dãy trên C, nhưng tồn tại hai dãy {xn } và {yn } trong C với {xn } là dãy bị chặn thỏa mãn limn→+∞ Df (yn , xn ) = 0 nhưng kxn − yn k 9 0. Khi đó, tồn tại số dương α và các dãy con {xnk } ⊂ {xn } và {ynk } ⊂ {yn } thỏa mãn kxnk − ynk k ≥ α với mọi k ≥ 1. Đặt E = {xn }, khi đó E là tập bị chặn. Do đó Df (ynk , xnk ) ≥ vf (xnk , kxnk − ynk k) ≥ vf (xnk , , α) ≥ inf vf (x, α), x∈E suy ra inf x∈E vf (x, α) = 0, điều này mâu thuẫn với f là hàm lồi hoàn toàn (Nhận xét 1.2.19). ii)⇒i) Giả sử ngược lại rằng tồn tại một tập bị chặn E ⊂ C sao cho inf x∈E vf (x, t) = 0 với t là một số thực dương nào đó. Theo tính chất của cận dưới đúng, tồn tại dãy {xn } ⊂ E sao cho 1 > vf (xn , t) = inf{Df (y, xn ) : ky − xn k = t}. n Suy ra tồn tại dãy {yn } ⊂ E sao cho kyn − xn k = t và Df (yn , xn ) < 1/n với mọi n ≥ 1. Do đó limn→+∞ Df (yn , xn ) = 0. Từ tính bị chặn của dãy {xn } và giả thiết ta nhận được 0 < t = lim kxn − yn k = 0, n→+∞ đây là điều vô lý. Vậy inf x∈E vf (x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E trong C và mọi số thực dương t, hay f là ổn định dãy trên C.