Tài liệu Phương pháp lập năng lượng xác định tần số và dạng dao động riêng của dầm liên tục

1 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt Môc lôc Trang Môc lôc 1 Më ®Çu 1. Tªn ®Ò tµi 4 2. Lý do chän ®Ò tµi 4 3. Môc tiªu ®Ò tµi 4 4. Giíi h¹n nghiªn cøu 4 Ch¬ng 1 Tæng quan 1.1. NhiÖm vô c¬ b¶n cña bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh 6 1.2. C¸c ®Æc trng c¬ b¶n cña bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh 7 1.3. C¸c d¹ng t¶i träng ®éng t¸c dông lªn c«ng tr×nh 8 1.4. Ph©n lo¹i dao ®éng 9 1.4.1. Ph©n theo sè bËc tù do cña hÖ 9 1.4.2. Ph©n theo tÝnh chÊt vµ nguyªn nh©n g©y ra dao ®éng 9 1.4.3. Ph©n theo sù tån t¹i cña lùc c¶n 10 1.4.4. Ph©n theo kÝch thíc vµ cÊu t¹o cña hÖ 10 1.4.5. Ph©n theo d¹ng ph¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng 10 1.4.6. Ph©n theo d¹ng vµ biÓu ®å dao ®éng 10 1.5. BËc tù do cña hÖ dao ®éng 10 1.6. Ph¬ng ph¸p c¬ b¶n x©y dùng ph¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng 11 1.6.1. Ph¬ng ph¸p dùa trªn nguyªn lý §al¨mbe 1.6.2. Ph¬ng ph¸p sö dông nguyªn lý chuyÓn vÞ kh¶ dÜ 11 11 1.6.3. Ph¬ng ph¸p øng dông nguyªn lý Hamint¬n 12 1.7. C¸c ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng riªng 12 Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 2 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt 1.7.1. Ph¬ng ph¸p chÝnh x¸c 12 1.7.2. Ph¬ng ph¸p gÇn ®óng 14 1.7.2.1. Ph¬ng ph¸p Rayleigh 14 1.7.2.2. Ph¬ng ph¸p Bupnop – Galoockin 16 1.7.2.3. Ph¬ng ph¸p Lag¬r¨ng – Ritz 17 1.7.2.4. Ph¬ng ph¸p thay thÕ khèi lîng 19 1.7.2.5. Ph¬ng ph¸p khèi lîng t¬ng ®¬ng ®Ó x¸c ®Þnh tÇn sè c¬ b¶n cña dao ®éng riªng 20 1.7.2.6. Ph¬ng ph¸p sai ph©n 22 1.7.3. Ph¬ng ph¸p ®óng dÇn 24 Ch¬ng 2 Dao ®éng riªng cña hÖ h÷u h¹n bËc tù do 2.1. X©y dùng ph¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tæng qu¸t hÖ h÷u h¹n bËc tù do 27 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ ma trËn cøng vµ ma trËn mÒm 27 2.1.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ h÷u h¹n bËc tù do 29 2.2. Bµi to¸n dao ®éng riªng cña hÖ h÷u h¹n bËc tù do 31 2.3. X¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng riªng 31 2.4. X¸c ®Þnh d¹ng dao ®éng riªng 32 2.5. TÝnh chÊt trùc giao cña c¸c d¹ng dao ®éng riªng 34 2.6. ChuÈn ho¸ d¹ng c¸c dao ®éng riªng 36 Ch¬ng 3 Ph©n tÝch dao ®éng theo ph¬ng ph¸p Rayleigh c¸c bíc hoµn thiÖn 3.1. Ph©n tÝch dao ®éng theo ph¬ng ph¸p Rayleigh 39 3.2. Lùa chän hµm d¹ng cña ph¬ng ph¸p Rayleigh 42 3.3. Hoµn thiÖn t¨ng ®é chÝnh x¸c cña ph¬ng ph¸p Rayleigh Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 46 3 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt 3.4. Ph¬ng ph¸p Rayleigh – Ritz 52 3.5. ThuËt to¸n tÝnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng thø nhÊt theo ph¬ng ph¸p Rayleigh, sö dông qu¸ tr×nh lÆp. 55 Ch¬ng 4 Sö dông qu¸ tr×nh lÆp ë d¹ng ma trËn ®Ó tÝnh ®ång thêi tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cho hÖ dÇm ph¼ng 4.1. Më ®Çu 59 4.2. Ph©n tÝch d¹ng dao ®éng thø nhÊt 59 4.3. Chøng minh sù héi tô cña qu¸ tr×nh lÆp 66 4.4. Ph©n tÝch d¹ng dao ®éng cao h¬n 69 4.4.1. Ph©n tÝch d¹ng dao ®éng thø hai 69 4.4.2. Ph©n tÝch c¸c d¹ng dao ®éng cao h¬n 74 4.4.3. Ph©n tÝch c¸c d¹ng dao ®éng cao nhÊt theo c¸ch lÆp trùc tiÕp 77 Ch¬ng 5 X©y dùng s¬ ®å khèi tÝnh ®ång thêi tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng – c¸c vÝ dô tÝnh to¸n 5.1. X©y dùng thuËt to¸n – s¬ ®å khèi 86 5.2. C¸c vÝ dô tÝnh to¸n PhÇn kÕt luËn kiÕn nghÞ – híng nghiªn cøu tiÕp cña luËn v¨n Tµi liÖu tham kh¶o Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 91 140 142 4 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt PhÇn më ®Çu 1. Tªn ®Ò tµi. “Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc” . 2. Lý do chän ®Ò tµi. Víi môc tiªu ®¶m b¶o néi dung theo yªu cÇu cña mét luËn ¸n th¹c sÜ khoa häc kü thuËt do Phßng sau ®¹i häc ®Ò ra, nªn viÖc chän néi dung nghiªn cøu cÇn phï hîp víi phÇn ®· häc vµ yªu cÇu thùc tÕ ngoµi s¶n xuÊt. TÝnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña kÕt cÊu lµ mét lÜnh vùc hiÖn ®ang ®îc chó träng trong nghiªn cøu nh»m n©ng cao chÊt lîng vµ gi¶m gi¸ thµnh x©y dùng c«ng tr×nh, bíc ®Çu ®· cã mét sè thµnh tùu ®¸ng kÓ. Tuy nhiªn cha ph¶i ®· gi¶i quyÕt ®îc hÕt c¸c vÊn ®Ò ®ang tån t¹i. Nh»m t×m hiÓu vµ ®ãng gãp mét phÇn vµo lÜnh vùc nµy th× viÖc chän híng nghiªn cøu c¸ch tÝnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña kÕt cÊu d¹ng dÇm liªn tôc lµ mét ®iÒu cÇn thiÕt. Môc ®Ých cña ®Ò tµi lµ nh»m cô thÓ ho¸ mét ph¬ng ph¸p tÝnh dao ®éng cña kÕt cÊu, gióp cho ngêi dïng còng nh c¸c nhµ nghiªn cøu cã ®îc mét c«ng cô dÔ hiÓu, trùc quan khi cÇn ph©n tÝch dao ®éng cña kÕt cÊu. §Ò tµi nµy ®i s©u vµo nghiªn cøu n¾m ch¾c mét trong c¸c c¸ch tÝnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña hÖ kÕt cÊu d¹ng dÇm, trªn c¬ së ®ã cã thÓ ph¸t triÓn ®Ó gi¶i quyÕt mét sè c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n trong x©y dùng. 3. Môc tiªu ®Ò tµi. Nghiªn cøu c¸ch tÝnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña hÖ kÕt cÊu dÇm liªn tôc dùa trªn ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng. 4. Giíi h¹n nghiªn cøu. - N¾m ch¾c lý thuyÕt tÝnh to¸n víi c«ng tr×nh chÞu t¶i träng ®éng. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 5 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt - §i s©u nghiªn cøu tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng ®èi víi kÕt cÊu dÇm víi bµi to¸n h÷u h¹n bËc tù do. - Lµm c¬ së ®Ó nghiªn cøu bµi to¸n phøc t¹p h¬n. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 6 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt Ch¬ng 1 Tæng quan 1.1. NhiÖm vô c¬ b¶n cña bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh. Kh¸i niÖm vÒ ®éng lùc häc g¾n liÒn víi kh¸i niÖm lùc thay ®æi theo thêi gian; nghiªn cøu ®éng lùc häc c«ng tr×nh lµ nghiªn cøu c«ng tr×nh chÞu t¸c dông cña t¶i träng thay ®æi theo thêi gian. NhiÖm vô c¬ b¶n cña bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh bao gåm: a/ KiÓm tra hiÖn tîng céng hëng cña c¸c c«ng tr×nh chÞu t¶i träng ®éng, tr¸nh hiÖn tîng céng hëng lµm h háng c«ng tr×nh. Trong ngµnh GTVT, ®iÒu 1.53 quy tr×nh thiÕt kÕ quy ®Þnh: “Víi kÕt cÊu nhÞp cÇu « t«, cÇu thµnh phè vµ cÇu bé hµnh th× chu kú dao ®éng th¼ng ®øng kh«ng ®îc n»m trong kho¶ng 0.3s ®Õn 0.7s, cßn chu kú dao ®éng theo ph¬ng n»m ngang kh«ng ®îc trïng hoÆc b»ng béi sè cña chu kú dao ®éng th¼ng ®øng”. b/ KiÓm tra ®é bÒn: X¸c ®Þnh néi lùc do t¶i träng ®éng g©y ra ®Ó c¨n cø vµo ®ã mµ kiÓm tra kh¶ n¨ng chÞu lùc cña c«ng tr×nh. c/ KiÓm tra ®é cøng: X¸c ®Þnh chuyÓn vÞ ®éng ®Ó kiÓm tra c«ng tr×nh theo ®iÒu kiÖn cøng, ®¶m b¶o c«ng tr×nh kh«ng cã chuyÓn vÞ lín. MÆt kh¸c t×m c¸c biÖn ph¸p xö lý víi c¸c c«ng tr×nh chÞu rung ®éng lín, nghiªn cøu c¸ch gi¶m rung ®éng. Díi t¸c dông cña t¶i träng thay ®æi theo thêi gian hÖ kÕt cÊu sÏ dao ®éng vµ dao ®éng ®ã ®îc biÓu thÞ díi d¹ng chuyÓn vÞ cña kÕt cÊu. Do ®ã khi ph©n tÝch vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh sÏ cho phÐp x¸c ®Þnh ®îc sù thay ®æi cña chuyÓn vÞ theo thêi gian øng víi qu¸ tr×nh thay ®æi cña t¶i träng ®éng. C¸c tham sè kh¸c nh néi lùc, øng suÊt, biÕn d¹ng …nãi chung ®Òu ®îc x¸c ®Þnh sau khi cã sù ph©n bè chuyÓn vÞ cña kÕt cÊu. TÊt c¶ c¸c tham sè ®ã ®Òu lµ c¸c hµm thay ®æi theo thêi gian phï hîp víi t¸c dông ®éng bªn ngoµi. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 7 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt Tuy nhiªn, ®«i khi viÖc gi¶i bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh cßn ®îc tiÕn hµnh b»ng viÖc sö dông hÖ sè ®éng lùc. Khi ®ã, néi lùc chuyÓn vÞ vµ mäi tham sè cña hÖ ®Òu ®îc tÝnh to¸n th«ng qua hÖ sè ®éng víi c¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n tÜnh. TÊt c¶ c¸c ®¹i lîng ®ã ®Òu lµ c¸c gi¸ trÞ cùc ®¹i øng víi mét thêi ®iÓm x¸c ®Þnh, kh«ng ph¶i lµ hµm theo biÕn thêi gian. 1.2. C¸c ®Æc trng c¬ b¶n cña bµi to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh. ViÖc tÝnh to¸n ®éng lùc häc c«ng tr×nh kh¸c víi viÖc tÝnh to¸n tÜnh häc c«ng tr×nh ë nh÷ng ®Æc trng c¬ b¶n sau: Tríc hÕt, díi t¸c dông cña t¶i träng ®éng thay ®æi theo thêi gian, tr¹ng th¸i øng suÊt biÕn d¹ng cña hÖ còng sÏ biÕn ®æi theo thêi gian. Nh vËy, bµi to¸n ®éng sÏ kh«ng cã nghiÖm duy nhÊt nh bµi to¸n tÜnh. Do ®ã, cÇn ph¶i t×m sù liªn tôc cña nghiÖm t¬ng øng víi mäi thêi ®iÓm thêi gian biÓu thÞ tr¹ng th¸i thùc cña hÖ. ChÝnh v× thÕ mµ viÖc tÝnh to¸n ®éng rÊt phøc t¹p vµ khã kh¨n h¬n nhiÒu so víi viÖc tÝnh to¸n tÜnh. MÆt kh¸c, ®Æc trng c¬ b¶n cña bµi to¸n ®éng ®îc ph©n biÖt râ so víi bµi to¸n tÜnh ë chç: ë bµi to¸n tÜnh, díi t¸c dông cña t¶i träng tÜnh lµ t¶i träng t¸c dông rÊt chËm lªn c«ng tr×nh, sù chuyÓn ®éng cña hÖ lµ chËm vµ lùc qu¸n tÝnh rÊt nhá, cã thÓ bá qua ®îc. ë bµi to¸n ®éng, t¸c dông cña t¶i träng ®éng lªn c«ng tr×nh g©y ra sù chuyÓn ®éng cña hÖ víi gia tèc lín, vµ lùc qu¸n tÝnh phô thuéc vµo gia tèc chuyÓn ®éng (®¹o hµm bËc hai cña chuyÓn vÞ theo thêi gian) lµ kh«ng thÓ bá qua ®îc. Sù cÇn thiÕt ph¶i kÓ ®Õn lùc qu¸n tÝnh lµ sù kh¸c biÖt c¬ b¶n nhÊt cña bµi to¸n ®éng lùc häc so víi bµi to¸n tÜnh. Ngoµi ra viÖc xÐt tíi ¶nh hëng cña lùc c¶n còng lµ ®Æc trng c¬ b¶n ph©n biÖt bµi to¸n ®éng so víi bµi to¸n tÜnh. B¶n chÊt cña lùc c¶n chuyÓn ®éng (lùc t¾t dÇn) rÊt phøc t¹p vµ ®a d¹ng. V× vËy, viÖc tÝnh lùc c¶n lµm cho bµi to¸n ®éng phøc t¹p h¬n so víi bµi to¸n tÜnh. Trong tÝnh to¸n ®«i khi kh«ng xÐt tíi ¶nh hëng Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 8 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt cña lùc c¶n, ®«i khi lùc c¶n ®îc tÝnh mét c¸ch gÇn ®óng víi gi¶ thiÕt phï hîp. Nhng ph¶i lu«n thÊy r»ng lùc c¶n lu«n cã mÆt vµ tham gia vµo qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ. 1.3. C¸c d¹ng t¶i träng ®éng t¸c dông lªn c«ng tr×nh. HÇu nh c¸c kÕt cÊu x©y dùng trong qu¸ tr×nh sö dông ®Òu ph¶i chÞu t¸c dông cña t¶i träng ®éng ë d¹ng nµy hay d¹ng kh¸c. T¶i träng ®éng lµ t¶i träng bÊt kú cã ®é lín, ph¬ng, vÞ trÝ thay ®æi theo thêi gian. T¶i träng ®éng t¸c dông lªn c«ng tr×nh rÊt ®a d¹ng vµ phøc t¹p. Theo c¸c ®Æc trng cña nã, t¶i träng ®éng víi mét quy luËt bÊt kú nµo ®ã ®îc ph©n ra lµ t¶i träng cã chu kú vµ t¶i träng kh«ng cã chu kú. C¸c t¶i träng cã chu kú T¶i träng cã chu kú lµ t¶i träng lÆp ®i lÆp l¹i theo thêi gian qua c¸c chu kú. Chu kú cña t¶i träng cã thÓ lµ liªn tôc mµ còng cã thÓ lµ gi¸n ®o¹n. NÕu t¶i träng t¸c dông cã quy luËt h×nh sin hoÆc cos víi chu kú liªn tôc th× gäi lµ t¶i träng ®iÒu hoµ ®¬n gi¶n. C¸c d¹ng kh¸c cña t¶i träng cã chu kú thêng phøc t¹p h¬n. Sù phøc t¹p biÓu hiÖn ë quy luËt cña t¶i träng trong mçi chu kú. T¶i träng kh«ng cã chu kú Cã thÓ lµ c¸c lo¹i t¶i träng ng¾n h¹n vµ c¸c t¶i träng dµi h¹n tæng qu¸t: - T¶i träng ng¾n h¹n: Nguån kÝch ®éng ®Æc trng cña c¸c t¶i träng ng¾n h¹n cã thÓ lÊy vÝ dô lµ c¸c vô næ. - T¶i träng ®éng dµi h¹n lµ d¹ng t¶i träng ®éng thêng gÆp, vÝ dô nh t¸c dông cña ®éng ®Êt ®èi víi c¸c c«ng tr×nh ®Òu lµ t¶i träng dµi h¹n. Trong thùc tÕ thêng gÆp mét sè lo¹i t¶i träng ®éng nh sau: + T¶i träng cã vÞ trÝ kh«ng ®æi, cßn trÞ sè biÕn thiªn theo thêi gian P(t) vÝ dô nh lµ t¶i träng do m«t¬ cã phÇn quay kh«ng c©n b»ng g©y ra. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 9 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt + T¶i träng di ®éng cã trÞ sè kh«ng ®æi P(z) vÝ dô nh ®oµn xe ch¹y trªn cÇu. + T¶i träng di ®éng cã trÞ sè thay ®æi P(z,t) vÝ dô nh t¶i träng ®éng g©y ra bëi ®Çu m¸y xe löa ch¹y, chu kú phô thuéc vµo tèc ®é ®Çu m¸y. + Lùc ®Þa chÊn t¸c dông lªn c«ng tr×nh. + Lùc khÝ ®éng do giã t¸c dông lªn c«ng tr×nh. + T¶i träng do va ch¹m: Nh cã vËt r¬i hoÆc va ®Ëp lªn c«ng tr×nh. + T¶i träng ®éng phøc t¹p: Lµ tæ hîp c¸c d¹ng t¶i träng trªn vµ mét sè trêng hîp kh¸c. 1.4. Ph©n lo¹i dao ®éng. Tuú theo sù ph©n bè khèi lîng trªn hÖ, cÊu t¹o vµ kÝch thíc cña hÖ, tÝnh chÊt cña c¸c lo¹i t¶i träng ®éng vµ c¸c t¸c dông ®éng bªn ngoµi ….mµ ng êi ta cã rÊt nhiÒu c¸ch ph©n lo¹i dao ®éng kh¸c nhau. §Ó thuËn lîi cho viÖc ph©n tÝch dao ®éng cña c¸c hÖ, cã thÓ ph©n ra nh sau: 1.4.1. Ph©n theo sè bËc tù do cña hÖ. Ph©n theo sè bËc tù do, ®a hÖ vÒ 3 lo¹i dao ®éng sau: - Dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do. - Dao ®éng cña hÖ h÷u h¹n bËc tù do. - Dao ®éng cña hÖ v« h¹n bËc tù do. 1.4.2. Ph©n theo tÝnh chÊt vµ nguyªn nh©n g©y ra dao ®éng. - Dao ®éng tù do: lµ dao ®éng sinh ra do lùc kÝch thÝch ®ét ngét hoÆc lùc bÊt kú råi bá ra tøc thêi. §iÒu kiÖn ban ®Çu ®îc t¹o nªn do c¸c lùc xung kÝch tøc thêi vµ t¸ch hÖ ra khái vÞ trÝ c©n b»ng. - Dao ®éng cìng bøc: Lµ dao ®éng sinh ra do chÞu t¸c dông cña t¶i träng ®éng, kh«ng phô thuéc vµo chuyÓn ®éng vµ tån t¹i trong suèt qu¸ tr×nh dao ®éng. Dao ®éng cìng bøc bao gåm rÊt nhiÒu lo¹i: dao ®éng cña Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 10 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt hÖ chÞu t¶i träng cã chu kú, dao ®éng cña hÖ chÞu t¶i träng di ®éng, dao ®éng cña c¸c c«ng tr×nh chÞu t¶i giã, ®éng ®Êt… 1.4.3. Ph©n theo sù tån t¹i cña lùc c¶n. - Dao ®éng t¾t dÇn: lµ dao ®éng cã xÐt tíi lùc c¶n. - Dao ®éng kh«ng t¾t dÇn: lµ dao ®éng bá qua ¶nh hëng cña lùc c¶n. 1.4.4. Ph©n theo kÝch thíc vµ cÊu t¹o cña hÖ. Theo c¸ch ph©n lo¹i nµy dao ®éng cña hÖ sÏ bao gåm: - Dao ®éng cña hÖ thanh. - Dao ®éng cña tÊm. - Dao ®éng cña vá. - Dao ®éng cña c¸c khèi mãng. - Dao ®éng cña hÖ treo - Dao ®éng cña c¸c kÕt cÊu c«ng tr×nh ®Æc biÖt… 1.4.5. Ph©n theo d¹ng ph¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng. - Dao ®éng tuyÕn tÝnh: lµ dao ®éng mµ ph¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. - Dao ®éng phi tuyÕn: lµ dao ®éng mµ ph¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n vi tuyÕn… 1.4.6. Ph©n theo d¹ng vµ biÓu ®å dao ®éng. - Dao ®éng h×nh sin - Dao ®éng phøc t¹p cã chu kú. - Dao ®éng t¨ng dÇn. - Dao ®éng rèi lo¹n. 1.5. BËc tù do cña hÖ dao ®éng. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 11 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt BËc tù do cña hÖ dao ®éng lµ sè tham sè ®éc lËp cÇn thiÕt ®Ó x¸c ®Þnh ®Çy ®ñ vÞ trÝ cña tÊt c¶ c¸c khèi lîng cña hÖ. Tríc hÕt ta xÐt hÖ víi c¸c khèi lîng tËp trung. Trong c¸c hÖ nµy cã thÓ bá qua c¸c lùc qu¸n tÝnh cña thanh vµ chØ tÝnh ®Õn c¸c lùc qu¸n tÝnh ph¸t sinh do c¸c khèi lîng tËp trung. §Ó tÝnh bËc tù do, ta dïng c¸c gi¶ thiÕt sau: - Coi c¸c khèi lîng tËp trung cña hÖ lµ c¸c chÊt ®iÓm. - Bá qua chiÒu dµi co gi·n do biÕn d¹ng uèn. Ta cã thÓ x¸c ®Þnh sè bËc tù do cña hÖ b»ng c¸ch ®Æt vµo c¸c khèi lîng cña hÖ c¸c liªn kÕt lo¹i mét võa ®ñ ®Ó sao cho tÊt c¶ c¸c khèi lîng cña hÖ trë thµnh bÊt ®éng. Sè bËc tù do cña hÖ dao ®éng cã thÓ b»ng, nhá h¬n hoÆc lín h¬n khèi lîng cña hÖ. XÐt hÖ thanh víi khèi lîng ph©n bè, ë hÖ nµy kh«ng ®îc phÐp bá qua lùc qu¸n tÝnh cña thanh vµ nh vËy hÖ sÏ cã bËc tù do lµ v« cïng. §Ó tÝnh to¸n c¸c hÖ cã bËc tù do lµ v« cïng ta cÇn ph¶i thiÕt lËp vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n víi c¸c ®¹o hµm riªng, bëi v× trong trêng hîp nµy lùc qu¸n tÝnh phô thuéc c¶ vµo to¹ ®é vµ thêi gian. 1.6. Ph¬ng ph¸p c¬ b¶n x©y dùng ph¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. Trong dao ®éng c«ng tr×nh cã hai ph¬ng ph¸p c¬ b¶n x©y dùng ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng lµ ph¬ng ph¸p tÜnh vµ ph¬ng ph¸p n¨ng lîng. 1.6.1. Ph¬ng ph¸p dùa trªn nguyªn lý §al¨mbe. Dùa trªn c¬ së nh÷ng nguyªn t¾c c©n b»ng cña lùc tÜnh häc trong ®ã chØ cÇn bæ sung c¸c lùc qu¸n tÝnh viÕt theo nguyªn lý §al¨mbe. Nh vËy c¸c ph¬ng tr×nh c©n b»ng tÜnh trë thµnh c¸c ph¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng. 1.6.2. Ph¬ng ph¸p sö dông nguyªn lý chuyÓn vÞ kh¶ dÜ. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 12 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt Phï hîp víi nguyªn lý nµy, ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ ®îc x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc c«ng cña tÊt c¶ c¸c lùc trªn c¸c chuyÓn vÞ kh¶ dÜ b»ng kh«ng. §Ó nhËn ®îc ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ, ta tiÕn hµnh c¸c bíc sau: - X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c lùc ®Æt vµo c¸c khèi lîng cña hÖ, trong ®ã kÓ c¶ lùc qu¸n tÝnh ®îc x¸c ®Þnh phï hîp víi nguyªn lý §al¨mbe. - §a vµo c¸c chuyÓn vÞ kh¶ dÜ t¬ng øng víi c¸c bËc tù do cña hÖ. - TÝnh biÓu thøc c«ng cña tÊt c¶ c¸c lùc trªn c¸c chuyÓn vÞ kh¶ dÜ vµ cho b»ng kh«ng. 1.6.3. Ph¬ng ph¸p øng dông nguyªn lý Hamint¬n. Ph¬ng ph¸p nµy ®a ra ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng tõ biÓu thøc biÕn ph©n c¸c hµm n¨ng lîng cña hÖ. 1.7. C¸c ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng riªng. Chia lµm 3 nhãm ph¬ng ph¸p: A. Nhãm ph¬ng ph¸p chÝnh x¸c. B. Nhãm ph¬ng ph¸p gÇn ®óng. C. Nhãm ph¬ng ph¸p ®óng dÇn. 1.7.1. Ph¬ng ph¸p chÝnh x¸c. X©y dùng ph¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t cña dao ®éng ngang cña thanh th¼ng. XÐt hÖ thanh th¼ng cã khèi lîng ph©n bè. HÖ nµy cã v« sè bËc tù do. Dao ®éng ngang cña hÖ t¹i thêi ®iÓm bÊt kú ®îc biÓu diÔn b»ng ®êng ®µn håi cña nã. Ph¬ng tr×nh ®êng ®µn håi nµy lµ hµm cña hai biÕn sè: to¹ ®é x vµ thêi gian t. y = f(x,t) Theo søc bÒn vËt liÖu ta ®· cã mèi liªn hÖ gi÷a ®é vâng vµ néi lùc trong dÇm cã mèi liªn hÖ vi ph©n sau: Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 13 EJ LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt ∂2 y = -M(x,t) ∂x 2 Ngoµi ra, gi÷a néi lùc vµ t¶i träng còng cã sù liªn hÖ sau: ∂2 M ( x, t ) = -p(x,t) ∂x 2 trong ®ã p(x,t) lµ cêng ®é t¶i träng ph©n bè, ®¹i lîng nµy mang dÊu d¬ng khi chiÒu t¶i träng híng lªn trªn. KÕt hîp hai biÓu thøc trªn ta cã: ∂ ∂x 2  ∂2 y  ∂2 M  EJ  = − = p(x,t) ∂x 2  ∂x 2  (1-1) Khi dÇm dao ®éng, t¶i träng t¸c dông trªn dÇm gåm cã c¸c lùc kÝch thÝch, lùc qu¸n tÝnh vµ lùc c¶n (h×nh vÏ). Lùc kÝch thÝch ph©n bè cã cêng ®é q(x,t); lùc qu¸n tÝnh ph©n bè híng theo chiÒu cña chuyÓn vÞ, nÕu xÐt t¹i thêi ®iÓm dÇm cã chuyÓn vÞ d¬ng th× lùc nµy cã cêng ®é: -m(x) ∂2 y ( x, t ) ∂t 2 Lùc c¶n cã chiÒu ngîc víi chiÒu cña chuyÓn ®éng vµ cã cêng ®é r(x,t). VËy ta cã: p(x,t) = -q(x,t) -  ∂2 y ( x, t )  − m ( x )   + r ( x, t ) ∂t 2   hay: p(x,t) = -q(x,t) +m(x) ∂2 y ( x, t ) + r ( x, t ) ∂t 2 Thay biÓu thøc trªn vµo (1-1) thu ®îc: ∂ ∂x 2  ∂2 y  ∂2 y   EJ = q ( x , t ) − m ( x ) − r ( x, t )  ∂x 2  ∂t 2   VËy ph¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t cña dao ®éng ngang cña dÇm cã d¹ng: Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt 14 ∂ ∂x 2  ∂2 y  ∂2 y   EJ + m ( x ) + r ( x, t ) = q ( x , t )  ∂x 2  ∂t 2   (1- 2) q(x,t) > 0 x ∂2 y 2 -m(x) ∂x r(x,t) y Ph¬ng tr×nh (1-2) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cña dao ®éng cìng bøc hÖ v« sè bËc tù do. Ph¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng riªng t¬ng øng sÏ lµ: ∂  ∂2 y  ∂2 y   EJ + m ( x ) =0 ∂x 2  ∂x 2  ∂t 2 (1-2a) NÕu dÇm cã ®é cøng EJ kh«ng ®æi th× ph¬ng tr×nh (1-2) vµ (1-2a) cã d¹ng: ∂4 y m ( x ) ∂2 y r ( x , t ) q ( x , t ) + + = ∂x 4 EJ ∂t 2 EJ EJ (1- 2b) ∂4 y m( x ) ∂2 y + =0 ∂x 4 EJ ∂t 2 (1-2c) NÕu dÇm cã khèi lîng ph©n bè ®Òu, trong c¸c ph¬ng tr×nh trªn ta cã m(x) = m. Dïng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n chÝnh x¸c cña to¸n häc, ta sÏ gi¶i ra ®îc c¸c nghiÖm riªng øng víi c¸c d¹ng dao ®éng riªng víi tÇn sè riªng ωi. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt 15 1.7.2. Ph¬ng ph¸p gÇn ®óng. 1.7.2.1. Ph¬ng ph¸p Rayleigh. Ph¬ng ph¸p Rayleigh dùa trªn c¬ së ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng lîng. Theo ®Þnh luËt nµy, ë bÊt kú thêi ®iÓm nµo ta còng cã biÓu thøc: T + U = h»ng sè. Trong ®ã: T: §éng n¨ng cña hÖ. U: ThÕ n¨ng cña hÖ. Gi¶ sö dao ®éng cña hÖ cã d¹ng: yi(x,t) = yi(x) sin(ωit + γi) (1-3) XÐt hÖ víi c¸c tr¹ng th¸i ®¹t gi¸ trÞ n¨ng lîng lín nhÊt, ¸p dông c¬ së ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng lîng ta cã: Tmax = Umax (1-4) Ph¬ng tr×nh (1-4) lµ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p n¨ng lîng. Ta xÐt mét hÖ bÊt kú võa cã khèi lîng ph©n bè m(x), võa cã khèi lîng tËp trung mi. Thµnh lËp biÓu thøc ®éng n¨ng, víi trêng hîp ®éng n¨ng lín nhÊt: Tmax = [∑∫ m( x) y ( x)dz + ∑m y ( x )] 2 ωi2 2 i k 2 i (1- k 5) Thµnh lËp biÓu thøc thÕ n¨ng, víi trêng hîp thÕ n¨ng lín nhÊt: [ ] 2 EJ x yi'' ( x) Umax = ∫ ∑ dx 2 (1- 6) Thay (1-5), (1-6) vµo (1-4) ta thu ®îc biÓu thøc b×nh ph¬ng tÇn sè nh sau: ω 2 i ∫ ∑EJ [ y ( x)] dx = ∑∫ m( x) y ( x)dx + ∑m '' 1 2 i Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc 2 k yi2 ( xk ) (1-7) 16 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt Nh vËy, nÕu biÕt tríc chÝnh x¸c d¹ng dao ®éng riªng øng víi tÇn sè ωi nµo ®ã th× cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc tÇn sè ωi ®ã mét c¸ch chÝnh x¸c theo c«ng thøc (1-7). Ph¬ng ph¸p Rayleigh khi x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng riªng theo c«ng thøc gÇn ®óng th× thêng cã gi¸ trÞ lín h¬n trÞ sè chÝnh x¸c. §iÒu nµy x¶y ra lµ do viÖc gi¶ ®Þnh ®êng ®µn håi thêng khã chÝnh x¸c, do vËy sÏ dÉn ®Õn hiÖn tîng ®a thªm vµo hÖ c¸c liªn kÕt, c¸c liªn kÕt nµy sÏ lµm t¨ng ®é cøng cña hÖ, nªn tÇn sè dao ®éng t×m ®îc sÏ lín h¬n tÇn sè dao ®éng thùc tÕ cña hÖ. 1.7.2.2. Ph¬ng ph¸p Bupnop – Galoockin. Dùa theo ph¬ng tr×nh vi ph©n cña d¹ng dao ®éng chÝnh thø j ta cã: [EJ (x) yj’’(x)]’’ - ωj2 m (x) yj (x) = 0 (1-8) Gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1-8) ®· biÕt vµ cã thÓ biÓu diÔn nh sau: yj (x) = n ∑a ϕ ( x) i =1 i (1-9) i Víi ϕi (x): lµ hµm chän tríc tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn biªn. ai : c¸c h»ng sè cha biÕt. Thay (1-9) vµo (1-8) ta cã: '' n n   '' 2 EJ ( x ) a ϕ ( x ) − ω m ( x ) aiϕi ( x) = 0 ∑ ∑ i i j   i =1 i =1   (1- 10) BiÓu thøc (1-10) ®óng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña x vµ còng ®óng víi trêng hîp khi ta nh©n c¶ 2 vÕ cña nã víi mét hµm ϕk(x) bÊt kú (k chØ sè d¹ng dao ®éng riªng), cã nghÜa lµ: '' n n      '' 2  EJ ( x)∑ aiϕi ( x) − ω j m( x )∑ aiϕi ( x) ϕk ( x ) = 0 i =1 i =1      11) Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc (1- 17 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt LÊy tÝch ph©n biÓu thøc (1-11) trªn toµn chiÒu dµi cña dÇm, khai triÓn, viÕt ë d¹ng chÝnh t¾c ta cã: Ck1a1 + Ck2a2 + Ck3a3 +………….+ Cknan = 0 (1-12) (k = 1,2,……..,n) víi '' n      '' 2 Cki = ∫ EJ ( x)∑aiϕi ( x) ϕk ( x ) − ω j m( x)ϕi ( x)ϕk ( x)dx i =1   0   L (1- 13) n   NÕu ta ®Æt EJ ( x)∑aiϕi'' ( x) i =1   '' = -qi th× sè h¹ng ®Çu tiªn trong (1-13) cã thÓ xem nh c«ng kh¶ dÜ cña t¶i träng qi trªn chuyÓn vÞ ϕk(x). Do ®ã khi c¸c tham sè ϕi(x) vµ ϕk(x) chän sao cho tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn th× biÓu thøc (1-13) cã thÓ coi lµ c«ng cña t¶i träng qk trªn chuyÓn vÞ dêi ϕi(x). Tõ lý luËn ®ã chóng ta thÊy r»ng hµm ϕi(x) tho¶ m·n ®iÓu kiÖn biªn th× Cki = Cik. Trong c«ng thøc (1-12) c¸c hÖ sè ai lµ cha x¸c ®Þnh. Chóng ph¶i cã gi¸ trÞ ®Ó sao cho ph¬ng tr×nh (1-12) lu«n tho¶ m·n víi mäi gi¸ trÞ cña k (k = 1,2, …,n). C¸c hµm ϕi(x) ph¶i chän sao cho tho¶ m·n toµn bé (hoÆc mét phÇn c¸c ®iÒu kiÖn biªn) cña bµi to¸n vµ chän cµng gÇn c¸c dao ®éng chÝnh th× cµng tèt. VÝ dô cã thÓ chän hµm d¹ng ϕi(x) theo ®êng ®µn håi do c¸c t¶i träng kh¸c nhau trªn hÖ t¹o nªn nh t¶i träng ph©n bè, tËp trung… cã thÓ chän lµ hµm lîng gi¸c v.v… Trong c«ng thøc (1-12), c¸c hÖ sè ai lµ cha x¸c ®Þnh. HÖ ph¬ng tr×nh ®ã lµ thuÇn nhÊt, do vËy muèn cã c¸c nghiÖm ai kh¸c kh«ng th× ®Þnh thøc cña c¸c hÖ sè trong ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c ph¶i b»ng kh«ng: Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt 18 D= C11 C12 ....... C1n C21 C22 ...... C2 n C31 C32 ...... C3n =0 ......................................................... Cn1 Cn 2 ...... Cnn (1-14) Khai triÓn (1-14) ta ®îc ph¬ng tr×nh tÇn sè, ph¬ng tr×nh nµy lµ bËc n ®èi víi ωj2. Ph¬ng ph¸p Bupnop Galookin ¸p dông ®îc cho c¶ hÖ b¶o tån vµ kh«ng b¶o tån [1] 1.7.2.3.Ph¬ng ph¸p Lag¬r¨ng – Ritz. Ph¬ng ph¸p Lag¬r¨ng – Ritz ®îc x©y dùng trªn c¬ së thÕ n¨ng toµn phÇn cña hÖ. Nguyªn lý Lag¬r¨ng ph¸t biÓu nh sau: Trong tÊt c¶ c¸c tr¹ng th¸i kh¶ dÜ, tr¹ng th¸i c©n b»ng díi t¸c dông cña c¸c lùc cã thÓ sÏ t¬ng øng víi tr¹ng th¸i mµ theo ®ã thÕ n¨ng toµn phÇn cña hÖ sÏ cã gi¸ trÞ dõng. ThÕ n¨ng toµn phÇn ®îc biÓu diÔn díi d¹ng c«ng cña ngo¹i lùc vµ néi lùc cña hÖ khi chuyÓn tõ tr¹ng th¸i biÕn d¹ng vÒ tr¹ng th¸i kh«ng biÕn d¹ng nh sau: L U= [ ] L EJ ( x ) '' 2 y ( x ) dx − ∫0 2 ∫0 q( x) y ( x)dx (1-15) Trong ®ã: q(x) lµ lùc qu¸n tÝnh do khèi lîng ph©n bè g©y ra khi hÖ dao ®éng. Lùc qu¸n tÝnh ®îc x¸c ®Þnh nh sau: qj(x) = m (x)ωj2yj (x) Thay vµo (1-15) ta ®îc: L U= [ ] L EJ ( x) '' 2 1 2 2 ∫0 2 y ( x) dx − ∫0 2 m( x)ωj y j ( x)dx Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc (1-16) LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt 19 Còng t¬ng tù nh ph¬ng ph¸p Bupnop Galookin, ta gi¶ thiÕt d¹ng cña dao ®éng nh sau: yj(x) = n ∑a ϕ ( x) i =1 i (1-17) i Thay (1-17) vµo (1-16) ta thu ®îc: ωj EJ ( x )  n  '' a ϕ ( x ) dx − U= ∫ ∑ i i  2  i =1 2  0 2 L 2 2 L n  aiϕi ( x )  dx ∫0 m( x) ∑ i =1  (1- 18) Tõ ®iÒu kiÖn thÕ n¨ng cùc tiÓu, víi c¸c biÕn a n, ta thu ®îc c¸c ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c trong ph¬ng ph¸p Lag¬r¨ng – Ritz viÕt ë d¹ng thu gän ta cã: Ck1a1 + Ck2a2 + Ck3a3 +………….+ Cknan = 0 (k = 1,2,……..,n) víi L  L  0  0  Cki = ∫ [ EJ ( x)ϕi'' ( x)ϕk'' ( x)] dx − ω2j ∫ m( x)ϕi ( x)ϕk ( x) dx  (1- 19) Qua (1-19) ta lu«n cã Cik = Cki. Tõ (1-18) ta thiÕt lËp ®îc n ph¬ng tr×nh víi c¸c Èn lµ a1, a2, …..,an. HÖ ph¬ng tr×nh ®ã lµ thuÇn nhÊt, do vËy muèn cã c¸c nghiÖm a n kh¸c kh«ng th× ®Þnh thøc cña c¸c hÖ sè trong ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c ph¶i b»ng kh«ng: D= C11 C12 ....... C1n C21 C22 ...... C2 n C31 C32 ...... C3n ......................................................... Cn1 Cn 2 (1-20) Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc ...... Cnn =0 20 LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt Khai triÓn (1-20) ta ®îc ph¬ng tr×nh tÇn sè, ph¬ng tr×nh nµy lµ bËc n ®èi víi ωj2. Ph¬ng ph¸p Lag¬r¨ng - Ritz chØ ¸p dông ®îc cho c¸c hÖ b¶o tån [1]. 1.7.2.4. Ph¬ng ph¸p thay thÕ khèi lîng. C¸c ph¬ng ph¸p gÇn ®óng ë trªn dùa trªn sù gÇn ®óng lµ do gi¶ ®Þnh gÇn ®óng ban ®Çu d¹ng dao ®éng y(x). Ph¬ng ph¸p thay thÕ khèi lîng lµ ph¬ng ph¸p dùa trªn c¬ së ®¬n gi¶n ho¸ s¬ ®å khèi lîng. Theo ph¬ng ph¸p nµy chóng ta thay thÕ c¸c khèi lîng ph©n bè vµ tËp trung trªn kÕt cÊu thµnh c¸c khèi lîng tËp trung víi khèi lîng Ýt h¬n ®Æt t¹i mét sè ®iÓm ®Æc biÖt. Cã thÓ thay thÕ khèi lîng ph©n bè theo mét trong hai c¸ch sau: - Chia c¸c khèi lîng ph©n bè thµnh nhiÒu kho¶ng, tËp trung c¸c khèi lîng ph©n bè trªn mçi kho¶ng vÒ träng t©m cña nã. - Ph©n bè c¸c khèi lîng ph©n bè theo nguyªn t¾c ®ßn bÈy. Theo c¸ch nµy khèi lîng ph©n bè trªn mçi ®o¹n ®îc thay thÕ b»ng khèi lîng ph©n bè trªn mçi ®o¹n ®îc thay thÕ b»ng khèi lîng ®Æt ë hai ®Çu ®o¹n ®ã. Thay thÕ khèi lîng theo c¸ch thø hai thêng cho ta mét hÖ míi ®¬n gi¶n h¬n c¸ch thø nhÊt, v× sè lîng c¸c khèi lîng tËp trung Ýt h¬n. TÇn sè dao ®éng cña hÖ míi nµy chÝnh lµ tÇn sè gÇn ®óng cña hÖ thùc. Møc ®é chÝnh x¸c cña lêi gi¶i phô thuéc sè lîng vµ vÞ trÝ ®Æt c¸c khèi lîng trong s¬ ®å míi. Sè khèi lîng cµng nhiÒu th× kÕt qu¶ cµng chÝnh x¸c. Th«ng thêng, nÕu chØ quan t©m ®Õn tÇn sè cña vµi d¹ng dao ®éng ®Çu tiªn, ta cã thÓ biÕn ®æi hÖ vÒ hÖ cã hai, ba bËc tù do còng ®ñ tho¶ m·n ®îc yªu c©u vÒ ®é chÝnh x¸c cÇn thiÕt. Sau khi ®· chän ®îc s¬ ®å khèi lîng, ta tiÕn hµnh nh ®èi víi bµi to¸n hÖ h÷u h¹n bËc tù do víi viÖc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh tÇn sè, thu ®îc c¸c tÇn sè cÇn thiÕt. 1.7.2.5. Ph¬ng ph¸p khèi lîng t¬ng ®¬ng ®Ó x¸c ®Þnh tÇn sè c¬ b¶n cña dao ®éng riªng. Ph¬ng ph¸p lÆp n¨ng lîng x¸c ®Þnh tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng riªng cña dÇm liªn tôc