Tài liệu Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN . TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bường Thái Nguyên - 2015 Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt mở đầu 1 1 Một số khái niệm cơ bản 1.1 1.2 iii 4 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn . . 4 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Ánh xạ j -đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 14 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 16 2 Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 18 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân . 19 2.2 Một số mệnh đề và bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . 21 i 2.3 Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ vô hạn những ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo 31 ii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt E không gian Banach E∗ không gian liên hợp của E D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A H không gian Hilbert C tập con lồi đóng của H I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtric H lên tập con lồi đóng C của H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x iii Mở đầu Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ra nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải số các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật. Nhiều bài toán trong toán học được phát triển dưới dạng bất đẳng thức biến phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động....Do vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân và phương pháp giải bài toán này luôn là đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu mêtric PC để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình và tốc độ hội tụ nhanh. Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính toán ánh xạ chiếu mêtric PC không đơn giản vì sự phức tạp của tập con lồi đóng bất kỳ C . Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường 1 dốc nhất vào năm 2001 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Từ đó đến nay đã có nhiều công trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu kết quả mới đây trong [4] về phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số khái niệm cơ bản. Chương này đề cập tới một số khái niệm của không gian Banach, ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn, ánh xạ co rút không giãn theo tia, bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach. Chương 2: Phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach. Chương này trình bày hai phương pháp lặp hiện mới. Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả nhận thấy rằng các vấn đề được đề cập trong luận văn là rất rộng lớn mà trong khuôn khổ của luận văn chỉ thể hiện được một phần nào. Tuy nhiên những vấn đề được trình bày trong luận văn sẽ là những kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận các vấn đề sau này. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường. Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làm luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo 2 sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin, các thầy cô trong trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Kim Đỗ 3 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về ánh xạ j -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn và bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn. Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [1]-[2] và một số tài liệu trích dẫn trong đó. 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn Định nghĩa 1.1. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn E là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = kx − yk) thì E được gọi là không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. E là một không gian Banach với không gian đối ngẫu là E ∗ , tức là 4 không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Để đơn giản trong việc trình bày, chuẩn của E và E ∗ được kí hiệu là k.k. Chúng tôi viết hx, x∗ i thay vì viết x∗ (x) với x∗ ∈ E ∗ và x ∈ E . Ký hiệu 2E là một họ các tập con khác rỗng của E . Cho T là một ánh xạ với miền xác định là D (T ) và miền giá trị là R (T ) và F ix (T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là F ix (T ) = {x ∈ D (T ) : T (x) = x} . Ký hiệu mặt cầu đơn vị của E là SE , trong đó SE = {x ∈ E : kxk = 1} . Trước hết ta nhắc lại rằng một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E , đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) , với mọi x∗ ∈ E ∗ . Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có x + y 2 < 1. Định nghĩa 1.2 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa kx + yk = 1 suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x 6= y ta có mãn 2 ktx + (1 − t) yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E , kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có x + y 2 ≤ 1 − δ (ε) . 5 Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt và phản xạ. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Để đo tính lồi của không gian Banach E , người ta đưa vào khái niệm sau: Môđun lồi của không gian Banach E là hàm số   x + y δE (ε) = inf 1 − 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . Nhận xét 1.1. Môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi δE (2) = 1. Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0. Mệnh đề 1.1. Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ. Định nghĩa 1.4. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE , tồn tại duy nhất fx ∈ E ∗ sao cho hx, fx i = kxk và kfx k = 1. Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE , tồn tại giới hạn d kx0 + tyk − kx0 k (kx0 + tyk)t=0 = lim . t→0 dt t (1.1) Định nghĩa 1.6. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó: a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi tại mọi x ∈ SE . b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE . Định lý 1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng định sau: 6 a) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn. b) Nếu E ∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.7. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định bởi  ρE (τ ) = sup 2−1 (kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk = 1, kyk = τ . Nhận xét 1.2. Môđun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) . Định nghĩa 1.8. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu ρE (τ ) = 0. τ →0 τ lim Định nghĩa 1.9. Không gian Banach E được gọi là trơn đều cấp q nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρE (t) ≤ ctq , với mọi t > 0. Từ định nghĩa 1.9 ta có định lý dưới đây: Định lý 1.2. Cho q là một số thực với 1 < q ≤ 2 và E là một không gian Banach. Khi đó E trơn đều cấp q nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số k ≥ 1 thỏa mãn 1 (kx + ykq − kx − ykq ) ≤ kxkq + kkxkq , với mọi x, y ∈ E. 2 Hằng số k trong Định lý 1.2 được gọi là hằng số trơn cấp q . 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.10. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa trị J từ E vào E ∗ , thỏa mãn điều kiện: J (x) = {x∗ ∈ E ∗ : hx, x∗ i = kxk kx∗ k và kx∗ k = kxk} , được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian E . 7 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng nhất I . Nhận xét 1.3. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E , ta luôn có J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ E , điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lý Hahn - Banach. Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E . Mệnh đề 1.2. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó, (i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x) , ∀x ∈ E; (ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x) , ∀λ > 0, ∀x ∈ E; (iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J (D) là một tập hợp bị chặn trong E ∗ ; (iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị; (v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi E là không gian Banach trơn đều. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu nó bởi j . 1.1.3 Ánh xạ j -đơn điệu Định nghĩa 1.11. Ánh xạ A : E → E được gọi là (i) j -đơn điệu (accretive) nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho hA (x) − A (y) , j (x − y)i ≥ 0, 8 ∀x, y ∈ D (A) ; (ii) j -đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi x = y; (iii) j -đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ (t) , t ≥ 0, γ (0) = 0, và j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho hA (x) − A (y) , j (x − y)i ≥ γ (kx − yk) , ∀x, y ∈ D (A) ; (iv) η -j -đơn điệu mạnh nếu γ (t) = ηt2 , η > 0 là một hằng số; (v) không giãn nếu kA (x) − A (y)k ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ D (A) . Ví dụ 1.1. Ánh xạ đồng nhất I : E → E, trong đó E là không gian Hilbert là ánh xạ j -đơn điệu. Thật vậy với mọi x, y ∈ E, x 6= y ta có hI (x) − I (y) , j (x − y)i = hx − y, j (x − y)i . Vì hx − y, j (x − y)i = kx − yk2 nên I là ánh xạ j -đơn điệu. Định nghĩa 1.12. Cho T : D (T ) ⊂ E → E là một ánh xạ. Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L nếu với mọi x, y ∈ D (T ) ta có kT (x) − T (y)k ≤ L kx − yk . Nếu 0 ≤ L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ không giãn. Định nghĩa 1.13. Ánh xạ A được gọi là giả co nếu kA (x) − A (y)k2 ≤ kx − yk2 + k(I − A) (x) − (I − A) (y)k2 , với mọi x, y ∈ D (A) , trong đó I là ánh xạ đồng nhất. 9 (1.2) Dễ thấy, mọi ánh xạ giả co đều là ánh xạ không giãn. Định nghĩa 1.14. Ánh xạ A : E → E được gọi là ánh xạ λ-giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D (A), tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho hAx − Ay, j (x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (Ax − Ay)k2 , (1.3) với mỗi λ ∈ (0, 1) . Ta thấy (1.3) có thể được viết lại như sau: h(I − A) (x) − (I − A) (y) , j (x − y)i ≥ λk(I − A) (x) − (I − A) (y)k2 . (1.4) Rõ ràng, từ (1.3), kéo theo kA (x) − A (y)k ≤ L kx − yk với L = 1 + γ1 . Nếu A thỏa mãn (1.3) với γ = 0, thì nó được gọi là ánh xạ giả co. Mọi ánh xạ không giãn đều là ánh xạ giả co. Ta có mối liên hệ giữa ánh xạ j -đơn điệu và giả co như sau. Bổ đề 1.1. Cho T : D (T ) ⊂ E → E là một ánh xạ. Khi đó, T là ánh xạ j -đơn điệu khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co, ở đây I là ánh xạ đơn vị trong E . Sau đây là định nghĩa ánh xạ đơn điệu. Định nghĩa 1.15. Cho A : D (A) ⊂ X → X ∗ , ánh xạ A được gọi là (i) Ánh xạ đơn điệu nếu hA (x) − A (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ; (ii) η -đơn điệu mạnh nếu hA (x) − A (y) , x − yi ≥ ηkx − yk2 , 10 ∀x, y ∈ D (A) . Bổ đề 1.2. Cho E là một không gian Banach trơn thực và A : E → E là một ánh xạ. (i) Nếu A là ánh  co chặt thì A là ánh xạ liên tục Lipschitz  xạ λ-giả 1 . với hằng số 1 + λ (ii) Nếu A là ánh xạ δ -j -đơn điệu mạnhr và λ-giả co chặt với δ + λ > 1 1−δ thì I − A là ánh xạ co với hằng số . λ (iii) Nếu A là ánh xạ δ -j -đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1 thì với số cố định bất kỳ ! τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng r 1−δ số I − τ I − . λ Chứng minh. i) Từ (1.4) ta nhận được λk(I − A) (x) − (I − A) (y)k2 ≤ h(I − A) (x) − (I − A) (y) , J (x − y)i ≤ k(I − A) (x) − (I − A) (y)k kx − yk , từ đó suy ra k(I − A) (x) − (I − A) (y)k ≤ 1 kx − yk . λ Nên kA (x) − A (y)k ≤ k(I − A)  (x) − (I − A) (y)k + kx − yk + kx − yk 1 ≤ 1+ kx − yk , λ   1 và do đó A liên tục Lipschitz với hằng số 1 + . λ ii) Từ (1.3) và (1.4), ta có λk(I − A) (x) − (I − A) (y)k2 ≤ kx − yk2 − hA (x) − A (y) , J (x − y)i ≤ (1 − δ) kx − yk2 . 11 r Vì δ + λ > 1 ⇔ 1−δ ∈ (0, 1) , nên λ r k(I − A) (x) − (I − A) (y)k ≤ 1−δ λ ! kx − yk , r 1−δ . λ r 1−δ iii) Vì I − A là ánh xạ co với hằng số co , nên với mỗi số cố λ định τ ∈ (0, 1) ta có và vì vậy I − A là ánh xạ co với hằng số co kx − y − τ (A (x) − A (y))k = k(1 − τ ) (x − y) + τ [(I − A) (x) − (I − A) (y)]k ≤ (1 − τ ) kx − yk + τ k(I − A) (x) ! − (I − A) (y)k r 1−δ ≤ (1 − τ ) kx − yk + τ kx − yk λ !! r 1−δ = 1−τ kx − yk . λ r Từ đây, suy ra I − τ A là ánh xạ co với hằng số 1 − τ ! 1−δ . λ Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn theo tia cùng với một số tính chất cơ bản của nó. Định nghĩa 1.16. Cho E là một không gian Banach và C là một tập con lồi đóng của E . Một ánh xạ QC : E → C được gọi là a) co rút nếu Q2C (x) = QC (x) , ∀x ∈ E; b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn, tức là kQC (x) − QC (y)k ≤ kx − yk , 12 ∀x, y ∈ E; c) co rút không giãn theo tia nếu QC là một co rút không giãn và thỏa mãn tính chất QC (QC (x) + t (x − QC (x))) = QC (x) , ∀x ∈ E, t ∈ (0; 1) . Định nghĩa 1.17. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được gọi là: a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C ; b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn từ E lên C ; c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C . Mệnh đề 1.3. Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, mọi tập con lồi đóng khác rỗng C của E đều là tập co rút của E . Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.3 chính là phép chiếu mêtric PC : E → C được xác định bởi kc − PC (x)k = inf kx − uk , với mọi x ∈ C. u∈C Mệnh đề dưới đây khẳng định sự tồn tại ánh xạ co rút không giãn từ không gian Banach E lên tập con lồi đóng của nó. Mệnh đề 1.4. Cho E là một không gian Banach trơn với dim (E) ≥ 3. Khi đó, mọi tập con lồi đóng C của E với int (C) 6= ∅, đều là tập con co rút không giãn của E . Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gian Hilbert H , thì phép chiếu mêtric PC : H → C xác định bởi kx − PC xk = inf kx − uk với mọi x ∈ H là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ u∈C H lên C . Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach. Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một số kết quả về lớp ánh xạ co rút không giãn theo tia trên không gian Banach. 13 Mệnh đề 1.5. Mọi tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach 2 chiều E , đều là tập co rút không giãn theo tia của E . Mệnh đề 1.6. Cho E là một không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Nếu C là một tập con co rút không giãn của E , thì C là tập con co rút không giãn theo tia của E . Mệnh đề 1.7. Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một tập con lồi và đóng của E . Một ánh xạ QC : E → C là co rút không giãn theo tia khi và chỉ khi hx − QC (x) , j (ξ − QC (x))i ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C. Nhận xét 1.4. Từ Mệnh đề 1.7 suy ra, nếu E là một không gian Banach trơn và C là tập con co rút không giãn theo tia của E , thì ánh xạ co rút không giãn theo tia QC : E → C là duy nhất. Cuối cùng trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm α-đồng bức. Định nghĩa 1.18. Cho C là một tập con đóng, lồi, khác rỗng của không gian Banach E . Với α > 0, một ánh xạ A : C → E được gọi là α-đồng bức nếu với mọi x, y ∈ C , ta có hAx − Ay, J (x − y)i ≥ αkAx − Ayk2 . 1.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., .i và chuẩn k.k, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H , và F : H → H 14 là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm điểm u∗ ∈ C sao cho V I (F, C) : hF (u∗ ) , v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C. Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C , thì bài toán V I (F, C) có nghiệm duy nhất. Bài toán V I (F, C) tương đương với phương trình điểm bất động u∗ = PC (u∗ − µF (u∗ )) , (1.5) trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số tùy ý. Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.5) là ánh xạ co. Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard xn+1 = PC (xn − µF (xn )) , hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán V I (F, C). Phương pháp này được gọi là phương pháp chiếu. Tuy nhiên phương pháp này lại không dễ dàng thực thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ. Để khắc phục nhược điểm này, Yamada đã đưa ra phương pháp lai đường dốc nhất để giải bài toán V I (F, C). Ý tưởng của ông được trình bày như sau: Cho C là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : H → H, tức là C = {x ∈ H : T (x) = x} . Giả sử F là ánh xạ η -đơn và κ-liên tục Lipschitz trên C . Lấy một số cố định  điệu mạnh  µ ∈ 0; 2η κ2 và dãy số thực {λn } trong (0, 1) thỏa mãn các điều kiện sau: (L1 ) lim λn = 0, n P (L2 ) λn = ∞, n (λn − λn+1 ) = 0. n→∞ λ2n+1 (L3 ) lim 15