Tài liệu Phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP Chuyên ngành: Mã số: TOÁN ỨNG DỤNG 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 iii Mục lục Lời cảm ơn 1 Bảng ký hiệu 2 Chữ viết tắt 3 Mở đầu 5 Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert . . . . . 1.1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert . 1.1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu . . . 1.1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn và ánh xạ đơn 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách . . . . . 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 1.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách . . . . . . . . . . điệu . . . . . . . . . . . . Chương 2. Phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng phân tách hai cấp 2.1 Bài toán và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp 2.1.2 Phương pháp chiếu và sự hội tụ . . . . . . . . 2.2 Một số áp dụng và ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . 2.2.1 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 10 12 12 13 13 thức biến 15 . . . . . . 15 . . . . . . 15 . . . . . . 17 . . . . . . 28 . . . . . . 28 . . . . . . 30 iv Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được tham gia học tập, nghiên cứu. Tôi xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nói chung và Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K12A (khóa 2018–2020) đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đõ tận tình của PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY. Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô và xin gửi lời tri ân sâu sắc của tôi đối với những điều cô đã làm cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn trân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn đồng hành, động viên, tạo điều kiện cho tôi suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Thái Nguyên, ngày 28 tháng 6 năm 2020 Tác giả luận văn Lê Thị Thu 2 Bảng ký hiệu H, H1 , H2 C, Q F F1 F2 A A∗ X, Y Ω1 , Ω2 PΩ 1 PΩ 2 Γ R RN xk → x∗ xki * x̄ các không gian Hilbert thực các tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert ánh xạ đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu trên C ánh xạ giả đơn điệu trên Q toán tử tuyến tính bị chặn toán tử liên hợp của toán tử A các không gian tuyến tính định chuẩn các tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân phép chiếu mêtric lên Ω1 phép chiếu mêtric lên Ω2 tập nghiệm của SFP tập các số thực không gian Euclid thực N chiều dãy {xk } hội tụ mạnh về x∗ dãy {xki } hội tụ yếu đến x̄ 3 Chữ viết tắt VIP(F, C) Sol(F, C) SFP SVIP BVIP BSVIP bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) bài toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem) bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem) 5 Mở đầu Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 . Giả sử A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và các ánh xạ F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 . Bài toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) là bài toán tìm nghiệm x∗ của một bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian H1 sao cho ảnh y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A, là nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân khác trong không gian H2 . Cụ thể, Tìm x∗ ∈ C : hF1 (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C (1) sao cho y ∗ = Ax∗ ∈ Q : hF2 (y ∗ ), y − y ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ Q. (2) Ký hiệu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (1) và (2) lần lượt là Ω1 và Ω2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân tách là bài toán Tìm x∗ ∈ Ω1 sao cho Ax∗ ∈ Ω2 . (3) Bài toán (3) là một dạng của bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem). Bài toán chấp nhận tách xuất hiện trong những mô hình thực tế, chẳng hạn mô hình IMRT (Intensity–Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu yêu cầu tìm nghiệm của một bài toán trong không gian này sao cho ảnh của nó qua một toán tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài toán trong không gian khác. Bài toán chấp nhận tách trong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy Elfving [6]. Luận văn xét bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split 6 Variational Inequality Problem) Tìm x∗ ∈ Ω : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (4) trong đó F : H1 → H1 là một ánh xạ, Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách (3). Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 "Bài toán bất đẳng thức biến phân tách" trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực cùng các toán tử trong không gian này (toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ liên tục Lipschitz. . . ); giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân tách và một số kết quả liên quan. Chương 2 "Phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp" trình bày một phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp, chứng minh sự hội tụ của phương pháp và đưa ra ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp. 7 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách Chương này trình bày khái quát về không gian Hilbert thực và bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert. Nội dung của chương được viết thành hai mục. Mục 1.1 trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian Hilbert thực cùng khái niệm về toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân tách cùng một số kết quả liên quan đến các bài toán này. Nội dung của chương được viết trên cơ sở tổng hợp các kiến thức trong [1], [2], [5] và [7]. 1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng là h., .i và k.k. 1.1.1 Một số tính chất của không gian Hilbert Định lý 1.1.1 (xem [1]). Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, (i) |hx, yi| ≤ kxk · kyk với mọi x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz); (ii) kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (đẳng thức hình bình hành); 8 (iii) Nếu limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b thì limn→∞ hxn , yn i = ha, bi. Định lý 1.1.2 (xem [1]). Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có (i) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi với mọi x, y ∈ H; (ii) kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi với mọi x, y ∈ H; (iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 với mọi t ∈ [0, 1] và mọi x, y ∈ H. Định lý 1.1.3 (xem [1]). Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với mọi x, y, z ∈ H. Chứng minh. Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 .  1.1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H. (i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C. (1.1) (ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. 9 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H. Ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C . Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C xác định bởi kx − PC (x)k = min kx − zk z∈C được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C . Định lý 1.1.6 (xem [1]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C sao cho kx − yk = min kx − uk. (1.2) u∈C Điểm y ∈ C thỏa mãn (1.2) được gọi là hình chiếu của x trên C , ký hiệu là PC (x). Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kx − uk. Khi đó, tồn tại dãy {un } ⊂ C u∈C sao cho kx − un k −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 un + um 2 k 2 ≤ 2(kx − un k2 + kx − um k2 ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. = 2kx − un k2 + 2kx − um k2 − 4kx − Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C . Do chuẩn n→∞ là hàm số liên tục nên kx − uk = d. Giả sử tồn tại v ∈ C sao cho kx − vk = d. Ta có ku − vk2 = k(x − u) − (x − v)k2 u+v 2 k ≤ 0. 2 Suy ra u = v . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho = 2(kx − uk2 + kx − vk2 ) − 4kx − kx − PC xk = min kx − uk. u∈C  Sau đây là ví dụ về toán tử chiếu. 10 Ví dụ 1.1.7. Giả sử a, b ∈ RN , a 6= 0. Xét nửa không gian C ⊂ RN và mặt phẳng Q ⊂ RN cho bởi C = {x ∈ RN : ha, x − bi ≤ 0}, Q = {x ∈ RN : ha, x − bi = 0}. Khi đó toán tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi   x, nếu PC (x) = ha, x − bia  , nếu x − kak2   x, nếu PQ (x) = ha, x − bia  , nếu x − kak2 1.1.3 ha, x − bi ≤ 0 ha, x − bi > 0. ha, x − bi = 0 ha, x − bi = 6 0. Toán tử tuyến tính bị chặn và ánh xạ đơn điệu Định nghĩa 1.1.8 (xem [1]). Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên R. Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu (i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ; (ii) A(αx) = αAx với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ R. Hay A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R. Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]). (a) Toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số M > 0 sao cho kAxk ≤ M kxk, ∀x ∈ C. (1.3) (b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chuẩn của toán tử A, ký hiệu là kAk. Ví dụ 1.1.10. Cho A : R4 → R3 xác định bởi A(x) = (x1 + x4 , x1 − x4 , x2 − x3 )T , ∀x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 . 11 Dễ thấy A là một  toán tử tuyếntính bị chặn với ma  trận của  toán tử tuyến 1 0 0 1 2 0 0     T . Khi đó, A A = 0 2 0 . tính này là A =  1 0 0 −1     0 1 −1 0 0 0 2 Tìm giá trị riêng lớn nhất λ của AT A bằng cách giải phương trình   1 0 0   T . det(A A − λI) = 0 với I =  0 1 0   0 0 1 √ Chuẩn của toán tử A là 2. Định nghĩa 1.1.11 (xem [1]). Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert thực H. Toán tử liên hợp A∗ : H → H của toán tử A được xác định bởi hAx, yi = hx, A∗ yi. Ví dụ 1.1.12. Toán tử liên hợp A∗ : R3 → R4 của toán tử A trong Ví dụ 1.1.10 được xác định bởi A∗ (y) = (y1 + y2 , y3 , −y3 , y1 − y2 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Định nghĩa 1.1.13 (xem [2]). Một ánh xạ F : C → H được gọi là (a) đơn điệu trên C , nếu hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (b) giả đơn điệu trên C , nếu hF (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hF (x), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (c) β -đơn điệu mạnh trên C , nếu hF (x) − F (y), x − yi ≥ βkx − yk2 , ∀x, y ∈ C. Chú ý, một ánh xạ đơn điệu trên C thì giả đơn điệu trên C , nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng. Chẳng hạn ánh xạ F : C → R được cho bởi F (x) = x2 là ánh xạ giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu trên C = R. 12 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (Variational Inequality Problem), ký hiệu là VIP(F, C), được phát biểu như sau: Tìm điểm x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.4) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.4) phụ thuộc vào tính chất của ánh xạ giá F và tập ràng buộc C . Định lý 1.2.1 (xem [7]). Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert thực H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C . Giả sử tồn tại một tập con compact khác rỗng U của C sao cho với mọi u ∈ C \ U , tồn tại v ∈ U thỏa mãn hAu, u − vi > 0. Khi đó, bài toán (1.4) có ít nhất một nghiệm. Ngoài ra tính đơn điệu mạnh của ánh xạ F đảm bảo cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán VIP(F, C). Định lý 1.2.2 (xem [7]). Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert thực H. Nếu F : C → H là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm duy nhất. Tính chất lồi đóng của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) được nêu trong bổ đề dưới đây. Bổ đề 1.2.3 (xem [3]). Giả sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và Ω là một tập trong H chứa C . Cho F : Ω → H là một ánh xạ giả đơn điệu trên C và một trong hai điều kiện sau đây thỏa mãn (i) lim supk→∞ hF (xk ), yi ≤ hF (x), yi với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x. 13 (ii) F liên tục Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz L > 0. Giả sử tập nghiệm Sol (F, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) khác rỗng. Khi đó Sol (F, C) là một tập lồi đóng. 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và F, G : H → H là hai ánh xạ trong H. Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem), viết tắt là BVIP, được xây dựng như sau: Tìm x∗ ∈ Sol (G,C ) : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Sol(G,C ) (1.5) trong đó Sol(G, C) = {y ∗ ∈ C : hG(y ∗ ), y − y ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ C} là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(G, C). Nếu G là ánh xạ không thì tập nghiệm Sol(G, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(G, C) chính là C và khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (1.5) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C). Nếu F là ánh xạ đồng nhất thì bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (1.5) trở thành bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(G, C). 1.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và các ánh xạ F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 . Bài toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem), viết tắt là SVIP, là bài toán tìm nghiệm x∗ của một bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian H1 sao cho ảnh y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A, là nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân khác trong không gian H2 , nghĩa là Tìm x∗ ∈ C : hF1 (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.6) 14 sao cho y ∗ = Ax∗ ∈ Q : hF2 (y ∗ ), y − y ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ Q. (1.7) Nếu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (1.6) và (1.7) lần lượt được ký hiệu bởi Ω1 và Ω2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân tách là bài toán Tìm x∗ ∈ Ω1 sao cho Ax∗ ∈ Ω2 . (1.8) Cho Ω1 và Ω2 lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , thì bài toán (1.8) là một dạng của bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem), viết tắt là SFP. Bài toán chấp nhận tách được mô hình hóa từ lớp các bài toán ngược, trong đó các ràng buộc được đặt lên miền xác định của toán tử tuyến tính và miền giá trị của nó trong không gian ảnh. Bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Censor và Elfving [6]. Vào năm 2002, Byrne [4] đã đề xuất thuật toán CQ giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều. Đến năm 2010, Xu [8] đã phát triển thuật toán CQ để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert vô hạn chiều với dãy lặp {xk } xác định bởi  x0 ∈ C, (1.9) xk+1 = P (xk + γA∗ (P (Axk ) − Axk )), Ω1 trong đó 0 < γ < 2 kAk2 Ω2 và A∗ là toán tử liên hợp của A, PΩ1 và PΩ2 lần lượt là phép chiếu mêtric lên Ω1 và Ω2 . Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán chấp nhận tách (1.8) khác rỗng, khi đó dãy lặp {xk } xác định bởi (1.9) hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán chấp nhận tách. Chương 2 sẽ phân tích một phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert. 15 Chương 2 Phương pháp chiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Chương này trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert thực với ánh xạ giá của bài toán cấp trên cần giả thiết đơn điệu mạnh, còn của bài toán cấp dưới cần điều kiện giả đơn điệu. Nội dung của chương được trình bày trong 2 mục. Mục 2.1 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian Hilbert, trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán này cùng định lý hội tụ mạnh của phương pháp. Mục 2.2 trình bày một số trường hợp đặc biệt về bài toán tìm hình chiếu, bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất cùng một ví dụ số minh họa. Nội dung của chương được viết trên cơ sở bài báo [3] của Phạm Kỳ Anh, Trần Việt Anh và Lê Dũng Mưu công bố năm 2017. 2.1 2.1.1 Bài toán và phương pháp Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Để tiện cho việc trình bày, ta giới thiệu lại bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp đã được đề cập ở Chương 1. Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 là các ánh xạ trong hai không gian Hilbert 16 thực H1 và H2 tương ứng. Bài toán bất đẳng thức biến phân tách, viết tắt là SVIP, là bài toán tìm nghiệm x∗ của một bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian H1 sao cho ảnh y ∗ = Ax∗ , qua toán tử tuyến tính bị chặn A, là nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân khác trong không gian H2 . Cụ thể, SVIP được phát biểu như sau Tìm x∗ ∈ C : hF1 (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C (2.1) sao cho y ∗ = Ax∗ ∈ Q : hF2 (y ∗ ), y − y ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ Q. (2.2) Nếu tập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (2.1) và (2.2) lần lượt được ký hiệu bởi Ω1 và Ω2 thì bài toán bất đẳng thức biến phân tách là bài toán Tìm x∗ ∈ Ω1 sao cho Ax∗ ∈ Ω2 . (2.3) Chương này ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem), viết tắt là BSVIP, Tìm x∗ ∈ Ω : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (2.4) trong đó F : H1 → H1 và Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } là tập nghiệm của bài toán SVIP (2.3). Ta cần các giả thiết sau đây. Giả thiết 2.1.1. Giả sử các ánh xạ F, F1 : H1 → H1 , F2 : H2 → H2 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (B1) F : H1 → H1 là ánh xạ β -đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên H1 . (B2) F1 : H1 → H1 là ánh xạ giả đơn điệu trên C và L1 -liêp tục Lipschitz trên H1 . (B3) lim suphF1 (xk ), y − y k i ≤ hF1 (x̄), y − ȳi với mọi y ∈ H1 và mọi dãy {xk }, k→∞ k {y } nằm trong H1 hội tụ yếu lần lượt đến x̄, ȳ ∈ H1 . 17 (B4) F2 : H2 → H2 là ánh xạ giả đơn điệu trên Q và L2 -liên tục Lipschitz trên H2 . (B5) lim suphF2 (uk ), v − v k i ≤ hF2 (ū), v − v̄i với mọi v ∈ H2 và mọi dãy {uk }, k→∞ k {v } nằm trong H2 hội tụ yếu lần lượt đến ū, v̄ ∈ H2 . Từ điều kiện (B2), (B3), (B4), (B5) và Bổ đề 1.2.3, ta có Ω1 và Ω2 là các tập lồi đóng. Do đó Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } cũng là tập lồi đóng. 2.1.2 Phương pháp chiếu và sự hội tụ Một phương pháp chiếu giải bài toán BSVIP được trình bày trong thuật toán dưới đây. 2β và các dãy tham số L2 {αk } ⊂ (0, 1), {ηk }, {δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời các điều kiện P (C1) limk→∞ αk = 0, ∞ k=0 αk = ∞. Thuật toán 2.1.2 (xem [3]). Chọn x0 ∈ H1 , 0 < µ < (C2) 0 ≤ ηk ≤ 1 − αk ∀k ≥ 0, limk→∞ ηk = η < 1.   1 (C3) {δk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, . kAk2 + 1  1 . (C4) {λk } ⊂ [c, d] với c, d ∈ 0, L1  1 (C5) {µk } ⊂ [e, f ] với e, f ∈ 0, . L2 Với mỗi k ≥ 0, ta tính uk = Axk , v k = PQ (uk − µk F2 (uk )), wk = PQk (uk − µk F2 (v k )), trong đó n o Qk = ω2 ∈ H2 : hu − µk F2 (u ) − v , ω2 − v i ≤ 0 . k k k k Tiếp theo ta tính y k = xk + δk A∗ (wk − uk ), tk = PC (y k − λk F1 (y k )), z k = PCk (y k − λk F1 (tk )),