Tài liệu Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn

. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ KIM CHUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ KIM CHUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN: PGS.TS. PHẠM NGỌC ANH TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2015 iii Mục lục Mở đầu 1 1 Bất đẳng thức biến phân với toán tử J-đơn điệu 4 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Không gian Banach trơn đều . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Toán tử J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 15 1.3.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 16 2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn 18 2.1. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đồng bức J-đơn điệu 18 2.1.1. Định lý hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử J-đơn điệu mạnh . . 25 2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận 31 iv Tài liệu tham khảo 32 1 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu đầu tiên bởi Stampacchia [6], [7] và là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán ứng dụng như bài toán cân bằng kinh tế, tài chính, vận tải v.v... vì vậy nó đã trở thành vấn đề thời sự thu hút rất nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải. Dựa trên tính chất kiểu đơn điệu, đã có rất nhiều phương pháp hiệu quả được các nhà khoa học đưa ra, trong đó tiêu biểu là phương pháp điểm gần kề của B. Martinet, phương pháp nguyên lý bài toán phụ của G. Cohen, phương pháp lai đường dốc nhất của Yamada v.v.... Hiện nay đang có nhiều công trình mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn các ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung của luận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: "Bất đẳng thức biến phân với toán tử J-đơn điệu" trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach, toán tử đơn điệu, toán tử J-đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân trong hai không gian Hilbert và Banach. Chương 2: "Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn" trình bày phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến 2 phân với toán tử đồng bức J-đơn điệu và toán tử J-đơn điệu mạnh trong không gian Banach. Các kiến thức trình bày trong luận văn được tổng hợp từ hai bài báo trong [2] và [3]. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và PGS.TS. Phạm Ngọc Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy cô, người đã tận tâm giảng dạy và chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015. Học viên Nguyễn Thị Kim Chung 3 BẢNG KÝ HIỆU R ∅ trường số thực tập rỗng Rn |x| không gian Euclide n-chiều giá trị tuyệt đối của x ||x|| PC chuẩn của véctơ x phép chiếu mêtric từ H lên C QC hx, yi phép co rút không giãn theo tia từ E lên C tích vô hướng của hai phần tử x và y D(A) E∗ miền xác định của ánh xạ A không gian đối ngẫu của E xn → x sự hội tụ mạnh của {xn } vào x ∈ E xn * x Fix(T ) sự hội tụ yếu của {xn } vào x ∈ E tập các điểm bất động của T VI(C, A) tập các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert S(C, A) tập các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 4 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân với toán tử J-đơn điệu Chương này giới thiệu khái niệm và một số tính chất của không gian Banach; toán tử đơn điệu, toán tử J-đơn điệu; và bài toán bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[7]. 1.1. 1.1.1. Không gian Banach Không gian Banach trơn đều Cho E là không gian Banach thực với chuẩn k.k. Ký hiệu E ∗ là không  gian đối ngẫu của E và giá trị của f ∈ E ∗ tại x ∈ E là x, f . Cho {xn } là một dãy trong E. Ký hiệu sự hội tụ mạnh của {xn } đến x ∈ E là xn → x và sự hội tụ yếu là xn * x. Gọi U = {x ∈ E : kxk = 1}. Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi là lồi đều nếu với mỗi  ∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U x + y (1.1) kx − yk ≥  thỏa mãn ≤ 1 − δ. 2 Ta thấy, không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ và lồi chặt. Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu giới hạn kx + tyk − kxk t→0 t lim (1.2) 5 tồn tại với mọi x, y ∈ U . Nó được gọi là trơn đều nếu giới hạn (1.2) đạt được đều với x, y ∈ U . Định nghĩa 1.3 i) Chuẩn của E gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ U , giới hạn (1.2) đạt được đều với y ∈ U . ii) Chuẩn của E gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ U , giới hạn (1.2) đạt được đều với x ∈ U . iii) Hàm số ρ : [0, ∞) → [0, ∞) được gọi là môđun trơn của E và được định nghĩa như sau n1 o ρ(τ ) = sup (kx + yk + kx − yk) − 1 : x, y ∈ E, kxk = 1, kyk = τ . 2 (1.3) Ta thấy không gian E trơn đều nếu và chỉ nếu limτ →0 ρ(τ )/τ = 0. Định nghĩa 1.4 Cho số thực q cố định, với 1 < q ≤ 2. Không gian Banach E gọi là q-trơn đều nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρ(τ ) ≤ cτ q với mọi τ > 0. Bổ đề 1.1 Cho số thực q với 1 < q ≤ 2 và E là không gian Banach. Khi đó E là q-trơn đều nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số K ≥ 1 sao cho  1 q q kx + yk + kx − yk ≤ kxkq + kKykq (1.4) 2 với mọi x, y ∈ E. Hằng số K trong Bổ đề 1.1 được gọi là hằng số q-trơn đều của E. 1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu Định nghĩa 1.5 Cho số thực q > 1. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq từ ∗ E vào 2E được định nghĩa như sau n o  ∗ ∗ ∗ q ∗ q−1 Jq (x) = x ∈ E : x, x = kxk , kx k = kxk (1.5) với mọi x ∈ E. Ánh xạ J = J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, và Jq (x) = kxkq−2 J(x) với mọi x ∈ E. (1.6) 6 Ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát, chuẩn tắc đơn trị tương ứng là jq và j. Nếu E là không gian Hilbert H thì J = I-toán tử đơn vị trong H. Ta thấy, với mọi x, y ∈ E và f ∈ J(y),  kxk2 − kyk2 ≥ 2 x − y, f . (1.7) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có các tính chất sau. (1) Nếu E là không gian lồi chặt, thì J là ánh xạ 1 − 1 và hx − y, x∗ − y ∗ i > 0 với (x, x∗ ), (y, y ∗ ) ∈ J, x 6= y; (2) Nếu E là không gian phản xạ, thì J là toàn ánh; (3) Nếu E là không gian trơn đều, thì J là liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập con bị chặn của E. Ngoài ra,  q y − x, jx ≤ kykq − kxkq , (1.8) với mọi x, y ∈ E và jx ∈ Jq (x). Hơn nữa ta có kết quả sau. Bổ đề 1.2 Cho số thực q thỏa mãn 1 < q ≤ 2 và E là không gian Banach q-trơn đều. Khi đó  kx + ykq ≤ kxkq + q y, Jq (x) + 2kKykq (1.9) với mọi x, y ∈ E, trong đó Jq là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E và K là hằng số q-trơn đều của E. Chứng minh. Cho x, y ∈ E tùy ý. Từ (1.8) ta có  q y, Jq (x) ≥ kxkq − kx − ykq . Kết hợp với Bổ đề 1.1 ta nhận được  q y, Jq (x) ≥ kxkq − kx − ykq ≥ kxkq − (2kxkq + 2kKykq − kx + ykq ) (1.10) = −kxkq − 2kKykq + kx + ykq . Từ đây suy ra  kx + ykq ≤ kxkq + q y, Jq (x) + 2kKykq . 2 7 1.1.3. Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.6 Cho E là không gian Banach và C là một tập con của E. Khi đó ánh xạ T từ C vào chính nó được gọi là không giãn nếu kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ C. (1.11) Ký hiệu Fix(T ) là tập các điểm bất động của ánh xạ T , tức là Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x}. Định nghĩa 1.7 Một tập con lồi, đóng C của không gian Banach E được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu với mỗi tập con D lồi, đóng, bị chặn của C chứa ít nhất 2 phần tử, tồn tại một phần tử của D không là đường kính của D. Dễ thấy, tập con lồi, đóng của không gian Banach lồi đều có cấu trúc chuẩn tắc và tập con lồi, compact của không gian Banach cũng có cấu trúc chuẩn tắc. Định lý sau đây liên quan đến sự tồn tại của các điểm bất động của một ánh xạ không giãn. Định lý 1.1 Cho E là không gian Banach phản xạ và D là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E có cấu trúc chuẩn tắc. Cho T là ánh xạ không giãn từ D vào chính nó. Khi đó tập Fix(T ) khác rỗng. Định lý 1.2 Cho D là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach lồi đều E và T là ánh xạ không giãn từ D vào chính nó. Nếu {uj } là một dãy của D thỏa mãn uj * u0 và lim kuj − T uj k = 0 j→∞ thì u0 là điểm bất động của ánh xạ T . 1.2. 1.2.1. Toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H. 8 Định nghĩa 1.8 Toán tử A : C → H được gọi là (i) đơn điệu nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A); (ii) η-đơn điệu mạnh nếu tồn tại η > 0 sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkx − yk2 ∀x, y ∈ D(A); (iii) L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ D(A). Nếu 0 ≤ L < 1 thì toán tử A được gọi là toán tử co. Nếu L = 1 thì toán tử A là toán tử không giãn. Định nghĩa 1.9 Toán tử A từ C vào H gọi là đồng bức đơn điệu nếu tồn tại số thực dương α sao cho hx − y, Ax − Ayi ≥ αkAx − Ayk2 (1.12) với mọi x, y ∈ C. Trong trường hợp này, A gọi là α-đồng bức đơn điệu. Cho T là ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, khi đó A = I − T là ánh xạ 1/2-đồng bức đơn điệu. Định nghĩa 1.10 Ánh xạ T từ C vào chính nó gọi là giả co chặt nếu tồn tại hằng số k với 0 ≤ k < 1 thỏa mãn kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + kk(I − T )x − (I − T )yk2 (1.13) với mọi x, y ∈ C. Trong trường hợp này, T gọi là k-giả co chặt. Định nghĩa 1.11 Ánh xạ QC : E → C được gọi là phép co rút không giãn theo tia từ E lên C nếu QC thỏa mãn (i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC ; (ii) QC là ánh xạ không giãn; 9 (iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞, QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x). Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co rút không giãn theo tia QC từ E lên C. Bổ đề 1.3 Mọi tập con C lồi đóng của không gian Banach lồi đều E đều là tập co rút của E, tức là tồn tại phép co rút từ C lên E. Bổ đề 1.4 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gian Banach trơn E và QC : E → C là phép co rút từ E lên C. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) QC là ánh xạ không giãn theo tia; (ii) hx − QC x, j(y − QC x)i ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C. Bổ đề 1.5 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian Banach E lồi đều và trơn đều và T là ánh xạ không giãn trên C với Fix(T ) 6= ∅. Khi đó tập Fix(T ) là tập co rút không giãn theo tia của C. Cho E là không gian Banach trơn, C là một tập con của E và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Ký hiệu  S(C, A) = {u ∈ C : Au, J(v − u) ≥ 0, ∀v ∈ C}. Bổ đề 1.6 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach trơn E. Cho QC là phép co rút không giãn theo tia từ E vào C và A là toán tử J-đơn điệu từ C vào chính nó. Khi đó với mọi λ > 0, S(C, A) = Fix(QC (I − λA)). (1.14) Chứng minh. Từ Bổ đề 1.4 ta có u ∈ Fix(QC (I − λA)) nếu và chỉ nếu  (u − λAu) − u, J(y − u) ≤ 0 (1.15) với mọi y ∈ C và λ > 0. Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng  thức − λAu, J(y − u) ≤ 0. Từ λ > 0, ta có u ∈ S(C, A). 2 10 Chú ý 1.1 Khi E là không gian Hilbert H, ánh xạ QC chính là phép chiếu mêtric PC từ H lên C. 1.2.2. Toán tử J-đơn điệu Định nghĩa 1.12 Cho E là không gian Banach và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E. Toán tử A từ C vào E gọi là (i) J-đơn điệu nếu tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) với mỗi x, y ∈ D(A) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0; (1.16) (ii) J-đơn điệu đều nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và một hàm tăng ngặt ψ : R+ := [0, ∞) → R+ , ψ(0) = 0 sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ψ(kx − yk); (1.17) (iii) η-J-đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho (1.17) thỏa mãn với ψ(t) = ηt2 . Định nghĩa 1.13 Ánh xạ T : C → C được gọi là γ-giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ C tồn tại số γ > 0 và jq (x − y) ∈ Jq (x − y) sao cho hT x − T y, jq (x − y)i ≤ kx − ykq − γk(I − T )x − (I − T )ykq hay tương đương với h(I − T )x − (I − T )y, jq (x − y)i ≥ γk(I − T )x − (I − T )ykq , ở đây, I là ánh xạ đơn vị của không gian E. Theo định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ γ-giả co chặt đều là (1+γ)/γliên tục Lipschitz. Bổ đề 1.7 Giả sử E là không gian Banach thực, trơn. Cho F : E → E là ánh xạ η-J-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó, với mọi λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co rút với hệ số co 1 − λτ , ở đây p τ = 1 − (1 − η)/γ ∈ (0, 1). 11 Bổ đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach 2-trơn đều E. Cho α > 0 và A là toán tử α-J-đơn điệu mạnh từ C vào E. Nếu 0 < λ ≤ α/K 2 , thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào E, trong đó K là hằng số 2-trơn đều của E. Bây giờ, ta định nghĩa toán tử α-đồng bức J-đơn điệu mạnh (1.12) trong không gian Banach. Định nghĩa 1.14 Cho C là tập con của không gian Banach trơn E. Cho α > 0, toán tử A từ C vào E gọi là α-đồng bức J-đơn điệu nếu  Ax − Ay, J(x − y) ≥ αkAx − Ayk2 (1.18) với mọi x, y ∈ C. Hiển nhiên, định nghĩa của toán tử α-đồng bức J-đơn điệu dựa trên cơ sở của toán tử đồng bức đơn điệu. Từ (1.18) ta có kAx − Ayk ≤ 1 kx − yk α (1.19) với mọi x, y ∈ C. Cho số thực q tùy ý q ≥ 2. Từ (1.6), (1.18), (1.19) ta có   Ax − Ay, Jq (x − y) =k x − y kq−2 Ax − Ay, J(x − y) ≥ kx − ykq−2 αkAx − Ayk2 q−2 ≥ (αkAx − Ayk) αkAx − Ayk 2 (1.20) = αq−1 kAx − Aykq với mọi dãy x, y ∈ C. Sau đây là một số tính chất của toán tử α-đồng bức J-đơn điệu trong không gian Banach 2-trơn đều. Bổ đề 1.9 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach 2-trơn đều E. Cho α > 0 và A là toán tử α-đồng bức J-đơn điệu từ C vào E. Nếu 0 < λ ≤ α/K 2 , thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào E, trong đó K là hằng số 2-trơn đều của E. 12 Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2, với mọi x, y ∈ C ta có k(I − λA)x − (I − λA)yk2 = k(x − y) − λ(Ax − Ay)k2  ≤ kx − yk2 − 2λ Ax − Ay, J(x − y) + 2K 2 λ2 kAx − Ayk2 ≤ kx − yk2 − 2λαkAx − Ayk2 (1.21) + 2K 2 λ2 kAx − Ayk2 ≤ kx − yk2 + 2λ(K 2 λ − α)kAx − Ayk2 . Vậy, nếu 0 < λ ≤ α/K 2 , thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào E. 2 Nhận xét 1.1 Nếu q ≥ 2 từ (1.20) với mọi x, y ∈ C ta có k(I − λA)x − (I − λA)ykq ≤ kx − ykq + λ(2K q λq−1 − qαq−1 )kAx − Aykq . (1.22) Từ đó, với q > 2 không tồn tại không gian Banach q-trơn đều. Ta chỉ xét không gian Banach 2-trơn đều. Áp dụng Định lý 1.1, Bổ đề 1.6, 1.9, ta thấy nếu D là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của không gian Banach 2-trơn đều và lồi đều E, D là phép co rút không giãn theo tia của E và A là toán tử α-đồng bức J-đơn điệu từ D vào E, thì tập S(D, A) khác rỗng. Định lý sau đây được chứng minh bởi Reich. Định lý 1.3 Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet. Cho {T1 , T2 , . . . } là một dãy của T ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với ∞ n=1 Fix(Tn ) 6= ∅. Cho x ∈ C và Sn = Tn Tn−1 . . . T1 với mọi n ≥ 1. Khi đó tập ∞ \ n=1 co{Sm x : m ≥ n} ∩ ∞ \ Fix(Tn ) n=1 bao gồm ít nhất một điểm, trong đó coD là bao lồi đóng của D. (1.23) 13 1.2.3. Giới hạn Banach ∼ Cho µ xác định trên tập số nguyên dương N, tức là, một hàm tuyến ∼ ∼ ∼ ∼ tính liên tục µ trên l∞ thỏa mãn k µ k = 1 = µ (1). Hàm µ xác định trên N khi và chỉ khi ∼ inf{an : n ∈ N} ≤ µ (a) ≤ sup{an : n ∈ N} ∼ ∼ ∼ với mỗi a = (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Ta sẽ viết µn (a) thay cho µ(a). µ trên N được gọi là giới hạn Banach nếu ∼ ∼ µn (a) = µn (an+1 ) với mỗi a = (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Sử dụng định lý Hann–Banach, ta có thể ∼ chứng minh sự tồn tại của giới hạn Banach. Ta biết rằng nếu µ là giới hạn Banach thì ∼ lim inf an ≤ µn (an ) ≤ lim sup an n→∞ n→∞ với mỗi a = (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Cho {xn } là một dãy bị chặn trong X. Khi đó, ta có thể định nghĩa hàm lồi liên tục nhận giá trị thực g : X → R bởi ∼ g(x) = µn kxn − xk2 , ∀x ∈ X. Bổ đề 1.10 Cho r là số thực và (a0 , a1 , . . . ) ∈ l∞ thỏa mãn µn (an ) ≤ r với mọi giới hạn Banach µ và lim supn→∞ (an+1 − an ) ≤ 0. Khi đó, lim supn→∞ an ≤ r. Bổ đề 1.11 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach X với một chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là một dãy con bị chặn trong X, x∗ là một phần tử của C và µ là giới hạn Banach. Khi đó, µkxn − x∗ k2 = min µkxn − xk2 x∈C nếu và chỉ nếu µhx − x∗ , J(xn − x∗ )i ≤ 0 với mọi x ∈ C. 14 Bổ đề 1.12 Cho E là không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Cho {xn } bị chặn trong E. Cho f là ánh xạ từ (0, 1) vào E. Giả sử limt→0 f (t) = z và {f (t) : t ∈ (0, 1)} bị chặn. Cho x ∈ E và µ là giới hạn Banach. Nếu, với mỗi  > 0, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho  µn x − f (t), J(xn − f (t)) <  với mọi t ∈ (0, t0 ), thì  µn x − z, J(xn − z) ≤ 0. Hơn nữa, nếu limn→∞ kxn+1 − xn k = 0, thì  lim sup x − z, J(xn − z) ≤ 0. n→∞ Chứng minh. Cho  > 0 tùy ý. Theo giả thiết, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho   với mọi t ∈ (0, t0 ). µn x − f (t), J(xn − f (t)) < 3 Vì chuẩn E là chuẩn khả vi Gâteaux đều và limt→0 f (t) = z, tồn tại t1 ∈ (0, 1) sao cho    | x − z, J(xn − z) − x − z, J(xn − f (t)) | < , 3 ∀t ∈ (0, t1 ), n ∈ N. Từ limt→0 f (t) = z và {xn − f (t) : n ∈ N, t ∈ (0, 1)} bị chặn trong E, tồn tại t2 ∈ (0, 1) sao cho    | x − z, J(xn − f (t)) − x − f (t), J(xn − f (t)) | < 3 với mọi t ∈ (0, t2 ) và n ∈ N. Khi đó   
µn x − z, J(xn − z) = µn x − z, J(xn − z) − x − z, J(xn − f (t))  + µn x − z, J(xn − f (t)) 
− x − f (t), J(xn − f (t)) 
+ µn x − f (t), J(xn − f (t))    < + + = 3 3 3 với mọi t ∈ (0, min{t0 , t1 , t2 }). Vì thế µn hx − z, J(xn − z)i ≤ 0. Hơn nữa, giả sử limn kxn+1 − xn k = 0. Từ giả thiết chuẩn của E là chuẩn khả vi 15 Gâteaux đều, ta thu được     lim hx − z, J(xn+1 − z)i − hx − z, J(xn − z)i = 0. n→∞ Từ Bổ đề 1.10, ta thu được lim supn→∞ hx − z, J(xn − z)i ≤ 0. 2 1.3. 1.3.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Bài toán 1.1 Cho H là không gian Hilbert thực với chuẩn k.k và tích vô hướng (., .), C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và A là một toán tử đơn điệu từ C vào H. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm phần tử u ∈ C thỏa mãn : (v − u, Au) ≥ 0, ∀v ∈ C. (1.24) Phần tử u ∈ C thỏa mãn (1.24) được gọi là một nghiệm của bài toán. Tập các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.24) được ký hiệu là VI(C, A). Trong trường hợp C = H, VI(H, A) = A−1 0, trong đó A−1 0 = {u ∈ H : Au = 0}. Mỗi phần tử của A−1 0 được gọi là một không điểm của toán tử A. Cho T là ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, khi đó A = I − T là toán tử 1/2-đồng bức đơn điệu và Fix(T ) = VI(C, A), trong đó I là ánh xạ đồng nhất của H và Fix(T ) là tập các điểm bất động của T . Trong trường hợp C = H = RN , ta có định lý sau về tìm không điểm của toán tử ngược đơn điệu mạnh. Định lý 1.4 Cho RN là không gian Euclid N chiều và A là toán tử αđồng bức đơn điệu từ RN vào chính nó với A−1 0 6= ∅. Cho dãy {xn } được định nghĩa như sau: x1 = x ∈ RN , xn+1 = xn − λn Axn , n = 1, 2, . . . , (1.25) trong đó {λn } là dãy thuộc [0, 2α]. Nếu dãy {λn } được chọn sao cho λn ∈ [a, b] với a, b thỏa mãn 0 < a < b < 2α, thì dãy {xn } hội tụ tới một phần tử của A−1 0. 16 Sau đây là định lý hội tụ yếu về tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân cho toán tử ngược đơn điệu mạnh. Định lý 1.5 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và A là toán tử α-đồng bức đơn điệu C vào H với VI(C, A) 6= ∅. Cho {xn } là dãy được định nghĩa như sau: x1 = x ∈ C, xn+1 = PC (αn xn + (1 − αn )PC (xn − λn Axn )) (1.26) với mọi n = 1, 2, . . . , trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, {αn } là dãy thuộc [−1, 1], và {λn } là dãy thuộc [0, 2α]. Nếu các dãy {αn } và {λn } được chọn sao cho αn ∈ [a, b] với a, b thỏa mãn −1 < a < b < 1 và λn ∈ [c, d] với 0 < c < d < 2(1 + a)α, thì dãy {xn } hội tụ yếu tới một phần tử của VI(C, A). 1.3.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach Bài toán 1.2 Cho E là không gian Banach trơn, E ∗ ký hiệu là không gian đối ngẫu của E, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E và A : C → E là một toán tử J-đơn điệu. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach E được phát biểu như sau:  Tìm một điểm u ∈ C sao cho: Au, J(v − u) ≥ 0, ∀v ∈ C, (1.27) trong đó J là ánh xạ đối ngẫu từ E vào E ∗ . Ký hiệu tập nghiệm của (1.27) là S(C, A). Từ Bổ đề 1.4 ta có kết quả quan trọng sau về mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân với bài toán điểm bất động trong không gian Banach trơn. Mệnh đề 1.1 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gian Banach trơn E. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.27) tương đương với phương trình điểm bất động: p∗ = QC (I − µF )(p∗ ), tức là S(C, A)=Fix(QC (I − µF )). µ > 0, (1.28)