Tài liệu Phương pháp lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ

i .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THU HỢP PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận đƣợc sự động viên đóng góp nhiệt tình từ các thầy cô giáo của trƣờng ĐHKH – Đại học Thái Nguyên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo. Đặc biệt tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Vũ Vinh Quang là ngƣời thầy đã đề xuất các hƣớng nghiên cứu, động viên thƣờng xuyên và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và ngƣời thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i MỤC LỤC ........................................................................................................ iii MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ..................................................................... 3 1.1. Không gian Sobolev. .............................................................................. 3 1.1.1. Không gian C k (W) ........................................................................ 3 1.1.2. Không gian L p (W) ......................................................................... 4 1.1.3. Không gian W 1 1, p (W) ................................................................ 5 ( ) 1.1.4. Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm. ............................ 7 1.1.5. Công thức Green, bất đẳng thức Poincare ...................................... 9 1.1.6. Không gian Sobolev với chỉ số âm H - 1 - 1 2 (W) và H (¶ W) . ..... 10 1.2. Phƣơng trình elliptic............................................................................. 11 1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phƣơng trình...................................... 12 1.2.2. Phát biểu các bài toán biên. ........................................................... 13 1.3. Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản ....................................................... 15 1.3.1. Lƣợc đồ lặp hai lớp ....................................................................... 15 Xét bài toán: ............................................................................................ 15 1.3.2. Lƣợc đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phƣơng pháp lặp ............................................................................................................ 16 Chƣơng 2 ..................................................................................................... 18 PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA .................. 18 2.1. Mô hình bài toán song điều hòa ........................................................... 18 2.1.1. Toán tử song điều hòa ................................................................... 18 2.1.2. Các điều kiện biên của phƣơng trình song điều hòa ..................... 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv 2.2. Phƣơng pháp xấp xỉ biên giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh .............................................................................................. 20 2.2.1. Phƣơng pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh .................................................................................. 20 2.3. Sơ đồ lặp của phƣơng pháp .................................................................. 24 Chƣơng 3 ..................................................................................................... 28 CÁC SƠ ĐỒ LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN................................... 28 CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ ............................................................................. 28 3.1. Mô hình các bài toán cơ học ................................................................ 28 3.2. Phƣơng pháp lặp kết hợp giải bài toán có một giá đỡ ......................... 30 3.2.1. Mô tả phƣơng pháp. ...................................................................... 30 3.2.2. Sơ đồ lặp kết hợp........................................................................... 32 3.2.3. Các ví dụ thử nghiệm .................................................................... 34 3.3. Phƣơng pháp kết hợp giải bài toán có hai giá đỡ bên trong ................ 37 3.3.1. Mô tả phƣơng pháp ....................................................................... 37 3.3.2. Các ví dụ thử nghiệm .................................................................... 39 KẾT LUẬN ................................................................................................. 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 43 PHẦN PHỤ LỤC ........................................................................................ 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Trong thực tế, khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý kỹ thuật bằng cách mô hình hóa, bài toán thƣờng dẫn đến các dạng phƣơng trình elliptic cấp 2 hoặc các dạng phƣơng trình song điều hòa với các điều kiện biên khác nhau. Khi điều kiện biên của bài toán đang xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phƣơng pháp của các tác giả trên thế giới để tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tƣơng ứng nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp phần tử hữu hạn… Trong trƣờng hợp khi điều kiện biên của bài toán tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thƣờng sảy ra với mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi. Khi đó các phƣơng pháp tìm nghiệm thông thƣờng sẽ gặp khó khăn. Đối với các bài toán thuộc dạng này, để tìm nghiệm xấp xỉ ta có thể sử dụng phƣơng pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dƣới dạng khai triển thông qua các hệ hàm cơ sở. Một hƣớng nghiên cứu khác đó là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tƣ tƣởng chia miền. Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, một trong những bài toán điển hình trong cơ học. Mô hình toán học của bài toán là bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị. Xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tƣ tƣởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự hội tụ của các phƣơng pháp lặp. Nội dung của luận văn gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phƣơng pháp lặp toán tử. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Chƣơng 2: Trình bày kiến thức về bài toán song điều hòa, cơ sở của phƣơng pháp lặp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Chƣơng 3: Nghiên cứu mô hình bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ, trên cơ sở của phƣơng pháp chia miền và phƣơng pháp lặp luận văn đƣa ra sơ đồ lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phƣơng pháp đã đƣa ra. Trong luận văn, các chƣơng trình thực nghiệm đƣợc lập trình trên ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC. Mặc dù đã rất cố gắng xong nội dung của luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đƣợc những đóng góp của các thầy cô giáo và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 Chƣơng 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chƣơng này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phƣơng pháp lặp toán tử. Các kết quả này là nền tảng về mặt lý thuyết đƣợc sử dụng trong các chƣơng sau của luận văn. 1.1. Không gian Sobolev. 1.1.1. Không gian C k (W) Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡ n và W là bao đóng của W. Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, 2...) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W. Ta đƣa vào C k (W) chuẩn: u ( C k (W) å = a =k trong đó a = a 1, a 2 ,..., a n max D a u (x ) xÎ W ) đƣợc gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ nguyên không âm, a = a 1 + a 2 + ... + a n : a D u= ¶ a 1 + ...+ a n a u a ¶ x 1 1 ...¶ x n n Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k . Rõ ràng tập C k (W) với chuẩn đã cho là không gian Banach. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 1.1.2. Không gian L p (W) Giả sử W là một miền trong ¡ n và p là một số thực dƣơng. Ta kí hiệu Lp (W) là lớp các hàm đo đƣợc f xác định trên W sao cho: ò f (x ) p dx < ¥ (*) W Trong L p (W) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên W. Nhƣ vậy các phần tử của L p (W) là các lớp tƣơng đƣơng các hàm đo đƣợc thỏa mãn (*) và hai hàm tƣơng đƣơng nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên W. Vì : p f (x ) + g (x ) £ nên rõ ràng L p ( f (x ) + g (x ) p ) p pö æ £ 2p çç f (x ) + g (x ) ÷ ÷ ÷ è ø (W) là một không gian vectơ. Ta đƣa vào L p (W) phiếm hàm . đƣợc xác định bởi: p 1 u p íï ü p ïï p ï = ì ò u (x ) dx ý ïï W ïï î þ 1.1.2.1 Định lý. (Bất đẳng thức Hoder). Nếu 1 £ p < ¥ và u Î L p (W), v Î Lp (W) thì uv Î Lp (W) và ò | u (x )v (x ) |dx = u p v p' W Trong đó p ' = p 1 1 , tức là + = 1 , p ' đƣợc gọi là số mũ liên hợp p- 1 p p' đối với p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 1.1.2.2. Định lý. (Định lý Minkowski). Nếu 1 £ p < ¥ thì p f +g £ f p + g p 1.1.2.3. Định lý. Không gian L p (W) với 1 £ 1.1.3. Không gian W 1, p p < ¥ là một không gian Banach. (W) 1.1.3.1. Định nghĩa. Cho W là một miền trong ¡ n ( ) đƣợc gọi là khả tích địa . Hàm u x () phƣơng trong W nếu u x là một hàm trong W và với mỗi x 0 Î W đều tồn () tại một lân cận w của x 0 để u x khả tích trong W. 1.1.3.2. Định nghĩa. Cho W là một miền trong ¡ n () () . Giả sử u x , v x là hai hàm khả tích địa phƣơng trong W sao cho ta có hệ thức: òu W () ¶ kj k k k ¶ x 1 1 ...¶ x nn dx = (- 1) ò vj dx W ( ) ( ) đối với mọi j x Î C 0 W , k = k1 + ... + kn , ki £ 0 i = 1, 2,..., n . k () () Khi đó, v x đƣợc gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u x . Kí hiệu: v (x ) = Số hóa bởi Trung tâm Học liệu ¶ ku k k ¶ x 11 ...¶ x nn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 1.1.3.3. Định nghĩa Giả sử p là một số thực, 1 £ p < ¥ , W là một miền trong ¡ gian Sobolev W 1, p n . Không (W) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ïí ïü ¶u W 1, p (W) = ïì u | u Î Lp (W), Î Lp (W), i = 1,..., n ïý ïï ïï ¶ xi î þ Trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng. Với p = 2 , ta kí hiệu W 1,2 (W) = H 1 (W), nghĩa là: ïíï ïü ¶u 2 2 H (W) = ì u | u Î L (W), Î L (W), i = 1, 2,..., n ïý ïï ïï ¶ xi î þ 1 1.1.3.4. Bổ đề i) Không gian W (W) là không gian Banach với chuẩn 1, p n u W 1, p (W) = u Lp (W) + å i= 1 ¶y ¶ xi Lp (W) trong đó 1 £ p < ¥ , dạng chuẩn này tƣơng đƣơng với dạng sau: æ u 1,p = çç u W (W) è æ¶ u ö ¶u ÷ ç ÷ trong đó Ñ u = ç và çç¶ x ,..., ¶ x ÷ ÷ è i n ø ii) Không gian H 1 1 p ö ÷ + Ñ u ÷ ÷ Lp (W) Lp (W) ø p p æn ç du Ñ u p = çççå L (W) ççè 1 dx i 1 p ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ p L (W) ÷ ø p (W) là không gian Hilbert với tích vô hƣớng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 n (u, v ) H 1 (W) = (u , v ) 2 L (W) 1 + å 1 æ¶ u ¶ v ÷ ö 1 çç ÷ , , " u , v Î H (W) ÷ çç¶ x ¶ x ÷ è i i øL2 (W) ( ) 1.1.4. Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm. 1.1.4.1. Định nghĩa. Với bất kì 1 £ p < ¥ , không gian Sobolev W0 1, p (W) đƣợc định nghĩa ( ) nhƣ các bao đóng của D W (không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong W) tƣơng ứng với chuẩn của W 1, p (W). Không gian H (W) 1 0 đƣợc xác định bởi: H 01 (W) = W01,2 (W) 1.1.4.2. Định lý. Giả sử ¶ W là liên tục Lipschitz thì: i) Nếu 1 £ p < n thì W0 1, p (W) Ì Lq (W) là: - Nhúng Compact đối với q Î éê1, p *ù úû trong đó ë 1 1 1 = - , p* p n - Nhúng liên tục đối với q = p * . ii) Nếu qÎ p= n thì W01,n (W) Ì Lq (W) là nhúng Compact nếu é1, + ¥ ). êë iii) Nếu p > n thì W01, p (W) Ì C 0 (W) là nhúng Compact. 1.1.4.3. Định lý (Định lý vết). i) Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục đƣợc gọi là vết Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 ( ) ( g : H 1 R n - 1 ´ R +* a L2 R n - 1 sao cho với bất kì u Î H 1 (R n- 1 ) ) ( ) ´ R +* Ç C 0 R n - 1 ´ R + , ta có g (u ) = u |R n - 1 . ii) Giả sử W là một tập mở trong ¡ n sao cho ¶ W là liên tục Lipschitz thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục: g : H 1 (W) ® L2 (¶ W) sao cho với bất kì u Î H 1 (W) Ç C (W) ta có g (u ) = u | 0 ¶W . () Hàm g u đƣợc gọi là vết của u trên ¶ W. 1.1.4.4. Định nghĩa. Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H 1 2 (¶ W) đƣợc gọi là miền giá trị của ánh xạ vết g , tức là: H 1 2 (¶ W) = g (H (W)) 1 1.1.4.5. Định lý. Giả sử ¶ W là liên tục Lipschitz thì: i) H 1 2 (¶ W) là một không gian Banach với chuẩn: u 2 = 1 H 2 (¶ W) ò u (x ) 2 ds x + ¶W òò u (x ) - u (y ) x- y ¶W ¶W n+1 2 ds x ds y ( ) ii) Tồn tại một hằng số C g W sao cho: g (u ) 1 2 H (¶ W) £ C g (W) u 1 H (W) , " u Î H 1 (W) ( ) Khi đó C g W đƣợc gọi là hằng số vết. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 1.1.4.6. Bổ đề. 1 2 Giả sử ¶ Wlà liên tục Lipschitz, không gian H { i) Tập u |¶ W, u Î C ii) Nhúng H 1 2 ¥ (¶ W) Ì (R )} là trù mật trong n H 1 2 (¶ W) có các tính chất sau: (¶ W). L2 (¶ W). iii) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục: gÎ H 1 2 (¶ W) ® u g Î H 1 (W) ( ) ( ) Với g u g = g và tồn tại một hằng số C 1 W chỉ phụ thuộc miền W sao cho: ug H 1 (W) £ C 1 (W) g H 1 2 (¶ W) ,"g Î H 1 2 (W) 1.1.5. Công thức Green, bất đẳng thức Poincare 1.5.1.1. Định lý (Công thức Green). Giả sử ¶ W là liên tục Lipschitz, cho u , v Î H òu W ¶u dx = ¶ xi ( òv W ¶u dx + ¶ xi 1 (W) khi đó: ò g (u )g (v )n ds,1 £ i i£ n ¶W ) trong đó n = n 1,..., n n là vectơ pháp tuyến ngoài của W. 1.1.5.2. Tính chất. Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz. Khi đó: { } H 01 (W) = u | u Î H 1 (W), g (u ) = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 1.1.5.3. Tính chất.(Bất đẳng thức Poincare). Tồn tại một hằng số C W sao cho: u 2 L (W) £ CW Ñu 2 L (W) , " u Î H 01 (W) Trong đó hằng số C W phục thuộc vào đƣờng kính của W đƣợc gọi là hằng số Poincare. Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng u = Ñ u chuẩn trên H 1 L2 (W) là một (W) đã xác định. 1.1.5.4. Định lý (Bất đẳng thức Poincare mở rộng) Giả sử biên ¶ W liên tục Lipschitz, ¶ W= G1 U G2 , trong đó G1, G2 là các ( ) tập đóng, rời nhau, G1 có độ đo dƣơng. Khi đó, tồn tại hằng số C W sao cho: u L2 (W) £ CW Ñu L2 (W) " u Î H 1 (W), g (u ) = 0 trên G1 1.1.6. Không gian Sobolev với chỉ số âm H - 1 - 1 2 (W) và H (¶ W) . 1.6.1.1. Định nghĩa. Ta kí hiệu H - 1 (W) là một không gian Banach đƣợc xác định bởi: ( ' ) H - 1 (W) = H 01 (W) với chuẩn: F,u F Trong đó F , u H- 1 H- 1 (W) (W),H 01(W) = sup H 01 (W)\ {0} H- u 1 (W),H 01 (W) H 01 (W) là tích năng lƣợng trên cặp không gian đối ngẫu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 1.1.6.2. Bổ đề. Cho F Î H - 1 (W) thì tồn tại n + 1 hàm f0 , f1,..., fn trong L2 (W) sao cho: F = f0 + n ¶ fi i= 1 ¶ xi å Theo nghĩa phân bố và đồng thời: n 2 F H- 1 (W) = inf å fi i= 0 trong đó inf lấy trên tất cả các vectơ 2 L2 (W) (f , f ,..., f ) 0 1 n n+1 2 L Wù trong é ú ëê û ( ) . 1.1.6.3. Định nghĩa. Giả sử ¶ W liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H - 1 2 (¶ W) là một không gian Banach đƣợc xác định nhƣ sau: H - 1 2 ' æ 1 ö ÷ ç 2 (¶ W) = çççH (¶ W)÷÷÷ è ø với chuẩn tƣơng ứng: 1.2. Phƣơng trình elliptic. Giả sử WÎ ¡ n là miền giới nội với biên ¶ W= G . Xét phƣơng trình () đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u x , x Î W Au = å |a |£ 2m a a (x )D a u = f (x ) (1.1) () () Trong đó a a x , f x là các hàm cho trƣớc, A là một toán tử vi phân tuyến tính, ta có: i) Với m=1 thì (1.1) là phƣơng trình đạo hàm riêng cấp hai. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 ii) Với m=2 thì (1.1) là phƣơng trình đạo hàm riêng cấp bốn. Bài toán tìm nghiệm của (1.1) đƣợc gọi là bài toán biên nếu trên biên G () nghiệm u x thỏa mãn một số điều kiện biên: B i (u ) = gi , i = 0,1,..., m - 1 () Trong đó B i u , i = 0,1,..., m - 1 là các toán tử biên. 1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình. Xét phƣơng trình: - Vu = f (1.2) (W), f Î C (W) và phƣơng trình (1.2) thỏa mãn trong miền W. Khi đó, u (x ) đƣợc gọi là nghiệm cổ điển của phƣơng trình (1.2). Lấy hàm j bất kì thuộc D (W) = C (W) nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy Giả sử u Î C 2 ¥ 0 tích phân ta đƣợc: - ò Vuj dx = ò f j dx W (1.3) W Áp dụng công thức Green vào (1.3) và kết hợp với điền kiện j |¶ W= 0 ta có : n òå W i= 1 ¶j ¶u dx = ¶ xi ¶ xi ò f j dx (1.4) W hay: ò Ñ u Ñ fdx = ò f j dx W W Nhƣ vậy, nếu u là nghiệm của phƣơng trình (1.2) thì có (1.4). Nhƣng ( ) nếu f Î C W thì phƣơng trình (1.2) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần ( ) mở rộng khái niệm khi f Î L W . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 1.2.1.1. Định nghĩa. Giả sử u Î H 1 (W), f Î L2 (W), u đƣợc gọi là nghiệm yếu của phƣơng trình (1.1) nếu (1.3) đƣợc thỏa mãn. 1.2.1.2. Mệnh đề. Nếu u là nghiệm yếu của phƣơng trình (1.2) và u Î C 2 (W), f Î C (W) thì u là nghiệm cổ điển, tức là - Vu = f . Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phƣơng trình (1.2), tức là u Î H 1 (W) và ta có (1.4) với mọi hàm j Î D (W), kết hợp với điều kiện u Î C 2 (W) ta suy ra: ò (Vu + f )j dx = 0, " u Î D (W) W ( ) ( ) (W). Nhƣng vì Vu ( ) Vì D W trù mật trong L W ,Vu + f trực giao vơi mọi j Î D W nên 2 Vu + f = 0 trong L2 liên tục nên Vu + f º 0 trong C (W). Vậy u là nghiệm cổ điển của phƣơng trình (1.2). W 1.2.2. Phát biểu các bài toán biên. 1.2.2.1. Bài toán Dirichlet. Xét bài toán: íï - Vu = f , x Î W ï ì ïï u = j , x Î ¶ W î (1.5) ( ) Hàm u Î H (W) đƣợc gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu: u - w Î H (W) trong đó w là hàm thuộc H (W), có vết bằng j và: ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx , " v Î H (W) trong đó f Î L W . 2 1 1 0 (1.6) 1 1 0 W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu (1.7) W http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 1.2.2.2.Nhận xét + Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phƣơng trình - Vu = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phƣơng trình này là hàm u Î H 1 (W) thỏa mãn (1.7) với mọi v Î C 0¥ (W) Ì H 01 (W). + Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.5) và đặt u, f , j đủ trơn thì nghiệm theo nghĩa cổ điển. 1.2.2.3. Bài toán Neumann Xét bài toán : íï - Vf = u, x Î W ïï ì ¶u ïï = h, x Î ¶ W ïî ¶ n ( ) ( ) trong đó h Î C ¶ W , f Î C W , u Î C 2 (1.8) (W) là nghiệm cổ điển. Nhân hai vế của phƣơng trình - Vu = f với v Î H 1 (W) rồi lấy tích phân ta đƣợc: - ò vVudx = ò vfdx W (1.9) W Áp dụng công thức Green vào (1.9) ta có: - òv ¶W ¶ Du dS + ¶n ò Ñ u Ñ vdx = ò vfdx W W Kết hợp với (1.8) ta suy ra: ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx + ò hvdS , " v Î W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu W H 1 (W) (1.10) ¶W http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 1.2.2.4. Định nghĩa. ( ) ( ) Nếu h Î L ¶ W , f Î L W thì nghiệm yếu của bài toán Neumann 2 (1.7) là hàm u Î H 1 2 (W) thỏa mãn (1.10). 1.3. Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản 1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp Xét bài toán: Ay = f (1.11) trong đó A : H ® H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực hữu hạn chiều H . Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dƣơng, f Î H là vectơ tùy ý. Trong mỗi phƣơng pháp lặp, xuất phát từ y 0 bất kì thuộc H , ngƣời ta đƣa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y 1,y 2 ,..., y k ,... của phƣơng trình (1.11). Các xấp xỉ nhƣ vậy đƣợc biết nhƣ là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2,... , bản chất của những phƣơng pháp này là giá trị y k + 1 có thể đƣợc tính thông qua các giá trị lặp trƣớc: y k , y k - 1,... Phƣơng pháp lặp đƣợc gọi là phƣơng pháp lặp một bƣớc hoặc hai bƣớc nếu xấp xỉ y k + 1 có thể đƣợc tính thông qua một hoặc hai giá trị trƣớc đó. Dạng chính tắc của lƣợc đồ lặp hai lớp là: Bk yk + 1 - yk qk+1 + A y k = f , k = 0,1, 2,... (1.12) Lƣợc đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm y của phƣơng trình (1.11) với bất kì toán tử B k và cách trọn tham số qk + 1 . Nếu B k = E thì lƣợc đồ lặp (1.11) đƣợc gọi là lƣợc đồ lặp hiện. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 16 yk + 1 - yk qk + 1 + Ay = f , k = 0,1, 2,... (1.13) k Trong trƣờng hợp qk = q là hằng số thì lƣợc đồ lặp (1.13) còn gọi là lƣợc đồ lặp đơn giản. Nếu B k ¹ E thì lƣợc đồ lặp (1.11) đƣợc gọi là lƣợc đồ ẩn. 1.3.2. Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp Lƣợc đồ lặp (1.12) với toán tử B k = B , tham số qk + 1 = q không đổi (k = 0,1, 2,... ) còn đƣợc gọi là lƣợc đồ lặp dừng, có dạng: B yk + 1 - yk q + Ay = f , k = 0,1, 2... (1.15) k 1.3.2.1. Định lý Nếu A là toán tử đối xứng , xác định dƣơng thì: B> 1 1 qA hay (Bx , x ) > q (Ax , x ), " x Î H 2 2 (1.16) là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lƣợc đồ lặp (1.14) trong không gian H A với tốc độ hội tụ cấp số nhân. zk + 1 A £ r zk A , k = 0,1, 2,..., r < 1 (1.17) trong đó: 1 æ ö2 çç æ ö 2qd*d ÷ 1 ÷ ÷ ç ÷ ÷ r = çç1 , d = min l A , d = min l B q A , k ( ) * k ç 0 ÷ 2 ÷ ÷ ç k k ÷ çç 2 è ø B ÷ ÷ è ø B + B* B0 = 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/