Tài liệu Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI VŨ THỊ HẢI THANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Đình Sang Hà Nội - 2012 Mục lục Mục lục . . . Lời nói đầu . Lời cảm ơn . . Bảng kí hiệu . . . . i iii iv v 1 Cực trị hàm số 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các phương pháp tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ 1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Một số bài toán tổng quát và ứng dụng . . . 1.3.1 Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . 1.3.2 Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . 2.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 2.1.3 Một số tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Một số định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2.2 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . 2.2.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . 2.2.2 Phương pháp tập giá trị . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . i 2 9 11 11 14 19 19 19 20 22 24 26 26 31 37 44 MỤC LỤC 2.2.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 2.2.6 Một số bài tập vận dụng . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 63 69 70 Lời nói đầu Bài toán cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối là những bài toán rất quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học cũng như trong nhiều ngành khoa học khác như: Kinh tế, Khoa học công nghệ, ...v.v. Để giải bài toán cực trị, có nhiều phương pháp khác nhau. Mục đích của luận văn là giới thiệu các phương pháp giải dạng toán này, cho bình luận về các phương pháp đó đồng thời đưa ra một số ứng dụng. Những ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn chỉ nêu ra một số ứng dụng cơ bản. Bản luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cực trị hàm số. Trình bày bài toán cực trị địa phương, đưa ra điều kiện cần, điều kiện đủ để có cực trị. Cho những ví dụ không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng vẫn có cực trị. Trình bày các phương pháp khác nhau để giải bài toán cực trị, tổng quát hóa một số bài toán về cực trị với mong muốn đưa ra cách giải nhanh gọn cho các bài toán dạng này. Chương 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Phần đầu của chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập, điều kiện đủ để tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Trong phạm vi chương trình phổ thông, hàm số nhiều biến không được nghiên cứu. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá nhỏ nhất của hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp số. Phần tiếp theo luận văn trình bày một số phương pháp khác nhau để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đó dành nhiều thời gian cho phương pháp bất đẳng thức. Phần cuối chương là một số bài toán vận dụng phối hợp nhiều phương pháp. Lời cảm ơn Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn bè. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS. Nguyễn Đình Sang, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết định hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó. Do thời gian có hạn và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên Vũ Thị Hải Thanh Bảng kí hiệu N N∗ Z Z+ Z∗+ R R∗ R+ R∗+ C [a; b] (a; b) (a; b] tập các số tự nhiên tập các số tự nhiên khác không tập các số nguyên tập số nguyên không âm tập số nguyên dương tập số thực tập số thực khác không tập số thực không âm tập số thực dương tập số phức = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} = {x ∈ R|a < x < b} = {x ∈ R|a < x ≤ b} v Chương 1 Cực trị hàm số Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm về cực trị hàm số. Điều kiện để có cực trị hàm số, đưa ra một số ví dụ minh họa điều kiện cần, điều kiện đủ cũng như giới thiệu các phương pháp tìm cực trị kèm theo các ví dụ và bài tập. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1. Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R. Ta nói rằng, hàm f đạt cực đại địa phương(tương ứng cực tiểu địa phương) tại x0 ∈ (a; b) nếu: ∃δ sao cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) và f (x0 ) ≥ f (x) (tương ứng f (x0 ) ≤ f (x)), với mọi x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) và f không phải là một hằng số trong một lân cận nào đó của x0 . Điểm x0 mà tại đó hàm đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Định lý 1.1. (Định lý Fermat - Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R. Nếu điểm c ∈ (a; b) là điểm cực trị của hàm số f và nếu tồn tại f 0 (c) thì f 0 (c) = 0. Điểm x0 mà tại đó f 0 (x0 ) = 0 hoặc đạo hàm không xác định được gọi là điểm dừng của hàm f . Nhận xét: Nếu hàm f : (a; b) → R là hàm khả vi trên (a; b) thì những điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng của f . Định lý 1.2. (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị) Giả sử hàm số f liên tục trên (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên 1 Chương 1. Cực trị hàm số các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). - Nếu f 0 (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . - Nếu f 0 (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . Định lý 1.3. Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b), x0 là một điểm dừng của f (x). Hàm f (x) khả vi cấp 1 và cấp 2 tại x0 . Khi đó: - Nếu f 00 (x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0 . - Nếu f 00 (x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 . 1.2 1.2.1 Các phương pháp tìm cực trị Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ Dựa vào điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị, ta xây dựng các quy tắc tìm cực trị của hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b) sau đây: Quy tắc 1. - Tìm f 0 (x) ; - Tìm các điểm xi , (i = 1, 2, 3, ...) mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm; - Xét dấu f 0 (x).Nếu f 0 (x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Ví dụ 1.1. Tìm cực trị của hàm số: p y = 3 x(1 − x)2 Lời giải. Hàm y xác định và liên tục trên R. Với mọi x 6= 0 và x 6= 1 1 − 3x 0 y = p 3 3 x2 (1 − x) 2 Chương 1. Cực trị hàm số y0 = 0 ⇔ x = 1 3 Lập bảng biến thiên của hàm y: x −∞ y0 1 3 0 + + 0 +∞ 1 − + √ 3 +∞ 4 3 y 0 −∞ 0 Từ bảng biến thiên ta thấy: √ 3 Hàm số đạt cực đại tại x = 13 , giá trị cực đại của hàm số là y( 13 ) = 34 . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0. Chú ý: Khi qua điểm x = 0 đạo hàm y 0 không đổi dấu nên hàm số đã cho không có cực trị tại điểm x = 0. Ví dụ 1.2. Tìm cực trị của hàm số:   y = −x2 + 2x + 3 Lời giải. Hàm y xác định trên R. Ta có  2  p  y = −x + 2x + 3 = (|−x2 + 2x + 3|)2 (−x2 + 2x + 3)(−2x + 2) f (x) ⇔y= = |−x2 + 2x + 3| |−x2 + 2x + 3|  x = ±1 Xét f (x) = (−x2 + 2x + 3)(−2x + 2) = 0 ⇔ x=3 Lập bảng biến thiên của hàm y x −∞ y0 −1 − 1 + +∞ 0 − + +∞ 4 y 0 0 3 +∞ 3 Chương 1. Cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta suy ra Giá trị cực đại của hàm số y(1) = 4 Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = 0; y(3) = 0 Ví dụ 1.3. Tìm cực trị của hai hàm  −1 xe x f (x) = 0  −1 e x2 g(x) = 0 số sau: với x 6= 0 với x = 0 với x 6= 0 với x = 0 Lời giải. Ta có: 1 f 0 (x) = e− x2 + Nhận thấy f 0 (x) > 0, Mặt khác, do 2 − 12 e x , x2 ∀x 6= 0 ∀x 6= 0 1 lim− xe− x = −∞ x→0 Nên hàm f (x) không liên tục tại x = 0. Từ đó suy ra hàm f (x) không có cực trị. 1 Hàm g(x) liên tục với mọi x,vì lim e− x2 = 0. x→0 Ta thấy với mọi x 6= 0 g 0 (x) = 2 − 12 e x x3 Lập bảng biến thiên của hàm g(x): x −∞ g 0 (x) +∞ 0 − + +∞ +∞ g(x) 0 4 Chương 1. Cực trị hàm số Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị cực tiểu của hàm số là g(0) = 0. Nhận xét: Hai hàm f (x) và g(x) đều có đạo hàm không xác định tại điểm x = 0. Nhưng khi qua điểm x = 0: hàm g(x) có đạo hàm đổi dấu nên g(x) mới có cực trị, còn hàm f (x) thì đạo hàm không đổi dấu nên không tồn tại cực trị. Ví dụ 1.4. Tìm cực trị của hàm số: x2 xn −x y = (1 + x + + ... + )e , 2! n! n ∈ N∗ . Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có xn −x 0 y =− e , n ∈ N∗ n! • Với n = 2k, k ∈ N Khi đó xn −x 0 y = − e < 0, ∀x ∈ R n! Do đó hàm số không có cực trị. • Với n = 2k + 1, k ∈ N Ta có y 0 = 0 ⇔ x = 0 Lập bảng biến thiên của hàm y : x −∞ y0 +∞ 0 + 0 − 0 y −∞ −∞ Vậy giá trị cực đại của hàm y là y(0) = 0. Ví dụ 1.5. Tìm cực trị của hàm số sau:  2 − x2 (2 + sin x1 ) với x 6= 0 f (x) = 2 với x = 0 5 Chương 1. Cực trị hàm số Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R vì lim f (x) = 2. x→0 2 Nhận thấy: f (x) − f (0) = −x (2 + sin Mặt khác 1 x) < 0, ∀x 6= 0 1 1 f 0 (x) = −2x(2 + sin ) + cos x x 1 Với xk = kπ , k ∈ Z, ta có:  1 1 với k chẵn cos = −1 với k lẻ xk ( f 0 (x) > 0 với k chẵn Từ đó suy ra: f 0 (x) < 0 với k lẻ. 1 ) Như vậy f 0 (x) đổi dấu trong khoảng (0; kπ Tuy vậy ta vẫn kết luận được giá trị cực đại của hàm f (x) là f (0) = 2. Nhận xét: Như vậy không phải hàm số nào cũng có đạo hàm không đổi dấu về một lân cận ở phía phải (hay phía trái) của điểm cực trị. Hàm số trong ví dụ (1.5) không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng vẫn có cực trị. Các hàm sơ cấp thường không có tình trạng này. Quy tắc 2. - Tìm f 0 (x) ; - Tìm các nghiệm xi , (i = 1, 2, 3, ...) của phương trình f 0 (x) = 0; - Tìm f 00 (x) và tính f 00 (xi ) : Nếu f 00 (xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi . Nếu f 00 (xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi . Ví dụ 1.6. Tìm cực trị của hàm số: y = x − sin2x + 2 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có y 0 = 1 − 2 cos 2x; y0 = 0 ⇔ π x = ± + kπ 6 6 (k ∈ Z) Chương 1. Cực trị hàm số • Vì y 00 = ( π6 + kπ) = 4 sin( π3 + k2π) > 0 Nên hàm số đạt cưc√tiểu tại x = π6 + kπ và giá trị cực tiểu của hàm số là y( π6 + kπ) = π6 − 23 + 2 + kπ, k ∈ Z. • Vì y 00 (− π6 + kπ) = 4sin( π3 + k2π) < 0 Nên hàm số đạt cực đại√tại x = − π6 + kπ và giá trị cực đại của hàm số là y(− π6 + kπ) = − π6 + 23 + 2 + kπ, k ∈ Z. Ví dụ 1.7. Tìm cực trị của hàm số: ex + e−x y= 2 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có ex − e−x y = 2 0 x y = 0 ⇔ e = e−x ⇔ x = 0 0 Lại có ex + e−x ⇒ y 00 (0) = 1 > 0 2 0 00 Như vậy y (0) = 0; y (0) > 0 Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 1 y 00 = Ví dụ 1.8. Tìm cực trị của hàm số: p p 2 y = x + x + 1 + x2 − x + 1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có 2x − 1 2x + 1 + √ y0 = √ 2 x2 + x + 1 2 x2 − x + 1 p p y 0 = 0 ⇔ (2x + 1) x2 − x + 1 − (1 − 2x) x2 + x + 1 = 0 p p 2 ⇔ 2x[( x − x + 1 + x2 + x + 1) − 1] = 0  x √ √= 0 ⇔ x2 − x + 1 + x2 + x + 1 = 1 7 Chương 1. Cực trị hàm số Do p p 2 x − x + 1+ x2 + x + 1 = Nên y 0 = 0 Mặt khác y 00 = ⇔ r √ 1 2 3 1 2 3 3 (x + ) + + (x − ) + ≥ 2 > 1, ∀x 2 4 2 4 2 r x=0 √ 4 x2 + x + 1 − (2x+1)2 √ x2 +x+1 4(x2 + x + 1) √ 4 x2 − x + 1 − + (2x−1)2 √ x2 −x+1 4(x2 − x + 1) Suy ra y 00 (0) = 23 > 0 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 2. Ví dụ 1.9. Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có y 0 = 3(x − m)2 − 3, y 00 = 6(x − m). Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0 khi:  " ( ( m = −1   y 0 (0) = 0 3m2 − 3 = 0 ⇔ ⇔ m=1  y 00 (0) < 0 −6m < 0  m>0 Vậy m = 1 hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = 0. √ Ví dụ 1.10. Cho hàm số y = −2x + k x2 + 1. Tìm k để hàm số có cực tiểu. Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục với mọi x ∈ R. Ta có √ kx kx − 2 x2 + 1 √ y 0 = −2 + √ = x2 + 1 x2 + 1 8 ⇔ m=1 Chương 1. Cực trị hàm số y 00 = k √ (x2 + 1) x2 + 1 Do đó y 0 và y 00 xác định và liên tục với mọi x ∈ R Xét các trường hợp: • Nếu k = 0 thì y = −2x, nên hàm số không có cực tri. • Nếu k < 0 thì y 00 < 0, ∀x ∈ R, nên hàm số hoặc không có cực trị, hoặc chỉ có cực đại. • Nếu k > 0 thì y 00 > 0, ∀x ∈ R, nên hàm số đã cho có cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có nghiệm. p 0 y = 0 ⇔ 2 x2 + 1 = kx ( kx ≥ 0 ⇔ 4(x2 + 1) = k 2 x2 ( x≥0 (1) ⇔ (k 2 − 4)x2 = 4 (2) Phương trình y 0 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm. Suy ra k 2 − 4 > 0 hay k > 2. Vậy k > 2 hàm số đã cho có cực tiểu. Nhận xét: Quy tắc 2 tìm cực trị hàm số được áp dụng trong trường hợp hàm số chứa tham số hoặc khó xét dấu đạo hàm bậc nhất. 1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Khi tìm cực trị của các hàm số không tính được đạo hàm hoặc tính được đạo hàm nhưng việc tìm nghiệm của phương trình y 0 = 0 gặp nhiều khó khăn, ta có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm cực trị của hàm số. Nội dung của phương pháp như sau: Cho hàm số y = f (x) xác định trên D. + Nếu ta tìm được giá trị x0 mà f (x) ≥ f (x0 ), ∀x0 ∈ (x0 − δ, x0 + δ) với (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong một lân cận của x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . + Nếu ta tìm được giá trị x1 mà f (x) ≤ f (x1 ), ∀x1 ∈ (x1 − δ, x1 + δ) với (x1 − δ, x1 + δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong một lân cận của x1 thì hàm số đạt cực đại tại x1 . 9 Chương 1. Cực trị hàm số Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ vận dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm cực trị hàm số. Ví dụ 1.11. Tìm cực trị của hàm số: √ √ y = sin x − 4 cos x Trong trường hợp này, nếu sử dụng phương pháp xét dấu đạo hàm thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Mặc dù đây là hàm lượng giác nhưng ta cũng không vận dụng được quy tắc 2 cho ví dụ này, do đó ta cần vận dụng một phương pháp khác. Lời giải.  √ 0 ≤ sin x ≤ 1 √ −1 ≤ − 4 cos x ≤ 0 Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, ta luôn có: √ √ Suy ra −1 ≤ y = sin x − 4 cos x ≤ 1 Vậy hàm số đạt cực đại tại x = π2 + k2π, k ∈ Z, giá trị cực đại của hàm số là y = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = k2π, giá trị cực tiểu của hàm số là y = −1. Ví dụ 1.12. Xét hàm số: f (x, y) = (x2 + y 2 )e−(x 2 +y 2 ) Tìm cực trị của hàm số f . Đây là một hàm số 2 biến, trong phạm vi chương trình phổ thông ta không sử dụng được hai quy tắc tìm cực trị trong trường hợp này. Ví dụ này được giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau. Lời giải. Hàm số  đã cho xác định trên R. f (x; y) ≥ 0, ∀(x; y) Ta thấy f (0; 0) = 0 Suy ra f (x; y) ≥ f (0; 0), ∀(x; y) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại một điểm duy nhất khi x = y = 0, và giá trị cực tiểu của hàm số là f (0; 0) = 0. 10 Chương 1. Cực trị hàm số Ví dụ 1.13. Tìm cực tiểu của hàm số q q p p 3 3 3 f (x) = x + 2(1 + x + 1) + x + 2(1 − x3 + 1) với x ≥ 0 Lời giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ 0 Ta có qp qp f (x) = ( x3 + 1 + 1)2 + ( x3 + 1 − 1)2 p  p  p     3 3 =  x + 1 + 1 +  x + 1 − 1 ≥ 2 x3 + 1 Suy ra f (x) ≥ 2 Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vậy giá trị cực tiểu của hàm số f (0) = 2 1.3 1.3.1 Một số bài toán tổng quát và ứng dụng Bài toán tổng quát Bài toán 1. Cho hàm số f (x) > 0, ∀x ∈ TXĐ và hàm F (x) = cf 2 (x), với c > 0 bất kỳ. Chứng minh rằng F (x) và f (x) có cùng các điểm cực trị. Chứng minh. • Giả sử x0 là điểm cực đại của hàm f (x), tức là 0 < f (x) < f (x0 ), x ∈ {0 < |x − x0 | < δ} Từ đó suy ra cf 2 (x) < cf 2 (x0 ), với c > 0 Hay F (x) < F (x0 ), x ∈ {0 < |x − x0 | < δ} Vậy x0 cũng là điểm cực đại của hàm F (x). Tương tự với trường hợp x1 là điểm cực tiểu. • Giả sử x0 là điểm cực đại của hàm F (x), tức là 0 < F (x) < F (x0 ), x ∈ {0 < |x − x0 | < δ} Lại có F (x) = cf 2 (x), với c > 0, f (x) > 0, x ∈ {0 < |x − x0 | < δ} Từ đó suy ra f (x) < f (x0 ), x ∈ {0 < |x − x0 | < δ} Vậy x0 cũng là điểm cực đại của hàm f (x). 11 Chương 1. Cực trị hàm số Tương tự với trường hợp x1 là điểm cực tiểu. Kết luận: f (x) và F (x) có cùng cực trị. Nhận xét: Tổng quát hóa bái toán trên, ta được kết quả sau đây: Cho hàm số f (x) > 0, ∀x ∈ TXĐ và hàm F (x) = cf 2n (x), với c > 0 bất kỳ và n ∈ N∗ . Khi đó hai hàm F (x) và f (x) có cùng các điểm cực trị. Ví dụ 1.14. Tìm cực trị của hàm số: p 4 f (x) = x2 + x + 1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Đặt F (x) = f 4 (x) = x2 + x + 1 ⇒ F 0 (x) = 2x + 1 F 0 (x) = 0 ⇔ x=− 1 2 Lập bảng biến thiên của hàm F (x): x − 12 −∞ F 0 (x) − 0 +∞ +∞ + +∞ F (x) 3 4 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm F (x) đạt cực tiểu tại x = − 12 Lại có: f (x) > 0, ∀x ∈ R và hàm F (x) = f 4 (x). Nên hàm F (x) và f (x) có cùng các điểm cực trị. Do đó hàm f (x) q cũng đạt cực tiểu tại x = − 21 , giá trị cực tiểu của hàm f (x) là f (− 21 ) = 4 3 4. Bài toán 2. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên D ⊂ R và ϕ(x) là một hàm đồng biến, liên tục với mọi x ∈ R. Chứng minh rằng hàm f (x) có cùng cực trị với hàm ϕ[f (x)]. Chứng minh. Giả sử hàm f (x) đạt cực đại tại điểm x0 , tức là f (x) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ D. 12 Chương 1. Cực trị hàm số Vì ϕ(x) là hàm đồng biến với mọi x ∈ R. Nên ϕ[f (x)] ≤ ϕ[f (x0 )], ∀x ∈ D Như vậy hàm ϕ[f (x)] cũng đạt cực đại tại điểm x0 Chứng minh tương tự với trường hợp cực tiểu. Kết luận: hàm f (x) và ϕ[f (x)] có cùng các điểm cực trị. Ví dụ 1.15. Tìm cực trị của hàm số: x y = 2 x2 +1 Lời giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R. x Vì hàm y = log2 x là hàm đồng biến với x >x 0, nên hàm y = 2 x2 +1 có cùng các điểm cực trị với hàm f (x) = log2 2 x2 +1 = x2x+1 . 2 Ta có f 0 (x) = (x1−x 2 +1)2 . f 0 (x) = 0 ⇔ x = ±1 Lập bảng biến thiên của hàm f (x): x −∞ f 0 (x) −1 − + 0 +∞ f (x) +∞ 1 0 − 1 2 − 12 −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm f (x) đạt cực tiểu tại x = −1 và đạt cực đại tại x = 1. Do đó hàm y cũng đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu của hàm y là y(−1) = √12 . √ Hàm y đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại của hàm y là y(1) = 2. Bài toán 3. Cho hàm số ϕ(x) là hàm liên tục, đồng biến với mọi x ∈ R và f (X) là hàm số đạt cực tiểu tại X0 = ϕ(x0 ). Chứng minh rằng hàm f [ϕ(x)] cũng đạt cực tiểu tại x0 . Chứng minh. Giả sử hàm f (X) đạt cực tiểu tại điểm X0 = ϕ(x0 ), tức là f (X) ≥ f (X0 ), ∀x ∈ (X0 − δ; X0 + δ) với δ > 0 13 Chương 1. Cực trị hàm số Giả sử ϕ(x0 − α) = X0 − δ , ϕ(x0 + α) = X0 + δ, . Nên ϕ[f (x)] ≤ ϕ[f (x0 )], ∀x ∈ D Như vậy hàm ϕ[f (x)] cũng đạt cực tiểu tại điểm x0 Chứng minh tương tự với trường hợp cực đại. Kết luận: hàm f (x) và ϕ[f (x)] có cùng các điểm cực trị. Ví dụ 1.16. Tìm cực trị của hàm số: y = sin ln x Lời giải.   Vì hàm y = sin X là hàm tuần hoàn nên ta chỉ cần xét trong − π2 ; π2 Nhận thấy: hàm y = sin X đạt cực đại tại X = π2 . Áp dụng kết quả bài toán 3 ta suy ra hàm y = sin ln x đạt cực đại tại π ln x = π2 ⇔ x = e 2 . Tương tự: y = sin X đạt cực tiểu tại X = − π2 . π Suy ra hàm y = sin ln x đạt cực tiểu tại ln x = − π2 ⇔ x = e− 2 . 1.3.2 Bài tập tham khảo Bài tập 1.1. Tìm cực trị của hàm số y = (x − 1)e x2 −5x+6 x−1 Lời giải. Hàm số dã cho xác định với mọi x 6= 1 Ta có x2 −5x+6 x2 − 2x − 1 x2 −5x+6 0 x−1 y =e + e x−1 x−1 x2 − x − 2 x2 −5x+6 y =0⇔ e x−1 = 0 x−1 (x + 1)(x − 2) x2 −5x+6 ⇔ e x−1 = 0 x − 1  x = −1 ⇔ x=2 0 Lập bảng biến thiên của hàm số y 14