Mô tả:
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH
(2-8-2016)
(đây là một dạng trong tài liệu:
MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ )
Từ bài viết của tác giả:
DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI
MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐẶC BIỆT
To¸n häc vµ tuæi trÎ (tháng 9 năm 2015)
Khi gÆp mét ph-¬ng tr×nh cã d¹ng u.m P v.n Q w
(víi u,v, w,P,Q lµ c¸c biÓu thøc chøa Èn ) mµ ta nhÈm ®-îc
c¸c h»ng sè e,f vµ c¸c biÓu thøc P0 , Q0 chøa Èn tho¶ m·n:
u.P0 v.Q0 w
(*)
m
n
e.( P0 ) f .(Q0 ) e.P f .Q
th× ta xö lÝ ph-¬ng tr×nh ®ã nh- sau:
§Æt m P a ; n Q b suy ra a m P ; b n Q
u.a v.b w
Ta cã hÖ PT:
m
n
e.a f .b e.P f .Q
(**)
Gi¶i hÖ PT(**) ta t×m ®-îc c¸c nghiÖm (a;b)
§Õn ®©y PT,hÖ PT ®· cho sÏ trë nªn ®¬n gi¶n h¬n !
L-u ý: tõ (*) ta thÊy hÖ PT(**) lu«n cã nghiÖm (a,b) = ( P0 ; Q0 )
Sau ®©y là c¸c vÝ dô
VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh
2 4x x 2 3 2x 2 6x 7 x 1
Ph©n tÝch:
x 1 2 x 1
Ta cã:
2
3
2
2
( x 1) 2 (2 4 x x ) (2 x 6 x 7)
nªn PT nµy ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x 1;2)
Lêi gi¶i
§Æt 2 4 x x 2 a ; 3 2 x 2 6 x 7 b
Suy ra a 2 b 3 x 2 2x 9 (1)
Tõ PT ®· cho ta cã a b x 1 a x 1 b (2)
Thay vµo (1) ta ®-îc:
( x 1 b) 2 b 3 x 2 2 x 9
x 2 1 b 2 2 x 2b 2bx b 3 x 2 2 x 9
b 3 8 b 2 2b 2bx 4 x 0
(b 2)(b 2 3b 4 2 x) 0
1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
b 2 hoÆc b 2 3b 4 2 x (3)
+Tõ (2) cã x a b 1 thay vµo PT(3) ®-îc
b 2 3b 4 2(a b 1) b 2 b 6 2a (4)
1
23
Cã VT (4) (b ) 2 5
4
2
VP(4) 2 2 4 x x 2 2 6 ( x 2) 2 2 6 5
Suy ra PT(4) v« nghiÖm. Do đó PT(3) vô nghiệm
+Víi b = 2 thay vµo (2) ®-îc a x 1
x 1 0
2
2
4
x
x
x
1
Suy ra
2 4 x x 2 ( x 1) 2
2
3
2 x 2 6 x 7 8
2x 6x 7 2
x 1
3 11
2
x
2
2 x 6 x 1 0
VËy PT ®· cho cã 1 nghiÖm x
3 11
2
VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh
7 x 2 20 x 86 x. 31 4 x x 2 3x 2
Ph©n tÝch: Víi PT nµy ta nhÈm ®-îc e=1; f=3 vµ ( P0 ; Q0 ) = (2 x 2;1)
2 x 2 x.1 3x 2
v×
2
2
2
2
(2 x 2) 3.1 (7 x 20 x 86) 3.(31 4 x x )
Lêi gi¶i §Æt a = 7 x 2 20 x 86 , b = 31 4 x x 2
Suy ra a 2 3b 2 4x 2 8x 7 (1)
Tõ PT ®· cho cã: a +xb = 2x + 3 a = 3x + 2 – bx
Thay vµo (1) ta ®-îc
(3x 2 bx) 2 3b 2 4 x 2 8x 7
9 x 2 4 b 2 x 2 12 x 4bx 6bx 2 3b 2 4 x 2 8x 7
( x 2 3)b 2 (6 x 2 4 x)b 5x 2 4 x 3 0
(b 1)[( x 2 3)b 5 x 2 4 x 3] 0
b 1
2
b 5 x 4 x 3
x2 3
+Víi b = 1 th× a = 2x+2, khi ®ã cã hÖ
2
7 x 20 x 86 2 x 2
2
31
4
x
x
1
x 1
3x 2 12 x 90 0
x 2 4 x 30 0
+Víi b =
2 x 2 0
2
2
7 x 20 x 86 (2 x 2)
31 4 x x 2 1
x 1
x 2 34
x
2
34
5x 2 4 x 3
x2 3
16 ( x 2 4 x 15) 4
x 2 4 x 15
(2)
x2 3
+ NÕu x 2 4 x 15 0 th× VT(2) < 4 < VP(2)
+ NÕu x 2 4 x 15 0 th× VT(2) > 4 > VP(2)
2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
+ NÕu x 2 4 x 15 0 th× VT(2) = 4 = VP(2)
Khi x 2 4 x 15 0 th×
2
b 4
31 4 x x 4
2
a 3x 2 4 x
7 x 20 x 86 2 x
2 x 0
x 2
x 2
31 4 x x 2 16
x 2 4 x 15 0
x 2 19
7 x 2 20 x 86 (2 x) 2
6( x 2 4 x 15) 0
x= 2 19
VËy PT ®· cho cã 2 nghiÖm x 2 34 , x 2 19
VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
20 x 3 11x 4 y 2 .(1)
1 2 xy y.3 x 2 y 2 x.(2)
Ph©n tÝch:
Víi PT(2) ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1)
x y y.1 x
v×
2
2
2
2
(x y ) 1 (1 2 xy ) ( x y )
Lêi gi¶i: ®iÒu kiÖn 1 2 xy 0
§Æt 1 2 xy a ; 3 x 2 y 2 b
Suy ra a 2 b 3 x 2 y 2 2 xy 1 (3)
Tõ (2) ta cã a + yb = x a x yb (4) thay
vµo (3) ®-îc ( x by) 2 b 3 x 2 y 2 2 xy 1
b 3 1 2 xy(b 1) y 2 (b 2 1) 0
(b 1)[b 2 b 1 2 xy y 2 (b 1)] 0
b 1 hoÆc b 2 b 1 2 xy y 2 (b 1) 0 (5)
+Cã 3 x 2 y 2 b 0 nªn b 2 b 0 ; b 1 0
1
xy
NÕu 1 2 xy y (b 1) 0 th×
2 (v« lý)
y 0
VËy 2 sè kh«ng ©m 1 2 xy vµ y 2 (b 1) kh«ng ®ång thêi b»ng 0
2
nªn 1 2 xy y 2 (b 1) 0
do ®ã VT (5) 0 Suy ra PT(5) v« nghiÖm
+Víi b = 1 thay vµo (4) ®-îc a x y
x y 0
1 2 xy x y
Suy ra
1 2 xy ( x y ) 2
2
2
3
x 2 y 2 1
x y 1
x y
2
(*)
2
x
y
1
kÕt hîp hÖ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ:
x y
x y
3
2
3
2
20 x 11x 4 y 20 x 11x 4(1 x )
x 2 y 2 1
y2 1 x2
3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x y
x y
3
2
20 x 4 x 11x 4 0 (2 x 1) 2 (5 x 4) 0
y2 1 x2
y2 1 x2
x y
x y
1
4
(I) hoÆc x
(II)
x
2
5
9
2 3
2
y 4
y 25
4 3
4 3
1 3
Gi¶i hÖ PT (I) vµ (II) ta ®-îc nghiÖm (x;y) lµ: ( ;
) ; ( ; ) vµ ( ; )
2
2
5 5
5 5
4 3
4 3
1 3
VËy hÖ PT ®· cho cã 3 nghiÖm (x;y) lµ : ( ;
) ; ( ; ) vµ ( ; )
2
2
5 5
5 5
bµi tËp
bµi 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh
a)
c)
3
12 x 2 12 x 9
4x3 2
4
x
4
3
3
1
6 x 2 x.3 7 x 2 2 x 1
2
2
b) 3x 2 5x 6 x ( x 1) x 2 x 4
d) 2 x 2 48x 27 x. 2 x 2 24 x 67 4 x 6
bµi 2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
65
3
3
x y 8
a)
x 2 y 2 2 y. 2 xy 1 x
3
3
3 3
3x 3 y x y 35
b) 2 2
2
x y 4 x 2 xy 4 y
8 xy 2 2 x 1
c)
x2 y2 2
2
3
2
5 4 x y x.
3
Sau đây là phần bổ xung thêm các thí dụ dạng này:
Dạng :đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểuVũ Hồng Phong
Một số thí dụ của dạng này tác giả đã nêu ở phần đặt ẩn phụ ở phần trên. Sau đây là các thí
dụ bổ xung
Thí dụ 1 Giải phương trình
x 4 3x 3 x 2 1 x 4 x 3 2 x 1
Hướng dẫn.
4
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x 4 3x 3 x 2 1 x 4 x 3 2 x 1
Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình
Xét x 1
Đặt x 4 3x 3 x 2 1 a 0; x 4 x 3 2 b 0
Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 2 x 3 x 2 1 ( x 1)(2 x 2 x 1)(*)
Pt đã cho trở thành: a b x 1(**)
(a b)(a b) ( x 1)(2 x 2 x 1)
Giải (*) và (**) suy ra:
a b x 1
a x 2 x
a b 2 x 2 x 1
2
a b x 1
b x 1
x 2 x 0
2
1 5
x x 0
x
x 4 3x 3 x 2 1 ( x 2 1) 2
2
2
( x 1)( x x 1) 0
x 4 x 3 2 ( x 2 1) 2
PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x
1 5
2
Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu 2 căn
Việc tạo ra phương trình loại này cũng không quá khó khăn. Xin nêu cách tạo ra một phương
trình đơn giản của dạng này như sau:
Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi
Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng x 2 1
Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :
x 4 3x 3 x 2 1 x 2 x; x 4 x 3 2 x 2 1
Bước tiếp theo là chọn ra mối liên hệ giữa các ẩn (cần tạo ra PT khó thì phải khéo léo),tác giả
xin nêu ra một liên hệ đơn giản là:
a 2 b 2 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 2 x 4 4 x 2 2(*)
Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :
a 2 b 2 2 x 3 x 2 1 ( x 1)(2 x 2 x 1)
Bước quan trọng nhất là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để được nghiệm theo ý
muốn.
Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a :
a x4 x2 x 1
Từ (*) suy ra b x 4 3x 2 x 1
Song song với việc chọn a,b là việc tạo ra PT như thế nào cho việc khống chế các PT sau
khi biến đổi hợp lí.
Thí dụ tác giả tạo ra PT nhẹ nhàng sau:
Thí dụ 2 Giải phương trình
x 4 x 2 x 1 x 4 3x 2 x 1 2 x 2 2
Hướng dẫn.
Đặt a x 4 x 2 x 1
b x 4 3x 2 x 1
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 2 x 4 4 x 2 2(*)
Pt đã cho trở thành: a b x 2 1(**)
Giải hệ gồm (*) và (**) bằng phương pháp thế ta được
5
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
a x4 x2 x 1 x2 1
b x 4 3x 2 x 1 x 2 1
Giải tiếp suy ra PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 0
Chú ý:
Việc chọn mối liên hệ phức tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:
2a 2 b 2 ..... 2a 2 3b 2 ..... 2a 2 3b 2 ..... 2a 2 b 2 .....
1 2 2 2
a b .....
2
3
Việc chọn phƣơng trình tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:
1
a 2b ...... 3a 2b ...... 3a 2b ...... a 2b ......
3
( x 1)a 2b ...... a xb ......
Việc chọn căn bậc ba, bậc 4,…..hƣớng tạo ra tƣơng tự
Một số thí dụ khó hơn
Đầu tiên ta định hướng các căn a,blần lượt bằng x 4 ; x 2 1
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Chọn a x8 x 4 2 x 2 x 0
b 2x4 x 1 0
Thí dụ 3 Giải phương trình
x8 x 4 2 x 2 x 1 ( x 2 1) 2 x 4 x 1
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn chi tiết tạo PT.
Chọn dạng m ( x 2 1) n p
Chọn các căn sau khi biến đổi: m x 4 ; n x 2 1; p 1
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Chọn: n x 2 1; n 2 x 4 x 1
Từ(*) suy ra: m x8 x 4 2 x 2 x
Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí.
Đến đây tác giả tin rằng mọi ngƣời sẽ tự tạo ra đƣợc rất nhiều phƣơng trình dạng này
!!!
Hướng dẫn giải:
Đặt a x8 x 4 2 x 2 x 0
b 2x4 x 1 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**)
Thay a vào (*) ta được
1 ( x 1)b b
1 ( x 1) b
2
2
2
2
2
2
x8 x 4 2 x 2 1
2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0
6
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
b x 2 1
x 2 ( x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 2 1) 2
Dễ thấy
x 2 ( x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 2 1) 2
X=0 không làm cho b=0
Suy ra
b 2x 4 x 1 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
a x8 x 4 2 x 2 x x 4
Suy ra
x 0; x 1; x
1 5
2
PT đã cho có 4 nghiệm x 0; x 1; x
1 5
2
Thí dụ 4 Giải phương trình
x 8 x 3 2 1 ( x 2 1) x 4 x 3 2 x 2 3
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt a x8 x 3 2 0
b x 4 x3 2x 2 3 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**)
Thay a vào (*) ta được
1 ( x 1)b b
1 ( x 1) b
2
2
2
2
2
2
x8 x 4 2 x 2 1
2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 2 1) 2
Dễ thấy
x 2 ( x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 2 1) 2
X=0 không làm cho b=0
Suy ra
b x 4 x3 2x 2 3 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
a x8 x3 2 x 4
Suy ra
x3 2
PT đã cho có 1 nghiệm x 3 2
7
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Thí dụ 5 Giải phương trình
x8 x 5 2 1 ( x 2 1) x 5 x 4 2 x 2 3
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
x8 x 5 2 a 0
Đặt
x5 x 4 2x 2 3 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**)
Thay a vào (*) ta được
1 ( x 1)b b
1 ( x 1) b
2
2
2
2
2
2
x8 x 4 2 x 2 1
2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 2 1) 2
Dễ thấy
x 2 ( x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 2 1) 2
X=0không làm cho b=0
Suy ra
x5 x 4 2x 2 3 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x8 x 5 2 x 4
Suy ra
x 5 2
PT đã cho có 1 nghiệm x 5 2
Thí dụ 6 Giải phương trình
x12 x 2 3x ( x 4 x 2 1) x 4 x 2 3x 1 1
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
x12 x 2 3x a 0
x 4 x 2 3x 1 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**)
Thay a vào (*) ta được
( x
2
x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1
1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 4 x 2 1) 2
4
Dễ thấy
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 4 x 2 1) 2
8
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
x 4 x 2 3x 1 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x12 x 2 3x x 6
Suy ra
x 0; x 3
PT đã cho có 2 nghiệm x 0; x 3
Thí dụ 7 Giải phương trình
x12 2 x 4 3x ( x 4 x 2 1) x 4 2 x 2 3x 1 1
Hướng dẫn.
Đặt
x12 2 x 4 3x a 0
x 4 2 x 2 3x 1 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**)
Thay a vào (*) ta được
( x
2
x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1
1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 4 x 2 1) 2
4
Dễ thấy
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 4 x 2 1) 2
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
x 4 2 x 2 3x 1 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x12 2 x 4 3x x 6
Suy ra
x 0; x 3
3
2
PT đã cho có 2 nghiệm x 0; x 3
3
2
Thí dụ 8 Giải phương trình
x12 2 x 2 x 1 ( x 4 x 2 1) x 4 x 2 1
Hướng dẫn.
Đặt
x12 2 x 2 x 1 a 0
x4 x 2 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*)
9
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**)
Thay a vào (*) ta được
( x
2
x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1
1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 4 x 2 1) 2
4
Dễ thấy
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 4 x 2 1) 2
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
x4 x 2 x2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x12 2 x 2 x 1 x 6
Suy ra
x 1; x
1
2
PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x
1
2
Thí dụ 9 Giải phương trình
x12 2 x 2 x 2 ( x 4 x 2 1) x 4 x 3 1
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
x12 2 x 2 x 2 a 0
x4 x 3 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**)
Thay a vào (*) ta được
( x
2
x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1
1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 4 x 2 1) 2
4
Dễ thấy
x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 4 x 2 1) 2
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
x4 x 3 x2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x12 2 x 2 x 2 x 6
10
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Suy ra
x
1 17
4
1 17
4
Thí dụ 10 Giải phương trình
PT đã cho có 2 nghiệm x
x8 2 x 2 3x 2 1 ( x 2 1) x 4 3x 3
Hướng dẫn.
x 8 2 x 2 3x 2 a 0
Đặt
x 4 3x 3 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**)
Thay a vào (*) ta được
1 ( x 1)b b
1 ( x 1) b
2
2
2
2
2
2
x8 x 4 2 x 2 1
2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0
b x 2 1
x 2 ( x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 2 1) 2
Dễ thấy
x 2 ( x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 2 1) 2
x=0không làm cho b=0
Suy ra
x 4 3x 3 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x 8 2 x 2 3x 2 x 4
Suy ra
x 2; x
1
2
PT đã cho có 2 nghiệm x 2; x
1
2
Thí dụ 11 Giải phương trình
x8 2 x 2 3x 3 1 ( x 2 1) x 4 3x 4
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
x 8 2 x 2 3x 3 a 0
Đặt
x 4 3x 4 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**)
Thay a vào (*) ta được
1 ( x 1)b b
1 ( x 1) b
2
2
2
2
2
2
x8 x 4 2 x 2 1
2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0
11
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
b x 2 1
x 2 ( x 4 x 2 2)
b
0
1 ( x 2 1) 2
Dễ thấy
x 2 ( x 4 x 2 2)
0 x0
1 ( x 2 1) 2
x=0không làm cho b=0
Suy ra
x 4 3x 4 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
x 8 2 x 2 3x 3 x 4
Suy ra
x
3 33
4
3 33
4
Thí dụ 12 Giải phương trình
PT đã cho có 2 nghiệm x
x 6 2 x 3 3 x ( x 1) x 4 x 2 3
Hướng dẫn.
Đặt
x6 2x3 3 a 0
x4 x2 3 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x x
x 2 ( x 2 x 2)
(vì x=0không
b
0(loai )
2
1 ( x 1)
2
Suy ra
x4 x2 3 x2 x
Thay vào (**) đƣợc:
x6 2x3 3 x3
Suy ra
x3
3
2
PT đã cho có 1 nghiệm x 3
3
2
Thí dụ 13 Giải phương trình
x 6 2 x 3 x 2 20 x ( x 1) x 4 20
Hướng dẫn.
12
làm cho b=0)
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Đặt
x 6 2 x 3 x 2 20 a 0
x 4 20 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x 2 x
x 2 ( x 2 x 2)
b
0(loai )
1 ( x 1) 2
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
x 4 20 x 2 x
Thay vào (**) đƣợc:
x 6 2 x 3 x 2 20 x 3
Suy ra
x2
PT đã cho có 1 nghiệm x 2
Thí dụ 14 Giải phương trình
2 x 3 3 x ( x 1) x 6 x 4 x 2 3
Hướng dẫn.
Đặt
2x3 3 a 0
x6 x4 x2 3 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x x
x 2 ( x 2 x 2)
b
0(loai )
1 ( x 1) 2
2
(vìx=0không làm cho b=0)
Suy ra
x6 x4 x2 3 x2 x
Thay vào (**) đƣợc:
2x3 3 x3
Suy ra
x 6 2 x 3 3 0( x 3 0) x 1(loai ); x 3 3
PT đã cho có 1 nghiệm x 3 3
13
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Thí dụ 15 Giải phương trình
2 x 3 1 x ( x 1) x 6 x 4 x 2 1
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
2x3 1 a 0
x6 x4 x2 1 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x 2 x
x 2 ( x 2 x 2)
(vì x=0không
b
0(loai )
2
1 ( x 1)
làm cho b=0)
Suy ra
x6 x4 x2 1 x2 x
Thay vào (**) đƣợc:
2x3 1 x3
Suy ra
x 6 2 x 3 1 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3 1 2
PT đã cho có 1 nghiệm x 3 1 2
Thí dụ 16 Giải phương trình
3x 3 1 x ( x 1) x 6 x 4 x 3 x 2 1
Hướng dẫn.
Đặt
3x 3 1 a 0
x6 x 4 x3 x 2 1 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x x
x 2 ( x 2 x 2)
(vì x=0không
b
0(loai )
2
1 ( x 1)
2
Suy ra
x 6 x 4 x3 x 2 1 x 2 x
Thay vào (**) đƣợc:
3x 3 1 x 3
Suy ra
14
làm cho b=0)
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x 6 3x 3 1 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3
PT đã cho có 2 nghiệm x 3
3 5
2
3 5
2
Thí dụ 17 Giải phương trình
3x 3 2 x ( x 1) x 6 x 4 x 3 x 2 2
Hướng dẫn.
Đặt
3x 3 2 a 0
x6 x 4 x3 x 2 2 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x 2 x
x 2 ( x 2 x 2)
(vì x=0không
b
0(loai )
2
1 ( x 1)
làm cho b=0)
Suy ra
x6 x 4 x3 x 2 2 x 2 x
Thay vào (**) đƣợc:
3x 3 2 x 3
Suy ra
x 1
x 6 3x 3 2 0( x 3 0, x 2 x 0)
3
x 2
PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3 2
Thí dụ 18 Giải phương trình
5x 3 2 x ( x 1) x 6 x 4 3x 3 x 2 2
Hướng dẫn.
Đặt
5x 3 2 a 0
x 6 x 4 3x 3 x 2 2 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2
1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0
b x x
x 2 ( x 2 x 2)
(vì x=0không
b
0(loai )
2
1 ( x 1)
2
Suy ra
x 6 x 4 3x 3 x 2 2 x 2 x
15
làm cho b=0)
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Thay vào (**) đƣợc:
5x 3 2 x 3
Suy ra
x 6 5 x 3 2 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3
PT đã cho có 2 nghiệm x 3
5 17
2
5 17
2
Thí dụ 19 Giải phương trình
6 x 3 3 x ( x 1)
x6
x4 x2 1
3
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
1
ĐK: x 3
2
Đặt
6x3 3 a 0
x6
x4 x2 1 b 0
3
Suy ra mối liên hệ:
a 2 3b 2 x 6 3x 4 6 x 3 3x 2 (*)
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 3b 2 x 6 3x 4 6x3 3x 2
3 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x( x 3 x 2 4 x 2) 0
b x 2 x
x( x 3 x 2 4 x 2)
b
0(loai )
3 ( x 1) 2
Suy ra
x6
x4 x2 1 x2 x
3
Thay vào (**) đƣợc:
6x3 3 x3
Suy ra
x6
x4 x2 1 x2 x
... x 6 6 x 3 3 0 x 3 3 6
3
3
3
6x 3 x
PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3 6
Thí dụ 20 Giải phương trình
4 x 3 2 x ( x 1)
x6
x4 x2 1
2
Hướng dẫn.
16
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
ĐK: x 3
Đặt
1
2
4x3 2 a 0
x6
x4 x2 1 b 0
2
Suy ra mối liên hệ:
a 2 3b 2 x 6 2 x 4 4 x 3 2 x 2 (*)
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 2b 2 x 6 2x 4 4x3 2x 2
2 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x( x 3 x 2 3x 1) 0
b x 2 x
x( x 3 x 2 3x 1)
b
0(loai )
3 ( x 1) 2
Suy ra
x6
x4 x2 1 x2 x
2
Thay vào (**) đƣợc:
4x3 2 x3
Suy ra
x6
x4 x2 1 x2 x
... x 6 4 x 3 2 0 x 3 2 2
2
3
3
4x 2 x
PT đã cho có 2 nghiệm x 3 2 2
Thí dụ 21 Giải phương trình
10 x 3 5 x ( x 1)
x6
x4 x2 1
5
Hướng dẫn.
1
ĐK: x 3
2
Đặt
10 x 3 5 a 0
x6
x4 x2 1 b 0
5
Suy ra mối liên hệ:
a 2 5b 2 x 6 5x 4 10 x 3 5x 2 (*)
Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b
Thay a vào (*) ta được
x ( x 1)b2 5b 2 x 6 5x 4 10x3 5x 2
5 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x( x 3 x 2 6 x 4) 0
b x 2 x
x( x 3 x 2 6 x 4)
b
0(loai )
5 ( x 1) 2
17
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Suy ra
x6
x4 x2 1 x2 x
5
Thay vào (**) đƣợc:
10 x 3 5 x 3
Suy ra
x6
x4 x2 1 x2 x
... x 6 10 x 3 5 0 x 3 5 2 5
5
3
3
10 x 5 x
PT đã cho có 2 nghiệm x 3 5 2 5
Thí dụ 22 Giải phương trình
4 x 3 3 x x. x 6 x 4 4 x 3 2 x 2 4
Hướng dẫn.
3
ĐK: x 3
4
Đặt
4x3 3 a 0
x6 x 4 4x3 2x 2 4 b 0
Suy ra mối liên hệ:
a 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a x x.b
Thay a vào (*) ta được
x xb 2 b 2 x 6 x 4 2x 2 1
1 x 2 b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 2 x 2 1) 0
b x 2 1
4
2
b x 2 x 1 0(loai )
1 x2
Suy ra
x6 x 4 4x3 2x 2 4 x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
4x3 3 x3
Suy ra
6
4
3
2
2
x 1
x 1
x x 4x 2x 4 x 1
... 6
3
3
3
3
x 4 x 3 0
x 3
4x 3 x
PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3; x 1
Thí dụ 23 Giải phương trình
5x3 3
x x. 2 x 6 x 4 5 x 3 2 x 2 4
2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
18
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
ĐK: x 3
Đặt
3
5
5x3 3
a0
2
2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b 0
Suy ra mối liên hệ:
2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a x x.b
Thay a vào (*) ta được
2
2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1
1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0
b x 2 1
4
2
b (2 x 3x 1) 0(loai )
1 2x2
Suy ra
2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
5x 3 3
a x3
2
Suy ra
2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 x 2 1
x 1
x 1
... 6
5x 3 3
3
x 3 3
3
2 x 5 x 3 0
x
2
2
PT đã cho có 2 nghiệm x 3
3
;x 1
2
Thí dụ 24 Giải phương trình
5x3 2
x x. 2 x 6 x 4 5 x 3 2 x 2 3
2
Hướng dẫn.
2
ĐK: x 3
5
Đặt
5x 3 2
a0
2
2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 3 b 0
Suy ra mối liên hệ:
2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a x x.b
Thay a vào (*) ta được
2
2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1
1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0
b x 2 1
4
2
b (2 x 3x 1) 0(loai )
1 2x2
19
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Suy ra
2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 3 b x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
5x 3 2
a x3
2
Suy ra
2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 3 x 2 1
x 1
... 6
x3 2
5x 3 2
3
3
2
5
2
0
x
x
x
2
PT đã cho có 1 nghiệm x 3 2
Thí dụ 25 Giải phương trình
7 x3 4
x x. 2 x 6 x 4 7 x 3 2 x 2 5
2
Hướng dẫn.
4
ĐK: x 3
7
Đặt
7 x3 4
a0
2
2x6 x 4 7 x3 2x 2 5 b 0
Suy ra mối liên hệ:
2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*)
Pt đã cho trở thành: a x x.b
Thay a vào (*) ta được
2
2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1
1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0
b x 2 1
4
2
b (2 x 3x 1) 0(loai )
1 2x2
Suy ra
2x6 x 4 7 x3 2x 2 5 b x 2 1
Thay vào (**) đƣợc:
7 x3 4
a x3
2
Suy ra
2x6 x 4 7 x3 2x 2 5 x 2 1
x 1
7 17
... 6
x3
7 x3 4
3
4
2 x 7 x 4 0
x3
2
7 17
4
Thí dụ 26 Giải phương trình
PT đã cho có 1 nghiệm x 3
4 x 3 2 x x. 2 x 6 x 4 8x 3 2 x 2 5
20
- Xem thêm -
.PDF 
52 
495 
78 
