Tài liệu Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THANH HUYỀN PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THANH HUYỀN PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach 5 1.1 1.2 1.3 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Khæng gian Banach lçi, trìn . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u. Ph²p chi¸u m¶tric 7 . . . . . . . . . . Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 To¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach . . . . . . . 10 1.2.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . 14 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 To¡n tû J -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . 17 Ch÷ìng 2. Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû 19 2.1 2.2 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû v  ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p . . 19 2.1.2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p . . . . . . . . . . 24 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song ©n . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n . . . . . . . . . 36 K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 42 1 B£ng kþ hi»u H khæng gian Hilbert thüc E khæng gian Banach E∗ khæng gian èi ng¨u cõa E SE m°t c¦u ìn và cõa E R tªp c¡c sè thüc R+ tªp c¡c sè thüc khæng ¥m ∅ tªp réng ∀x vîi måi x D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A I to¡n tû çng nh§t C[a, b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] lp , 1 ≤ p < ∞ khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p l∞ khæng gian c¡c d¢y sè bà ch°n Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b] d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C lim supn→∞ xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } lim inf n→∞ xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c 2 Mð ¦u Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh ÷ñc nh  To¡n håc Jacques Hadamard ng÷íi Ph¡p ÷a ra v o n«m 1932 khi nghi¶n cùu £nh h÷ðng cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Æng l  ng÷íi ¢ ch¿ ra nhúng b i to¡n khæng ên ành l  "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xem wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard.) X²t b i to¡n ng÷ñc: t¼m mët ¤i l÷ñng vªt lþ x ∈ E ch÷a bi¸t tø bë dú ki»n (f0 , f1 , . . . , fN ) ∈ F N +1 , ð ¥y E v  F l  c¡c khæng gian Banach, N ≥ 0. Tr¶n thüc t¸, c¡c dú ki»n n y th÷íng khæng ÷ñc bi¸t ch½nh x¡c, m  th÷íng ch¿ ÷ñc bi¸t x§p x¿ bði fiδ ∈ F thäa m¢n kfiδ − fi k ≤ δi , i = 0, 1, . . . , N, (1) vîi δi > 0 (sai sè cho tr÷îc). Bë húu h¤n dú ki»n (f0 , f1 , . . . , fN ) nhªn ÷ñc b¬ng vi»c o ¤c trüc ti¸p tr¶n c¡c tham sè. B i to¡n n y ÷ñc mæ h¼nh hâa to¡n håc bði Ai (x) = fi , i = 0, 1, . . . , N, (2) ð ¥y Ai : D(Ai ) ⊂ E → F v  D(Ai ) l  kþ hi»u mi·n x¡c ành cõa c¡c to¡n tû Ai t÷ìng ùng, i = 0, 1, . . . , N . B i to¡n (2), nâi chung, l  mët b i to¡n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a nghi»m cõa b i to¡n khæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u. Do â, ng÷íi ta ph£i sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành b i to¡n n y sao cho khi sai sè cõa dú ki»n ¦u v o c ng nhä th¼ nghi»m t÷ìng ùng ph£i x§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u. Mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc sû döng kh¡ rëng r¢i v  hi»u qu£ l  ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p. 3 Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l  tr¼nh b y l¤i mët sè ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû (2) trong tr÷íng hñp to¡n tû A0 ìn i»u, h-li¶n töc (hemi-continuous), cán c¡c to¡n tû Ai , i = 1, . . . , N kh¡c câ t½nh ch§t ìn i»u ng÷ñc m¤nh trong khæng gian Banach thüc ph£n x¤ E trong c¡c b i b¡o [7] v  [16] cæng bè n«m 2014 v  2018. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 "Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach" giîi thi»u v· khæng gian Banach lçi, trìn, ¡nh x¤ èi ng¨u, ph²p chi¸u m¶tric; tr¼nh b y kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u °t khæng ch¿nh trong khæng gian Banach, ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u trong khæng gian Banach còng v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredlhom °t khæng ch¿nh. Ch÷ìng 2 "Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû" tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tr¼nh to¡n tû ìn i»u còng sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p; tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song ©n, ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u trong khæng gian Banach còng sü hëi tö cõa c¡c ph÷ìng ph¡p n y. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi ÷ñc tham gia håc tªp, nghi¶n cùu. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Pháng  o t¤o, Khoa To¡n Tin, xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c quþ th¦y, cæ trong khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n nâi chung v  quþ th¦y cæ trüc ti¸p gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K11A (khâa 2017 - 2019) ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. º ho n th nh luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. NGUY™N THÀ THU THÕY. Tæi xin tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n cæ v  xin gûi líi tri ¥n cõa tæi èi vîi nhúng i·u cæ ¢ d nh cho tæi. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi 4 ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n Tr¦n Thanh Huy·n 5 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach Ch÷ìng n y giîi thi»u mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Banach lçi v  trìn, ¡nh x¤ èi ng¨u, ph²p chi¸u m¶tric; tr¼nh b y kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u, ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u còng v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredlhom °t khæng ch¿nh trong khæng gian Hilbert. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc tø c¡c t i li»u [1], [2], [3] v  [5]. 1.1 Khæng gian Banach Cho E l  khæng gian Banach v  kþ hi»u E ∗ l  khæng gian èi ng¨u cõa E . Trong luªn v«n n y ta sû döng kþ hi»u k.k cho chu©n cõa c£ hai khæng gian E v  E ∗ . Vîi méi x ∈ E v  x∗ ∈ E ∗ ta vi¸t x∗ (x) bði hx∗ , xi ho°c hx, x∗ i (t½ch èi ng¨u). N¸u E = H l  khæng gian Hilbert th¼ t½ch èi ng¨u ch½nh l  t½ch væ h÷îng h., .i v  c£m sinh chu©n t÷ìng ùng k.k. 1.1.1 Khæng gian Banach lçi, trìn ành ngh¾a 1.1.1 (xem [2, 3]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  ph£n x¤ n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E ∗∗ , khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E , ·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ . 6 ành lþ 1.1.2 (xem [2, 3]) Gi£ sû E l  khæng gian Banach. Khi â, c¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) E l  khæng gian ph£n x¤. (ii) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. ành ngh¾a 1.1.3 (xem [3]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  (i) lçi ch°t n¸u vîi måi x, y thuëc m°t c¦u ìn và SE := {x ∈ E : kxk = 1} cõa khæng gian Banach E , x 6= y , th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1, λ ∈ (0, 1); (ii) lçi ·u n¸u vîi måi 0 <  ≤ 2, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 v  kx − yk ≥  th¼ tçn t¤i δ = δ() > 0 sao cho x + y 2 < 1 − δ; (iii) trìn n¸u giîi h¤n kx + tyk − kxk t→0 t lim tçn t¤i vîi måi x, y ∈ SE . Mæ-un trìn cõa E x¡c ành bði n kx + yk + kx − yk o ρE (τ ) = sup − 1 : kxk = 1, kyk = τ . 2 ành ngh¾a 1.1.4 (xem [3]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  trìn ·u n¸u ρE (τ ) = 0. τ →0 τ lim hE (τ ) = lim τ →0 V½ dö 1.1.5 (xem [3, V½ dö 2.1.2, 2.1.3, 2.2.3]) (i) Khæng gian Rn , n ≥ 2 vîi chu©n kxk2 ÷ñc x¡c ành bði X 1/2 n 2 kxk2 = xi , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , i=1 l  khæng gian lçi ch°t. 7 (ii) Khæng gian Rn , n ≥ 2 vîi chu©n kxk1 x¡c ành bði kxk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , khæng ph£i l  khæng gian lçi ch°t. (iii) Khæng gian lp , Lp [a, b] vîi 1 < p < ∞ l  c¡c khæng gian lçi ·u. 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u. Ph²p chi¸u m¶tric ành ngh¾a 1.1.6 (xem [13, ành ngh¾a 3.3]) nh x¤ J s : E → 2E , s > 1 ∗ (nâi chung l  a trà) x¡c ành bði n o s ∗ s−1 J (x) = us ∈ E : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxk , x∈E ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach E . Khi s = 2, ¡nh x¤ J 2 ÷ñc kþ hi»u l  J v  ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E . Tùc l  n o ∗ J(x) = u ∈ E : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk , x ∈ E. V½ dö 1.1.7 (xem [13, M»nh · 3.6, M»nh · 3.14 ], [3, V½ dö 2.4.11]) (i) Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c l  ¡nh x¤ ìn và I . (ii) Trong khæng gian lp (1 < p < ∞) v  Lp [0, 1] (1 < p < ∞), ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ÷ñc x¡c ành t÷ìng ùng nh÷ sau:  ∞ p−1 p Jx = |xi | sgn (xi ) ∀x = (xi )∞ i=1 ∈ l i=1 v  Jx = |x|p−1 sgn (x) ∀x ∈ Lp [0, 1], p−1 kxk ð ¥y sgn(x) l  h m d§u cõa x ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc:    −1, n¸u x < 0,   sgn(x) = 1, n¸u x > 0,     0, n¸u x = 0. 8 Sau ¥y l  mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa khæng gian Banach E . ành lþ 1.1.8 (xem [3]) (i) N¸u E l  khæng gian Banach trìn th¼ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J l  ¡nh x¤ ìn trà. (ii) N¸u E l  khæng gian Banach trìn ·u th¼ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J li¶n töc tr¶n méi tªp con bà ch°n cõa E . Trong luªn v«n n y ta luæn gi£ thi¸t ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J thäa m¢n i·u ki»n hx, J(x)i = kxk2 = kJ(x)k2 ∀x ∈ E l  ìn trà. Gi£ thi¸t n y thäa m¢n n¸u E l  khæng gian Banach trìn. C¡c bê · sau ¥y ÷ñc sû döng º chùng minh sü hëi tö cõa c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n v  ©n trong Ch÷ìng 2. Bê · 1.1.9 (xem [5]) Gi£ sû E l  khæng gian Banach thüc trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E sao cho kxk ≤ R, kyk ≤ R ta câ  16Lkx − yk  , kJ(x) − J(y)k ≤ 8RhE R trong â L l  h¬ng sè Figiel, (1 < L < 1.7). Bê · 1.1.10 (xem [5]) Gi£ sû E l  khæng gian Banach thüc trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E , ta câ kxk2 ≤ kyk2 + 2hx − y, J(x)i = kyk2 + 2hx − y, J(y)i + 2hx − y, J(x) − J(y)i. Bê · 1.1.11 (xem [5]) Gi£ sû E l  khæng gian Banach trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E , ta câ hx − y, J(x) − J(y)i ≤ 8kx − yk2 + C(kxk, kyk)ρE (kx − yk), trong â C(kxk, kyk) ≤ 4 max{2L, kxk + kyk}. 9 Bê · 1.1.12 (xem [5]) Gi£ sû E l  khæng gian Banach trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E , ta câ  4kx − yk  hx − y, J(x) − J(y)i ≤ R (kxk, kyk)ρE , R(kxk, kyk) p trong â R(kxk, kyk) = 2−1 (kxk2 + kyk2 ). Hìn núa n¸u kxk ≤ R, kyk ≤ R 2 th¼ hx − y, J(x) − J(y)i ≤ 2LR2 ρE  4kx − yk  R . M»nh · 1.1.13 (xem [3]) Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ v  lçi ch°t E . Khi â, vîi méi x ∈ E tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ C thäa m¢n kx − yk = d(x, C), vîi d(x, C) = inf z∈C kx − zk. ành ngh¾a 1.1.14 (xem [3]) Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach E . nh x¤ PC : E → 2C x¡c ành bði   PC (x) = y ∈ C : kx − yk = d(x, C) ∀x ∈ E ÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric tø E l¶n C . Sau ¥y l  mët v½ dö v· ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Rn . V½ dö 1.1.15 Gi£ sû a, b ∈ Rn , a 6= 0. X²t nûa khæng gian C ⊂ Rn v  m°t ph¯ng Q ⊂ Rn cho bði n o C = x ∈ R : ha, x − bi ≤ 0 n o n Q = x ∈ R : ha, x − bi = 0 . n Khi â to¡n tû chi¸u l¶n C v  P l¦n l÷ñt cho bði   x, n¸u ha, x − bi ≤ 0 PC (x) = ha, x − bia  , n¸u ha, x − bi > 0. x − kak2   x, n¸u ha, x − bi = 0 PQ (x) = ha, x − bia  , n¸u ha, x − bi = 6 0. x − kak2 10 1.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u 1.2.1 To¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach Cho E v  F l  c¡c khæng gian Banach. Trong luªn v«n n y ta x²t to¡n tû ìn trà A : E → F vîi  Mi·n x¡c ành: D(A) := x ∈ E | A(x) 6= ∅ .  Mi·n gi¡ trà: R(A) := A(x) : x ∈ D(A) .  ç thà: Gr(A) := (x, y) ∈ E × F : x ∈ D(A), y = A(x) . ành ngh¾a 1.2.1 (xem [2]) To¡n tû A : E → F ÷ñc gåi l  to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u (a) A(x + y) = A(x) + A(y) vîi måi x, y ∈ D(A); (b) A(αx) = αA(x) vîi måi x, y ∈ D(A), α ∈ R. Trong tr÷íng hñp A l  to¡n tû tuy¸n t½nh ta s³ vi¸t Ax thay cho A(x). Sau ¥y l  kh¡i ni»m v· to¡n tû li¶n töc. ành ngh¾a 1.2.2 (xem [2, 3]) To¡n tû A : E → F ÷ñc gåi l  (i) li¶n töc t¤i x0 ∈ D(A) n¸u måi d¢y {xn } ⊂ D(A) v  xn → x0 th¼ A(xn ) → A(x0 ); (ii) li¶n töc theo tia hay h-li¶n töc (hemi-continuous) t¤i x0 ∈ D(A) n¸u vîi måi y ∈ E , tn ∈ R sao cho x0 + tn y ∈ D(A) th¼ A(x0 + tn y) * A(x0 ) khi tn → 0+ ; (iii) b¡n li¶n töc hay d-li¶n töc (demi-continuous) t¤i x0 ∈ D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) v  xn → x khi n → ∞ th¼ A(xn ) * A(x) khi n → ∞; (iv) li¶n töc Lipschitz tr¶n D(A) n¸u tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A) ta câ kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk; (v) ho n to n li¶n töc tr¶n tªp ω ⊂ D(A) n¸u A li¶n töc v  compact tr¶n ω ; 11 (vi) li¶n töc y¸u theo d¢y (sequentially weakly continuous) t¤i x0 ∈ D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn * x) th¼ A(xn ) * A(x0 ) khi n → ∞. Ta nâi to¡n tû A câ t½nh ch§t n¶u trong ành ngh¾a 1.2.2 n¸u nâ thäa m¢n t½nh ch§t n y t¤i måi x0 ∈ D(A). Nhªn x²t 1.2.3 (a) Hiºn nhi¶n, n¸u A li¶n töc Lipschitz th¼ nâ li¶n töc, n¸u A li¶n töc th¼ b¡n li¶n töc, n¸u A b¡n li¶n töc th¼ li¶n töc theo tia. Chó þ r¬ng i·u ng÷ñc l¤i nâi chung l  khæng óng. (b) To¡n tû A ÷ñc gåi l  to¡n tû khæng gi¢n n¸u nâ li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè L = 1. N¸u A li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè L ∈ (0, 1) th¼ ta nâi A l  to¡n tû (¡nh x¤) co. ành ngh¾a 1.2.4 (xem [5]) To¡n tû A : E → F ÷ñc gåi l  (i) âng tr¶n D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn → x, A(xn ) → y khi n → ∞ th¼ x ∈ D(A) v  y = A(x); (ii) âng y¸u tr¶n D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn * x, A(xn ) * y khi n → ∞ th¼ x ∈ D(A) v  y = A(x); (iii) b¡n âng y¸u tr¶n D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn * x, A(xn ) → y ho°c xn → x, A(xn ) * y khi n → ∞ th¼ x ∈ D(A) v  y = A(x). D÷îi ¥y l  ành ngh¾a v· to¡n tû ìn i»u. ành ngh¾a 1.2.5 (xem [5]) To¡n tû A : E → E ∗ ÷ñc gåi l  (i) ìn i»u n¸u hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 vîi måi x, y ∈ E ; ìn i»u ch°t n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y ; (ii) d-ìn i»u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m d(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, d(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t

hA(x) − A(y), x − yi ≥ d(kxk) − d(kyk) kxk − kyk ∀x, y ∈ E; 12 (iii) ìn i»u ·u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, δ(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk
∀x, y ∈ E; n¸u δ(t) = λt2 , λ l  h¬ng sè d÷ìng, th¼ A ÷ñc gåi l  to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh; (iv) bùc n¸u hA(x), xi = +∞ ∀x ∈ E. kxk kxk→+∞ lim D÷îi ¥y l  kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa to¡n tû ìn i»u m¤nh ng÷ñc. ành ngh¾a 1.2.6 (xem [17]) To¡n tû A : E → E ∗ ÷ñc gåi l  ìn i»u m¤nh ng÷ñc vîi h¬ng sè λ hay λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng λ sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ λkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ E. Nhªn x²t 1.2.7 (xem [17, M»nh · 1]) (i) To¡n tû A : E → E ∗ ìn i»u m¤nh ng÷ñc khi v  ch¿ khi to¡n tû ng÷ñc cõa nâ (theo ngh¾a a trà) l  ìn i»u m¤nh. (ii) Måi to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc l  to¡n tû ìn i»u v  li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz L = 1/λ. (iii) Måi to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc ·u l  to¡n tû b¡n âng. Thªt vªy, gi£ sû xn * x, xn , x ∈ D(A) v  A(xn ) → y . Tø t½nh λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc cõa to¡n tû A suy ra λkA(xn ) − A(x)k2 ≤ hA(xn ) − A(x), xn − xi = hA(xn ) − y, xn − xi − hA(x) − y, xn − xi → 0, khi n → ∞. Chó þ 1.2.8 (xem [17, V½ dö 1, V½ dö 2]) To¡n tû ìn i»u m¤nh ng÷ñc xu§t hi»n nhi·u trong khæng gian Hilbert: 13 (i) Måi to¡n tû tuy¸n t½nh A : H → H trong khæng gian Hilbert thüc H tü li¶n hñp, ho n to n li¶n töc v  x¡c ành khæng ¥m l  to¡n tû λ-ìn i»u 1 m¤nh ng÷ñc, trong â l  gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t cõa to¡n tû A. λ (ii) Ph²p chi¸u m¶tric PC chi¸u khæng gian Hilbert thüc H l¶n tªp con lçi âng C cõa H v  to¡n tû A := I − PC l  1-ìn i»u m¤nh ng÷ñc. Chó þ r¬ng, c¡c to¡n tû n y khæng ìn i»u m¤nh trø khi C = H . (iii) N¸u f : E → R l  mët phi¸m h m lçi, kh£ vi li¶n töc theo Fr²chet trong 1 khæng gian Banach E v  gradient ∇f cõa nâ l  -li¶n töc Lipschitz, th¼ λ ∇f l  to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc. Sau ¥y l  kh¡i ni»m v· t½nh kh£ vi cõa to¡n tû A vîi tªp x¡c ành D(A) l  tªp mð. ành ngh¾a 1.2.9 (xem [5, ành ngh¾a 1.1.53, 1.1.54]) To¡n tû A tø (D(A) ⊂ E) v o E ∗ ÷ñc gåi l  (i) kh£ vi Fr²chet (kh£ vi m¤nh) t¤i x ∈ D(A) n¸u tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A0 (x) : E → E ∗ sao cho vîi måi h ∈ E thäa m¢n x + h ∈ D(A) ta câ A(x + h) − A(x) = A0 (x)h + r(x, h), ð ¥y kr(x, h)k/khk → 0 khi khk → 0. Khi â A0 (x) v  A0 (x)h ÷ñc gåi l  ¤o h m v  vi ph¥n Fr²chet t÷ìng ùng cõa to¡n tû A t¤i x. To¡n tû A ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet n¸u nâ kh£ vi Fr²chet t¤i måi x ∈ D(A); (ii) kh£ vi G¥teaux (kh£ vi y¸u) t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi h ∈ E , t ∈ R thäa m¢n x + th ∈ D(A), tçn t¤i giîi h¤n A(x + th) − A(x) = δA(x, h). lim t→0 t N¸u tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc B tø E v o E ∗ sao cho δA(x, h) = Bh th¼ A0 (x) := B ÷ñc gåi l  ¤o h m G¥teaux (¤o h m y¸u) cõa A t¤i x. Nhªn x²t 1.2.10 (xem [5, ành lþ 1.1.55]) Mët to¡n tû kh£ vi Fr²chet th¼ kh£ vi G¥teaux v  khi â ¤o h m m¤nh v  y¸u tròng nhau. Ng÷ñc l¤i n¸u ¤o h m G¥teaux tçn t¤i v  li¶n töc trong l¥n cªn cõa x ∈ D(A) th¼ ¤o h m y¸u tròng vîi ¤o h m m¤nh t¤i x. 14 1.2.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh Ta x²t b i to¡n ð d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach: t¼m ph¦n tû x0 ∈ E thäa m¢n A(x0 ) := B(x0 ) − f = 0, f ∈ F, (1.1) ð ¥y B : E → F l  mët to¡n tû tø khæng gian Banach E v o khæng gian Banach F . Kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh ÷ñc Hadamard (xem [15]) ÷a ra v o ¦u th¸ k XX nh÷ sau. ành ngh¾a 1.2.11 (xem [15]) Cho E, F l  c¡c khæng gian m¶tric. B i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l  b i to¡n °t ch¿nh (well-posed) n¸u c¡c i·u ki»n d÷îi ¥y ÷ñc thäa m¢n: (i) B i to¡n (1.1) gi£i ÷ñc vîi måi f ∈ F . (ii) B i to¡n (1.1) câ nghi»m duy nh§t x ∈ E vîi måi f ∈ F . (iii) Nghi»m x ∈ E phö thuëc li¶n töc v o v¸ ph£i f ∈ F . N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l  b i to¡n °t khæng ch¿nh (ill-posed). Mët tr÷íng hñp r§t th÷íng g°p cõa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh l  chóng khæng ên ành theo ngh¾a vîi thay êi nhä cõa dú li»u B, f d¨n tîi sü thay êi lîn cõa nghi»m x ∈ E . Trong c¡c b i to¡n thüc t¸, dú li»u B, f khæng bi¸t ch½nh x¡c. Khi â, chóng ta c¦n ph£i nghi¶n cùu v  thi¸t lªp sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m x§p x¿ vîi dú li»u ¦u v o B γ , f δ l  x§p x¿ cõa B, f . Tuy nhi¶n, ¥y l  nhi»m vö khæng d¹ d ng thüc hi»n. Mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh â l  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh. Bê · 1.2.12 (xem [18]) Cho E l  mët khæng gian Banach thüc, E ∗ l  khæng gian èi ng¨u cõa E , f ∈ E ∗ v  A : E → E ∗ l  mët to¡n tû h-li¶n töc. Khi â, n¸u tçn t¤i x0 ∈ E thäa m¢n b§t ¯ng thùc hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ E, th¼ A(x0 ) = f . N¸u A l  to¡n tû ìn i»u tr¶n E th¼ i·u ki»n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ E. 15 Bê · tr¶n ÷ñc gåi l  Bê · Minty, t¶n cõa nh  to¡n håc Mÿ, ng÷íi ¢ chùng minh k¸t qu£ tr¶n trong tr÷íng hñp E l  khæng gian Hilbert. Sau n y công ch½nh æng v  Browder (xem [11]) ¢ chùng minh mët c¡ch ëc lªp trong khæng gian Banach. Bê · n y cho ta mèi li¶n h» giúa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 vîi måi x ∈ E vîi ph÷ìng tr¼nh to¡n tû A(x) = f . D÷îi ¥y l  mët v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh. V½ dö 1.2.13 (xem [1]) B i to¡n t¼m nghi»m ϕ0 (s) cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët câ d¤ng Z 1 K(t, s) ϕ0 (s) ds = f0 (t), (1.2) 0 ð ¥y f0 (t) l  h m li¶n töc cho tr÷îc trong khæng gian L2 [0, 1]. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët (1.2) l  b i to¡n °t khæng ch¿nh. Thªt vªy, gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m ϕ0 (s). Khi â, vîi v¸ ph£i Z 1 K(t, s) sin(ωs)ds, f1 (t) = f0 (t) + Ω 0 ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + Ω sin(ωs). Vîi Ω b§t ký v  ω õ lîn th¼ kho£ng c¡ch giúa hai h m f0 v  f1 trong L2 [0, 1] l  Z 1Z 1 2  12 dL2 [0,1] (f0 , f1 ) = |Ω| K(t, s) sin(ωs)ds dt , 0 (1.3) 0 câ thº l m nhä tòy þ. Thªt vªy, cho tr÷îc ε > 0, tçn t¤i Kε (t, s) ∈ C 1 (D), D := [0, 1] × [0, 1], sao cho kKε − KkC 1 ≤ ε . 2N Hìn núa, do nh¥n Kε (t, s) kh£ vi li¶n töc tr¶n mi·n D, n¶n tçn t¤i Mε > 0, sao cho ∂K ε 2kKε k∞ + ≤ Mε ∂s ∞ 16 (chu©n max trong khæng gian C 1 (D)). T½ch ph¥n tøng ph¦n, ta ÷ñc Z 1     1 Z 1 ∂K    1   ε     K (t, s) sin(ωs)ds K (t, s) cos ωs cos ωsds = − −  ε ε    ω  0 ∂s 0 0 ≤ ε Mε < , ω 2Ω 2ΩMε . Do â, ε Z 1  Z 1       ≤  K(t, s) sin(ωs)ds K (t, s) sin(ωs)ds ε     0 0 Z 1    +  (Kε (t, s) − K(t, s)) sin(ωs)ds khi ω ≥ ω(ε) := ε ≤ . Ω 0 Tø ¥y suy ra ∀ε > 0, ∃ω(ε) : ∀ω > ω(ε), kf1 − f0 k ≤ Ω ε = ε. Ω Nh÷ vªy, khi ω õ lîn, f1 r§t g¦n f0 , trong khi kho£ng c¡ch giúa hai nghi»m ϕ0 (s) v  ϕ1 (s) trong khæng gian L2 [0, 1] câ thº l m lîn b§t ký v¼ Z 1  12 Z 1  21  2 2 x0 (s) − x1 (s) ds = |N | sin (ωs)ds dL2 [0,1] (ϕ0 , ϕ1 ) = 0 0  12  Z 1
1 1 − cos(2ωs) ds = |Ω| 2 0    12 1 sin(2ω) Ω = |Ω| 1− ≥ . 2 2ω 2 1.3 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J -ìn i»u 1.3.1 To¡n tû J -ìn i»u Cho E l  khæng gian Banach. ành ngh¾a 1.3.1 (xem [3]) To¡n tû A : E → E ÷ñc gåi l  (i) η -J -ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè η > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ηkx − yk2 , j(x − y) ∈ J(x − y); 17 (ii) α-J -ìn i»u m¤nh ng÷ñc (hay α-çng bùc j -ìn i»u) n¸u tçn t¤i h¬ng sè α > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ αkAx − Ayk2 , j(x − y) ∈ J(x − y); (iii) J -ìn i»u n¸u vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y); (iv) J -ìn i»u cüc ¤i n¸u A l  to¡n tû J -ìn i»u v  ç thà Gr(A) cõa to¡n tû A khæng thüc sü bà chùa trong b§t k¼ mët ç thà cõa mët to¡n tû j -ìn i»u n o kh¡c; (v) m-J -ìn i»u n¸u A l  to¡n tû J -ìn i»u v  R(A + I) = E . Bê · 1.3.2 (xem [3]) N¸u A : E → E l  to¡n tû J -ìn i»u v  h-li¶n töc vîi D(A) = E th¼ A l  to¡n tû J -ìn i»u cüc ¤i. ành ngh¾a 1.3.3 (xem [3]) To¡n tû li¶n töc A : E → E ÷ñc gåi l  J -ìn i»u ϕ-·u ng÷ñc (hay ìn gi£n l  J -ìn i»u ·u ng÷ñc), n¸u tçn t¤i mët + h m ϕ : R+ × R+ ∗ → R∗ li¶n töc, t«ng ch°t theo bi¸n thù hai v  ϕ(s, t) = 0 khi v  ch¿ khi t = 0 vîi méi s > 0 cè ành, sao cho, vîi måi r > 0 v  x, y ∈ E , kxk, kyk ≤ r, ta câ
hA(x) − A(y), J(x − y)i ≥ ϕ r, kA(x) − A(y)k . (1.4) Nhªn x²t 1.3.4 Lîp c¡c to¡n tû J -ìn i»u m¤nh ng÷ñc l  lîp con thüc sü cõa lîp c¡c to¡n tû J -ìn i»u ·u ng÷ñc. V½ dö 1.3.5 Måi to¡n tû J -ìn i»u m¤nh ng÷ñc l  J -ìn i»u ·u ng÷ñc, do â l  J -ìn i»u. Thªt vªy, cho A l  to¡n tû J -ìn i»u m¤nh ng÷ñc vîi h¬ng sè c, th¼ A li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz c−1 v  b§t ¯ng thùc (1.4) thäa m¢n vîi h m ϕ(s, t) = ct2 . 1.3.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u ành ngh¾a 1.3.6 (xem [5]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  câ t½nh ch§t x§p x¿ n¸u tçn t¤i mët hå c¡c khæng gian con húu h¤n chi·u lçng nhau {En } v  c¡c ph²p chi¸u Pn : E → En sao cho kPn k = 1 vîi måi n ≥ 0 v  ∪n En trò mªt trong E .