Tài liệu Phép tính phân thứ và ứng dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ DUNG PHÉP TÍNH PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ DUNG PHÉP TÍNH PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.NCVC. NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục Mở đầu 1 1 Khái niệm về tích phân phân thứ và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville 1.1 Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Hàm Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Không gian các hàm khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tổng quan về lịch sử của phép tính vi phân phân thứ . . . . . . 1.3 Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Toán tử D−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Tích phân Riemann-Liouville D−α hay J α . . . . . . . . . 1.3.3 Các tính chất của tích phân phân thứ D−α . . . . . . . . 1.4 Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Định nghĩa đạo hàm cấp dương . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Các tính chất của đạo hàm cấp dương . . . . . . . . . . . 1.4.3 Đạo hàm phân thứ Grunwald và Marchaud . . . . . . . 3 3 3 3 4 5 5 6 9 9 10 10 11 11 12 15 2 Biến đổi Laplace của tích phân phân thứ và đạo hàm phân thứ 2.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các tính chất . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Công thức Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Đặc trưng của tồn tại hàm gốc Laplace . . . . . . . . . . 2.3 Biến đổi Laplace của tích phân phân thứ và đạo hàm phân thứ 17 17 17 18 19 23 23 25 27 2 2.3.1 2.3.2 Biến đổi Laplace của tích phân phân thứ . . . . . . . . . 27 Biến đổi Laplace của đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . 31 3 Phương trình tích phân Abel và phương trình vi phân phân thứ 3.1 Phương trình tích phân Abel và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Phương trình vi phân thường phân thứ . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân phân thứ . . 3.4 Hàm Green cho phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . 3.5 Phương trình khuếch tán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Phương trình sóng không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 33 36 38 40 43 45 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 3 Mở đầu Phép tính phân thứ bao gồm chủ yếu đạo hàm phân thứ và tích phân phân thứ được mở rộng từ đạo hàm cấp nguyên dương và nguyên hàm cấp cao, hay còn gọi là đạo hàm cấp nguyên âm. Phép tính phân thứ đã được ra đời từ khá lâu và phát triển mạnh mẽ vào nửa sau của thế kỷ 20, ngày càng được nhiều người quan tâm vì đã tìm thấy nhiều ứng dụng, nhất là trong cơ học và vật lý học. Hiện nay tài liệu về phép tính phân thứ rất phong phú. Nhiều tài liệu thiên về lý thuyết chặt chẽ, ví dụ như [3], [4] và [5](cùng các tài liệu tham khảo). Nhiều tài khác lại thiên về ứng dụng hình thức, ví dụ như [1] và [2](cùng các tài liệu tham khảo). Ở Việt Nam, phép tính phân thứ chưa được quan tâm nhiều. Vì thế việc tìm hiểu và học tập về phép tính phân thứ là cần thiết và lý thú. Đề tài của luận văn này là "Phép tính phân thứ và ứng dụng". Mục đích của đề tài là: tìm hiểu và học tập về phép tính vi phân và tích phân phân thứ; viết luận văn khoa học về đề tài này thiên về ứng dụng. Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày những khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân phân thứ D−α f (x) và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville Dα f (x) (α ≥ 0) của các hàm khả tổng trên khoảng hữu hạn. Chương 2: Trình bày ứng dụng biến đổi Laplace nghiên cứu tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville trên nửa trục thực của các hàm thỏa mãn điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace (hàm gốc). Chương 3: Trình bày những ứng dụng của biên đổi Laplace giải các phương trình tích phân trình Abel, phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phân thứ trên nửa trục thực đối với các hàm gốc. Trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, bên cạnh sự nỗ lực học tập, nghiên cứu và niềm đam mê Toán học của bản thân em là sự hướng dẫn tận tình của TS.NCVC.Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy. Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Ban giám hiệu, phòng 1 Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên, các thầy, các cô giảng dạy lớp cao học toán K7Y đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình em học tập tại trường cũng như quá trình làm luận văn. Em xin cảm ơn các thầy, cô trong Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trong Tổ Toán-Tin trường trung học phổ thông Phù Cừ nơi mà em đang công tác đã luôn tạo điều kiện giúp đỡ và động viên. Xin cảm ơn bạn bè và các học viên trong lớp cao học toán K7Y đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Sự quan tâm, động viên và khích lệ của gia đình cũng là nguồn động viên lớn để em hoàn thành khóa luận này. Tuy bản thân em có đã nhiều cố gắng, song không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của quý thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Dung 2 Chương 1 Khái niệm về tích phân phân thứ và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville Chương này trình bày một số kiến thức bổ trợ cần thiết; những khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân phân thứ D−α f (x) và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville Dα f (x) (α ≥ 0) của các hàm khả tổng trên khoảng hữu hạn. Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [2] và [3]. 1.1 Kiến thức bổ trợ 1.1.1 Hàm Gamma Giả sử z là số phức z = x + iy (i2 = −1), x = Re z. Hàm Gamma (hay còn gọi là tích phân Gamma) được xác định theo công thức Z ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt, x = Re z > 0. (1.1) 0 Một số công thức cơ bản của tích phân Gamma Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, n ∈ N, π Γ(z)Γ(z + 1) = , 0 < Re z < 1, sin(πz) 1 √   1.3.5...(2n + 1) √ 1 Γ = π, Γ n + = π. 2 2 2n 1.1.2 Hàm Beta Hàm Beta B(p, q) (tích phân Beta) được định nghĩa theo công thức Z 1 up−1 (1 − u)q−1 du, B(p, q) = 0 3 (1.2) trong đó p và q dương để tích phân tồn tại. Bằng phép đổi biến thông thường chỉ ra B(p, q) = B(q, p). Nếu ta đặt u = sin2 (θ), thì tích phân trở thành π/2 Z sin2p−1 (θ) cos2q−1 (θ)dθ. B(p, q) = 2 0 Nếu ta đặt u = x/(1 + x), thì tích phân trở thành Z ∞ p−1 x dx. (1 + x)p+q B(p, q) = 0 Ta có thể chứng minh B(p, q) = Γ(p) Γ(q) Γ(p + q) với mọi cách chọn p > 0 và q > 0. Ví dụ, nếu p + q = 1, thì ta có hệ thức B(p, 1 − p) = Γ(p) Γ(1 − p) = Giá trị Γ(1/2) = 1.1.3 π . sin(πp) √ π được rút ra bằng cách đặt p = 1/2. Hàm Mittag-Leffler Giả sử α là một số thực, còn z là số phức. Hàm Mittag-Leffler của biến số z và tham số α > 0 được xác định theo công thức Eα (z) = ∞ X k=o zk . Γ(αk + 1) (1.3) Một số trường hợp đặc biệt của hàm Mittag-Leffler E1 (z) = ez , √ E2 (z) = cosh( z),  d n En (λz n ) = λEn (λz n ), dz Z z k   n t E1/n (z) = ez 1 + .dt k 0 Γ( n ) Hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β (z) được xác định theo công thức Eα,β (z) = ∞ X k=o zk , α > 0, β > 0. Γ(αk + β) 4 (1.4) 1.1.4 Không gian các hàm khả tổng Với p là số thực: 1 6 p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp (Ω) là lớp các hàm f (x) xác định trên Ω, sao cho Z kf kp = |f (x)|p dx  p1 < ∞, dx = dx1 dx2 . . . dxn . Ω Số kf kp được gọi là chuẩn của hàm f (x). Lp (Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt, L2 (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng Z f (x) g(x)dx, (f, g) = Ω trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x). Hàm xác định trên Ω được gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tại hằng số dương C , sao cho |f (x)| 6 C hầu khắp nơi trên Ω. Cận dưới lớn nhất của f (x) được ký hiệu là ess sup |f (x)|. x∈Ω Ta ký hiệu L∞ (Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω. Chuẩn trong L∞ (Ω) được xác định theo công thức kf k∞ = ess sup |f (x)|, x∈Ω trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b]. 1.1.5 Biến đổi tích phân Fourier • Định nghĩa biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L1 (R) . Hàm f˜ xác định bởi công thức Z∞ 1 f˜(λ) = F{f }(λ) = √ 2π f (t) e−iλt dt (1.5) −∞ được gọi là phép biến đổi Fourier của f . Giả sử f˜(λ) ∈ L1 (R). Biến đổi Fourier ngược được xác định theo công thức 1 f (x) = F−1 {f˜} = √ 2π Z∞ −∞ 5 f˜(λ)eiλt dλ (1.6) • Các tính chất của biến đổi Fourier Tính chất 1.1. (Định lý Riemann-Lebesgue). Nếu f (t) ∈ L1 (R), thì f˜(λ) = F[f ] là hàm liên tục và tiến đến không khi |λ| → +∞. Tính chất 1.2. fr (x) = f (rx) . Ta có   λ 1 f˜ (λ) = f˜ r r . Tính chất 1.3. Nếu các đạo hàm Dk f (t) = f (k) (t) ∈ L1 (R), k ≤ m và bằng không ở vô cùng, thì F{f (m) }(λ) = (iλ)m F{f }(λ). Tính chất 1.4. Nếu f, g ∈ L1 (R), thì tích chập f ∗ g ∈ L1 (R) và F{f ∗ g} = trong đó Z √ 2π F{f }F{g}, ∞ f ∗g = f (x − t)g(t)dt. −∞ Tính chất 1.5. Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, nghĩa là f ∈ C∞ và    p (q)  ∀p, q ∈, ∃M > 0, ∀x, x f (x) < M. Khi đó F{f } ∈ S. 1.2 Tổng quan về lịch sử của phép tính vi phân phân thứ • Trong lịch sử, Isaac Newton (1642-1727) và Gottfried Leibniz Wihelm (1646- 1716) đã độc lập phát hiện ra phép tính (phân thứ) vào thế kỷ 17. Trong một công trình đáng chú ý, John Von Neumann’s (1903-1957) suy nghĩ và có những nhận xét: " ... Các phép toán này là thành quả đầu tiên của Toán học hiện đại và khó đánh giá hết tầm quan trọng của nó. Tôi nghĩ rằng nó định nghĩa rõ ràng hơn bất cứ điều gì khác cho khởi đầu của Toán học hiện đại và Giải tích toán học, đó là sự phát triển logic của nó, đã tạo thành các tiến bộ kỹ thuật vĩ đại nhất trong tư duy chính xác..." • Trong nghiên cứu phép toán của mình, Leibniz đã giới thiệu ý tưởng đầu tiên thuộc phương pháp và sử dụng ký hiệu dn y = Dn y cho vi phân cấp n, dxn trong đó n là một số nguyên không âm. L’Hospital hỏi Leibniz về khả năng 6 1 2 n là một phân số. "chẳng hạn n = ". Leibniz (1695) trả lời: "Nó sẽ dẫn đến một nghịch lý". Nhưng ông nói thêm tiên tri, "Từ nghịch lý rõ ràng này, kết quả rất hữu ích trong một ngày sẽ được rút ra". • Bằng cách nào để phép tính vi phân phân thứ Dn y có thể được mở rộng với n là số bất kì – hữu tỷ, vô tỷ hay số phức? Trong 700 trang sách của mình về phép tính được công bố vào năm 1819, Lacroix đã phát triển các phép tính vi phân cấp n của hàm y = xm , m là một số nguyên dương: Dn y = m! xm−n (m − n)! (1.7) trong đó (n ≤ m) là các số nguyên. Trong công thức thay n bởi α và thay hàm y theo xβ , ông tiếp tục thu được phép tính vi phân: D α xβ = Γ(β + 1) xβ−α Γ(β − α + 1) với α và β là các số hữu tỷ. Đặc biệt, ông đã tính r 1 x Γ(2) 1 D2 x =  x2 = 2 . 3 Γ π (1.8) (1.9) 2 • Mặt khác, vào năm 1832, Joseph Liouville (1809-1882) một cách hình thức đã mở rộng đạo hàm cấp nguyên dương n nhờ công thức Dn eax = an eax . (1.10) Trong công thức trên thay n bởi α tùy ý được: Dα eax = aα eax (1.11) Sử dụng khai triển thành chuỗi của hàm f(x), Liouville đã đưa ra phép tính: α D f (x) = ∞ X cn aαn ean x , (1.12) 0 trong đó f (x) = ∞ X cn exp(an x), Re an > 0. (1.13) 0 Công thức (1.12) là định nghĩa đầu tiên của Liouville cho phép tính đạo hàm phân thứ. Nó có thể được sử dụng như là một công thức tính đạo hàm cấp α tùy ý, có thể là hữu tỷ, vô tỷ hoặc số phức. Tuy nhiên, nó chỉ có thể được sử dụng cho các hàm có dạng (1.13). 7 • Để mở rộng định nghĩa đầu tiên (1.12) của mình, Liouville xây dựng định nghĩa đạo hàm phân thứ dựa trên hàm số gama (Theo Debnath và Speight (1971)), như sau Z ∞ −β Γ(β)x = tβ−1 e−xt dt, β > 0, (1.14) 0 Dα x−β = (−1)α Γ(α + β) −α−β x , β > 0. Γ(β) (1.15) Điều này được gọi là định nghĩa thứ hai của Liouville về đạo hàm phân thứ. Ông áp dụng thành công định nghĩa của mình trong các bài toán của lý thuyết điện. Tuy nhiên, định nghĩa đầu tiên của Liouville được giới hạn trong một lớp các hàm có dạng (1.13), và có lẽ định nghĩa thứ hai của ông chỉ phù hợp với các hàm hữu tỷ? Không, ông đã đưa ra định nghĩa thích hợp cho mọi hàm số. Theo (1.15) thì không tồn tại vi phân phân thứ của hàm số hằng (β = 0) vì Γ(0) = ∞. Mặt khác, định nghĩa Lacroix cho phép tính được đạo hàm phân thứ cho hàm hằng (β = 0) bởi công thức: Dα 1 = x−α 6= 0. Γ(1 − α) (1.16) • Peacock (1833) đồng ý với Lacroix định nghĩa (1.2) cho các đạo hàm phân thứ, nhưng các nhà toán học khác lại thích định nghĩa của Liouville. Điều này dẫn đến một sự khác biệt giữa hai định nghĩa của đạo hàm phân thứ. Mặc dù có rất nhiều phát triển tiếp theo về vấn đề phép tính vi phân, nhưng tranh cãi này hầu như không được giải quyết. • Năm 1822, Fourier đã tìm được biểu diễn tích phân của hàm f(x) và các đạo hàm của nó: Z +∞ Z +∞ f (x) = 1 2π cos t(x − ξ)dt, f (ξ)dξ −∞ 1 D f (x) = 2π n Z −∞ +∞ +∞ Z tn cos{t(x − ξ) + f (ξ)dξ −∞ −∞ Thay số nguyên n bởi số thực α được kết quả sau Z +∞ Z +∞ Dα f (x) = 1 2π tα cos{t(x − ξ) + f (ξ)dξ −∞ −∞ nπ }dt. 2 απ }dt 2 • Greer đã tìm ra phép tính vi phân phân thứ cho các hàm số lượng giác dựa trên công thức (1.12) bằng công thức sau. Dα eiax = iα aα eiax = iα aα (cos ax + i sin ax) πα
πα + i sin (cos ax + i sin ax). = aα cos 2 2 8 Vậy vi phân phân thứ của các hàm số lượng giác cho bởi công thức
πα πα πα
α α α D (cos ax) = a Dα (sin ax) = aα Khi α = 1 2 cos ax − sin sin ax = a cos ax + , 2 2 2

πα πα πα + sin ax cos = aα sin ax + . cos ax sin 2 2 2 cos và a = 1 Greer’s có được công thức như sau 1 π
D 2 cos x = cos x + , 4
1 π D 2 sin x = sin x + . 4 Tương tự như vậy có thể tính được vi phân phân thứ của các hàm hyperbolic. 1.3 1.3.1 Tích phân phân thứ Toán tử D−n • Ý tưởng của vi phân phân phân thứ và tích phân phân thứ có thể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau. Đầu tiên ta đi xét các phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất cấp n. dn D = n , b ≤ x ≤ c. dx n n D y = f (x), (1.17) Khi đó 1, x, x2 , ..., xn−1 là nghiệm tương ứng của phương trình thuần nhất Dn y = 0. Nếu f (x) là hàm liên tục trong b ≤ x ≤ c thì tồn tại a ∈ (b, c) để Z x (x − t)n−1 y(x) = f (t)dt (1.18) a (n − 1)! là nghiệm duy nhất của phương trình (1.17) với các giá trị ban đầu y k (a) = 0, 0 ≤ k ≤ n − 1 hoặc tương đương y =a Dx−n f (x) 1 = Γ(n) Z x (x − t)n−1 f (t)dt. (1.19) a • Nhận xét rằng toán tử D−n có thể nhận được khi ta tích phân nth hàm f(t): x Z t2 Z dtn ... 0 0 1 f (t1 )dt1 = (n − 1)! Z x (x − t)n−1 f (t)dt. (1.20) 0 Công thức (1.20) thường được gọi là công thức Cauchy. Như vậy, 0 Dx−n f (x) thực chất là một nguyên hàm cấp n của f(x), do đó 0 Dx−n là toán tử tích phân (tích phân nguyên dương, hay đạo hàm nguyên âm). 9 1.3.2 Tích phân Riemann-Liouville D−α hay J α Thay n bởi α, với Re α > 0 trong công thức trên, chúng ta thấy có dạng tích phân phân thứ Riemann-Liouville mà đã được tìm thấy bởi Liouville năm 1832 và Riemann năm 1876 như sau: Z x 1 −α α (x − t)α−1 f (t)dt (1.21) a Dx f (x) =a Jx f (x) = Γ(α) a Ở đây a Dx−α =a Jxα là toán tử tích phân Riemann-Liouville. Khi a = 0 tích phân phân thứ (1.21) do Riemann định nghĩa, còn khi a = −∞ thì do Liouville đưa ra. Tích phân loại này đã được xuất hiện trong xây dựng lý thuyết của phương trình vi phân tuyến tính thường và gọi đó là dạng đầu tiên của biến đổi Euler. Từ nay về sau ta ký hiệu o Dx−α = D−α = J α . • Nhận xét rằng, công thức tích phân phân thứ (1.19) có thể nhận được từ công thức tích phân Euler sau đây Z x Γ(r + 1)Γ(s + 1) r+s+1 (x − t)r ts dt = x , r, s > −1. (1.22) Γ(r + s + 2) 0 Thay r bởi n-1 và s bởi n thu được Z x (x − t)n−1 tn dt = 0 Γ(n) x2n = Γ(n) 0 Dx−n xn . (n + 1)...(2n) (1.23) Bởi vậy, công thức (1.19) được suy ra từ công thức (1.23) khi thay tn bởi f(t) và 0 bởi a. Từ đó, khi thay n bởi α chúng ta được công thức (1.21). Ví dụ 1.1. a) b) 1 2 √ x, x ≥ 0. D2x = √ π √ √ 1 π 2 J0 (x), x ≥ 0, D sin x = 2 trong đó J0 (x) là hàm Bessel loại một, cấp không. 1.3.3 Các tính chất của tích phân phân thứ D−α Các tính chất sau đây của D−α có thể tìm thấy trong [3]. Mệnh đề 1.1. Nếu f (x) ∈ L1 (0, l), l < ∞ thì với mọi α (0 < α < + ∞), hàm số D−α f (x) xác định trên L1 (0, l). Chứng minh. Ta có Z l |D 0 −α lα−1 f (x)|dx ≤ Γ(1 + α) Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 10 l Z |f (t)|dt < +∞. 0 Ví dụ 1.2. 4 a) D−1/2 x = √ x3/2 . 3 π n xγ o xγ+α b) D−α , −1 < γ < +∞. = Γ(1 + γ) Γ(1 + γ + α) (1.24) (1.25) Mệnh đề 1.2. Giả sử f ∈ L1 (0, l), α ∈ (0, +∞), β ∈ (0, +∞). Khi đó hầu khắp nơi trong (0, l) có bất đẳng thức     (1.26) D−β D−α f (x) = D−α D−β f (x) = D−(α+β) f (x). Chứng minh. Ta có   D −β D −α Z x Z t 1 1 (x − t)β−1 (t − τ )α−1 f (τ )dτ dt f (x) = Γ(β) 0 Γ(α) Z x Z x 0 n o 1 β−1 α−1 = f (τ ) (x − t) (t − τ ) dτ dt Γ(α)Γ(β) 0 τ Z x 1 (x − τ )α+β−1 f (τ )dτ = D−(α+β) f (x). = Γ(α + β) 0 n o Mệnh đề 1.3. Giả sử f ∈ L1 (0, l). Điểm x ∈ (0, l) được gọi là điểm Lebesgue của hàm f(x), nếu Z h 1 h→0 h |f (x + t) − f (x)|dt = 0. lim 0 Khi đó tại điểm mọi điểm Lebesgue trên (0, l) có đẳng thức lim D−α f (x) = f (x). (1.27) α→+0 Trên cơ sở của Mệnh đề 1.3, ta định nghĩa D0 f (x) = f (x). (1.28) 1.4 Đạo hàm phân thứ 1.4.1 Định nghĩa đạo hàm cấp dương • Với α = 0, đạo hàm cấp không D0 f (x) được định nghĩa theo công thức (1.28). • Với α = m (m là số nguyên dương), ta định nghĩa dm f (x) . D f (x) = D f (x) = dxm α m (1.29) • Với m − 1 < α ≤ m (m là số nguyên dương), ta định nghĩa Dα f (x) = Dm D−(m−α) f (x) = 11 dm D−(m−α) f (x) . dxm n o (1.30) Ví dụ 1.3. D 3/2 √ x=D 2  D −1/2 √ x =D π ), 4 1 D 2 cos x = cos(x +  2  √π  2 x = 0. 1 D 2 sin x = sin(x + π ). 4 (1.31) Ví dụ 1.4. Giả sử m − 1 < α ≤ m (m ≥ 1), −1 < γ < +∞. Theo công thức (1.30), ta có n xγ o n xγ o dm −(m−α) α D Γ(1 + γ) = dxm D Γ(1 + γ) . Sử dụng công thức (1.25), ta có Dα 1.4.2 n xγ Γ(1 + γ) o = dm xγ+m−α dxm Γ(1 + γ + m − α) n o = xγ−α Γ(1 + γ − α) (1.32) Các tính chất của đạo hàm cấp dương Mệnh đề 1.4. Nếu f ∈ L1 (0, l), thì với mọi α > 0, hầu khắp nơi x ∈ (0, l) có đẳng thức Dα D−α f (x) = f (x). (1.33) Chứng minh. Giả sử m − 1 < α ≤ m (m ≥ 1). Theo định nghĩa ta có Dα D−α f (x) = Dm D−(m−α) D−α f (x). Theo công thức(1.26), ta có m D D −(m−α) D −α f (x) = D m n D −(m−α)−α o f (x) = Dm D−m f (x) = f (x). Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.5. Giả sử hàm f(x) trên (0, l) có đạo hàm khả tổng cấp α > 0 (m − 1 < α ≤ m). Khi đó hầu khắp nơi trong (0, l) có đẳng thức D −α α D f (x) = f (x) − m X [Dα−k f (x)]x=0 k=1 xα−k . Γ(α − k + 1) (1.34) Chứng minh. Thật vậy, theo định nghĩa ta có Z x 1 (x − t)α−1 Dtm [D−(m−α) f (t)]dt, Γ(α) 0 Z x n o d 1 = (x − t)α Dtm [D−(m−α) f (t)]dt . dx Γ(α + 1) 0 D−α Dα f (x) = 12 (1.35) Mặt khác, thực hiện m lần tích phân từng phần, ta được Z x 1 Γ(α + 1) (x − t)α Dtm [D−(m−α) f (t)]dt = 0 1 = Γ(α + 1 − m) − m h X D m−k D Z x (x − t)α−m D−(m−α) f (t)dt− 0 −(m−k) i f (t) x=0 k=1 Vế phải của (1.36) có nghĩa vì n Dm D−(m−α) f (f ) suy ra tất cả các hàm dạng n D m−k D −(m−α) o o f (f ) , xα+1−k . Γ(1 + α − k) (1.36) ∈ L1 (0, l), k = 1, 2, ..., m đều khả tổng trên (0, l). Bây giờ chúng ta có thể biến đổi biểu thức bên phải của (1.36). Trước hết, theo công thức (1.26) ta có Z x 1 Γ(1 + α − k) (x − t)α−m D−(m−α) f (t)dt = D−(α−m+1) D−(m−α) f (x) 0 =D −1 Z f (x) = x f (t)dt. (1.37) 0 Từ đây đễ dàng suy ra công thức (1.34). Mệnh đề được chứng minh. Với 0 < α ≤ 1 từ (1.34) suy ra D−α Dα f (x) = f (x) − [D−(1−α) f (t)]t=0 xα−1 Γ(α) (1.38) Mệnh đề 1.6. Giả sử f (x) ∈ L1 (0, l). Khi đó 1. Nếu β ≥ α ≥ 0, thì Dα D−β f (x) = D−(β−α) f (x), x ∈ (0, l); (1.39) 2. Nếu α > β ≥ 0, và tồn tại đạo hàm Dα−β f (x), thì Dα D−β f (x) = Dα−β f (x), x ∈ (0, l). Chứng minh. 1. Ta có Dα D−β f (x) = Dα D−α D−(β−α) f (x) = D−(β−α) f (x). 2. Giả sử m − 1 < α ≤ m (m ≥ 1). Khi đó ta có Dα−β f (x) = Dm D−(m−α) D−β f (x) = Dα D−β f (x). 13 (1.40) Mệnh đề 1.7. Giả sử f (x) ∈ L1 (0, l) và tồn tại đạo hàm Dβ f (x), m − 1 < β ≤ m (m ≥ 1). Khi đó với mọi α ≥ 0, hầu khắp nới trong (0, l) có đẳng thức D −α β D f (x) = D β−α f (x) − m X [Dβ−k f (t)]t=0 k=1 xα−k . Γ(1 + β − k) (1.41) Chứng minh. Thật vậy, theo Mệnh đề 1.2 (khi β ≤ α) và Mệnh đề 1.6(1) (khi β ≥ α), ta có D−α Dβ f (x) = Dβ−α D−β Dβ f (x). Theo công thức (1.34), ta có D −α β D f (x) = D β−α n f (x) − m X [Dβ−k f (x)]x=0 k=1 xβ−k . Γ(β − k + 1) o Từ công thức trên đây và công thức Dβ−α xβ−k xα−k = Γ(β − k + 1) Γ(α − k + 1) suy ra công thức (1.41). Mệnh đề được chứng minh. Ví dụ 1.5. Ta có a) D−1 D2 f (x) = Df (x) − f 0 (0). b) D−2 D3 f (x) = Df (x) − f 00 (0)x − f 0 (0). 1 c) D−3 D3 f (x) = D0 f (x) − f 00 (0)x2 − f 0 (0)x − f (0). 2 Mệnh đề 1.8. Giả sử hàm f(x) và các đạo hàm đến cấp p-1 (p ≥ 1) của f(x) là những hàm liên tục trên đoạn [0, l], ngoài ra f (p) (x) ∈ L1 (0, l). Khi đó với mọi α (0 < α ≤ p), tồn tại các đạo hàm Dα . Ngoài ra, nếu p − 1 < α ≤ p (p ≥ 1), hầu khắp nơi trên (0, l) có đẳng thức α D f (x) = p−1 X k=0 f (k) (0) xk−α + D−(p−α) f (p) (x), x ∈ (0, l). Γ(1 + k − α) (1.42) Chứng minh. Thật vậy, vế phải của (1.42) có thể được viết ở dạng dp dxp p−1 nX k=0 f (k) (0) xp+k−α + D−(2p−α) f (p) (x) . Γ(1 + p + k − α) o (1.43) Nhưng, tích phân từng phần liên tiếp, ta có D −(2p−α) (p) f (x) = − p−1 X k=0 f (k) (0) xp+k−α + D−(p−α) f (p) (x). Γ(1 + p + k − α) 14 (1.44) Từ (1.43) và (1.44) suy ra vế phải của (1.42) là dp −(p−α) D f (x) = Dα f (x). dxp Mệnh đề được chứng minh. 1.4.3 Đạo hàm phân thứ Grunwald và Marchaud Grunwald (1867) đã giới thiệu ý tưởng của vi phân phân thứ như là giới hạn của tổng sau n Γ(α + 1)f (x − rh) 1 X D f (x) = lim α (−1)r Γ(r + 1)Γ(α − r + 1) h→0 h α (1.45) r=0 với giả thiết giới hạn tồn tại. Sử dụng đồng nhất thức (−1)r Γ(α + 1) Γ(r − α) = , Γ(α − r + 1) −α (1.46) công thức (1.45) có dạng: n h−α X Γ(r − α) D f (x) = lim f (x − rh). Γ(r + 1) h→0 Γ(−α) α (1.47) r=0 Khi α bằng một số nguyên m, định nghĩa (1.45) giảm vi phân của tích phân cấp m là   n X m 1 (−1)r f (x − rh), (1.48) Dm f (x) = lim m h→0 trong đó m r
h r=0 r là hệ số nhị thức thông thường. Định nghĩa (1.48) suy ra định nghĩa cổ điển của f 0 (x), f 00 (x), ... như sau f (x) − f (x − h) ∆f (x) = lim h h h→0 h→0 0 (x) − f 0 (x − h) 2 f (x) f ∆ D2 f (x) = lim = lim h h2 h→0 h→0 Df (x) = lim (1.49) (1.50) Với ∆f (x − rh) = f (x − rh) − f (x − (r + 1)h). (1.51) Trên nửa còn lại, Marchaud (1927) đã trình bày vi phân phân thứ cấp α tùy ý bằng công thức Z x f (x) α f (x) − f (t) α α D f (x) = x + dt, (1.52) α+1) Γ(1 − α) Γ(1 − α) 15 0 (x − t) trong đó 0 < α < 1. Nó đã được chứng minh bởi Samko et al (1987) nên (1.52) và (1.45) là tương đương. Thay m bởi -m trong (1.48), nó có thể được thể hiện một cách quy nạp như sau −m 0 Dx f (x) m = lim h h→0 = 1 Γ(m) n X m  r f (t − rh) Z r=0 x (x − t)m−1 f (t)dt, (1.53) 0 trong đó m  r = m(m + 1)...(m + r + 1) . r! 16 (1.54)