Tài liệu Phép đo yếu và các giá trị yếu trong vật lí lượng tử (lv00998)

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn, em đã nhận được sự quan tâm của các thầy giáo, cô giáo trong tổ vật lí lí thuyết nói riêng và các thầy cô trong khoa lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cũng như sự hỗ trợ động viên của các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành tới thầy TS. Trần Thái Hoa đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành tốt luận văn. Tuy nhiên do thời gian có hạn và trình độ nhận thức còn hạn chế, dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn những vấn đề em trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em kính mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của thầy cô giáo cũng như sự đóng góp ý kiến của các bạn học viên để khóa luận của em hoàn thiện hơn nữa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013 Học viên Hoàng Minh Nguyệt LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy trách nhiệm của TS. Trần Thái Hoa. Đây là đề tài không trùng với đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với các kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013 Học viên Hoàng Minh Nguyệt MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 NỘI DUNG....................................................................................................... 2 Chƣơng 1: Giới thiệu về phép đo yếu và giá trị yếu .................................... 2 1. Phép đo yếu ................................................................................................... 2 2. Giá trị yếu ...................................................................................................... 3 3. Kết luận ......................................................................................................... 6 Chƣơng 2: Giới thiệu một vài hƣớng trong vật lí lƣợng tử......................... 7 1. Thời gian đối xứng trong quá trình đo lượng tử ........................................... 7 1.1. Giới thiệu .................................................................................................... 7 1.2. Chuyển động lượng tử là đối xứng thời gian ............................................. 8 1.3. Thời gian không đối xứng trong MP.......................................................... 9 1.4. Trình tự quan sát ........................................................................................ 9 1.5. Mô tả trạng thái lượng tử tại thời điểm t .................................................. 15 2. Những tính chất của hệ lượng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo.....16 2.1. Giới thiệu .................................................................................................. 16 2.2. Nghịch đảo thời gian ................................................................................ 17 2.3. Hai quan sát không giao hoán có giá trị xác định ở khoảng thời gian giữa hai phép đo ...................................................................................................... 19 2.4. Phép đo von Neumann ............................................................................. 20 2.5. Giá trị trung bình của toán tử ................................................................... 31 2.6. Phép đo yếu được thực hiện trên một hệ lượng tử đơn ............................ 33 2.7. Một “nghịch lí” toán học .......................................................................... 36 3. Kết luận ....................................................................................................... 40 Chƣơng 3: Một vài ứng dụng trong vật lí lƣợng tử ................................... 41 1. Nghịch lí Hardy ........................................................................................... 41 2. Làm thế nào để phép đo thành phần của một hạt có spin 1 có thể đạt 2 được 100 .................................................................................................. 50 3. Kết luận ....................................................................................................... 57 KẾT LUẬN .................................................................................................... 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 59 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay ở Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lý lý thuyết đang gặp nhiều khó khăn về nhân lực và vật lực cũng như hướng nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu của tôi về: “Phép đo yếu và các giá trị yếu trong vật lý lƣợng tử” (weak measurement, weak values in quantum physics) là một vấn đề rất mới hứa hẹn nhiều đóng góp cho lĩnh vực vật lý lượng tử và vạch ra những lý thuyết mới làm nền tảng cho vật lý thực nghiệm. Đề tài nghiên cứu này mang tính chất lượng tử sâu sắc và ứng dụng phép đo yếu trong các bài toán thực tiễn về việc đo đạc. Đây là 1 đề tài dựa trên đề tài cấp Bộ 2013 - 2015. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép đo yếu, các giá trị yếu và các khả năng ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử và vật lý lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các phép đo yếu, các giá trị yếu và khả năng ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử và vật lý lượng tử. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Vật lý lượng tử & các vấn đề đo đạc trong vật lý lượng tử. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý toán 2 NỘI DUNG Chƣơng 1: GIỚI THIỆU VỀ PHÉP ĐO YẾU VÀ GIÁ TRỊ YẾU 1. Phép đo yếu Phép đo yếu là một loại của đo lường lượng tử, trong đó hệ thống đo là rất yếu cùng với thiết bị đo lường. Sau khi đo số đo con trỏ của thiết bị đo được dịch chuyển bởi cái gọi là “giá trị yếu”. Vì vậy, một con trỏ ban đầu chỉ tại số 0 trước khi đo sẽ chỉ vào giá trị yếu sau khi đo. Hệ thống không bị nhiễu loạn bởi cách đo. Mặc dù điều này có vẻ mâu thuẫn với một số khía cạnh cơ bản của lý thuyết và không mâu thuẫn với bất kì khái niệm cơ bản nào, đặc biệt là nguyên lí bất định của Heisenberg. Ý tưởng của các phép đo yếu và các giá trị yếu lần đầu tiên được phát triển bởi Yakir Ahanorov, David Albert và Vaidman Lev (AAV), xuất bản năm 1988, đặc biệt hữu ích cho việc đạt được thông tin của hệ lượng tử preselected và post-selected được mô tả bởi hệ thức vectơ hai trạng thái. Điều này là lí do ban đầu mà Ahanorov và các cộng sự phát triển phép đo yếu. Từ một phép đo có “nhiễu loạn lớn” có thể làm đảo lộn và làm rối tất cả các kết quả của post-selection và làm xáo trộn các phép đo sau đó. Phép đo không làm nhiễu loạn yếu có thể được sử dụng để tìm hiểu về hệ thống như vậy trong quá trính phát triển của chúng. Theo định nghĩa phép đo yếu đôi khi được sử dụng để đo một hệ lượng tử với mục đích thông tin phản hồi và kiểm soát. Ví dụ, phép đo yếu liên tục được sử dụng để hướng một chất khí nguyên tử cực mạnh vào một trạng thái lượng tử đã được chọn. Định nghĩa mở rộng cũng bao gồm một loại đo lường mà được xem là một phép đo một quan sát vĩ mô gồm các quan sát bằng kính hiển vi của nhiều hệ con giống hệt nhau, mỗi một hệ trong số đó chỉ tương tác một cách tối thiểu với thiết bị đo. Việc đo từ tính của một tập hợp lớn spin là 3 một ví dụ tự nhiên. Một ví dụ phổ biến khác là phép đo tần số vô tuyến ở trạng thái lỏng các thí nghiệm cộng hưởng hạt nhân. Trong điều kiện ban đầu của post-selection, phép đo yếu có hai lĩnh vực ứng dụng: Đầu tiên là phân tích một cách đơn giản hóa hiện tượng hoặc các thí nghiệm tồn tại trước trong đó nó được nhận thấy rằng một phép đo yếu đã thực sự xảy ra. Ví dụ về ứng dụng này là các tính chất mạng quang học trong sự xuất hiện của sự tán sắc mode phân cực, mô hình hóa của hiệu ứng ánh sáng chậm và nhanh trong lưỡng chiết tinh thể quang tử. Lĩnh vực thứ hai của ứng dụng là nghiên cứu hiện tượng một cách hàn lâm không phù hợp với đặc điểm của phép đo chuẩn. Các nghiên cứu này có nhiều thành tựu mà bao gồm việc đưa đến một quan điểm thống nhất mới để tránh những cuộc tranh cãi đường hầm- thời gian. Về vai trò của đường dẫn thông tin và nguyên lý bất định Heisenberg trong thí nghiệm hai khe và cung cấp hướng giải quyết phù hợp cho nghịch lý Hardy. Quá trình của phép đo yếu được mô tả ban đầu bởi AAV sử dụng mô hình đo lường von Neumann. Điều này dẫn đến sự chỉ trích rằng kết luận của họ không phổ quát cho tất cả các loại phép đo và đặc biệt, các dự đoán của họ chỉ đơn giản là được tạo ra từ mô hình đơn giản von Neumann. Kể từ những ngày đầu, phép đo yếu đã được mở rộng đa dạng hơn các loại phép đo khác, vì vậy để bây giờ nó có sức thuyết phục, mặc dù không kết luận, nhưng bằng chứng cho thấy phép đo yếu thật sự phổ quát. 2. Giá trị yếu 2.1. Giá trị yếu Kết quả của phép đo yếu, giá trị yếu, không chỉ đặc biệt vì chúng rất khác các kết quả của phép đo chuẩn. Chúng là một phần của cấu trúc mới đơn giản và phong phú tồn tại trong thế giới lượng tử. Khái niệm của giá trị yếu là 4 đơn giản và phổ quát. Các giá trị yếu được xác định cho tất cả các biến và cho tất cả các tiền sử có thể có của hệ lượng tử. Chúng tự xuất hiện trong tất cả các liên kết mà là đủ yếu. Nếu 1 và là các trạng thái cơ học lượng tử pre- selected và 2 µ có thể quan sát được định nghĩa là: post-selected, giá trị yếu của toán tử A Aw 1  1 2 (1.2.1) 2 Lưu ý: khi áp dụng công thức cho giá trị yếu trong phương trình (1.2.1), các trạng thái đầu và cuối được cho là tương đương với hệ lượng tử ngay trước và sau phép đo yếu. Bất kỳ sự phát triển của hệ thống giữa phép đo yếu thực tại (tại thời điểm t0) và pre-selection (tại thời điểm t1) hoặc post-selection (tại thời điểm t2) phải được đưa vào trong các trạng thái (ví dụ: 1 Ût t0 1 pre selection ). Giá trị yếu của các quan sát trở nên lớn khi trạng thái post-selected, 2 , tiến tới trực giao với trạng thái pre-selected, 1 . Trong cách này, bằng việc lựa chọn trạng thái, giá trị yếu của toán tử được thực hiện lớn tùy ý và các hiệu ứng nhỏ khác có thể được khuếch đại. 2.2. Tính chất của giá trị yếu Giá trị yếu có một số đặc tính chung với các giá trị trung bình chuẩn. a) Nếu không có post-selection, giá trị yếu bằng với giá trị trung bình chuẩn của quan sát được đo yếu: Aw 1 µ A 1 1 (1.2.2) 1 Vì trạng thái đầu không bị nhiễu loạn bởi phép đo yếu và không có post-selection 2 = 1 . 5 b) Nếu hoặc pre-selected hoặc post-selected là một giá trị riêng của quan sát được đo yếu thì giá trị yếu bằng với giá trị riêng tương ứng: Aw µ ai A ai ai ai ai 1 1 1 ai (1.2.3) 1 Một phép đo mạnh của toán tử  sau pre-selection trong trạng thái a i sẽ trở thành ai một cách chắc chắn, bất kể điều gì post-selection được thực hiện sau. Tương tự như vậy, nếu trạng thái là post-selection trong a i thì một phép đo mạnh trước của toán tử  phải trở thành ai và rút gọn trạng thái thành a i . Do đó, giá trị yếu bằng giá trị trung bình chuẩn của toán tử  trong trạng thái này. c) Các giá trị yếu có quan hệ tuyến tính trong các hình thức tương tự như toán tử mô tả các quan sát Cw ( A ˆ A 1 B) w ˆ B 1 2 (1.2.4) 2 Giá trị trung bình chuẩn liên quan trong cách thức tương tự. d) Như giá trị trung bình chuẩn, giá trị yếu của tích hai quan sát không nhất thiết phải bằng với tích của các giá trị yếu cho hai quan sát AB A w B 1 ˆˆ AB 2 w 1 1 2 ˆ A 2 1 1 2 1 ˆ B 2 w (1.2.5) 2 Thực hiện một cách riêng, mỗi tính chất trong bốn tính chất này không là điều ngạc nhiên vì chúng phù hợp với giá trị trung bình chuẩn. Tuy nhiên, vì các phép đo yếu không nhiễu loạn hệ được đo, tất cả các tính chất này phải được giữ đồng thời (không giống như phép đo mạnh sử dụng để đo giá trị 6 trung bình chuẩn).Ví dụ, nếu b và 2 a thì Aw=a và Bw=b (tính chất 1 ˆ A ˆ B ˆ (tính chất c). Điều ngạc nhiên, vì  và B̂ b) và Cw=a+b trong đó C không giao hoán, nói chung a+b sẽ nằm ngoài phạm vi của giá trị riêng của Ĉ . Hơn nữa  , B̂ và Ĉ có thể được đo yếu đồng thời mặc dù chúng không giao hoán. Vì vậy, ta có tính chất thứ 5 tách từ các tính chất của các giá trị trung bình chuẩn e) Nói chung, giá trị yếu có thể ở bất cứ đâu trong mặt phẳng phức 1 Aw  1 2 2 Tử số và mẫu số là các số phức với xác suất P 2 1 2 (1.2.6) 3. Kết luận Phép đo yếu là một quá trình đo chuẩn với hai thay đổi: Nó được biểu diễn trên hệ lượng tử pre- và post-selected và liên kết với thiết bị đo được đo yếu. Kết quả của phép đo yếu, các “giá trị yếu” rất khác với các giá trị riêng của toán tử phép đo. Các giá trị yếu mang lại cấu trúc phong phú về thế giới lượng tử. Các giá trị yếu giúp giải thích hiện tượng lượng tử riêng biệt và tìm thấy các hiệu ứng mới mà có thể cho ứng dụng thực tế. Vì vậy phép đo yếu, các giá trị yếu hiện nay có rất nhiều ứng dụng trong vật lý lượng tử. 7 Chƣơng 2: GIỚI THIỆU MỘT VÀI HƢỚNG TRONG VẬT LÍ LƢỢNG TỬ 1. Thời gian đối xứng trong quá trình đo lƣợng tử 1.1. Giới thiệu Một trong những vấn đề đầy thách thức của vật lí lí thuyết là “mũi tên thời gian”. Tất cả các định luật vật lí “vi mô” bao giờ cũng đề ra nghiêm túc và được công nhận rộng rãi là hoàn toàn đối xứng đối với hướng của thời gian, chúng là hình thức- bất biến với nghịch đảo thời gian. Trên thực tế không có đối xứng thời gian trong tự nhiên thông qua báo cáo chính thức của các định luật của nguyên lí tự nhiên trong hai lĩnh vực. Một trong số đó là nhiệt động lực học, đặc biệt định luật thứ hai của máy nhiệt động lực, công bố sau đó rằng entropy của hệ thống nhiệt bị cô lập chỉ có thể tăng hướng tới tương lai. Một lĩnh vực khác là sự nghiên cứu về vũ trụ, vũ trụ của chúng ta đang mở rộng hướng tới tương lai. Gold đã cho rằng hai hiện tượng không đối xứng cũng có thể là quan hệ nhân quả có liên quan với nhau. Một tác động thời gian không đối xứng thứ ba, ưu thế của bức xạ ra trong tự nhiên qua bức xạ tới, có thể được coi là một khía cạnh đặc biệt của định luật thứ hai. Trong lí thuyết lượng tử định luật động học của chuyển động, hoặc là phương trình Schrodinger hoặc là phương trình Heisenberg, là đối xứng thời gian như bản sao cổ điển của chúng, phương trình chuyển động Hamilton. Mặc dù, nó đã được cho rằng sự bất đối xứng trong hướng của thời gian, và thậm chí nhiệt động lực học không thể nghịch đảo, đi vào lí thuyết lượng tử thông qua lí thuyết của phép đo. Bất kì phép đo biểu diễn trên một hệ lượng tử thay đổi trạng thái của nó theo cách dán đoạn không được mô tả bởi các phương trình Schrodinger hay Heisenberg của hệ bị cô lập. Việc thực hiện phép đo dẫn đến 8 “sự giảm của gói sóng”. Có thể nói, khi kết quả của phép đo được biết đến thì trạng thái lượng tử của hệ trước thời điểm đo được đã được thay thế bằng các vectơ riêng có thể quan sát bởi các giá trị riêng ghi lại. Nếu kết quả của phép đo không được biết, các vectơ trạng thái ban đầu bây giờ phải được thay thế bằng một ma trận mật độ chéo đối với các vectơ riêng trong những quan sát đo, mỗi phần tử đường chéo trong hình vuông tương ứng thành phần của vectơ trạng thái ban đầu. Mật độ ma trận này là tương ứng với vecto trạng thái ban đầu trong tất cả các pha quan hệ giữa các thành phần bị phá hủy bởi việc đo lường, mặc dù định thức tồn tại trong ma trận mật độ. Lí thuyết lượng tử thông thường của phép đo liên quan riêng đến dự đoán xác suất kết quả cụ thể của phép đo tương lai trên cơ sở kết quả quan sát trước đó. Chúng ta đề xuất xem xét tính chất của sự đối xứng về thời gian trong lí thuyết lượng tử của các phép đo. Thay vì đi sâu vào chính quá trình đo lường, trong đó liên quan đến sự tương tác đặc biệt giữa hệ thống nguyên tử và thiết bị vĩ mô, ta sẽ đơn giản chấp nhận các biểu thức chuẩn cho xác suất các giá trị được cung cấp bởi lí thuyết thông thường. Trong khi đó, lí thuyết thông thường với tập hợp hệ lượng tử mà đã được “preselection” trên cơ sở của một số quan sát ban đầu, ta sẽ suy ra từ nó biểu thức xác suất đề cập đến tập hợp mà được lựa chọn từ sự kết hợp từ dữ liệu ưu tiên không phải quá khứ cũng không phải tương lai. Một lí thuyết liên quan chính nó là tập hợp được chọn đối xứng (“lí thuyết đối xứng thời gian”) sẽ chỉ chứa biểu thức đối xứng thời gian với xác suất của các quan sát 1.2. Chuyển động lƣợng tử là đối xứng thời gian Trong cơ học lượng tử (QM) chuyển động lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger (t) t iH(t) (t) 9 (t) (t) e i t t0 H( )d (t 0 ) U(t, t 0 ) (2.1.1) (t 0 ) Vì U (t, t 0 )U(t, t 0 ) I và U (t, t 0 ) U(t 0 , t) (t 0 ) U(t 0 , t) (t) Hai phương trình (2.1.1) và (2.1.2) trên có nghĩa đối xứng thời gian: t 0 (2.1.2) t 1.3. Thời gian không đối xứng do MP QM: Thời gian- không đối xứng xuất hiện thông qua Measurement Postulate (tiên đề phép đo) (MP): Một phép đo trên một hệ thay đổi trạng thái của nó trong một tác động gián đoạn, điều đó không thể mô tả bằng phương trình Schrodinger. µ  a Giả sử A n được đo trên an an . Nếu biết được kết quả an, với xác suất: Pn thì được rút gọn là Quá trình ngược lại a n an 2 an là hoàn toàn không chắc chắn: thời gian là không đối xứng. 1.4. Trình tự quan sát Chúng ta sẽ bắt đầu xét hệ là chuỗi các phép đo, mỗi phép đo là “hoàn toàn” riêng, điều đó để nói rằng, mỗi một quan sát đối xứng một trạng thái lượng tử của hệ. Chúng ta làm cho các giả thiết thông thường về việc chọn tập hợp của các hệ thống (và của lịch sử của chúng), đó là tác dụng mà tất cả các hệ ban đầu của tập hợp mang lại một giá trị riêng không suy biến đặc trưng của một quan sát J, không có điều kiện khác được áp đặt. Trong những trường hợp lí thuyết lượng tử thông thường của các trạng thái đo lường, có hai phép 10 đo liên tiếp xác suất của một kết quả cụ thể của quan sát sau phụ thuộc kết quả quan sát trước đó của tích vô hướng của hai vécto trạng thái thuộc hai giá trị riêng tương ứng. Xét hai phép đo (trên ) của  tại t1 và B̂ tại t2> t1. Xác suất thu được b tại t2 tùy thuộc vào kết quả đo  tại t1. Nếu a được thu tại t1, thì a . Vì vậy xác suất thu được b tại t2 và a tại t1 là: P(b / a) 2 ba ba ab Tr b b a a (2.1.3) Tr D b Da Ta biểu thị quan sát được đo bằng kí hiệu A1, A2,…,Ak,…, tất cả đều có giá trị riêng không suy biến, cho các giá trị riêng của Ak được biểu thị qua dk. Chỉ khi cần thiết các giá trị riêng khác nhau được biểu thị bằng chữ Hi Lạp d k ,d k ,... Để đơn giản, ta làm việc theo một biểu diễn Heisenberg và giả định thêm rằng tất cả các Ak là hằng số chuyển động, không nhất thiết phải rõ ràng độc lập thời gian. Ở một mức nào, giữa các phép đo cả trạng thái lượng tử của hệ và yếu tố ma trận của các quan sát sẽ không đổi. Nếu quan sát Ak được đo trong bất kì trình tự cụ thể, nói chung, sẽ không tương ứng thứ tự của các chỉ số….k…., ta sẽ chỉ ra chuỗi phép đo bằng chữ Latinh, như sau:  mk Giả sử bây giờ ta thực hiện một chuỗi các quan sát A mM ,...,Aij 1 mang lại kết quả phép đo d m ,...,di thì xác suất của phép đo theo A ik mang lại giá trị dk là P(d k / d m ,...,d i ) di d k 2 di d k d k di Tr d i d i d k d k (2.1.4) Tr Di Dk phụ thuộc trạng thái đo di. Trong đó Dk biểu thị toán tử lũy đẳng Dk dk dk (2.1.5) 11 Nếu phép đo A kj tiếp theo là A kj 1 ,A nj 2 ,...,A rN 1 ,AsN , xác suất mà kết quả tương ứng sẽ là dk ,dn ,...,d r ,ds là: P(dk ,...,dr ,ds / d m ,...,di ) Tr Ds Dr ...Dk Di Dk ...Dr (2.1.6) phụ thuộc trạng thái đo di. Phương trình (2.1.4) và (2.1.6) không phụ thuộc kết quả của phép đo A mM ,...,A hj 2 ,.... và không phụ thuộc vào kết quả của thành phần của tập hợp sau đó để thực hiện các quan sát cụ thể. Hay nói cách khác, quy ước MP cho phép dự đoán xác suất của kết quả tương lai ( dk ,...,dr ,ds ) dựa trên kết quả hiện tại (di) không phụ thuộc vào quá khứ (dm). Các biểu thức này tóm tắt định lượng nội dung của lí thuyết phép đo thông thường của vật lí lượng tử. Thông qua đó chúng ta sẽ nhận xét ngắn gọn sự cần thiết trong lí thuyết lượng tử để xây dựng tập hợp với đặc tính xác suất được xác định rõ. Nếu trong cơ học cổ điển, ta phải giải quyết với một hệ sở hữu một không gian pha với một thể tích hữu hạn , thì ta có thể xác định mật độ xác suất tiên nghiệm trong không gian pha đó là bất biến với biến đổi chính tắc: mật độ xác suất không đổi -1 . Người ta có thể thay đổi mật độ này phù hợp với bất kì hạn chế áp đặt lên hệ vật lí, để có được xác suất ngẫu nhiên bằng phương pháp hoàn toàn suy luận. Nói cách khác, trong một không gian pha hữu hạn người ta có thể xây dựng cơ học thống kê, tập hợp chuẩn như ban đầu. Bởi vì trong hệ vật lí thực tế không gian pha có thể tích vô hạn, một mật độ xác suất chuẩn chuyển đổi- bất biến là không tồn tại, và người ta đã dẫn đến xây dựng phân bố xác suất để phù hợp với điều kiện khác nhau của tập hợp. Trong lí thuyết lượng tử cũng tương tự như vậy. Nếu không gian Hilbert là hữu hạn chiều, thì có một mật độ ma trận bất biến được chuẩn hóa từ ma trận đơn vị, từ đó tất cả các ma trận khác được rút ra để đáp ứng tất cả các tình huống bất ngờ khác nhau. Một lần nữa, cho tất cả các hệ vật lí thực 12 không gian Hilbert là vô hạn chiều, vì vậy, không có “tập hợp chuẩn” tồn tại độc lập với bất kì thông tin về hệ vật lí của chúng ta. Như vậy, một cách hình thức chúng ta phải xây dựng các tập hợp của hệ có tình chất hạn chế nhất định. Cho dù các lớp đặc biệt có hạn chế dẫn đến tập hợp với các đặc điểm xác suất không rõ ràng để quyết định chính thức bởi phân tích riêng, mặc dù các mâu thuẫn nội bộ có thể loại trừ một số giả thuyết. Rõ ràng các giả định về lí thuyết thông thường hợp lí với phép đo lượng tử và được chấp nhận. Tiếp theo ta xét một chuỗi các phép đo theo thứ tự J,A k M ,...,A j 1 , A i0 , A1l ,A m2 ,...,A nN ,F . J và F là các quan sát không suy biến giống như các giá trị khác, và các giá trị riêng của chúng được kí hiệu tương ứng là a và b. Bây giờ ta xét một tổ hợp các hệ có trạng thái đầu và trạng thái cuối cố định tương ứng với giá trị riêng cụ thể là a và b, ta yêu cầu xác suất mà kết quả của các phép đo trung gian là d j ,...,d n ,... Xác suất này, theo độ lớn của phương trình (2.1.6), được tìm thấy là p(d j ,...,d n / a,b) p(d j ,...,d n ,b / a) p(b / a) 1 Tr(AD j ...D n BD n ...D j ) H(a,b) (2.1.7) Trong đó H(a,b) = Σj’… Σn’Tr( ADj’…Dn’BDn’…Dj’), A a a, B b b (2.1.8) Biểu thức này rõ ràng đối xứng thời gian. Nếu chúng ta thay đổi trình tự của phép đo F,A n N ,...,A Mk ,J , thì phương trình (2.1.7) và (2.1.8) không thay đổi. Trong trường hợp đặc biệt H(a,b)=0 thì xác suất P d j ,...,d n / a,b không xác định. 13 Chú ý: - Phương trình (2.1.8) thỏa mãn d j ...d n p(d j ,...,d n / a,b) 1 với a, b cố định. - Điều thú vị là không chỉ quá khứ (a), như trong lí thuyết thông thường, mà còn tương lai (b) ảnh hưởng đến hiện tại (d j...dn): tương lai bay ngược lại để kết hợp với quá khứ mang lại kết quả của hiện tại tức: dòng thời gian theo cả hai hướng hướng lên và hướng trở lại. Như vậy, với pre-và post-selection thì thời gian đối xứng một cách rõ ràng: quá khứ và tương lai quan trọng như nhau đối với hiện tại. Các xác suất (2.1.7), (2.1.8) đề cập đến một mẫu mà đã được lựa chọn trên cơ sở của các kết quả quan sát đầu và cuối. Quá trình này có vẻ không xác thực so với quy định thông thường: "Chuẩn bị một hệ thống để các giá trị của J tại một thời điểm (tại lúc đầu) là a”. Nhưng từ một quan điểm chính thức chúng tôi xem xét một cách hợp lý bất kỳ lựa chọn nào có thể thực hiện đối với các thiết bị vật lý, tuy nhiên phức tạp hơn. Như một vấn đề của thực tế, trong các lựa chọn vật lý thực nghiệm thường xuyên dựa trên sự kết hợp của các đặc điểm đầu và cuối. Xét một chùm hạt đi vào một buồng điện như những đám mây hoặc các thiết bị tương tự kiểm soát một xung tổng thể. Cho thiết bị lựa chọn một biến cố phụ thuộc vào mẫu được đánh giá thống kê hạt phải đi vào buồng trước khi qua từ trường, v.v…, để đáp ứng một số yêu cầu nhất định. Nhưng để đếm được hạt cũng phải kích hoạt các mạch điện của bộ đếm đặt dưới buồng, do đó, chúng tôi thực hiện sự lựa chọn dựa trên cơ sở của cả hai trạng thái đầu và trạng thái cuối. Trong một số thí nghiệm thậm chí cả các chi tiết kỹ thuật trung gian cũng được áp dụng bổ sung cho điều kiện đầu và cuối. Vì vậy, chúng tôi xử lý chính thức các trạng thái đầu và cuối dựa trên một cơ sở tương đương là không phù hợp với thực nghiệm về quy trình được sử dụng trong một số điều tra. 14 Phương trình (2.1.7), (2.1.8) có thể được coi như cung cấp nền tảng cho một lý thuyết của phép đo đối xứng thời gian. Trên cơ sở của các phương trình (2.1.3), (2.1.4), chúng ta có thể tính toán xác suất liên quan đến một vài các phép đo giữa J và F, hoặc chúng ta có thể tính toán xác suất ngẫu nhiên đề cập tới các mẫu một phần trong đó kết quả của một vài phép đo được cố định. Đặc biệt chúng ta có thể tính toán xác suất ngẫu nhiên tìm kết quả của d1l cho kết quả d i0 . Dĩ nhiên để có được xác suất này chúng ta phải tổng hợp trên tất cả các kết quả có thể của các phép đo trước A i0 và trên tất cả các kết quả có thể xảy ra sau A1l như trước đây như kết quả của J và F cố định. ... n 'Tr(Di Dl Dm' ...Dn 'BDn ' ...Dm'Dl ) ... n 'Tr(Di Dl'Dm' ...Dn 'BDn ' ...Dm'Dl' ) m' m' p(d l / d i ;a,b) l' di dl 2 ... n 'Tr(Dl Dm' ...Dn 'BDn ' ...Dm' ) ... n 'Tr(Di Dl'Dm' ...B...Dm'Dl' ) l' m' (2.1.9) Kết quả được như dự kiến, post-selected sẽ ảnh hưởng xác suất chuyển trạng thái từ di tới dl. Điều này là không thể tránh khỏi có thể được hiểu một cách dễ dàng bằng cách xem xét các trường hợp cụ thể, trong đó tất cả các quan sát Am ,....,An ,F giao hoán với nhau cũng như với A l . Tùy thuộc vào việc lựa chọn các giá trị riêng b xác suất chuyển trạng thái trong trường hợp đó sẽ là 0 hoặc 1. Nếu chúng ta tính toán xác suất ngẫu nhiên của di, biết kết quả dl của các quan sát ngay sau đó, chúng ta sẽ có được một biểu thức độc lập với toàn bộ lịch sử tiếp theo phép đo A1l , nhưng mà sẽ phụ thuộc vào sự lựa chọn đầu a. Bây giờ chúng ta xem xét các phép đo không đầy đủ. Kết quả (2.1.7), (2.1.8) có thể được tổng quát ngay nếu chúng ta bỏ qua yêu cầu rằng mỗi phép đo trung gian được hoàn thành. Theo von Neumann, một dự án quan sát không đầy đủ trạng thái đầu không theo một hướng cụ thể nhưng trên một 15 không gian con tuyến tính (đa chiều) của không gian Hilbert, và có thể được biểu diễn bởi một toán tử lũy đẳng Dk. Dạng của các phương trình (2.1.7), (2.1.8) sẽ không thay đổi dưới sự giải thích lại của kí hiệu Dk. Tuy nhiên cần lưu ý phương trình (2.1.9) nắm giữ chỉ khi Ai là không suy biến. Nếu chúng ta tạo thành một tập hợp, trong đó bắt đầu lịch sử với trạng thái a và kết thúc với trạng thái b tạo thành một cab phần nhỏ của toàn bộ cab 0, ca 'b' 1 a' Thì xác suất sẽ P d j ,...,d n / c (2.1.10) b' sẽ là P d j ,...,d n / c ca 'b'P d j ,...,d n / a ',b' a' (2.1.11) b' Tồn tại biểu thức không đơn giản mà sẽ phụ thuộc các ma trận mật độ đầu và cuối. Các xác suất (2.1.11) phụ thuộc vào phân số của hệ thống trong tập hợp từ trạng thái đầu tới trạng thái cuối, không chỉ đơn thuần là phân bố đầu b' cab' và sự phân bố cuối a' ca 'b . 1.5. Mô tả trạng thái lƣợng tử tại thời điểm t Hệ thức vectơ trạng thái đơn (SSVF) hay trạng thái lượng tử thường. Trong (quy ước) QM một hệ tại t được mô tả bởi một trạng thái lượng tử, một “ket” , mà xác định như kết quả của phép đo đầy đủ trong quá khứ tại t1 - Xem thêm -