Tài liệu Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập fourier cosine với hàm trọng

i .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN DUY THANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN DUY THANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Minh Khoa Thái Nguyên – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi tự hoàn thành. Các kết quả chính của luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ một tạp chí nào. Tác giả Phan Duy Thanh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học Cao học và viết Luận văn tốt nghiệp, tác giả đã nhận được nhiều sự ủng hộ của Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tam Nông – Phú Thọ, lãnh đạo và đồng nghiệp trường THCS Dị Nậu, sự giúp đỡ quý báu của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Tác giả còn nhận được sự chia sẻ, động viên của các bạn đồng nghiệp và người thân. Trong quá trình thực hiện Luận văn thạc sĩ Toán học, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Minh Khoa về chuyên môn. Thầy luôn nhiệt tình, tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung cấp nhiều tài liệu quý báu. Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến thức thu được qua học tập và ngiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên quý báu này. Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014 Tác giả Phan Duy Thanh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………….. ................... . Lời cam đoan…………………………………………………….. ................... i Lời cảm ơn……………………………………………………. ...................... ii Mục lục……………………………………………………………. ............. . iii MỞ ĐẦU.............................................................................................. ............ 1 NỘI DUNG…………………………………………………………… .......... 5 Chương 1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay .................................................................... ........ 5 1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine...................................................... 5 1.2. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay ............... .......... 9 Chương II. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosin với hàm trọng........................................................................................................ ........ 13 (2-1) Định nghĩa...................................................................................... ....... 13 (2-2) Định lý kiểu Watson. Bổ đề 2.1................................................ ............. 13 (2-3) Định lý kiểu Plancherel................................................................. ........ 19 Định lý 3.4.................................................................................. .................... 19 (2-4) Các ví dụ............................................................................. ................. ..22 KẾT LUẬN.......................................................................................... .......... 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................... ....... .27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ vi CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Các không gian hàm được dùng trong luận văn     x  R : x  0 L(  ) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên  0,   sao cho   f ( x) dx   0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề trụ cột của giải tích toán học, ra đời và không ngừng phát triển trong khoảng hai trăm năm qua. Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác như quang học, điện, cơ lượng tử, y sinh học, âm thanh,.... Các phép biến đổi tích phân ra đời sớm nhất có vai trò đặc biệt trong lý thuyết cũng như ứng dụng, trước hết là các phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,... Xuất phát từ bài toán thực tế nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt năm 1807 Fourier đã hoàn thành công trình về phép biến đổi tích phân Fourier  6 Phép biến đổi tích phân Fourier có dạng (Xem  2 ). 1  Ff  ( y)  2  e  iyx f ( x)dx, f  L1 (  * ) ; (0.1)  1  Ff  ( y )  NLim  2 N e  iyx f ( x)dx, f  LP (  ) . (0.2) N Trong trường hợp đối với f là hàm số chẵn hoặc lẻ ta nhận được phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có dạng sau (xem 6,10 ):  F f  ( y)  C 2   F f  ( y)  S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu   f ( x)cos( xy)dx, f  L1 (   ) ; (0.3) 0 2    f ( x)sin( xy)dx, f  L1 (   ) . 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (0.4) 2 Và  F f  ( y)  Lim C N   F f  ( y)  Lim S N  2   f ( x)cos( xy)dx, 2  N f  LP (  ) ; (0.5) f  LP (  ) . (0.6) 1 N N  f ( x)sin( yx)dx, 1 N Ở đây các giới hạn được hiểu theo chuẩn trong không gian LP (  ) . Các định nghĩa trên trùng nhau f  L1 (  )  LP (  ) . Cùng với sự phát triển lý thuyết các phép biến đổi tích phân, một hướng phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20. Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier, cụ thể là tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi Fourier có dạng sau (Xem 7 ): 1 ( f *g)(x)  F 2   f (y)g ( x  y)dy, x   . (0.7)  Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F ( f *g)( y)  ( Ff )( y).( Fg )( y), y   ; f , g  L1 (  ) . F (0.8) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi Fourier cosine (Xem 7 ): 1 ( f *g)(x)  F 2 C   f (y)  g ( x  y)  g ( x  y )  dy, x  0. (0.9) 0 Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa và Đẳng thức Parseval sau (Xem 7 ): FC ( f *g)( y)  ( FC f )( y).( FC g )( y), y  0; f , g  L1 (   ) ; F (0.10) ( f *g)( x)  Fc  ( Fc f )( y ).( Fc g )( y )  ( x), x  0; f , g  L2 (   ) . F (0.11) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 Vào năm 2004 các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa đã xây dựng tích chập với hàm trọng  ( y )  cos y của hai hàm f, g thuộc L1 (  ) đối với phép biến đổi Fourier cosine (Xem 8 ):  f * g  ( x)  1  F    2 2 c   f ( y)  g  x  u  1  g  x  u  1   g  x  u  1  0  g  x  u  1   du, x > 0 . (0.12) Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  Fc  f * g  ( y )  cos y.( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), y  0 .  F  (0.13) c Đối với bất kỳ tích chập nào của hai hàm f, g khi cố định một hàm, chẳng hạn hàm g và cho hàm f thay đổi trong một không gian hàm nào đó ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập. Phép biến đổi tích phân với thống nhất xây dựng theo hướng này là phép biến đổi Watson dựa trên tích chập Melin và phép biến đổi Melin. Gần đây một số các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập và tích chập suy rộng đã được khảo sát (Xem 3,5,9,11 ). 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Trong luận văn của mình, tác giả xét tích chập với hàm trọng  1 ( y)  cos ay đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine. Dựa trên tích chập này và tích chập (0.9) để xây dựng và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng nhận được diều kiện cần và đủ để phép biến đổi xây dựng được là unita trong không gian L2 (  ) . Định lý kiểu Plancherel và tính bị chặn của phép biến đổi mới xây dựng trong không gian LP (  ) đã được chứng minh. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập với hàm trọng và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 Sử dụng các phép biến đổi tích phân, các tích chập đã biết và các kết quả giải tích, giải tích hàm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 CHƢƠNG I. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER COSINE . TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG  ( y )  cos ay 1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f  L(  ) , hàm ( Fc f ) xác định như sau:   f ( x)cos(yx)dx 2 fˆc ( y )  ( Fc f )( y )   (1.1) 0 được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f. Ta có công thức nghịch đảo: f ( x)  ( Fc fˆ )( x)   fˆ ( y )cos(yx)dy .   2 c 0 Ví dụ 1. Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm f ( x)  e  x , x  0 . Ta có:  e  2 ( Fc f )( x)  x cos(yx) dx 0  1 2 2      e  (1 iy ) x  e  (1iy ) x  dx 0 1 2 1 1    2  1  iy 1  iy  2 1 .  1  y2 Ví dụ 2. Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm: 0, xa f ( x)  m, 0 x  a . Ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.2) 6 2 ( Fc f )( y )   a  .m. cos(yx) dx  0 2  .m. sin ya . y 1.1.2. Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine Tính chất 1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine là phép biến đổi tuyến tính. f , g  L(  ),  ,    Chứng minh. Với mọi: Ta có: Fc  f ( x)   g ( x)  ( y )  2      f ( x)   g ( x).cosyxdx 0 2    f ( x).cosyxdx   0 2    g( x).cosyxdx 0   ( Fc f)( y )   ( Fc g)( y ) . Vậy Fc là phép biến đổi tuyến tính. Với a > 0, đặt f a ( x)  f (ax) . Khi đó ta có: Tính chất 2. 1 y ( Fc f a )( y)  (( Fc f )( ) . a a Chứng minh. Thật vậy: ( Fc f a )( y )   1 2 a  1 2  a     0   0 2    f (ax).cosyxdx 0 y f (ax).cos( ax)dx a y f (t).cos( t)dt(t  ax) a 1 2 y ( Fc f )( ) . a  a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 Định nghĩa 1.1.2. Cho f , g  L(  ) ; tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine có dạng: 1 ( f *g)(x)  F 2 c   f (y)  g ( x  y)  g  x  y  .dy, x  0 . (1.3) 0 Tính chất 3. (Định lý tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine ) Tích chập (1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau: Fc ( f *g)(y)  ( Fc f )( y).( Fc g )(y),  y  0 . (1.4) Fc Chứng minh. Ta có: 2 ( Fc f )( y ).( Fc f )(y)      2  1  0     f (u).cos yudu.   g(v).cos yvdv 2 0 0  1 2   f (u).  g(v)  cos(u  v) y  cos(v  u)  dvdu   2  0        f (u) g (v)cos y(u+v)dvdu+   f (u) g (v)cos y(v-u)dvdu. 0 1 0 0 Đổi biến: t=u+v ta nhận được:     f (u) g (v)cos y(u+v)dvdu 0  0    v 0 v 0 0  f (u)  g  u  t  cos ytdtdu -  f (u) g  u  t  cos ytdtdu . (1.5) Đổi biến t=v-u ta có:     f (u) g (v)cos y(v-u)dvdu 0  = 0   0 u    f (u)  g  u  t  cos ytdtdu    f (u)  g  u  t  cos ytdtdu -  f (u)  g  u  t  cos ytdtdu . 0 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 0 u http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.6) 8 Mặt khác ta thấy:  0 0 u  f (u)  g  u  t cos(yt)dtdu =  u 0 0  f (u) g  u  t  cos ytdtdu . (1.7) Từ (1.5), (1.6), (1.7) ta nhận được: ( Fc f )( y ).( Fc g )(y)  1      0 0 1    0 0  f (u)   g (u  t )  g  u  t  cos ytdtdu 1 f (u )  g (u  t )  g  u  t   cos ytdtdu 2  (y).  Fc  f *g  F  c Ta chứng minh xong tính chất 3. Tính chất 4 (Biến đổi Fourier cosine của đạo hàm). Giả sử f(x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (0, +  ), f’(x) liên tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn của   F  f '  ( y )  y  F f  ( y )  c s  2  và f  x   0 khi x   . Khi đó: f (0) . Chứng minh. Tích phân từng phần ta nhận được:  F f ' ( y )  c   2  2    f (x).cos yt dx 0 f ( x).cos yx 2   0 y 2    f (x).sin yx dx 0 f (0)  y  Fs f  ( y ). 1.2. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng :  ( y )  cos ay . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 Định nghĩa 1.2.1. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y )  cos ay của hai hàm f,g được xác định bởi:  f * g  ( x)  1  F    2 2   f (t )  g  x  a  t   g  x  a  t   g  x  a  t  c 0  g  x  a  t   dt (1.8) Định lý 1.2.2. Giả sử các hàm f và g L(  ) . Khi đó tích chập Fourier cosine Với hàm trọng  ( y )  cos ay cũng thuộc L(  ) và có đẳng thức nhân tử hóa  Fc  f * g  ( y )  cos ay.( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), y  0 .  F  (1.9) c Chứng minh. Theo định nghĩa 1.2.1 ta có:   1 Fc  f * g  ( x) dx   F  2 2  c 0     f (t ) .  g  x  a  t   g  x  a  t  0 0  g  x  a  t   g  x  a  t   dtdx 1  2 2      0    f (t ) .  g  x  a  t  dx  g  x  a  t  dx  0 0   g  x  a  t  dx  0   0  g  x  a  t  dx  dt .  (1.10) Mặt khác:    g  x  a  t  dx   g  x  a  t  dx 0 0    g (u) du   t a    g ( u ) du  t a  t a   g (u) du   g (u) du   g (u) du  2  g (u) du . t a 0 0 0 Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử t > a, khi đó: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.11) 10     0 0 a t t a  g  x  a  t  dx   g  x  a  t  dx   g (u ) du   g (u ) du   t a   0 0 t a 0  g (u) du   g (u) du   g (u) du  2  g (u) du . (1.12) Từ (1.11) và (1.12) ta nhận được:    g  x  a  t   g  x  a  t   g  x  a  t   g  x  a  t   dtdx 0    4 g (u ) du . (1.13) 0 Từ (1.10) và (1.13) dẫn tới   0  f * g  ( x) dx  2  F     c    f (t ) dt 0  g (u) du   . (1.14) 0   Hay  f *F g  ( x)  L(  )   c Ta tiếp tục chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (1.9). Xuất phát từ: cos ay.(Fc f )( y ).(Fc g )( y )  Vì : cos ay.cos yu.cos yv  2      cos ay.cos yu.cos yv. f (u).g (v) dudv . 0 0 1 cos y(u  a  v)  cos(u  a  v)  cos(u  a  v) 4  cos(u  a  v) . Ta có: 1 cos ay.(Fc f )( y ).(Fc g )( y )  2     cos y(u  a  v)  cos(u  a  v) 0 0  cos(u  a  v)  cos(u  a  v) f (u) g (v)dudv . (1.15) Bằng phép đổi biến đổi t=u, x=u+a+v, ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11     cos y(u  a  v) f (u) g (v)dudv 1 2 0 0    1  2 1 cos yx. f (t ).g(x-t-a)dxdv  2 t a 0  t  a   cos yx. f (t ).g(t+a-x)dxdt . 0 (1.16) 0 Bằng phép đổi biến đổi t=u, x=-(u+a-v), ta có:     cos y(u  a  v) f (u).g (v)dudv 1 2 0 0     cos yx. f (t ).g ( x  t  a)dudv 1 2  0  t a  t  a   cos yx. f (t ).g ( x  t  a)dxdt 1  2 0 0  0   cos yx. f (t ).g ( x  t  a)dxdt . 1  2 (1.17) 0  t a Hơn nữa, nếu đổi biến    x , ta được:  0   cos yx. f (t ).g ( x  t  a)dxdt 0 t a  0    cos y. f (t ).g (t  a   )d dt 0 t a  t  a    cos yx. f (t ).g (t  a  x)dxdt . 0 (1.18) 0 Từ (1.16), (1.17), (1.18) ta nhận được: 1 2     cos y(u  a  v)  cos y(u  a  v)  cos y(u  a  v)) dudv 1  2 0 0     cos yx. f (t )  g ( x  t  a )  g ( x  t  a) dtdx . 0 0 Tương tự ta nhận được: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.19) 12 1 2     cos y(u  a  v)  cos y(u  a  v) dtdx 1  2 0 0     cos yx. f (t )  g ( x  t  a )  g ( x  t  a)  dtdx . 0 (1.20) 0 Vậy từ (1.18), (1.19), (1.20) ta nhận được   cos yx  f (t )  g  x  a  t   g  x  a  t   0 0    g  x  a  t   g  x  a  t   dt  dx   1 cos ay  Fc f  ( y )  Fc g  ( y )  2       Fc  f *F g  ( y ) .   c Định lý đã được chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 CHƢƠNG II. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG  ( y )  cos ay . Trong chương này ta xét một lớp các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập Fourier cosine và tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y )  cos ay . (2-1) Định nghĩa: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine và tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y )  cos ay có dạng như sau:  g ( x )     n  0  d 2 j    (1) a j 2 j    f (u )  k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a  dx    0    k1  x  u  a   du    0  f (u )  k2  x  u   k 2  x  u )   du  , x  0 .  (2.1) (2-2) Định lý kiểu Watson. Bổ đề 2.1. Giả sử f , g  L2 (  ), khi đó ta có công thức Parseval sau:   f (u)  g  x  u  a   g  x  u  a   g  x  u  a   g  x  u  a  du 0  2 2 Fc cos ay. Fc g  ( y)  ( x), x  0 . (2.2) Chứng minh. Từ giả thiết f , g  L2 (  ) , ta có f .g  L2 (  ) . Từ tính chất phép biến đổi Fourier cosine là đẳng cấu trong L2 (  ) và cosay là bị chặn, ta có cos ay  Fc f  ( y)  Fc g  ( y)  L2 (  ) . Sử dụng công thức (1.1.3) trong  4 ta có: Fc  h( x)cos ax  ( y )  1  Fc h  ( y  a)   Fc h  ( y  a )  , h  L2 (   ) . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 Và sử dụng đẳng thức Parseval của tích chập Fourier cosine trong L2 (  ) ta 2 2 Fc cos ay. Fc f  ( y )  Fc g  ( y )  ( x) có:  2 2 Fc cos ayFc  f * g  ( y )  ( x)  2  f * g  ( x  a )   f * g  ( x  a )  . Từ đẳng thức trên ta nhận được đẳng thức (2.2). Bổ đề được chứng minh. Định lý 2.2. Giả thiết k1 , k2  L2 (  ) và a0  1, a j  sao cho 1 a y  L2 (  ) . n 2j j j 0 Khi đó điều kiện: 2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )  1 2 a y (2.3) n 2j j j 0 là điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân: f g  g ( x)     n j 0  d2 j   (1) a j 2 j   f (u ) k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a  dx   0  j  k1  x  u  a   du    0  f (u )  k2  x  u   k2  x  u   du  , x  0  (2.4) là unita trên L2 (  ) và phép biến đổi ngược có dạng:  f ( x)     n j 0  d 2 j   (1) a j 2 j   g (u )  k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a  dx   0 j Số hóa bởi Trung tâm Học liệu  http://www.lrc-tnu.edu.vn/