Tài liệu Phép biến đổi sine và cosine fourier hữu hạn (lv01037)

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Văn Hào, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Với những lời chỉ dẫn, những tài liệu, sự tận tình hướng dẫn và những lời động viên của thầy đã giúp tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin cám ơn quý thầy cô giảng dạy chương trình cao học “Toán giải tích” đã truyền dạy những kiến thức quý báu, những kiến thức này rất hữu ích và giúp tôi nhiều khi thực hiện nghiên cứu. Xin cám ơn các Quý thầy, cô công tác tại Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tìm tài liệu. Xin gửi lời cảm ơn các anh chị lớp Toán giải tích K15 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2013 Học viên Nguyễn Hồng Việt i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này với đề tài “Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn” là công trình nghiên cứu của bản thân tôi. Trong quá trình hoàn thành Luận văn, tôi đã kế thừa các thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Học viên Nguyễn Hồng Việt ii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5. Chuỗi Fourier của hàm xác định trên đoạn [a, b] . . . . . . . . . . . 7 1.1.6. Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.7. Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Dạng khác của công thức Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iii 1.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 25 1.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . . 31 2.1. Khái niệm về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . . . 31 2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn 34 Chương 3. Một số ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1. Vấn đề truyền nhiệt trong một miền hữu hạn với các dữ liệu Dirichlet ở biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Chuyển dịch ngang của một thanh đàn hồi có chiều dài hữu hạn . . 45 3.3. Biến đổi Fourier hữu hạn của hàm hai biến và áp dụng . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Phép biến đổi Fourier là công cụ giải tích hiệu lực trong nhiều lĩnh vực như; lý thuyết xác suất, quang học, phân tích tín hiệu, kỹ thuật máy tính hiện đại,. . . . Tuy nhiên, phép biến đổi này còn một số hạn chế nhất định trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý. Chẳng hạn như bài toán liên quan đến sự truyền nhiệt trong một miền hữu hạn, chuyển vị ngang của một chùm tia đàn hồi có chiều dài hữu hạn,. . . . Để giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực này, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đưa ra một phép biến đổi khắch phục điều đó, được gọi là “ Phép biến đổi sine và cosine hữu hạn”. Người đầu tiên đề xuất phép biến đổi này là nhà toán học người Đức Gustav Doetsch (1892-1977) đăng tải trong công trình “Integration von Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fourier Transformation”. Sau đó, phép biến đổi này được phát triển và tổng quát hóa bởi nhiều tác giả như Kneitz [4] , Roettinger [5] và Brown [2]. Với ý nghĩa và tầm quan trọng của phép biến đổi Fourier hữu hạn của hàm sine và cosine trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý cùng với sự định hướng của thầy hướng dẫn, em chọn đề tài PHÉP BIẾN ĐỔI SINE VÀ COSINE FOURIER HỮU HẠN 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn và ứng dụng của nó trong giải một số bài toán Vật lý. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 Trình bày lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier. Trình bày hệ thống phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. Trình bày ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn. Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn trong một số bài toán Vật lý. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier 1.1.1. Một số khái niệm Hàm tuần hoàn. Cho hàm số ϕ (t) xác định trên R, ϕ (t) được gọi là hàm tuần hoàn trên R, nếu ∃T > 0 nhỏ nhất sao cho ϕ (t + T ) = ϕ (t) . Hàm điều hòa. Xét hàm số ϕ (t) = A0 + A1 sin (ωt + α1 ) + A2 sin (2ωt + α2 ) + ... = A0 + ∞ X An sin (nωt + αn ); (1.1.1) n=1 trong đó, A0 , A1 , ..., α1 , α2 , ... là các hằng số có giá trị đặc biệt đối với mỗi 2π hàm như trên, ω = gọi là thành phần điều hòa của hàm ϕ (t). T 2πt Nếu ta chọn biến độc lập x = ωt = thì ta thu được hàm đối với x, T x f (x) = ϕ ω 3 cũng là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π . Khi đó khai triển công thức (1.1.1) có dạng f (x) = A0 + A1 sin (x + α1 ) + A2 sin (2x + α2 ) + ... ∞ X = A0 + An sin (nt + αn ) (1.1.2) n=1 Khai triển các số hạng chuỗi (1.1.2) theo công thức sine của tổng và đặt a0 = A0 , an = An sin αn , bn = An cosαn ; n = 1, 2, ... Khi đó ta có được f (x) = a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ... = a0 + ∞ X (an cos nx + bn sin nx) (1.1.3) n=1 Hàm tuần hoàn f (x) có chu kỳ T = 2π được khai triển theo công thức (1.1.3) được gọi là hàm điều hòa. Chuỗi lượng giác. Chuỗi lượng giác là chuỗi có dạng ∞ a0 X + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 (1.1.4) trong đó a0 , a1 , b1 , a2 , b2 .... là các hằng số. 1.1.2. Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π Cho hàm f (x) xác định trên R, có chu kỳ 2π . Bằng phép đổi biến t = x−a, ta nhận được a+π Z Zπ f (x)dx = f (t)dt, (∀a ∈ R) a−π −π 4 Định nghĩa 1.1.1. Ta nói f (x) khai triển được thành chuỗi lượng giác nếu có thể viết ∞ a0 X f (x) = + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 (1.1.5) với mọi x ∈ R. Giả sử f (x) được khai triển thành chuỗi lượng giác. Nếu có thể tích phân từng số hạng thì ta có Zπ Zπ f (x) dx = −π −π π ∞ Z X a0 (an cos nx + bn sin nx) dx dx + 2 n=1 −π π  ∞  π X  a0 π an bn  = x + sin nx − cos nx = πa0 2 −π n=1 n n −π −π Do đó, ta nhận được 1 a0 = π Zπ f (x) dx (1.1.6) −π Zπ Zπ f (x) cos nxdx = an −π cos2 nxdx = an π −π 1 ⇒ an = π Zπ f (x) cos nxdx (1.1.7) −π Zπ Zπ f (x) sin nxdx = bn sin2 nxdx = bn π −π −π 1 ⇒ bn = π Zπ f (x) sin nxdx −π với n = 1, 2, .... 5 (1.1.8) Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π . Khi đó ta gọi chuỗi Fourier của f (x) là chuỗi ∞ a0 X S (x) = + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 trong đó các hệ số được xác định như trong các công thức (1.1.6) - (1.1.8). 1.1.3. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π . Ta thấy Zπ 1 an = π f (x) cos nxdx = 0, nếu f (x) là hàm lẻ (1.1.9) f (x) sin nxdx = 0, nếu f (x) là hàm chẵn (1.1.10) −π 1 bn = π Zπ −π Vậy nếu f (x) là hàm lẻ thì chuỗi Fourier có dạng ∞ X 1 f (x) = bn sin nx; bn = π n=1 Zπ f (x) cos nxdx (1.1.11) −π Vậy nếu f (x) là hàm chẵn thì ∞ a0 X 1 f (x) = + an cos nx; an = 2 π n=1 Zπ f (x) sin nxdx (1.1.12) −π 1.1.4. Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn có chu kì 2L 6= 2π . Xét phép đổi biến   tL tL πx ⇔ x = . Khi đó hàm g (t) = f có chu kì 2π . Vậy chuỗi t= L π π Fourier của g (t) sẽ là Zπ 1 a0 = g (t) dt (1.1.13) π −π 6 1 an = π Zπ g (t) cos ntdt (1.1.14) g (t) sin ntdt (1.1.15) −π 1 bn = π Zπ −π Trở lại biến xuất phát ta có ∞ πx πx  a0 X  + an cos n + bn sin n S (x) = 2 L L n=1 1 a0 = π (1.1.16) ZL f (x) dx (1.1.17) −L 1 an = L ZL f (x) cos nπx dx L (1.1.18) f (x) sin nπx dx L (1.1.19) −L 1 bn = L ZL −L 1.1.5. Chuỗi Fourier của hàm xác định trên đoạn [a, b] Giả sử a = 0. Khi đó có thể xét chuỗi Fourier của f (x) theo các cách sau (i). Mở rộng f (x) thành hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu kì b. Thu hẹp chuỗi trên trên đoạn [0, b], ta có chuỗi Fourier của f (x). (ii). Mở rộng hàm f (x) thành f¯(x) trên [−b, b] sau đó xét chuỗi Fourier của f¯(x) theo cách (i). - Nếu đặt f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ [ − b, 0], thì f¯(x) là hàm chẵn nên chuỗi có dạng ∞ nπx a0 X S (x) = + an cos 2 b n=1 7 (1.1.20) - Nếu đặt f¯(x) = −f (x) với mọi x ∈ [ − b, 0], thì f¯(x) là hàm lẻ nên chuỗi có dạng ∞ a0 X nπx S (x) = + bn sin 2 b n=1 (1.1.21) 1.1.6. Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier Nhận thấy rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức ∞ a0 X f (x) ≈ + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 (1.1.22) để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải. Mệnh đề 1.1.1. Cho hàm f liên tục trên đoạn [−π, π] với f (−π) = f (π) và có khai triển Fourier là ∞ a0 X + (an cos nx + bn sin nx) f (x) ≈ 2 n=1 Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn [−π, π] thì chuỗi Fourier f 0 bằng chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là 0 f (x) ≈ ∞ X (−nan sin nx + nbn cos nx) (1.1.23) n=1 Chứng minh. Giả sử f 0 có chuỗi Fourier là ∞ α0 X + (αn cos nx + βn sin nx) f (x) ≈ 2 n=1 0 Trong đó theo định nghĩa, ta có 1 α0 = π Zπ f 0 (t) dt = 1 [f (π) − f (−π)] = 0 π −π 8 (1.1.24) 1 αn = π Zπ f 0 (t) cos (nt) dt (1.1.25) −π Zπ n = f (t) cos (nt)|π−π + π f (t) sin (nt) dt = 0 + n.bn = n.bn (1.1.26) −π βn = 1 π =f Rπ f 0 (t) sin (nt) dt −π (t) sin (nt)|π−π n − π Zπ f (t) cos (nt) dt = 0 − n.an = −n.an (1.1.27) −π Mệnh đề được chứng minh. Bổ đề 1.1.1. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp k − 1 và khả vi từng khúc ở cấp k (k ≥ 1) , ngoài ra f (i) (−π) = f (i) (π) , với i = 1, ..., k − 1. Khi đó các hệ số Fourier của f thỏa mãn |an | ≤ với các εn > 0 sao cho ∞ P n=1 εn εn , |b | ≤ , n = 1, 2, ..., n nk nk ε2n < ∞. Chứng minh. Sử dụng định lý trên k lần liên tiếp ta thu được f (k) (x) ≈ ∞ X (αn cos nx + βn sin nx) (1.1.28) n=1 Trong đó, phụ thuộc vào k chẵn hay lẻ, ta có hoặc là αn = ±nk an , βn = ±nk bn , hoặc là αn = ±nk bn , βn = ±nk an . p Đặt εn = αn2 + βn2 và áp dụng bất đẳng thức Bessel cho hàm f (k) (x) ta ∞ P suy ra chuỗi ε2n là hội tụ. Ngoài ra n=1 |αn | |αn | = k ≤ n p 9 αn2 + βn2 εn = nk nk (1.1.29) Bằng cách tương tự ta cũng nhận được việc đánh giá đối với bn . Bổ đề được chứng minh. Định lý 1.1.1. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp k − 1 và khả vi từng khúc ở cấp k , (k ≥ 1), ngoài ra f (i) (−π) = f (i) (π) , với i = 1, ..., k − 1. Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều đến hàm f trên đoạn [−π; π], và ngoài ra |f (x) − Sn (x; f )| ≤ ηn 1 nk− 2 (1.1.30) trong đó ηn là dãy số hội tụ đến 0 và Sn (x; f ) là tổng riêng Fourier bậc n của hàm. Chứng minh. Giả sử ∞ a0 X + f (x) ≈ (am cos mx + bm sin mx) 2 m=1 (1.1.31) n a0 X + (am cos mx + bm sin mx) Sn (x; f ) = 2 m=1 (1.1.32) ∞ P εm εm , |b | ≤ , m = 1, 2, ..., và chuỗi ε2m là m mk mk m=1 giá phần dư của chuỗi so với tổng Fourier như sau  ∞ ∞  X X  (am cos mx + bm sin mx) ≤ (|am | + |bm |)  Theo bổ đề ta có |am | ≤ hội tụ. Ta đánh    |rn (x)| =   m=n+1 m=n+1 ∞ X εm = An ≤2 k m m=n+1 Từ bất đẳng thức Cauchy- Schwats ta có v v u ∞ u ∞ ∞ X X u X 1 u 1 2 t An = 2 εm k ≤ 2 εm t m m2k m=n+1 m=n+1 m=n+1 10 (1.1.33) (1.1.34) Để ý rằng γn = ∞ P m=n+1 ε2m tiến tới 0 khi n → ∞, và Zm Z∞ ∞ X 1 dx dx 1 ≤ ≤ = m2k m=n+1 x2k x2k (2k − 1) n2k−1 k=n+1 ∞ X (1.1.35) n m−1 2 √ γn ta có lim ηn = 0 và n→∞ 2k − 1   ηn 1 |rn (x)| ≤ k− 1 = o , n = 1, 2, ... 1 n 2 nk− 2 Cho nên, với ηn = √ (1.1.36) Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ điểm đến hàm f , cho nên rn (x) cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier Sn (x; f ). Cách đánh giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định lý được chứng minh. Nhận xét. Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc càng cao ) thì chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh, và do đó việc xấp xỉ nó bởi đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác. Trong trường hợp riêng, khi hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π là trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến chính nó. Định lý 1.1.2. Nếu f là một hàm liên tục trên đoạn [−π; π] và có khai triển Fourier là ∞ a0 X f (x) ≈ + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 thì, với mỗi t ∈ [−π; π] , ta có Zt Zt f (x)dx = 0 0 ∞ a0 dx X + 2 n=1 Zt (an cos nx + bn sin nx) dx 0 11  ∞  bn a0 t X an + sin nt + (1 − cos nt) = 2 n n n=1 (1.1.37) và chuỗi vế phải hội tụ đều. Chứng minh. Xét hàm số Zt h a0 i f (x) − F (t) = dx 2 (1.1.38) 0 Ta nhận thấy, nó là hàm khả vi liên tục trên đoạn [−π, π] và thỏa mãn điều kiện F (−π) = F (π), cho nên theo nhận xét từ định lý trên ta suy ra chuỗi Fourier của F hội tụ đều tới F , nghĩa là ∞ A0 X F (t) = + (An cos nt + Bn sin nt) 2 n=1 trong đó, với n = 1, 2, ... ta có An = Zπ 1 π −π π Zπ  1 sin (nt)  1 F (t) cos (nt) dt = F (t) F 0 (t) sin (nt) dt −  π n nπ −π −π Zπ h 1 =0− nπ a0 i bn sin (nt) dt = − , f (t) − 2 n (1.1.39) −π an . n Riêng A0 được tính nhờ công thức khai triển với nhận xét F (0) = 0, do Tương tự, ta có Bn = đó A0 = − ∞ X An = n=1 ∞ X bn n=1 n Như vậy F (t) = ∞ X bn n=1 n + ∞  X an n=1  bn sin nt − cos nt n n 12 (1.1.40) = ∞  X an n=1  bn sin nt + (1 − cos nt) n n (1.1.41) Suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét. Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì 2` tùy ý được quy về xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì 2π nhờ phép πx biến đổi t = , chuyển đoạn [−`, `] thành đoạn [−π, π]. ` 1.1.7. Dạng phức của chuỗi Fourier Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức cos nx =

1 nxi i −nxi e + e−nxi và sin nx = e − enxi 2 2 (1.1.42) Ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng  ∞  a0 X 1 1 nxi −nxi f (x) ≈ + (an − bn i) e + (an + bn i) e 2 2 2 n=1 (1.1.43) Đặt c0 = 1 1 a0 , cn = (an − bn i) , c−n = c̄n = (an + bn i) , 2 2 2 ta có ∞ X f (x) ≈ cn einx . (1.1.44) n=−∞ Lưu ý rằng cos α ± i sin α = e±iα , ta có Zπ 1 1 cn = (an − bn t) = 2 2π f (x) (cos nx − i sin nx) dx −π 1 = 2π Zπ f (x) e−inx dx −π 13 (1.1.45) c−n Zπ 1 1 = (an + bn t) = 2 2π f (x) (cos nx + i sin nx) dx −π 1 = 2π Zπ f (x) einx dx (1.1.46) −π Do vậy, công thức trên có thể viết lại thành π Z ∞ 1 X inx e f (s) e−ins ds f (x) ≈ 2π n=−∞ (1.1.47) −π Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier. Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân của một hàm nhận giá trị phức w (x) = u (x) + iv (x), với u, v là các hàm số thực, được định nghĩa một cách tự nhiên là Zπ Zπ w (x) dx = −π Zπ u (x) dx + i −π v (x) dx. (1.1.48) −π Nếu u, v là những hàm khả tích tuyệt đối thì ta nói w là khả tích tuyệt đối. Tích phân suy rộng của hàm phức với biến số thực được định nghĩa hoàn toàn tương tự. 1.2. Tích phân Fourier 1.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên hàm số thực. Nếu, một cách hình thức, ta thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số y , thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân 14 sau đây (gọi là tích phân Fourier của hàm f ) Z∞ [a(y) cos(yx) + b(y) sin(yx)] dy (1.2.49) 0 trong đó Z∞ 1 a(y) = π 1 f (t) cos(yt)dt, b(y) = π −∞ Z∞ f (t) sin(yt)dt. (1.2.50) −∞ Dễ dàng thấy rằng Z∞ [a(y) cos(yx) + b(y) sin(yx)]dy 0 1 = π Z∞ dy 0 1 = π Z∞ −∞ Z∞ Z∞ dy 0 f (t) [cos(ty) cos(xy) − sin(ty) sin(xy)] dt f (t) cos [y(x − t)] dt. (1.2.51) −∞ Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của chính hàm số đó. Trước hết ta cần kết quả bổ trợ sau Bổ đề 1.2.1. Nếu f là hàm khả tích tuyệt đối trên khoảng (a, b) , hữu hạn hoặc vô hạn, thì Zb lim Zb f (x) cos (vx) dx = lim v→∞ f (x) sin (vx) dx = 0 v→∞ a a 15 (1.2.52) Chứng minh. Tương tự chứng minh hệ số Fourier của hàm khả tích thì tiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng. Định lý 1.2.1. Nếu hàm f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số. Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm phải f+0 (x)và đạo hàm trái f−0 (x) thì ta có f (x + 0) + f (x − 0) 1 = 2 π Z∞ Z∞ dy f (t) cos [y(x − t)] dt, (1.2.53) −∞ 0 trong đó f (x + 0), f (x − 0), theo thứ tự, là giới hạn phải, giới hạn trái của f tại x. Chứng minh. Với η > 0 ta xét tích phân 1 S(η) = π Zη Z∞ dy 0 f (t) cos [y(x − t)]dt. (1.2.54) −∞ Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng lim S(η). Với mỗi số η→∞ ξ > 0, theo định lý về tích phân của tích phân phụ thuộc tham số, ta có Zη Zξ dy 0 f (t) cos [y(x − t)]dy = −ξ Zξ Zη f (t)dt −ξ 0 Zξ = cos [y(x − t)]dy f (t) sin[η(x − t)] dt x−t (1.2.55) −ξ (Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f , ta có thể phân chia hình hộp −ξ ≤ t ≤ ξ , 0 ≤ y ≤ η thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đường song song với trục Oy ) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả 2 biến đến tận biên, nếu tại biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới 16