Tài liệu Phát triển các kỹ thuật nhánh cận và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG Phạm Chí Hiếu PHÁT TRIỂN CÁC KĨ THUẬT NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Huy Thái Nguyên – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả trong luận văn là trung thực, và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ tài liệu nào khác. Tôi xin cam đoàn rằng mọi sự giúp đỡ để hoàn thành luận văn này đã đƣợc cảm ơn. Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Học viên thực hiện luận văn Phạm Chí Hiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i DANH MỤC CÁC HÌNH ................................................................................ iv MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Đặt vấn đề.................................................................................................. 1 2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2 3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài .................................................................... 2 LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN KĨ THUẬT NHÁNH CẬN ................................ 4 1.1. Giới thiệu chung ..................................................................................... 4 1.2. Ý tƣởng của thuật toán ........................................................................... 5 1.3. Kĩ thuật tỉa nhánh ................................................................................. 10 1.4. Kết hợp thuật toán nhánh cận vào thuật toán quay lui. ........................ 11 1.5. Kết luận ................................................................................................ 13 CHƢƠNG II. ÁP DỤNG KĨ THUẬT NHÁNH CẬN CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN .............................................................................................................. 14 2.1. Các bài toán khó..................................................................................... 14 2.2. Bài toán Ba lô ....................................................................................... 16 2.2.1. Bài toán: ........................................................................................ 16 2.2.2. Phân tích bài toán Ba lô ................................................................ 17 2.2.3. Chƣơng trình minh họa ................................................................. 22 2.3. Bài toán ngƣời du lịch (TSP) ............................................................... 25 2.3.1. Bài toán ......................................................................................... 25 2.3.2. Phân tích bài toán TSP .................................................................. 26 2.3.3. Chƣơng trình minh họa ................................................................. 27 2.3.4. Cải tiến .......................................................................................... 29 2.4. Bài toán đổi tiền (ATM)....................................................................... 35 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii 2.4.1. Bài toán ......................................................................................... 35 2.4.2. Phân tích bài ATM ........................................................................ 35 2.4.3. Chƣơng trình minh họa ................................................................. 36 2.5. Bài toán dãy ABC ............................................................................... 40 2.5.1. Bài toán ......................................................................................... 40 2.5.2. Phân tích bài toán .......................................................................... 40 2.5.3. Chƣơng trình minh họa ................................................................. 41 2.6. Kết luận ................................................................................................ 44 CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHÁT TRIỂN NHÁNH CẬN ................................ 45 3.1. Thủ tục rút gọn. ...................................................................................... 46 3.2. Thủ tục chọn cạnh phân nhánh (r,c) ......................................................... 50 3.3. Mô hình thuật toán ............................................................................... 53 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1. Giải bài toán ba lô bằng nhánh cận .................................................... 21 Hình 2. Giải bài toán ngƣời du lịch ................................................................. 31 Hình 3. Mô hình phân nhánh........................................................................... 46 Hình 4. Minh họa rút gọn hành trình .............................................................. 49 Hình 5. Minh họa rút gọn hành trình 2 ........................................................... 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU 1. Đặt vấn đề Ngày nay với sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học công nghệ trên thế giới, mặc dù xuất phát chậm hơn rất nhiều nƣớc nhƣng trong hơn chục năm qua đất nƣớc chúng ta đã trải qua cuộc cách mạng lớn lao về công nghệ thông tin. Để đáp ứng những đòi hỏi của sự phát triển đó phải có kế hoạch đào tạo bồi dƣỡng những cá nhân có niềm say mê và có năng khiếu trong lĩnh vực tin học đặc biệt học sinh các lớp chuyên tin tạo nguồn, cung cấp cho các trƣờng đại học các sinh viên đã đƣợc trang bị vốn kiến thức cơ sở vững chắc, giúp cho mục tiêu đi trƣớc đón đầu, rút ngắn khoảng cách về trình độ tin học giữa nƣớc ta và thế giới. Với học sinh phổ thông ở trƣờng chuyên phải đƣợc trang bị các kiến thức cơ sở về các loại cấu trúc dữ liệu và trang bị các kiến thức tiên tiến nhất về giải thuật. Việc truyền đạt các kiến thức về một số giải thuật nhƣ: quay lui, nhánh cận, quy hoạch động, tham lam, các giải thuật trên đồ thị … là rất cần thiết cho học sinh trƣờng Chuyên cũng nhƣ trong việc bồi dƣỡng học sinh giỏi các trƣờng THPT (trung học phổ thông) để phát triển tƣ duy và lập trình giải các bài toán tin học. Hình thành những nét cơ bản của nghệ thuật đoán nhận giải thuật và nghệ thuật lập trình. Tạo lập và củng cố lòng say mê tìm hiểu và khám phá cho học sinh khi giải các bài toán tin. Để giải một bài toán thông thƣờng có nhiều cách tiếp cận. Mỗi cách tiếp cận khác nhau cho kết quả với độ tối ƣu khác nhau. Với nhiều bài toán việc tìm ra giải thuật tối ƣu không phải việc đơn giản, do đó một kĩ năng cần thiết để giải đƣợc một bài toán hoàn chỉnh là phải giải đƣợc bài toán ở kích thƣớc dữ liệu vừa phải. Đây là sẽ những bộ dữ liệu thử mang tính định hƣớng chiến lƣợc cho việc giải bài toán. Có rất nhiều bài toán, đặc biệt là bài toán tối ƣu, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 có thể giải ngay bằng thuật toán duyệt toàn bộ hoặc một phần của một bài toán lớn. Với phƣơng pháp duyệt toàn bộ, điển hình là thuật toán quay lui có một nhƣợc điểm đó là độ phức tạp bài toán thƣờng lớn, do đó kích thƣớc bài toán giải đƣợc rất hạn chế. Để khắc phục nhƣợc điểm chúng ta thƣờng phải áp dụng kết hợp kĩ thuật nhánh cận (nhánh và cận). Việc áp dụng kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán bài toán thƣờng khá trừu tƣợng và khó hiểu với học sinh THPT. Làm thế nào để có thể xây dựng được một “cận” để có thể đánh giá được “độ tốt” của “nhánh” đang xét ? Làm thế nào có thể kết hợp kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán duyệt quay lui hiệu quả ? Do đó tôi thấy việc phân tích, đánh giá và định hƣớng cách tiếp cận một bài toán bằng kĩ thuật nhánh cận là rất cần thiết. Từ đó nâng cao chất lƣợng của việc dạy và học cho học sinh. Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển các kĩ thuật nhánh cận và ứng dụng”. 2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Kĩ thuật nhánh cận và ứng dụng để giải một số bài toán liệt kê và tìm phƣơng án tối ƣu. 3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài - Giới thiệu tổng quan kĩ thuật nhánh cận và các kỹ thuật liên quan. - Tổ chức bài toàn theo kĩ thuật nhánh cận - Cách đánh giá cận của các bài toán khác nhau - Cài đặt chƣơng trình cho một số bài toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 LỜI CẢM ƠN n vă cs h ng , tôi đ ô ơn tôi xin .V đ ơ Sau đ Đ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên đ đ Công nghệ n thu n l n văn. ƣ Khoa học Nguyễn Xuân Huy, ng , đ ng viên, t đ n vă nđ n thu n l p. Trong quá trình học tập, cũng nhƣ là trong quá trình làm luận văn, khó tránh khỏi sai sót, rất mong các Thầy, Cô thông cảm, bỏ qua. Đồng thời do trình độ cũng nhƣ kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp Thầy, Cô để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành tốt hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN KĨ THUẬT NHÁNH CẬN 1.1. Giới thiệu chung Một trong những bài toán đặt ra trong thực tế là việc tìm ra một nghiệm thoả mãn một số điều kiện nào đó, và nghiệm đó là tốt nhất theo một chỉ tiêu cụ thể, nghiên cứu lời giải các lớp bài toán tối ƣu thuộc về lĩnh vực quy hoạch toán học. Tuy nhiên cũng cần phải nói rằng trong nhiều trƣờng hợp chúng ta chƣa thể xây dựng một thuật toán nào thực sự hữu hiệu để giải bài toán, mà cho tới nay việc tìm nghiệm của chúng vẫn phải dựa trên mô hình liệt kê toàn bộ các cấu hình có thể và đánh giá, tìm ra cấu hình tốt nhất. Việc liệt kê cấu hình có thể cài đặt bằng các phƣơng pháp liệt kê: Sinh tuần tự và tìm kiếm quay lui. Thuật toán quay lui (backtracking) là chiến lƣợc tìm nghiệm bài toán bằng cách xét tất cả các phƣơng án có thể. Đó là một quá trình tìm kiếm theo độ sâu trong một tập hợp các lời giải. Trong quá trình tìm kiếm, nếu ta gặp một hƣớng lựa chọn không thỏa mãn, ta quay lui về điểm lựa chọn nơi có các hƣớng khác và thử hƣớng lựa chọn tiếp theo. Khi đã thử hết các lựa chọn xuất phát từ điểm lựa chọn đó, ta quay lại điểm lựa chọn trƣớc đó và thử hƣớng lựa chọn tiếp theo tại đó. Quá trình tìm kiếm thất bại khi không còn điểm lựa chọn nào nữa. Đây là một thuật toán có thể áp dụng để giải rất nhiều bài toán với kích thƣớc dữ liệu thích hợp. Ƣu điểm của thuật toán là đảm bảo tìm ra nghiệm đúng chính xác. Tuy nhiên, hạn chế là độ phức tạp thƣờng lớn. Mô hình thuật toán quay lui là tìm kiếm trên một cây phân cấp. Nếu giả thiết rằng ứng với mỗi nút tƣơng ứng với một giá trị đƣợc chọn cho x[i] sẽ ứng với chỉ 2 nút tƣơng ứng với 2 giá trị mà x[i+1] có thể nhận thì cây n cấp sẽ có tới 2n nút lá, con số này lớn hơn rất nhiều lần so với dữ liệu đầu vào n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 Chính vì vậy mà nếu nhƣ ta có thao tác thừa trong việc chọn x[i] thì sẽ phải trả giá rất lớn về chi phí thực thi thuật toán bởi quá trình tìm kiếm lòng vòng vô nghĩa trong các bƣớc chọn kế tiếp x[i+1], x[i+2], … Khi đó, một vấn đề đặt ra là trong quá trình liệt kê lời giải ta cần tận dụng những thông tin đã tìm đƣợc để loại bỏ sớm những phƣơng án chắc chắn không phải tối ƣu. Kỹ thuật đó gọi là kỹ thuật đánh giá nhánh cận trong tiến trình quay lui. Kĩ thuật Nhánh cận (Nhánh và cận – Branch and Bound) giúp chúng ta đánh giá đƣợc nghiệm, do có thể cắt bỏ đi những phƣơng án (nhánh) không cần thiết, việc tìm nghiệm tối ƣu sẽ nhanh hơn, cải thiện đƣợc độ phức tạp thuật toán. Những bài toán tìm một nghiệm, liệt kê hoặc bài toán tối ƣu là những lớp bài toán có thể giải bằng Kĩ thuật Nhánh cận. 1.2. Ý tưởng của thuật toán Nhánh cận là kỹ thuật xây dựng cây tìm kiếm phƣơng án tối ƣu, nhƣng không xây dựng toàn bộ cây mà sử dụng giá trị cận để hạn chế bớt các nhánh. Phƣơng án là các khả năng có thể của bài toán, những phƣơng án thỏa yêu cầu đƣợc gọi là nghiệm của bài toán. Trong quá trình duyệt qua tất cả các phƣơng án của bài toán, từ một nút có thể phát sinh ra nhiều nút con khác nhau, mỗi nút con này có thể có nhiều nút con khác nữa. Do đó, mỗi nút con này sẽ lại là gốc của một cây con. Quá trình tìm kiếm này sẽ tạo ra một cây tìm kiếm. Nếu ta có thể đánh giá để cắt bỏ đi một nhánh con không khả thi thì số lƣợng phƣơng án phải duyệt sẽ giảm đi đáng kể. Với mỗi nút trên cây ta sẽ xác định một giá trị cận. Giá trị cận là một giá trị gần với giá của các phƣơng án. Với bài toán tìm Min ta sẽ xác định cận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 dƣới, còn với bài toán tìm Max ta sẽ xác định cận trên. Cận dƣới là giá trị nhỏ hơn hoặc bằng giá của phƣơng án, ngƣợc lại cận trên là giá trị lớn hơn hoặc bằng giá của phƣơng án.  Để giải bài toán tốt ta phải xác định cận càng sớm càng tốt. Ta sẽ mô tả chi tiết tƣ tƣởng của thuận toán trên mô hình bài toán tối ƣu tổ hợp tổng quát sau: min {f(x): x D} Trong đó D là tập hữu hạn phần tử. Giả thiết rằng tập D đƣợc mô tả nhƣ sau: D = {x=(x1, x2, …, xn) S1 S2 … Sn : x thỏa mãn tính chất P} với S1, S2, …, Sn là các tập hữu hạn, còn P là tính chất trên tích Đêcac S1 … S2 Sn. Với giả thiết về tập D ở trên, ta có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt kê các phƣơng án của bài toán. Trong quá trình liệt kê theo thuật toán quay lui, ta sẽ xây dựng dần các thành phần của phƣơng án. Một bộ k thành phần (a1, a2, …, ak) xuất hiện trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ gọi là phƣơng án bộ phận cấp k – Tiền tố của phƣơng án. Thuật toán nhánh cận có thể áp dụng để giải bài toán đặt ra nếu nhƣ có thể tìm đƣợc một hàm g xác định trên tập tất cả các phƣơng án bộ phận của bài toán thỏa mãn bất đẳng thức sau: g(a1, a2, …, ak) min {f(x): x D, xi = ai, i = 1, 2, …, k} (*) với mọi lời giải bộ phận (a1, a2, …, ak) và với mọi k = 1, 2, … Bât đẳng thức (*) có nghĩa là giá trị của hàm g tại phƣơng án bộ phận (a1, a2, …, ak) là không vƣợt quá giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu của bài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 toán trên tập con các phƣơng án. Hay nói một cách khác, g(a1, a2, …, ak) là cận dưới của giá trị hàm mục tiêu trên tập D(a1, a2, …, ak). Do đó, hàm g đƣợc gọi là hàm cận dƣới, và giá trị g(a1, a2, …, ak) đƣợc gọi là cận dƣới của tập D(a1, a2, …, ak). Do có thể đồng nhất tập D(a1, a2, …, ak) với phƣơng án bộ phận (a1, a2, …, ak) nên ta cũng gọi g(a1, a2, …, ak) là cận dƣới của phƣơng án bộ phận (a1, a2, …, ak). Giả sử rằng đã có hàm g. Ta xét cách sử dụng hàm này để giảm bớt khối lƣợng duyệt trong quá trình liệt kê các cấu hình tổ hợp (các phƣơng án) của bài toán theo thuật toán quay lui. Trong quá trình liệt kê các phƣơng án có thể đã thu đƣợc một số phƣơng án của bài toán. Gọi x là phƣơng án với giá trị hàm mục tiêu nhỏ nhất trong số các phƣơng án đã tìm đƣợc, kí hiệu f = f( x ). Ta gọi x là phƣơng án tốt nhất hiện có, còn f là kỷ lục. Giả sử đã có f , khi đó nếu g(a1, a2,..., ak) > f thì từ bất đẳng thức (*) ta suy ra: f < g(a1, a2, …, ak) min {f(x): x D, xi = ai, i = 1, 2, …, k} Vì thế tập con các phƣơng án của bài toán D(a1, a2, …, ak) chắc chắn không phải là phƣơng án tối ƣu. Trong trƣờng hợp này ta không cần tiếp tục phát triển phƣơng án (a1, a2, …, ak), nói cách khác là ta có thể bỏ qua các phƣơng án trong tập D(a1, a2, …, ak) trong quá trình tìm kiếm. Để dễ hình dung, ta giả sử nghiệm của bài toán có thể biểu diễn dƣới dạng một vectơ (x1, x2, ..., xn), mỗi thành phần xi (i = 1,2,.., n) đƣợc chọn ra từ tập Si. Mỗi nghiệm của bài toán x = (x1, x2, ...,xn) đƣợc xác định “độ tốt” bằng một hàm f(x) và mục tiêu cần tìm nghiệm có giá trị f(x) đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc đạt giá trị lớn nhất). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 Tƣ tƣởng của phƣơng pháp nhánh và cận nhƣ sau: Giả sử, đã xây dựng được k thành phần (x1, x2, ...,xk) của nghiệm và khi mở rộng nghiệm (x1, x2, ...,xk+1), nếu biết rằng tất cả các nghiệm mở rộng của nó (x1, x2, ...,xk+1, …) đều không tốt bằng nghiệm tốt nhất đã biết ở thời điểm đó, thì ta không cần mở rộng từ (x1, x2, ...,xk) nữa. [4] Nhƣ vậy, với phƣơng pháp nhánh và cận, ta không phải duyệt toàn bộ các phƣơng án để tìm ra nghiệm tốt nhất mà bằng cách đánh giá các nghiệm mở rộng, ta có thể cắt bỏ đi những phƣơng án (nhánh) không cần thiết, do đó việc tìm nghiệm tối ƣu sẽ nhanh hơn. Cái khó nhất trong việc áp dụng phƣơng pháp nhánh và cận là đánh giá đƣợc các nghiệm mở rộng, nếu đánh giá đƣợc tốt sẽ giúp bỏ qua đƣợc nhiều phƣơng án không cần thiết, khi đó thuật toán nhánh cận sẽ chạy nhanh hơn nhiều so với thuật toán vét cạn. Việc đánh giá các nghiệm mở rộng đề cập ở trên chính là việc ta xây dựng hàm g trong bất đẳng thức (*). Việc xây dựng này sẽ phụ thuộc vào từng bài toán tối ƣu tổ hợp cụ thể. Thông thƣờng ta sẽ cố gắng xây dựng nó sao cho: - Việc tính giá trị của g phải đơn giản hơn việc giải bài toán tối ƣu tổ hợp ở về phải của (*). - Giá trị của g(a1, a2, …, ak) phải sát với giá trị vế phải của (*) Thuật toán nhánh cận có thể mô tả bằng mô hình đệ quy sau: procedure BranchBound (i); begin <Đánh giá khả năng mở rộng các nghiệm>; If (các phương án mở rộng đều không tốt hơn BestSol) then exit; ; for Xi Si do begin Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 ; if (tìm thấy nghiệm) then else BranchBound(i+1); ; end; end; Trong thủ tục trên, BestSol là nghiệm tốt nhất đã biết ở thời điểm đó. Thủ tục sẽ xác định “độ tốt” của nghiệm mới tìm thấy, nếu nghiệm mới tìm thấy tốt hơn BestSol thì BestSol sẽ đƣợc cập nhật lại là nghiệm mới tìm đƣợc. Hoặc với một cách khác nhƣ sau: [2] Procedure Init; Begin ; end; {Thủ tục này thử chọn cho x[i] tất cả các giá trị nó có thể nhận} procedure Try(i: Integer); begin for do begin ; If then If then else begin Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 ; Try(i + 1); {Gọi đệ quy, chọn tiếp x[i+1]} ; end; end; end; begin Init; Attempt(1); ; end. Với cấu trúc của kỹ thuật nhánh cận nhƣ trên, ta có thể dễ thấy Kỹ thuật này đã thêm vào cho thuật toán quay lui khả năng đánh giá theo từng bƣớc, nếu tại bƣớc thứ i, giá trị thử gán cho x[i] không có hi vọng tìm thấy cấu hình tốt hơn cấu hình BestSolution thì thử giá trị khác ngay mà không cần phải gọi đệ quy tìm tiếp hay ghi nhận kết quả làm gì. Nghiệm của bài toán sẽ đƣợc làm tốt dần, bởi khi tìm ra một cấu hình mới (tốt hơn BestSolution ), ta không in kết quả ngay mà sẽ cập nhật BestSolution bằng cấu hình mới vừa tìm đƣợc 1.3. Kĩ thuật tỉa nhánh Để có thể tỉa bớt nhánh (loại bỏ những hƣớng đi, trƣờng hợp) của một bài toán liệt kê bằng đệ quy ta có nhiều phƣơng pháp khác. Nhƣng chủ yếu là dựa vào những dữ liệu đã biết, kết hợp với việc phán đoán để có thể định lƣợng cho các giá trị cụ thể trong từng trƣờng hợp. Định lƣợng để đánh giá độ tối ƣu của một hƣớng đi (một nhánh) là một việc khó của kĩ thuật nhánh cận. Ngƣời lập trình chỉ có thể đánh giá đƣợc cận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 của nhiều bài toán khi đã làm nhiều bài tập, từ đó đúc rút kinh nghiệm trong quá trình tìm cận. Trong chƣơng 2, một số bài toán sẽ đƣợc đƣa ra để phân tích, tìm hiểu cách đánh giá cận và phƣơng pháp cài đặt. Nhƣng bài toán này sẽ mang tính định hƣớng phƣơng pháp đánh giá cận cho nhiều bài toán sau. 1.4. Kết hợp thuật toán nhánh cận vào thuật toán quay lui. Mô hình chung của kỹ thuật cài đặt đệ quy quay lui [1] Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i Begin For xi (1) Si do begin ; If then <đưa ra nghiệm> Else Try(i+1); (2) ; End; Với mô hình đệ quy quay lui nhƣ trên ta có thể dễ dàng nhận ra đây là mô hình liệt kê tất cả các cấu hình nghiệm có thể của nghiệm X = (x 1, x2, … , xn), với mỗi thành phần xi thuộc tập Si. Sau khi thực hiện thử giá trị cho thành phần xi, mô hình trên sẽ tiến hành thử tiếp tất cả các giá trị cho thành phần xi+1. Để tránh việc rẽ nhánh quá trình mà không hiệu quả ta hoàn toàn có thể tìm cách đánh giá việc đi tiếp (điền giá trị cho xi+1) có hiệu quả không tại vị trí trƣớc dòng lệnh (1) hoặc trƣớc dòng lệnh (2). Cụ thể nhƣ sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i [1] Begin If then exit; For xi (1) Si do begin ; If then <đưa ra nghiệm> Else Try(i+1); (2) ; End; Hoặc Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i Begin For xi (1) Si do begin ; If then <đưa ra nghiệm> Else If then Try(i+1); (2) ; End; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 1.5. Kết luận Kĩ thuật nhánh cận, cũng nhƣ nhiều kĩ thuật khác trong lập trình nó chỉ mang tính định hƣớng chiến lƣợc để giải bài toán. Đây là không phải là một công cụ siêu việt để có thể giải tất cả các bài toán tìm nghiệm tối ƣu hay liệt kê. Do đó, khi áp dụng, đòi hỏi ngƣời lập trình phải linh hoạt kết hợp thêm nhiều kĩ thuật, thuật toán khác nhau thì mới có thể đem lại kết quả tốt nhất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 CHƢƠNG II. ÁP DỤNG KĨ THUẬT NHÁNH CẬN CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN 2.1. Các bài toán khó Hiện này có nhiều bài toán có thể giải bằng các thuật toán trong thời gian đa thức theo kích thƣớc dữ liệu. Ví dụ nhƣ: - Bài toán Tìm cây khung ngắn nhất, giải bằng thuật toán Prim có độ phức tạp thuật toán là O(n2). - Bài toán Tìm đƣờng đi ngắn nhất trong đồ thị, giải bằng thuật toán Dijkstra có độ phức tạp là O(n2). - Bài toán tìm ƣớc chung lớn nhất của 2 số nguyên dƣơng m và n, giải bằng thuật toán Euclid có độ phức tạp O(m+n). Tuy nhiên còn rất nhiều các bài toán khó mà hiện nay chúng ta mới chỉ giải đƣợc bằng các thuật toán với độ phức tạp là hàm mũ theo kích thƣớc dữ liệu vào của bài toán. Hàm mũ có dạng: an với a>1 và n là kích thƣớc dữ liệu của bài toán. Với những bài toán phải giải bằng các thuật toán với độ phức tạp là hàm mũ thì thời gian giải tăng rất nhanh theo kích thƣớc dữ liệu của bài toán. Mặc dù bất kì lời giải nào cho mỗi bài toán đều có thể đƣợc kiểm chứng nhanh chóng, nhƣng hiện chƣa có cách nào tìm ra đƣợc lời giải đó một cách hiệu quả. Thời gian thực thi của tất cả các thuật toán hiện tại cho những bài toán khó đều tăng rất nhanh theo kích thƣớc bài toán. Vì vậy ngay cả những trƣờng hợp có kích thƣớc tƣơng đối lớn đã đòi hỏi thời gian hàng tỷ năm để giải. Do đó, việc xác định xem những bài toán này có thể đƣợc giải quyết nhanh chóng hay không là một trong những bài toán mở của khoa học máy tính hiện nay. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 Một số bài toán khó tiêu biểu với độ phức tạp là hàm mũ nhƣ: 1. Bài toán bè cực đại (MaxClique): Cho một đồ thị vô hƣớng G = (V, E). V là tập các đỉnh, E là tập các cạnh tƣơng ứng các đỉnh trong V. Cần tìm bè lớn nhất của G. Bè là tập các đỉnh trong đồ thị mà đôi một có cạnh nối với nhau (là một đồ thị con đầy đủ trong đồ thị G). 2. Bài toán tập độc lập (Independent set): Cho đồ thị vô hƣớng G = (V, E) và số nguyên K, hỏi có thể tìm đƣợc tập độc lập S với |S| ≥ K. Tập độc lập là tập các đỉnh trong đồ thị mà chúng đôi một không có cạnh nối với nhau. 3. Bài toán phủ đỉnh (Vertex cover): Ta gọi một phủ đỉnh của đồ thị vô hƣớng G = (V, E) là một tập con các đỉnh của đồ thị S V sao cho mỗi cạnh của đồ thị có ít nhất một đầu mút trong S. Bài toán đặt ra là: Cho đồ thị vô hƣớng G = (V, E) và số nguyên k. Hỏi G có phủ đỉnh với kích thƣớc k hay không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/