PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN
CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG
PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT
Học viên: Lê Tấn Thanh Bình
Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng công trình Dân dụng và Công nghiệp
Mã số: 60.58.02.08 Khóa: K32 Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN
Tóm tắt - Nghiên cứu đánh giá độ tin cậy của kết cấu khi kể đến các yếu tố ngẫu
nhiên như vật liệu làm kết cấu, tải trọng tác dụng… là một trong những nhiệm vụ
được quan tâm trong các nghiên cứu hiện nay. Tuy nhiên, các nghiên cứu hiện nay
ở Việt Nam chỉ tập trung đánh giá độ tin cậy tổng thể, chưa đánh giá theo thời
gian tác động của tải trọng. Thực tế, các hàm tải trọng và độ bền của kết cấu chịu
tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật ngẫu nhiên. Vì
vậy, việc ứng dụng quá trình ngẫu nhiên trong cơ học được xem xét, áp dụng
trong việc tạo tải trọng ngẫu nhiên và phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu.
Trong phạm vi luận văn này, các hệ kết cấu được mô hình hóa bởi hệ một bậc tự
do tuyến tính và phi tuyến và hệ nhiều bậc tự do chịu tác động của tải trọng động
ngẫu nhiên được tạo ra bởi phương pháp hàm mật độ phổ công suất. Từ đó, tiến
hành tích đáp ứng kết cấu và độ tin cậy theo thời gian tác động của tải trọng gió
bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo (MCS) và phương pháp tiến hóa hàm
mật độ xác suất (PDEM) và so sánh kết quả tính toán.
Từ khóa – độ tin cậy; dao động ngẫu nhiên; tải trọng động ngẫu nhiên;
phương pháp mô phỏng Monte Carlo; phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác
suất.
TIME-DEPENDENT RANDOM VIBRATION AND RELIABILITY
ANALYSIS OF STRUCTURES SUBJECTED TO SEISMIC LOAD
GENERATED BY THE POWER SPECTRAL DENSITY FUNCTION
Abstract – The study on the reliability of structures when considering several
random factors such as structural materials, applied load... is one of the main
concerns in the present study. However, the current research in Vietnam only
focuses on the overall reliability, and not consider the impact of the
time-dependent loading. In actual, the loading function and structural strength are
influenced by many different factors and vary according to the random regulation.
Therefore, the application of random process in mechanics need to be considered
and applied in random load generation and random vibration analysis of the
structure. In this thesis, structural systems are modeled by a linear and nonlinear
single-degree of freedom system and multi-degree of freedom system subjected to
random dynamics load generated by the Power Spectral Density Function. Based
on this, the response and time-dependent reliability of structures subjected to wind
load are evaluated by using the Monte Carlo simulation method (MCS) and
probability density evolution method (PDEM) and comparing the results of
calculations.
Key words – reliability; random vibration; random dynamics load; Monte Carlo
simulation method; probability density evolution method.
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................ 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 1
5. Bố cục đề tài ........................................................................................................ 2
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI
THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN ........................................................................ 3
1.1. SƠ LƯỢC VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC
SUẤT ............................................................................................................................... 3
1.1.1. Biến ngẫu nhiên.............................................................................................. 3
1.1.2. Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất ................................................. 3
1.1.3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên .............................................................. 10
1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN .............................................................................. 14
1.2.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên .................................................................. 14
1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên ....................................................... 15
1.2.3. Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số ........................ 17
1.3. ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO
NGẪU NHIÊN .............................................................................................................. 18
1.3.1. Nhắc lại phương trình vi phân động lực học ................................................ 18
1.3.2. Những yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến đáp ứng của kết cấu ................... 19
1.3.3. Bài toán phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu ............. 20
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG ........................................................................................ 22
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN VÀ
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG, ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU THEO THỜI
GIAN ............................................................................................................................ 23
2.1. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN TỪ HÀM MẬT
ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD ........................................................................................ 23
2.1.1. Khái niệm hàm mật độ phổ công suất .......................................................... 23
2.1.2. Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên .............................................. 25
2.2. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN CỦA KẾT CẤU ............................. 30
2.2.1. Hệ kết cấu một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss ............................ 30
2.2.2. Dao động ngẫu nhiên của hệ kết cấu nhiều bậc tự do chịu tải trọng bất
kỳ ............................................................................................................................ 34
2.3. PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU KHI CHỊU TẢI TRỌNG
ĐỘNG ............................................................................................................................ 38
2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG ........................................................................................ 41
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY CỦA
KẾT CẤU THEO THỜI GIAN TÁC ĐỘNG CỦA TẢI TRỌNG ......................... 42
3.1. VÍ DỤ 1 - HỆ MỘT BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG ỒN TRẮNG
GAUSS .......................................................................................................................... 42
3.1.1. Mô hình hệ kết cấu một bậc tự do ................................................................ 42
3.1.2. Mô hình tải trọng kích thích và đáp ứng của kết cấu ................................... 42
3.1.3. Dao động ngẫu nhiên của kết cấu ................................................................ 44
3.1.4. Phân tích độ tin cậy của kết cấu ................................................................... 45
3.2. VÍ DỤ 2 – NHÀ NHIỀU TẦNG CHỊU TẢI TRỌNG GIÓ ................................. 48
3.2.1. Tác động của gió lên công trình xây dựng ................................................... 48
3.2.2. Mô hình tải trọng gió ................................................................................... 49
3.2.3. Mô tả kết cấu ................................................................................................ 52
3.2.4. Kết quả phân tích ......................................................................................... 53
3.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG ........................................................................................ 56
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 58
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BBN
PTHH
CDF
PDF
PMF
PSD
PDEM
FPK
: Biến ngẫu nhiên
: Phần tử hữu hạn
: Cumulative Distribution Function – Hàm phân phối tích lũy
: Probability Density Function – Hàm mật độ xác suất
: Probability Mass Function – Hàm khối xác suất
: Power Spectral Density – Mật độ phổ công suất
: Probability Density Evolution Method – Phương pháp tiến hóa hàm mật độ
xác suất
: Fokker – Planck Kolmogorov
DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu
bảng
3.1
Tên bảng
Độ tin cậy của kết cấu
Trang
54
DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu
hình
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Tên hình
Trang
CDF của biến ngẫu nhiên X
CDF của biến ngẫu nhiên X với (a) N = 10, (b) N = 50, và (c) N
→∞
Mối quan hệ giữa PDF và CDF của một biến ngẫu nhiên
Minh họa hàm PDF (a) và hàm PDF có điều kiện tương ứng b)
Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất
Định nghĩa các biến cho một hệ khung
Sơ đồ liên kết của các biến cho một mô hình tải trọng và một
mô hình sức kháng
Việc thực hiện quy trình ngẫu nhiên X(t) cùng với sự gia hạn
định kỳ
So sánh PSD chính xác với xấp xỉ rời rạc cho ví dụ 2.1
Minh họa một quá trình ngẫu nhiên của ví dụ 2.1
Lọc miền thời gian để tạo ra một quá trình ngẫu nhiên Gauss
màu
Phản ứng xung và đầu ra của bộ lọc được thiết kế trong ví dụ
2.3
Mô phỏng Monte Carlo thô
Các trạng thái của kết cấu
Mô hình các kết cấu một bậc tự do: Tuyến tính (trái), BoucWen (giữa) và Coulomb (phải)
Phổ kích ứng ngẫu nhiên
Minh họa kích ứng ngẫu nhiên và đáp ứng kết cấu
Kết quả chuyển vị trung bình và độ lệch chuẩn tương ứng
Sơ đồ khối đánh giá xác suất phá hủy theo MCS
Sơ đồ khối của phương pháp PDEM
Xác suất phá hủy và độ tin cậy theo thời gian
Sự hình thành cơn xoáy tác dụng vào kết cấu
Định nghĩa tải trọng gió và hướng gió
Minh họa vận tốc gió và cường độ rối
Minh họa phổ Kaimal
Minh họa vận tốc gió u(z,t)
Mô hình kết cấu công trình
Mật độ xác suất chuyển vị đỉnh
05
05
07
09
18
20
20
26
27
27
28
30
35
39
42
43
43
44
45
46
48
48
49
50
51
51
52
53
Số hiệu
hình
3.15
3.16
Tên hình
Trang
Mật độ xác suất chuyển vị đỉnh ở các thời điểm khác nhau
Kết quả phân tích độ tin cậy của kết cấu theo thời gian ứng với
các ngưỡng phá hủy khác nhau
54
55
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Hiện nay ở nước ta, trong tính toán kết cấu công trình thường sử dụng hỗn hợp
các phương pháp: phương pháp ứng suất cho phép, phương pháp hệ số an toàn và
phương pháp trạng thái giới hạn cùng với mô hình thiết kế truyền thống. Theo mô hình
thiết kế này tải trọng và độ bền tính toán được mặc định theo các tiêu chuẩn thiết kế
hiện hành trong suốt thời gian khai thác của công trình. Nhưng thực tế các hàm tải
trọng và độ bền chịu tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật
ngẫu nhiên. Vì vậy quan niệm về quan hệ giữa tải trọng và sức chịu tải của công trình
trong quá trình làm việc của mô hình thiết kế truyền thống ngày càng trở nên lạc hậu.
Xu hướng tiến bộ hiện nay là thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và
phân tích độ tin cậy. Thật vậy, chúng giữ vai trò rất quan trọng do tính liên ngành và
khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ, kinh
doanh và quản lý hiện đại. Các kết cấu công trình xây dựng (nhà xưởng, cầu cống,
cảng biển...), trong quá trình sử dụng bình thường, sẽ chịu tác động ngẫu nhiên của các
tải trọng động (ví dụ như gió bão, động đất…). Bên cạnh đó, chúng ta cần phải kể đến
đồng thời các yếu tố ngẫu nhiên của vật liệu làm kết cấu, của kích thước và của tải
trọng tác dụng ... Điều này dẫn đến ứng xử đầ u ra của kết cấu cũng dao động ngẫu
nhiên, và sẽ có một số trường hợp ứng xử đầ u ra vượt quá giới hạn cho phép (ngưỡng
thiệt hại) được định trước như: chuyển vị vượt quá chuyển vị cho phép, ứng suất vượt
quá ứng suất cho phép, v.v. Xác suất các trường hợp ứng xử đầ u ra vượt quá giới hạn
cho phép được gọi là xác suất không an toàn của kết cấu hay xác suất phá hủy kết cấu.
Khi đó, việc xác định xác suất phá hủy của kết cấu khi có sự dao động ngẫu nhiên của
các yếu tố đầ u vào được gọi là bài toán phân tích độ tin cậy cho kết cấu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công suất và phân tích dao
động ngẫu nhiên và độ tin cậy theo thời gian của kết cấu chịu tải trọng động.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu chịu tải trọng động ngẫu nhiên phát sinh hàm
mật độ phổ công suất PSD.
- Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên và độ
tin cậy của kết cấu chịu tải trọng động.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết:
+ Phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu: Dao động ngẫu
nhiên của kết cấu chịu kích động ồn trắng Gauss và chịu tải trọng động (gió, động đất).
+ Các phương pháp phân tích độ tin cậy: Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo
và phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác suất.
2
- Phương pháp số: Xây dựng các chương trình trong phần mềm Matlab.
5. Bố cục đề tài
Mở đầu
1) Tính cấp thiết của đề tài
2) Mục tiêu nghiên cứu
3) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4) Phương pháp nghiên cứu
Chương 1: Tổng quan về bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào
ngẫu nhiên
1.1. Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất
1.2. Quá trình ngẫu nhiên
1.3. Định nghĩa bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào ngẫu nhiên
1.4. Kết luận chương
Chương 2: Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên và phân tích dao
động, độ tin cậy của kết cấu theo thời gian
2.1. Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công
suất PSD
2.2. Phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu
2.3. Phân tích độ tin cậy của kết cấu khi chịu tải trọng động
2.4. Kết luận chương
Chương 3: Phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu theo
thời gian tác động của tải trọng
3.1. Ví dụ 1 – Hệ một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss
3.2. Ví dụ 2 - Hệ nhiều tầng chịu tải trọng gió
3.3. Kết luận chương
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
3
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ
ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN
1.1. Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Đinh
̣ nghiã 1.1: Mô ̣t biế n ngẫu nhiên (BNN) là một hàm giá trị thực của các
phần tử của một không gian mẫu S. Cho một phép thử E với không gian mẫu S, biến
ngẫu nhiên X ánh xạ mỗi kết quả có khả năng xảy ra ξ ∈ S, với một số thực duy nhất
X(ξ). Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì X
được gọi là BNN rời rạc. Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là hợp một
số khoảng trên trục số thì X được gọi là BNN liên tục.
1.1.2. Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất
a) Hàm khối xác suất (Probability Mass Function - PMF)
Đinh
̣ nghiã 1.2: Hàm khố i xác suất PX(x), của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là
một hàm phân phố i xác suất cho mỗi giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X. Xác suất mà
biến ngẫu nhiên X nhâ ̣n giá trị xác định x là giá trị của hàm khố i xác suất cho x. Đó là,
PX(x) = P(X = x).
Hàm khối xác suất liên hệ với một biến ngẫu nhiên X phải tuân theo các thuộc
tính nhất định. Thứ nhất, vì PX(x) là xác suất, nó phải là không âm và không lớn hơn 1.
Thứ hai, nếu tổng các PX(x) trên tất cả miền của x, thì điều này cũng giống như tổng
các xác suất của tất cả các kết quả trong không gian mẫu, phải bằng 1. Xét về mă ̣t toán
học, chúng ta có thể kết luận rằng:
0 PX ( x) 1,
(1.1a)
P ( x) 1
X
(1.1b)
x
Khi phát triển hàm khố i xác suất cho một biến ngẫu nhiên, điề u này hữu ích để
kiểm tra xem PMF có đáp ứng được những đặc tính này hay không.
Mặc dù viê ̣c mô tả này đúng đố i với các biến ngẫu nhiên rời rạc, nhưng nó không
thích hợp để mô tả các biến ngẫu nhiên liên tục. Để chứng minh sự cần thiết phải thay
thế hàm khối xác suất, ta xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc, X, lấy giá trị từ
tập {0, 1/N, 2/N, ... , (N − 1)/N} với xác suất bằng nhau. Tức là, hàm khối xác suất của
X là:
k 1
PX , k 0,1,2,..., N 1
(1.2)
N N
Đây là loại biến ngẫu nhiên được ta ̣o thành bởi các bộ tạo số "ngẫu nhiên" trong
các ngôn ngữ bậc cao, chẳng hạn như Fortran và C, và trong các gói toán học như
MATLAB, MathCAD và Mathematica. Trong những trường hợp này, N được lấ y phải
4
một số khá lớn để xuất hiện số ngẫu nhiên có thể là bất cứ số nào trong phạm vi liên
tục [0,1]. Xét trường hợp hữu ha ̣n là N → ∞ để biến ngẫu nhiên thực sự ở bất cứ điể m
nào trong khoảng [0,1]. Kết quả của phép lấy giới ha ̣n lúc này là:
1
k
(1.3)
lim PX lim 0
N
N N N
Khi đó, xảy ra việc mỗi điểm có xác suất bằng 0. Tuy nhiên, điề u gì đó đã xảy ra
không thật sự đúng. Vấn đề này là phổ biến đối với các biến ngẫu nhiên liên tục và rõ
ràng là hàm xác suất khối không phải là cách biể u diễn thích hợp cho một biến ngẫu
nhiên như vậy.
b) Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function – CDF)
Một biến ngẫu nhiên liên tục thường có một xác suất bằng 0 khi lấy một giá trị cụ
thể, chúng ta tránh đề câ ̣p đế n các xác suất như vậy. Thay vào đó, các biế n cố có dạng
{X ≤ x} có thể được xem xét.
Định nghĩa 1.3: Hàm phân phối tích lũy (CDF) của một biến ngẫu nhiên X, là:
FX x P X x
(1.4)
Từ định nghĩa này, có thể suy ra một số tính chất của các hàm phân phối tích lũy
được tóm tắt như sau:
1 FX 0, FX 1
(1.5a)
2 0 FX x 1
(1.5b)
3 Víi x1 x2 , Fx x1 FX x2
4 Víi x1 x2 , P x1 X x2 FX x2 FX x1
(1.5c)
(1.5d)
Để minh họa cu ̣ thể hơn về tính chấ t của CDF, hãy quay trở lại máy phát số ngẫu
nhiên máy tính tạo ra các giá trị N có thể có từ tâ ̣p {0, 1/N, 2/N, ... , (N − 1)/N với xác
suất bằng nhau. CDF cho biến ngẫu nhiên cụ thể này có thể được mô tả như sau. Thứ
nhất, FX(x) = 0 với mo ̣i x <0, vì biến ngẫu nhiên không thể lấy giá trị âm. Tương tự,
FX(x) = 1 với mo ̣i x ≥ (N-1)/N vì biến ngẫu nhiên không thể lớn hơn (N-1)/N. Tiếp
theo, xét một giá trị x trong khoảng 0≤x<1/N. Trong trường hợp này,
P(X ≤ x) = P(X = 0) vì giá trị duy nhất trong dãy đã xác định mà biến ngẫu nhiên này
có thể nhâ ̣n đươ ̣c là X = 0. Do đó, FX(x) = P(X = 0) = 1/N cho 0 ≤ x <1/N. Tương tự,
với 1/N ≤ x <2/N, FX(x) = P(X = 0) + P(X = 1/2N) = 2/N.
Theo cách lập luận này, về mă ̣t tổ ng quát, đối với một số nguyên k sao
cho 0
b sự kiện a < X ≤ b là một tập hợp con
của {X ≤ x} và vì vậy P(X ≤ x, a < X ≤ b) = P(a < X ≤ b) sao cho CDF có điều
kiện là 1. Khi a
- Xem thêm -
.PDF 
75 
3 
79 
