Tài liệu Ôn thi lượng giác

  • Số trang: 7 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 123 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62512 tài liệu

Mô tả:

Chương VI: LƯỢNG GIÁC BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I. Khái niệm cung và góc lượng giác: 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương + A - Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác. 2. Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD. Kí hiệu: (OC,OD) 3-Đường tròn lượng giác : Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1; 0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1). B(0; 1) + O A(1; 0) A'(-1; 0) B'(0; -1) II. Số đo của cung và góc LG: 1. Độ và radian Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad 1800 =  rad  180 0 10 = rad và rad=( ) 180  với   3,14; 10  0,01745rad Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ   rad sau số đó. Ví dụ: ; 3 2 *Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 300 450 600 900 1800 3600 Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1 rad  6  4  3  2  2 *Độ dài của một cung lượng giác Độ dài cung có số đo  rad của đường trịn bán kính R là : l = R  § 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I. Các giá trị lượng giác của cung  B 1) Định nghĩa : M (x;y) Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có K sđ AM =  . Khi đó :  + Khi đó tung độ y= OK của điểm M gọi là sin của  H A' A O kí hiệu là sin  sin = y . + Khi đó hoảnh độ x= OH của điểm M gọi là côsin của  kí hiệu là cos  cos = x . B' sin  + Nếu cos   0, tỉ số gọi là tang của  cos sin  kí hiệu tan (hoặc tg ) tan= cos cos + Nếu sin   0, tỉ số gọi là côtang của  sin  cos kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot = . sin  Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin. * Chú ý : - Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. - Nếu 00    1800 thì các giá trị lượng giác của  cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc  trong SGK HH10. 2) Các hệ quả : a) sin và cos đều được xác định  R. Ta có: sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos 1  sin  ,cos   1 b)  m  R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại  và  sao cho sin = m và sin =m  c) tan xác định khi   + k  , k  Z. 2 cot  xác định khi   k  , k  Z. c) Dấu của các giá trị lượng giác Góc phần tư Góc lượng giác sin cos tan cot Vuihoc24h – Kênh học tập Online I II III IV + + + + +      + +  +   Page 2 3) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt : Góc Giá trị 0(00) /6(300) /4(450) lượng giác Sin 0 1/2 2 /2 Cos 1 3 /2 2 /2 Tg 0 1 3 /3 Cotg || 1 3 || : không xác định II) Ý nghĩa hình học của tan  và cot  M A' O B 1 3 3 /3 || 0 0 S K A B' 3 /2 1/2 t K H /2(900) y y B /3(600) M O x T H A x B' + tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ AT trên trục t’At,trục này gọi là trục tang. + cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ BS trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang. Từ ý nghĩa hình học của tan  và cot ta có : tan(+k  ) = tan cot(+k  ) = cot ( k  Z ). III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác 1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản Với mọi k  Z ta có : sin2 + cos2 = 1 1 1  1 2  (   k ) 2 tg  cos  2 1 1 1  (  k ) 2 cot g  sin 2  tg . cot g  1  (  k ) 2 Ví dụ 1 : Cho sin  = 3/5 với 0<  </2. Tính cos  ? Ví dụ 2 : Cho tg  =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin  và cos  ? Ví dụ 3 : Cho   /2+k  , k  Z . Chứng minh rằng : cos  sin   tg 3  tg 2  tg  1 3 cos  Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào  tg cot g 2  1 A= . 1  tg 2 cot g Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3 2) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối nhau :  và   sin() = sin  cos() =  cos  tan() = tan  cot() = cot  . b) Cung bù nhau :  và  sin() = sin cos() = cos tan()= tan cot()= cot  . c) Cung hơn kém nhau  :  và  +  sin(+) = sin cos(+) = cos tan(+) = tan cot(+) =cot  . d) Cung phụ nhau :  và   2 sin(/2) = cos cos(/2)= sin tan(/2) = cot cot(/2) = tan e) Cung hơn kém nhau /2 :  và  + (Xem) 2 sin(/2+) = cos  cos(/2+) = sin  tan(/2+) = cot  cot(/2+)= tan  . Ví dụ : Tính a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4). b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1. sin(10500)=sin(3003.3600) =sin300 = ½ . 2. Số đo của cung lượng giác: VD: Xem hình 44 Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm. Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM. Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2 . Và viết là: sđAM =   k 2 , (k Z) Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. M  A  sđAA = k2 , (k Z) k = 0  sđAA = 0 * Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là: SđAM = a0 + k3600, (k Z) 3. Số đo một góc lượng giác: Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4 Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng . Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. 4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác: Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau : sđ AM =  . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác. 25 Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là ; -7650 4 Giải: SGK tr139 Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau 11 a) ; b) 4050 2 Giải a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức : sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1). b) Ta có 4050 = 450 + 3600. Điểm ngọn N của cung 4050 được xác định bởi hệ thức: sđAN = 450 + 3600 hay sđ AN = 450. Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB. Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo  = /2 + k , kZ. Giải kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ : + Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó  = /2 + n2 , nZ. Vậy điểm ngọn của  là B(0;1). + Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó  = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ. Vậy điểm ngọn của  là B’(0;-1). § 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC I) Công thức cộng Với mọi số thực a , b ta có : cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb  sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tga  tgb tg(a  b)  1  tgatgb (a  /2 + k ;b  /2 + k ;a+b  /2 + k  ;ab  /2 + k  ) Ví dụ1 : Tính 7 13 a) cos b) sin750 c) tg 14 12 Ví dụ 2 : Chứng minh rằng  1  tga a) tg(  a )  4 1  tga  1  tga b) tg(  a )  4 1  tga Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5 Áp dụng tính A = 1  tg15 0 1  tg15 0  tg150 = ? II) Công thức nhân 1) Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa 2 2 cos2a = cos a  sin a = 2cos2a  1 2 = 1  2sin a 2tga tg2a = ( a  /2 + k  , a  /4 + k /2 ) 1  tg 2 a * Công thức nhân ba 3 sin3a = 3sina  4sin a cos3a = 4cos3a  3cosa tg3a = 3tga  tg3a 1  3tg 2 a Ví dụ : 1 a) Chứng minh rằng sin 4 a  cos4 a  1  sin 2 2a . 2 cos 2a cos a  sin a  b) Chứng minh rằng 1  sin 2a cos a  sin a 2) Công thức hạ bậc 1  cos 2a cos2 a  2 1  cos 2a sin 2 a  2 1  cos 2a tg 2 a  ( a  /2 + k  ) 1  cos 2a Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8 a 3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg (không học) 2 a Giả sử a   + k  ,đặt t = tg ,ta có : 2 2t 1 t2 2t . sin a  ; cos a  ; tga  1 t2 1 t2 1 t2 2  3 cos a 2 a Ví dụ1 : Biết tg =  , tính 2 4  5 sin a 3 III) Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = 1 [cos(a+b) + cos(ab)] 2 sina.sinb =  1 [cos(a+b)  cos(ab)] 2 sina.cosb = 1 [sin(a+b) + sin(ab)] 2 1 cosa.sinb = [sin(a+b)  sin(ab)] 2 Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6 Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau : 5 7 5  A  cos sin B  sin sin 12 12 24 24 Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau C = cos5x.cos3x D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x = sin4x sin6x + sin2x IV) Công thức biến đổi tích thành tổng xy xy cos 2 2 xy xy cos x  cos y  2 sin sin 2 2 xy xy sin x  sin y  2 sin cos 2 2 xy xy sin x  sin y  2 cos sin 2 2 cos x  cos y  2 cos tan x  tan y  sin( x  y) cos x cos y Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích Khi đó ta có các công thức :   cos x  sin x  2 cos(x  )  2 sin(x  ) 4 4  cos x  sin x  2 cos(x  ) 4  sin x  cos x  2 sin(x  ) 4 Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx = 2cosx(sin2x + sinx ) = Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7
- Xem thêm -