Tài liệu Ổn định hóa hệ navier - stokes (lv01114)

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Cung Thế Anh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2013 Tác giả Ngô Thị Hồng Trang Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Cung Thế Anh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Ổn định hóa hệ Navier-Stokes” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2013 Tác giả Ngô Thị Hồng Trang Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Các không gian hàm và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Các bất đẳng thức để đánh giá số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.Tính ổn định của nghiệm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.Toán tử Stokes-Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.Tính chất phổ của toán tử Stokes-Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Ổn định hóa hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.Ổn định hóa bên trong miền qua phân tích phổ . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes-Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Ổn định hóa hệ Stokes-Oseen bằng hàm điều khiển ngược tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3. Ổn định hóa bên trong miền qua hàm điều khiển ngược: Phản hồi dựa trên phương trình Riccati đạt được cao (high-gain Riccati-based feedback) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4. Ổn định hóa bên trong miền: Phản hồi dựa trên phương trình Ricati đạt được thấp (low-gain Riccati-based feedback) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ phương trình Navier-Stokes 30 35 2.2.1. Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ Stokes-Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2. Điều khiển phản hồi biên ổn định hóa bằng phương trình Riccati đạt được thấp . . 45 2.2.3. Ổn định hóa phản hồi biên của hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 57 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 58 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . Hệ phương trình NavierStokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng và năng lượng được viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng: ∂y (t, x) − ν∆y (t, x) + (y · ∇) y (t, x) = ∇p (t, x) + f (t, x) , t ≥ 0, x ∈ O, ∂t (∇ · y) (t, x) ≡ 0, trên (0, ∞) × ∂O, y(t, x) =0 y (0, x) = y0 (x) trong O, (1) trong đó, y = (y1 , y2 , ..., yd ) là hàm vận tốc, p = p (t, x) là áp suất, f = (f1 , ..., fd ) là ngoại lực, ν là hệ số nhớt và y0 là vận tốc ban đầu. Biên ∂O được giả sử là trơn (thuộc d lớp C 2 ), f ≡ fe (x), trong đó fe ∈ (L2 (O)) . Những vấn đề lý thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes là: - Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính quy theo biến không gian (tính chính quy Hilbert, tính chính quy Hölder, mô tả tập điểm kì dị, . . . ). - Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Nói riêng, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn. Trong nhiều trường hợp nghiệm dừng ye của hệ Navier-Stokes có thể không ổn định, khi đó ta có thể dùng một hàm điều khiển u thích hợp được thiết kế dưới dạng phản 3 hồi u = γ(y − ye ) (có thể là hàm điều khiển ở bên trong miền hoặc hàm điều khiển ở trên biên của miền) sao cho mọi nghiệm y của hệ với điểm ban đầu y0 ở gần nghiệm dừng này đều hội tụ theo tốc độ mũ về nghiệm dừng đang xét, tức là ta đã ổn định hóa nghiệm dừng này. Đây là nội dung của một hướng nghiên cứu được phát triển mạnh trong những năm gần đây: Ổn định hóa hệ Navier-Stokes. Những kết quả rất gần đây về hướng nghiên cứu này được đúc kết trong cuốn chuyên khảo [3] của V. Barbu. Bài toán ổn định hóa hệ Navier-Stokes với các hàm điều khiển khác nhau đã và đang là vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: "Ổn định hóa hệ Navier-Stokes". Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các chương sau: không gian Sobolev, không gian hàm liên quan đến hệ Navier-Stokes, các kết quả về sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả của V. Barbu trong [3], [4], [5]: Ổn định hóa hệ Navier-Stokes bằng điều khiển bên trong miền và bằng điều khiển trên biên. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán ổn định hóa đối với hệ Navier-Stokes trong cả hai trường hợp: Hàm điều khiển có giá ở bên trong miền và hàm điều khiển có giá ở trên biên của miền. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dừng của bài toán. • Thiết kế hàm điều khiển ngược (feedback controller) để nghiệm dừng là ổn định. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes. • Phạm vi nghiên cứu: Bài toán ổn định hóa nghiệm dừng. 4 5. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp Galerkin. • Nghiên cứu bài toán ổn định hóa: Phương pháp phân tích phổ. 6. Ý nghĩa khoa học và đóng góp của đề tài Nội dung của luận văn là nghiên cứu bài toán ổn định hóa đối với hệ Navier-Stokes. Kết quả chính của luận văn là: Ổn định hóa được nghiệm dừng bằng cách thiết kế hàm điều khiển ngược thích hợp. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các không gian hàm và các toán tử Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm và các toán tử thường dùng khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes 1.1.1. Các không gian hàm Ký hiệu  V = y ∈ (C0∞ (O))d : ∇ · u = 0 . Để nghiên cứu bài toán (1) ta giới thiệu các không gian hàm sau: 1 d V = V̄ (H0 (O)) = bao đóng của V trong (H01 (O))d  = y ∈ (H01 (O))d : ∇ · y = 0 , H = V̄ (L 2 (O))d = bao đóng của V trong (L2 (O))d . Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là Z y · zdx = (y, z) = (y, z)H = O ((y, z)) = (y, z)V = Z X d O T i=1 Z X d O yi zi dx, i=1 Z X d ∂yi ∂zi dx, ∇yi · ∇zi dx = ∂x ∂x j j i,j=1 O T trong đó y = (y1 , ..., yd ) và z = (z1 , ..., zd ) . Gọi H ⊥ là phần bù trực giao của H trong (L2 (O))d . Từ kết quả trong Temam [7] ta có  H ⊥ = y ∈ (L2 (O))d : y = grad p, p ∈ H 1 (O) . Gọi V 0 là không gian đối ngẫu của V . Ký hiệu | · |, || · || lần lượt là chuẩn trong H và V , || · ||∗ là chuẩn trong V 0 . 6 1.1.2. Các toán tử Toán tử A 0 Giả sử A : V → V là toán tử xác định bởi hAy, zi = ((y, z)), với mọi y, z ∈ V. Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có: D(A) = {y ∈ H : Ay ∈ H} = (H 2 (O))d ∩ V. Dễ thấy A là toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact vì phép nhúng H01 ,→ L2 (O) là compact. Do đó phổ của A gồm toàn giá trị riêng {λj }∞ j=1 với 0 < λ1 6 λ2 6 ... 6 λn 6 ..., λn → +∞ khi n → +∞, và các hàm riêng tương ứng {wj }∞ j=1 ⊂ D(A) lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H. Toán tử B Đặt b(y, z, w) = d Z X i,j=1 O yi ∂zj dx, ∂xi khi đó dễ thấy b(., ., .) là một dạng 3−tuyến tính liên tục trên (H01 (O))d , hay nói riêng trên V . Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra được b(y, z, w) = −b(y, w, z), với mọi y, z, w ∈ V. Nói riêng b(y, z, w) = 0, với mọi y, z ∈ V . Để thiết lập các đánh giá đối với b(y, z, w), ta cần bổ đề sau Bổ đề 1.1. (xem [2]) Với bất kì tập mở O ⊂ R2 , ta có Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d = 2. 1 1 1 kzkL4 (O) 6 2 4 kzkL2 2 (O) k∇zkL2 2 (O) , với mọi z ∈ H01 (O). Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d = 3. 1 3 kzkL4 (O) 6 C kzkL4 2 (O) k∇zkL4 2 (O) , với mọi z ∈ H01 (O). 7 Bổ đề 1.2. (xem [2], [7]) Ta có: Nếu d = 2 : 1 1 1 1 1 |b(y, z, w)| 6 2 2 |y| 2 kyk 2 kzk |w| 2 kwk 2 , ∀y, z, w ∈ V. Nếu d = 3: 1 1 |b(y, z, w)| 6 c kyk kzk 2 |Az| 2 |w|, ∀y ∈ V, z ∈ D(A), w ∈ H. 0 Xét toán tử B : V × V → V xác định bởi hB(y, z), wi = b(y, z, w) với mọi y, z, w ∈ V. Đặt By = B(y, y). Khi đó bài toán đã cho có thể phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây 0 Bài toán 1. Cho trước y0 ∈ H và f ∈ L2 (0, T ; V ). Tìm hàm y ∈ L2 (0, T ; V ) thỏa mãn   d (y, z) + ν((y, z)) + b(y, y, z) = hf, zi, với mọi z ∈ V và hầu khắp t ∈ (0, T ) dt  y(0) = y . 0 0 Bài toán 2. Cho trước y0 ∈ H và f ∈ L2 (0, T ; V ). Tìm hàm y ∈ L2 (0, T ; V ) thỏa mãn y 0 ∈ L1 (0, T ; V 0 ) y 0 + νAy + By = f trong V 0 với hầu khắp t ∈ (0, T ) y(0) = y0 . Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa nếu y là nghiệm của bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại. 1.2. Các bất đẳng thức để đánh giá số hạng phi tuyến 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho a > 0, b > 0 : ab ≤ a2 b 2 + . 2 2 8 1.2.2. Bất đẳng thức Hölder Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞; 1 1 + = 1. Khi đó nếu y ∈ Lp (O), z ∈ Lq (O) thì ta có p q Z |yz|dx ≤ kykLp (O) · kzkLq (O) , O 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré Cho Ω là tập mở, bị chặn, liên thông của Rn với ∂O là C 1 , 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào n, p và O sao cho ky − (y)O kLp (O) ≤ CkDykLp (O) , với mỗi hàm y ∈ Wp1 (O). Ký hiệu I (y)x,r := ydy := Trung bình của y trên hình cầu B(x, r). B(x,r) 1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 0 Định lí 1.1. (xem [2]) Cho trước y0 ∈ H và f ∈ L2 (0, T, V ). Khi đó bài toán 1 có duy nhất nghiệm một nghiệm y thỏa mãn y ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; V ) với d = 2, 4 y ∈ C([0, T ]; H) ∩ L 3 (0, T ; V ) với d = 3. 1.4. Tính ổn định của nghiệm dừng Định lí 1.2. (xem [7]) Giả sử f ∈ H và  ν λ1 c1  34 > c2 |f |3 2 |f | + 2 3 ν ν 5 λ12 ! , trong đó, c1 , c2 chỉ phụ thuộc vào miền O. Khi đó Bài toán 1 có duy nhất một nghiệm dừng ye và nghiệm dừng này là ổn định. 9 1.5. Toán tử Stokes-Oseen Phương trình (1) có thể viết lại thành dy + νAy + Sy = fe , t ≥ 0, dt y(0) = y0 , (1.1) trong không gian n o
d H = y ∈ L2 (O) ; ∇ · y = 0, y · n = 0 trên ∂O , trong đó
d Ay = −P ∆y, ∀y ∈ D(A) = H01 (O) ∩ H 2 (O) ∩ H. P là phép chiếu Leray và S = P (y · ∇y)y. Với 0 < α < 1, ta ký hiệu Aα là lũy thừa phân số bậc α của toán tử A. Không gian D(Aα ) được trang bị chuẩn Hilbertian |y|α = |Aα y| , ∀y ∈ D(Aα ). d 1 Đặc biệt, D(A 2 ) = V = (H01 (O)) ∩ H, và 1 ∩ H, với 0 < s < , 2
1 d D(As ) = H 2s (O) ∩ V, ≤ s ≤ 1. 2 D (As ) = H02s (O)
d Ta ký hiệu | · | là chuẩn của H và (., .) là tích vô hướng của nó. Nghiệm dừng của (1) là nghiệm ye ∈ D(A) của phương trình trạng thái dừng − ν∆ye + (ye · ∇) ye = ∇p + fe trong O, ∇ · ye = 0 trong O, ye trên ∂O, =0 hay tương đương νAye + Sye = fe . d Giả sử ye đủ trơn, ví dụ ye ∈ (W 2,∞ (O)) . Bài toán đặt ra ở đây là ổn định hóa ye bằng hàm điều khiển ngược với giá ở bên trong tập con mở O0 ⊂ O hoặc ở trên biên 10 1 đủ lớn thì nghiệm này là không ổn định, vì vậy, ν ổn định hóa nghiệm dừng này là vấn đề lớn của động lực học chất lỏng. Để đơn giản ∂O. Thật vậy, với số Reynolds Re = hơn ta quy về bài toán ổn định cho ye dần tới nghiệm 0 bằng cách cho y − ye ⇒ y và biến đổi (1) thành ∂y − ν∆y + (ye · ∇) y + (y · ∇) ye + (y · ∇) y = ∇p trong (0, ∞) × O, ∂t ∇·y =0 trong (0, ∞) × O, y =0 trong (0, ∞) × ∂O, y(0, x) = y0 (x) − ye (x) , x ∈ O, (1.2) tương đương với dy + Ay + Sy = 0 trong (0, ∞) , dt y (0) = y0 − ye = y 0 , (1.3) trong đó Ay = νAy + A0 y, ∀y ∈ D(A), D (A) = D (A) , A0 y = P ((ye · ∇) y + (y · ∇) ye ) . (1.4) Toán tử A được gọi là toán tử Stokes-Oseen với nghiệm dừng ye . Để ổn định hóa hệ (1.2), ta thiết kế hàm điều khiển ngược u có dạng u(t) = F y(t), t ≥ 0, và đưa vào nó vào hệ điều khiển (1.2) ∂y − ν∆y + (ye · ∇)y + (y · ∇)ye + (y · ∇)y = mu + ∇p trong (0, ∞) × O, ∂t ∇·y =0 trong (0, ∞) × O, y =0 trên (0, ∞) × O y(0, x) = y 0 (x) trong O. Ở đây, m = 1O0 là hàm đặc trưng của miền mở O0 ⊂ O. Điều này có nghĩa là đầu vào mu = mF y có giá trong (0, ∞) × O. Hàm điều khiển như vậy được gọi là hàm điều 11 khiển bên trong miền. Bài toán liên quan được gọi là ổn định hóa trên biên là thiết kế hàm điều khiển ngược u với giá ở trên biên ∂O, tức là cho hàm điều khiển ngược ∂y − ν∆y + (ye · ∇) y + (y · ∇) ye + (y · ∇) y = ∇p trong (0, ∞) × O, ∂t ∇·y =0 trong (0, ∞) × O, y =u trên (0, ∞) × ∂O, y·n =0 trên (0, ∞) × ∂O, y (0, x) = y 0 (x) ∀x ∈ O. (1.5) Ở đây ta chọn điều kiện biên Dirichlet vì nó thường được dùng trong các tài liệu ổn định hóa trên biên của phương trình đạo hàm riêng. Tuy nhiên, người ta có thể xét các điều kiện biên khác. Hàm điều khiển bên trong miền và trên biên được biểu diễn bởi cùng một phương trình. Vì vậy, ổn định hóa bên trong miền tương đương với ổn định hóa trên biên. Mặt khác, ổn định hóa trên biên có thể được quy về ổn định hóa bên trong miền với giá trong một lân cận của biên trong một miền rộng hơn. Trong hệ Navier- Stokes (1) ta có thể thay điều kiện biên Dirichlet bằng điều kiện biên tuần hoàn trong Rd có dạng y(t, x + le) ≡ y(t, x), ∀x ∈ Rd , trong đó l ∈ N, x = (x1 , ..., xd ), e = (e1 , e2 , ..., ed ) là các vectơ unita, trong trường hợp này, hệ (1) có thể viết lại thành (1.3), trong đó H là không gian các vectơ tự do tuần hoàn thỏa mãn ∇ · y = 0. 1.6. Tính chất phổ của toán tử Stokes-Oseen Xét toán tử A định nghĩa bởi (1.4) và định nghĩa lại bởi mở rộng A của nó trên e = H + iH. Ta ký hiệu | · | e (hay | · | ) là chuẩn của H e và ký hiệu không gian phức H H e (., .) là tích vô hướng của H và H. Ta bắt đầu với tính chất phổ cơ bản của A. Mệnh đề 1.1. Với Re λ ≤ −α0 , α0 đủ lớn, toán tử A chứa giải thức compact (λI − A)−1 e và −A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm giải tích e−At trên H. 12 Chứng minh. Từ (1.4) ta có A = νA + A0 , A0 = P ((ye · ∇) y + (y · ∇) ye ). Từ νA là 1 tự liên hợp, xác định dương trong khi |A0 y| ≤ C|A 2 y|, ∀y ∈ D(A), ta suy ra −A là toán tử sinh C0 −nửa nhóm giải tích và (λI − A)−1 f ≤ C |f | / |λ + α0 | , Reλ < −α0 . V Tính đến z = (λI − A)−1 f là nghiệm của phương trình f = λz − νAz − A0 z. Vậy, với Reλ ≤ −α0 , trong đó α0 đủ lớn kzk2H 2 (O)∩H 1 (O) d ≤ C |f |2He . ) ( 0 Suy ra toán tử A có giải thức (λI − A)−1 compact . Vì vậy, A có một số đếm được các giá trị riêng {λj }∞ j=1 trong nửa không gian phức {λ ∈ C; Reλ > −α0 }, với bội đại số hữu hạn mj và các hàm riêng tương ứng ϕj . 13 Chương 2 Ổn định hóa hệ Navier-Stokes 2.1. Ổn định hóa bên trong miền qua phân tích phổ Hướng tiếp cận ổn định hóa đã được trình bày trong [3] cho hệ parabolic trừu tượng. Ở đây, ta tiếp tục phát triển nó trong trường hợp đặc biệt của hàm điều khiển hệ Navier-Stokes yt − ν∆y + (y · ∇) ye + (ye · ∇) y + (y · ∇) y = ∇p + mu trong (0, ∞) × O, ∇·y =0 trong (0, ∞) × O, y = 0, trên (0, ∞) × O, y (0, x) = y0 (x), (2.1) hay tương đương dy + Ay + Sy = P (mu), t ≥ 0, dt y(0) = y0 , (2.2) trong đó P : (L2 (O))d → H là phép chiếu Leray và m = 1O0 là hàm đặc trưng của tập con mở O0 ⊂ O. m j {ϕj }N j=1 là hệ các hàm riêng của toán tử A, tức là ϕj = {ϕjk }k=1 , trong đó (A − λj I)k ϕjk = 0 với k = 1, ..., mj , j = 1, ..., l, l là số các giá trị riêng khác nhau và mk là bội đại số của giá trị riêng λk . Ở đây, N được chọn theo điều kiện Re λj ≤ γ, j = 1, ..., N, và γ > 0 tùy ý nhưng cố định. Ta định nghĩa M là số M = max {mj ; j = 1, 2, ..., l} , 14 (2.3) nó có vai trò quan trọng trong quá trình ổn định hóa. 2.1.1. Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes-Oseen Ổn định mũ toàn cục hệ điều khiển tuyến tính hóa liên kết với (1), tức là dy + Ay = u, t ≥ 0, dt y(0) = y0 , (2.4) ở đây supp u(t) ⊂ O0 là bước đầu tiên ổn định hóa bên trong miền hệ phương trình Navier-Stokes. Định lí 2.1 là kết quả đầu tiên trong hướng này. Định lí 2.1. Tồn tại hàm điều khiển u có dạng u(t) = M X P (mφi )vi (t), ∀t ≥ 0, (2.5) i=1 e của hệ (2.4) với hàm ổn định mũ hệ (2.4). Chính xác hơn, nghiệm y ∈ C([0, ∞); H) điều khiển u cho bởi (2.5) thỏa mãn |y(t)|He ≤ Ce−γt |y0 |, t ≥ 0. 2 M Hàm điều khiển v = {vi }M i=1 có thể chọn trong L (0, T ; C ). Vì vậy ZT |vi (t)|2M dt ≤ C|y0 |2 , vi (t) = 0 với t ≥ T. (2.6) 0 1 Hàm điều khiển v = {vj }M j=1 cũng có thể được tìm như hàm C trên [0, ∞) như sau |vj (t)| + |vj0 (t)| ≤ Ce−γt |y0 |, ∀t ≥ 0, j = 1, ..., M. (2.7) Ta chú ý rằng, trong các hạng tử của hàm điều khiển v ∈ L2 (0, T ; CM ), hệ điều khiển (2.4) tương đương dy + Ay = Bv, t ≥ 0, dt y(0) = y0 , (2.8) e được cho bởi trong đó B : CM → H Bv = M X P (mφi ) vi , ∀v ∈ CM . i=1 15 Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh định lí trong các trường hợp đặc biệt sau: 1◦ . Các giá trị riêng λj , j = 1, ..., N là nửa đơn.  ∗ N Trong trường hợp này các hệ {ϕj }N j=1 và ϕj j=1 được chọn song song trực giao, tức là
ϕi , ϕ∗j = δij , i, j = 1, ..., N. (2.9) φi = ϕ∗i , i = 1, ..., N, (2.10) Ta lấy trong (2.5) và ta tách hệ M X dy + Ay = P (mϕ∗i )vi , t ≥ 0, dt i=1 y(0) = y0 , trong phần hữu hạn chiều M X dyu + Au yu = PN P (mϕ∗i )vi , dt i=1 yu (0) = PN y0 , (2.11) và phần γ− ổn định vô hạn chiều M X dys + As ys = (I − PN ) P (mϕ∗i )vi , dt i=1 ys (0) = (I − PN )y0 . Trong đó, yu = PN i=1 (2.12) e = lin span {ϕj }N , yi ϕi và Au = A |Xu , As = A |Xs , Xu = PN (H) j=1 e Thực tế Xs có thể định nghĩa tương đương như lin span {ϕj }∞ . Xs = (I − PN )H. N +1 Từ (2.9), hệ (2.11) có thể viết lại thành M X dyj + λj yj = (ϕ∗i , ϕ∗j )0 vi , j = 1, ..., N, dt i=1
yj (0) = yj0 = PN y0 , ϕ∗j , (2.13) trong đó (.)0 là tích vô hướng trong (L2 (O0 ))d . Suy ra z 0 (t) + Λz(t) = Bv(t), t ≥ 0, z(0) = z0 , (2.14) 16 ∗ ∗ M,N  0 N (ϕi , ϕj )0 . Trong đó, Λ là ma và B = ở đó z(t) = {yj (t)}N , z = (y) 0 j j=1 j=1 i,j=1 trận đường chéo N × N J1 J2 0 Λ= .. . 0 Jl và Jj là ma trận đường chéo mj × mj λj λj 0 Jj = .. . 0 λj , j = 1, ..., l. Hệ (2.14) điều khiển được chính xác trên (0, T ), ở đây T > 0 tuỳ ý nhưng cố định. Thật vậy, phương trình B ∗ e−Λt x = 0, t ≥ 0, chỉ ra rằng m1 X bij xi = 0, i=1 m2 X bij xi = 0, ..., i=m1 +1 ml X bij xi = 0, (2.15) i=ml−1 +1
∗ ∗ trong đó x = {xi }N i=1 , bij = ϕj , ϕi 0 , i = 1, ..., N, j = 1, ..., M .  M Từ hệ ϕ∗j j=1 là độc lập tuyến tính trên O0 ta có rank kbij kN,M i,j=1 = M và từ (2.15) ta kết luận rằng x = 0. Vì vậy, theo định lí điều khiển Kalman tồn tại một điều khiển M đầu vào {vj }M j=1 ⊂ C([0, T ]; C ), sao cho yu (T ) = 0. Hơn nữa, theo lí thuyết về hàm điều khiển tuyến tính hữu hạn chiều, ta biết {vj }M j=1 được chọn sao cho ZT |vj (t)|2 dt ≤ C|z0 |2 , ∀t ∈ [0, T ], j = 1, ..., M. 0 Từ điều khiển chính xác của (2.14) trên [0, T ], qua kỹ thuật ổn định tuyến tính bậc hai, tồn tại hàm điều khiển ổn định vj ∈ C 1 ([0, ∞)), j = 1, ..., M thỏa mãn (2.7). Nhắc lại σ(As ) = {λj ; Reλj > γ} và −As là toán tử sinh C0 −nửa nhóm giải tích. Ta có −γt ||e−As t ||L(H, , ∀t ≥ 0, e H) e ≤ Ce 17 và theo (2.12) ta có  |y(t, y0 )|He ≤ C e−γt |y0 | + Zt X M  |e−As (t−s) P (mϕ∗j )vj (s)|ds ≤ Ce−γt |y0 |. j=1 0 2◦ Ta xét trường hợp chung các giá trị riêng không nửa đơn λj , j = 1, ..., N . Dùng thuật toán trực giao hóa Gram-Schmidt, ta có thể thay {ϕj }N j=1 bằng một hệ trực giao ký hiệu là {φj }N j=1 . Sau đó, ta lấy trong (2.4) hàm điều khiển u có dạng (2.5), ở đây {φi }M i=1 được xác định sau. P Ta đặt yu = N i=1 yi ϕi , trong trường hợp này ta cũng có y = yu + ys , trong đó M N X dyi X + aij yi = (P (mφj ), PN∗ ϕi ) vj , i = 1, ..., N, dt j=1 j=1 yi (0) = yi0 = (y0 , ϕi ), (2.16) M X dys + As ys = (I − PN ) P (mφj )vj , dt j=1 ys (0) = (I − PN )y0 . Điều đó cho thấy hệ hữu hạn chiều (2.16) điều khiển chính xác trên một vài khoảng [0, T ]. Mặc dù trong trường hợp này ma trận A0 = kaij kN i,j=1 không là ma trận liên kết N 0 Jordan với {λj }N j=1 . Tuy nhiên, tồn tại một ma trận không chính quy Λ = kγij ki,j=1 sao cho J = Λ0 A0 (Λ0 )−1 . Khi đó, hệ (2.16) có thể viết lại thành dz + Jz = Dv, t ≥ 0, dt z(0) = z0 , (2.17) ∗ ∗ ∗ ∗ trong đó z = Λ0 yu , và D = Λ0 B, B = kbij kN,M i,j=1 , bij = (P (mφj ), PN ϕi ) = (φj , PN ϕi )0 . Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1. Tồn tại hệ {φj }M j=1 có dạng φj = N X αjk PN∗ ϕk , j = 1, ..., M, (2.18) k=1 sao cho hệ hữu hạn chiều (2.16) (tương đương, (2.17)) điều khiển được chính xác trên mỗi đoạn [0, T ]. 18