Tài liệu Những bài toán tổng hợp về các đường conic

.. TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN TRỌNG NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN TRỌNG NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - 2015 Lời nói đầu Những bài toán về các đường conic là một phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng, các đề thi olympic quốc gia và quốc tế. Hiện nay cũng đã có khá nhiều tài liệu tham khảo viết về các bài toán liên quan đến đường conic. Tuy nhiên, các tài liệu đó đa phần mới chỉ nêu ra các dạng bài tập rời rạc hoặc với các trường hợp áp dụng cho số cụ thể mà chưa nêu ra các bài toán mang tính tổng quát, tổng hợp. Chính vì điều đó đã thôi thúc tác giả nghiên cứu đề tài "Những bài toán tổng hợp về các đường conic". Hy vọng luận văn sẽ góp phần giúp cho các học sinh và các thầy cô giáo trung học phổ thông có cái nhìn tổng quát, cô đọng về các vấn đề liên quan đến đường conic thông qua các bài toán tổng hợp. Ngoài phần lời nói đầu, luận văn gồm hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày kiến thức về các đường bậc hai, làm cơ sở để sử dụng trong chương sau. Chương 2 dành để trình bày các bài toán tổng hợp về các đường conic, đây là những bài toán tổng quát làm nền tảng ứng dụng tốt cho những bài toán với số cụ thể, cho cách nhìn bao quát, tổng hợp về các đường conic. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Minh Khoa. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học (Đại học Thái Nguyên), các thầy giáo, cô giáo đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ i ii tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp ở trường THCS và THPT Chu Văn An, thành phố Móng Cái, Quảng Ninh đã động viên, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả Hoàng Văn Trọng Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 Các đường bậc hai 1 1.1. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Phương trình chính tắc của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của elip . . . . . . 3 1.2.3. Dạng đồ thị của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4. Tâm sai của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của hypebol . . . 7 1.3.3. Dạng đồ thị của hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4. Tâm sai của hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 iii iv 1.4.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của parabol . . . . 11 1.4.3. Dạng đồ thị của parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Khảo sát phương trình bậc hai tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1. Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2. Phép quay hệ trục tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.3. Phép biến hình tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4. Ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai tổng quát . . . . . . 18 2 Bài toán tổng hợp về các đường conic 19 2.1. Bài toán tổng hợp về đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Bài toán tổng hợp về đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Bài toán tổng hợp về đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 1 Các đường bậc hai Trong chương này, tác giả trình bày một số khái niệm và kết quả về các đường bậc hai. 1.1. Đường tròn 1.1.1. Định nghĩa Đường tròn là tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng không đổi. Điểm cố định gọi là tâm của đường tròn, khoảng không đổi gọi là bán kính của đường tròn. 1.1.2. Phương trình chính tắc của đường tròn Ta lập phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R: Điểm M (x; y) thuộc đường tròn khi và chỉ khi: IM = R ⇔ p (x − a)2 + (y − b)2 = R ⇔ (x − a)2 + (y − b)2 = R2 . Ta có (1.1) là phương trình chính tắc của đường tròn. Ví dụ 1.1. Phương trình đường tròn tâm I(2; −3) và bán kính R = 2 là: (x − 2)2 + (y + 3)2 = 4. 1 (1.1) 2 y M I b x O a Hình 1.1: Nhận xét 1.2. - Nếu a = 0, b = 0 ta có: x2 + y 2 = R2 là phương trình đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R. - Khai triển (1.1) ta được phương trình x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − R2 = 0. (1.2) Ta thấy (1.2) là phương trình bậc hai đối với x, y, trong đó các hệ số của x2 , y 2 bằng nhau, không có số hạng chéo xy. Ngược lại phương trình bậc hai dạng (1.2) biểu diễn một quỹ tích nào đó thì đó là đường tròn. Ví dụ 1.3. Phương trình x2 − 4x + y 2 + 6y + 12 = 0, có đặc điểm như đã nhận xét. Bởi vì phương trình đã cho tương đương với phương trình: (x − 2)2 + (y + 3)2 = 1. Đây là phương trình của đường tròn tâm I(2; −3), bán kính R = 1. 3 1.2. Đường elip 1.2.1. Định nghĩa Elip là tập hợp những điểm mà tổng khoảng cách tới hai điểm cố định F1 , F2 bằng một hằng số 2a lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F1 , F2 . Hai điểm F1 , F2 được gọi là tiêu điểm của elip. Khoảng cách F1 F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. 1.2.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của elip Nhận xét 1.4. 1) Điểm M trong mặt phẳng thuộc elip thì: M F1 + M F2 = 2a, (1.3) trong đó a > c > 0. 2) Từ định nghĩa ta thấy elip nhận các đường thẳng đi qua F1 F2 và đường trung trực của đoạn thẳng F1 F2 làm trục đối xứng. y M F2 O F1 x Hình 1.2 Để cho phương trình của elip được đơn giản, ta chọn hệ tọa độ Đề các Oxy với: Ox là trục đi qua F1 , F2 hướng từ F2 đến F1 , Oy là đường trung trực của F1 F2 , gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn F1 F2 . 4 Khi đó các điểm có tọa độ là: O(0; 0), F2 (−c; 0), F1 (c; 0). Điểm M (x; y) trong mặt phẳng Oxy suy ra p (x − c)2 + y 2 , p M F2 = (x + c)2 + y 2 . M F1 = Vậy đẳng thức (1.3) trở thành p p p p (x − c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 = 2a ⇔ (x − c)2 + y 2 = 2a − (x + c)2 + y 2 . Bình phương hai vế, ta có p x2 − 2xc + c2 + y 2 = 4a2 + x2 + 2xc + c2 + y 2 − 4a (x + c)2 + y 2 p ⇔ a (x + c)2 + y 2 = cx + a2 . Tiếp tục bình phương hai vế ta được a2 (x2 + 2cx + c2 + y 2 ) = c2 x2 + 2a2 cx + a4 ⇔ (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ). Vì a > c =⇒ a2 − c2 > 0. Đặt a2 − c2 = b2 , ta có: b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 ⇔ x2 y 2 + = 1. (1.2.2) a2 b2 Ta có (1.2.2) là phương trình chính tắc của elip. 1.2.3. Dạng đồ thị của elip Từ phương trình (1.2.2) của elip ta thấy nếu điểm M (x; y) thuộc elip thì các điểm M1 (x; −y), M2 (−x; y), M3 (−x; −y) cũng thuộc elip. Điều này có nghĩa là đường elip nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Tương giao của elip với các trục tọa độ: Cho y = 0, từ (1.2.2) =⇒ x = ±a. Vậy elip cắt trục Ox tại hai điểm A2 (−a; 0), A1 (a; 0). Cho x = 0, từ (1.2.2) =⇒ y = ±b. Vậy elip cắt trục Oy tại hai điểm B1 (0; b), B2 (0; −b). Bốn điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng A1 A2 với độ dài 2a được gọi là trục lớn của elip. Đoạn thẳng B1 B2 với độ dài 2b gọi là trục nhỏ. Ta gọi a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ. Gốc tọa độ O(0; 0) gọi là tâm của elip. 5 Do elip nhận Ox, Oy làm trục đối xứng và O(0; 0) làm tâm đối xứng nên để xét dạng của elip, ta chỉ cần xét trong góc phần tư thứ (I): x ≥ 0, y ≥ 0. Từ phương trình (1.2.2) ta có: x2 ≤ 1 =⇒ x ≤ a. a2 Khi x tăng từ 0 đến a, thì từ ràng buộc của phương trình (1.2.2) ta có y giảm từ b về 0. Do đó kết hợp với tính đối xứng ta có đường elip có dạng như hình vẽ sau y b -a F1 F2 O -c a x c -b Hình 1.3 Nhận xét 1.5. 1) Khi a = b (tức là c = 0), phương trình (1.2.2) ⇔ x2 + y 2 = a2 , đây là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính bằng a. Vậy đường tròn là dạng đặc biệt của elip, là elip có các bán trục bằng nhau. 2) Phương trình: x2 y 2 + = 1, a2 b2 trong đó b > a > 0 là elip nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng, có trục lớn nằm trên trục tung, trục nhỏ nằm trên trục hoành, bán trục lớn là b, bán trục nhỏ là a và c2 = b2 − a2 . Tiêu điểm F1 (0; c), F2 (0; −c) thuộc Oy. 6 y bB1 c F1 A2 A1 -a x a -c F2 -bB2 Hình 1.4 Ví dụ 1.6. x2 y 2 + = 1, 16 25 có c2 = b2 − a2 = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3 nên hai tiêu điểm của elip là F1 (0; 3), F2 (0; −3) và có trục lớn nằm trên Oy, trục nhỏ nằm trên Ox. 3) Elip tâm I(α; β), bán trục lớn a, bán trục nhỏ b: Phương trình chính tắc (x − α)2 (y − β)2 + = 1. a2 b2 y A2 B1 A1 β O B2 α Hình 1.5 x 7 1.2.4. Tâm sai của elip Tỷ số giữa tiêu cự và bán trục lớn của elip gọi là tâm sai. c Ta ký hiệu tâm sai là e. Vậy e = . a Vì 0 < c < a nên 0 < e < 1. Do c2 = a2 − b2 nên ta có c2 a2 − b2 b2 e = 2 = = 1 − 2. a a2 a 2 Suy ra r e= 1− b2 b p ⇒ = 1 − e2 . 2 a a b càng gần 0, elip càng dẹt; e càng gần 0 thì b càng gần về a a, elip tiến đến đường tròn. Do đó tâm sai đặc trưng cho dáng điệu của elip. Vậy nếu e càng gần 1 thì 1.3. Đường hypebol 1.3.1. Định nghĩa Hypebol là tập hợp những điểm mà hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định F1 , F2 bằng một hằng số dương 2a bé hơn khoảng cách giữa hai điểm F1 , F2 . Hai điểm F1 , F2 gọi là tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 = 2c được gọi là tiêu cự. 1.3.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của hypebol Điểm M trong mặt phẳng nằm trên hypebol khi và chỉ khi: M F1 − M F2 = ±2a, (1.4) trong đó 0 < a < c. Từ định nghĩa ta thấy hypebol nhận đường thẳng đi qua F1 , F2 và đường trung trực của đoạn thẳng F1 F2 làm các trục đối xứng. Chọn hệ tọa độ Đề các Oxy như ở phần đường elip, đẳng thức (1.4) trở thành p (x − c)2 + y 2 − p (x + c)2 + y 2 = ±2a 8 ⇔ p (x − c)2 + y 2 = p (x + c)2 + y 2 ± 2a. Bình phương hai vế ta có p x2 − 2cx + c2 + y 2 = x2 + 2cx + c2 + y 2 + 4a2 ± 4a (x + c)2 + y 2 p ⇔ ±a (x + c)2 + y 2 =cx + a2 . Tiếp tục bình phương hai vế, ta nhận được a2 (x2 + 2cx + c2 + y 2 ) = c2 x2 + 2a2 cx + a4 ⇔ (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 =a2 (c2 − a2 ). Vì c > a > 0 ⇒ c2 − a2 > 0, đặt c2 − a2 = b2 , ta nhận được b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2 ⇔ x2 y 2 − 2 = 1. a2 b (1.5) Ta có (1.5) là phương trình chính tắc của hypebol. 1.3.3. Dạng đồ thị của hypebol Từ phương trình (1.5) ta thấy nếu điểm M (x; y) thuộc hypebol thì các điểm M1 (−x; y), M2 (x; −y), M3 (−x; −y) cũng thuộc hypebol. Điều này có nghĩa là đường hypebol nhận các trục tọa độ Ox, Oy làm trục đối xứng, nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng. Tương giao của hypebol với các trục tọa độ: Cho y = 0, từ (1.5) =⇒ x = ±a. Vậy hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A2 (−a; 0) và A1 (a; 0). y2 Cho x = 0, từ (1.5) suy ra: − 2 = 1 ⇔ y 2 = −b2 =⇒ y = ±ib. Vậy hypebol không b cắt trục Oy. Đoạn thẳng A1 A2 với độ dài 2a được gọi là trục thực của hypebol. Đoạn thẳng B1 B2 với độ dài 2b, B1 (0; b), B2 (0; −b) gọi là trục ảo. Ta gọi a là bán trục thực và b là bán trục ảo. Gốc tọa độ O(0; 0) gọi là tâm của hypebol. Các điểm A1 , A2 gọi là đỉnh của hypebol. Do tính đối xứng nên ta chỉ cần xét dạng của hypebol trong góc phần tư thứ (I): x ≥ 0, y ≥ 0, từ đó suy ra trong cả mặt phẳng tọa độ Oxy. 9 Từ phương trình (1.5) ta có: y = b√ 2 x − a2 , x ≥ a. Khi x tăng từ a đến +∞ a thì y tăng từ 0 đến +∞. Trong góc phần tư thứ (I) khi x tăng ra ∞, ta xét tương quan với đường thẳng b y = x. Gọi M và N là hai điểm theo thứ tự nằm trên hypebol và trên đường thẳng a đó có cùng hoành độ x. Ta thấy: MN = P N − P M b bp 2 x − a2 = x− a a√ √ b (x − x2 − a2 )(x + x2 − a2 ) √ = a x + x2 − a2 ab √ = → 0, x → +∞. x + x2 − a2 Vậy khi điểm M trên nhánh của hypebol trong góc phần tư thứ (I) chạy ra ∞ b b thì khoảng cách từ M đến đường thẳng y = x tiến đến 0. Do đó đường thẳng y = x a a là đường tiệm cận của hypebol. Vì tính đối xứng của hypebol nên có hai đường tiệm b b cận là y = x và y = − x. a a y y = ab x N B1 M P O x A Hình 1.6 Nhận xét 1.7. 1) Hình chữ nhật D1 E1 D2 E2 có cạnh D1 E1 //Ox và có độ dài 2a, có cạnh D1 E2 //Oy và có độ dài 2b, nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm, gọi là hình chữ nhật cơ sở. 10 Hai đường tiệm cận của hypebol nằm theo hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở. − ab x y= y = ab x b B1 E1 F1 y D1 A2 -a a F2 x A1 -b D2 B2 E2 Hình 1.7 2) Ta có c2 = a2 + b2 , trong tam giác vuông OA1 D1 có OD12 = OA21 + A1 D12 = a2 + b2 = c2 = OF12 . Do đó OD1 = OF1 . 3) Nếu a = b, hình chữ nhật cơ sở thành hình vuông, lúc đó hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. Ta gọi đó là hypebol vuông với phương trình là: x2 −y 2 = a2 . 4) Phương trình y 2 x2 − 2 = 1, b2 a (1.6) là phương trình của một hypebol nhận các trục tọa độ Ox, Oy làm trục đối xứng, có trục thực nằm trên Oy, trục ảo nằm trên Ox, có đỉnh là B1 (0; b) và B2 (0; −b). Hai hypebol (1.5), (1.6) gọi là liên hợp với nhau. y F1 B1 b -a O -b B2 F2 a x 11 Hình 1.8 1.3.4. Tâm sai của hypebol c được gọi là tâm sai của hypebol. a Tính chất 1.8. Tỷ số e = • Tính chất 1.8.1: Do 0 < a < c ⇒ e > 1. • Tính chất 1.8.2:  2 c2 a2 + b2 b c =a +b ⇒e = 2 = =1+ 2 a a a s  2 b b p =⇒ e = 1 + ; = e2 − 1. a a 2 2 2 2 b càng nhỏ, hình chữ nhật cơ sở càng dẹt. Vậy tâm sai a đặc trưng cho dáng điệu của hypebol. Tâm sai e càng gần 1, tỷ số 1.4. Đường parabol 1.4.1. Định nghĩa Parabol là tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định F và một đường thẳng cố định ∆ không đi qua F . Điểm cố định F được gọi là tiêu điểm của parabol, ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol. Khoảng cách p = F I từ tiêu điểm F tới đường chuẩn ∆ được gọi là tham số của parabol. 1.4.2. Thuật toán xây dựng phương trình chính tắc của parabol Nhận xét 1.9. 1) Điểm M (x; y) trong mặt phẳng nằm trên parabol khi và chỉ khi M F = M H, (1.7) 12 với M H là khoảng cách từ M tới đường chuẩn ∆. y M C H (∆) F − p2 x p 2 Hình 1.9 2) Từ định nghĩa ta thấy parabol nhận đường thẳng đi qua F, I làm trục đối xứng. Để xây dựng phương trình parabol, ta chọn trục Ox là đường thẳng đi qua I, F , hướng từ I tới F ; trung điểm đoạn thẳng IF là gốc tọa độ O. p p Khi đó điểm F có tọa độ là F ( ; 0), điểm I có tọa độ là I(− ; 0). 2 2 Do vậy ta có s 2 p p MF = + y2, M H = x + . x− 2 2 Đẳng thức (1.7) tương đương với: s p x− 2 2 p + y2 = x + . 2 Bình phương hai vế ta đi đến x2 − px + p2 p2 + y 2 = x2 + px + ⇔ y 2 = 2px. 4 4 (1.8) Ta nhận được (1.8) là phương trình chính tắc của parabol. 1.4.3. Dạng đồ thị của parabol - Từ phương trình (1.8) ta thấy nếu điểm M (x; y) thuộc parabol thì điểm M 0 (x; −y) cũng thuộc parabol, vậy parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng. Cũng từ 13 phương trình (1.8)) ta suy ra x ≥ 0, vậy parabol nằm bên phải trục Oy. Do tính đối xứng ta khảo sát dạng của parabol trong góc phần tư thứ (I). Khi x tăng từ 0 → +∞, ta có y cũng tăng từ 0 → +∞. Parabol đi qua gốc tọa dộ O(0; 0), trục đối xứng gọi là trục ảo, O(0; 0) gọi là đỉnh của parabol. - Đường thẳng đứng, chẳng hạn x = 1 cắt parabol tại 2 điểm: √ √ √ A1 (1; 2p), A2 (1; − 2p). Khoảng cách A1 A2 = 2 2p, do đó nếu tham số p càng lớn, khoảng cách A1 A2 càng lớn, parabol càng mở. Vì vậy tham số p đặc trưng cho dáng điệu của parabol. Nhận xét 1.10. Các dạng khác của parabol y y 2 = −2px O x Hình 1.10 y x2 = 2py x Hình 1.11 14 y x O x2 = −2py Hình 1.12 1.5. Khảo sát phương trình bậc hai tổng quát Xét phương trình ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (1.9) có ít nhất một trong các hằng số a, b, c khác 0. Ta đổi trục tọa độ để chuyển phương trình (1.9) sang dạng đơn giản hơn. Ta xét ba phép đổi tọa độ hay dùng sau: 1.5.1. Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ y Y E A y b M Y I X X G O a x x C Hình 1.13 −→ Ta tịnh tiến hệ trục Oxy sang hệ trục IXY , tức là ta tịnh tiến theo véc tơ OI. Điểm I có tọa độ trọng hệ Oxy là I(a; b).