Tài liệu NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________________________ Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________________________ Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy tại trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tận tâm giảng dạy, trang bị đầy đủ kiến thức cho tôi và cho lớp Đại số K23 trong thời gian tôi học tập chương trình Cao học. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình tôi làm luận văn. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng trong luận văn MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................. 3 1.1. Các khái niệm mở đầu .............................................................................................. 3 1.2. Tích trực tiếp – Tích trực tiếp con............................................................................ 9 1.3. Nhóm con Frattini .................................................................................................. 10 1.4. Dãy Abel – Nhóm giải được .................................................................................. 12 1.5. Dãy tâm – Nhóm lũy linh ....................................................................................... 14 1.6. Nhóm con dẫn xuất ................................................................................................ 19 1.7. Nhóm siêu giải được .............................................................................................. 20 1.8. Các định lý về sự chẻ ra ......................................................................................... 21 1.9. Nhóm Abel sơ cấp .................................................................................................. 23 Chương 2. NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG ..... 26 2.1. Các lớp nhóm cơ bản.............................................................................................. 26 2.2. Một số tính chất chung ........................................................................................... 26 2.3. Các tính chất đóng .................................................................................................. 36 2.4. Điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có phần phụ...................................................... 42 KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 47 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa [G : H ] Chỉ số của H trong G NG ( H ) Chuẩn hóa tử của H trong G CG ( X ) Tâm hóa tử của X trong G Z (G ) Tâm của G Hx Nhóm con liên hợp của H trong G H,K Nhóm con sinh bởi H và K Aut ( G ) Nhóm các tự đẳng cấu của G H char G H là nhóm con đặc trưng của G Φ (G ) Nhóm con Frattini của G [ a, b] = aba −1b−1 Hoán tử của a và b G ' = [G, G ] Nhóm con dẫn xuất của G Gp = gp Nhóm con sinh bởi g p với g ∈ G , p nguyên tố 1 MỞ ĐẦU Chúng ta đã biết giao của tất cả các nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G nếu có được gọi là nhóm con Frattini của G. Nếu giao này là tầm thường thì ta nói G là nhóm với nhóm con Frattini tầm thường. Lớp các nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm hữu hạn và nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như H.BECHTELL, C.CHRISTENSEN, L. –C. KAPPE và J.KIRTLAND, J.WIEGOLD, C. R. B. WRIGHT với nhiều kết quả thú vị. Trong bài báo [11], ta biết một đặc trưng quan trọng, G là nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường nghĩa là mỗi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G có phần phụ thực sự, và khi đó G được gọi là nS – nhóm. Bắt đầu từ nghiên cứu của chính mình trong bài báo [11], trong bài báo [12], hai tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE và JOSEPH KIRTLAND tiếp tục nghiên cứu một cách chi tiết về lớp các nS – nhóm hữu hạn, lớp các nC – nhóm hữu hạn và thu được các kết quả sau: Nếu G lũy linh thì nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N của G là nS – nhóm nếu và chỉ nếu N là Abel sơ cấp, nếu G giải được thì G và tất cả các thương của nó có nhóm con Frattini tầm thường nếu và chỉ nếu G là nC – nhóm.Lớp các nC – nhóm, một lớp con của lớp các nS – nhóm đã được nghiên cứu trong các bài báo [4], [6], [7], [8], [16] và [17]. Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu về các nS – nhóm, hai tác giả đã thu được những kết quả chưa được biết đến rộng rãi trên các nC – nhóm như: các nS – nhóm lũy linh trùng với các nC – nhóm lũy linh, tâm của các nC – nhóm là nhân tử trực tiếp Abel sơ cấp… Luận văn là sự trình bày chi tiết các Định lý 2.1, Định lý 2.3, Định lý 2.5, Định lý 2.6, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Định lý 3.6, Định lý 3.7, Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.3, Định lý 4.4, Định lý 4.5, Định lý 4.6 trong bài báo [12] của đồng tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE và JOSEPH KIRTLAND. Luận văn “Nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường” được chia làm hai chương: 2 Chương 1: Trình bày một số khái niệm và các tính chất cơ bản liên quan đến nhóm con Frattini, nhóm giải được, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm Abel sơ cấp, các định lý về sự chẻ ra … Chương 1 sẽ giúp người đọc nắm vững những khái niệm và tính chất cần thiết để theo dõi tiếp chương 2. Chương 2: Trình bày những kết quả chính về nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường, bao gồm các tính chất cơ bản, các tính chất đóng và điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có một phần phụ. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn nhưng không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các khái niệm mở đầu 1.1.1. Định nghĩa Cho nhóm G, p là số nguyên tố chia hết |G|. Khi đó: i. G được gọi làp – nhóm nếu |G| là lũy thừa của p. ii. H là nhóm con của G. H được gọi là p – nhóm con của G nếu H là p – nhóm. iii. Nhóm con H của G được gọi là p – nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p – nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. 1.1.2. Định lý Sylow Cho G là nhóm hữu hạn cấp p a m với ( p, m ) = 1 , p là số nguyên tố. Khi đó: i. Mỗi p – nhóm con của G đều chứa trong một nhóm con cấp p a . Đặc biệt, do 1 là một p – nhóm con nên p – nhóm Sylow luôn tồn tại ii. Nếu n p là số p – nhóm con Sylow thì n p ≡ 1( mod p ) iii. Tất cả các p – nhóm con Sylow đều liên hợp trong G [14, 1.6.16, tr.39]. 1.1.3. Hệ quả(Định lý Cauchy) Nếu G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố chia hết G thì G có chứa một phần tử cấp p[14, 1.6.17, tr.40]. 1.1.4. Định lý 4 Cho G là nhóm hữu hạn, M là nhóm con tối đại của G và [G : M ] là số nguyên tố. Khi đó p – nhóm con Sylow P là chuẩn tắc trong G với p là số nguyên tố lớn nhất chia hết G. Chứng minh. Kí hiệup là số nguyên tố lớn nhất chia hết G và xét một p – nhóm con Sylow P của G. Nếu P không là nhóm con chuẩn tắc của G, thì N G ( P ) được chứa trong một nhóm con tối đại G : N G ( P )  = [G : M ]  M : N G ( P )  G với [G : M ] nguyên tố. Vì M của và N M ( P ) = N G ( P ) , nên theo Định lý Sylow 1 ≡ [G : M ] modulo p. Nhưng q = 1 + kp ( k ≠ 0 ) là số nguyên tố và q ≤ p . [G : M ] = Vì kp= q − 1 nênp chia hết q – 1. Do đóp - Xem thêm -