Tài liệu NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Đậu Thị Huế NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Đậu Thị Huế NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa. Xin cảm ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể học tập và nghiên cứu hiệu quả. Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2013. 1 MỞ ĐẦU Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm con tối đại của một nhóm hữu hạn và cấu trúc của nhóm đã được nghiên cứu rộng rãi. Tính chuẩn tắc của một nhóm con trong một nhóm hữu hạn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn. Ta đã biết rằng nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc trong G. Định lý nổi tiếng của B. Huppert chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn G là siêu giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G có chỉ số nguyên tố trong G. Gần đây, có nhiều kết quả nghiên cứu về nhóm hữu hạn khá thú vị, chẳng hạn: G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M là c-chuẩn tắc trong G. Ngoài ra, nhóm con c-chuẩn tắc còn có nhiều ứng dụng khác trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm hữu hạn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu. Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [9], trình bày một số kết quả về nhóm con c-chuẩn tắc và tính chất của nó, đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc cho nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được, tổng quát một số định lý nổi tiếng bằng việc dùng khái niệm c-chuẩn tắc. Luận văn gồm 2 chương: CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để dùng trong luận văn. CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG Chương này sẽ trình bày về khái niệm nhóm con c-chuẩn tắc và một số tính chất của nó. Sau đó nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được. Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện chuẩn tắc bằng điều kiện yếu hơn là c-chuẩn tắc. 2 BẢNG KÝ HIỆU Hx Nhóm con liên hợp với H. NG ( H ) Chuẩn hóa tử của H trong G. CG ( H ) Tâm hóa tử của H trong G. Z (G ) Tâm của G. H ≤G, H - Xem thêm -