Tài liệu Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG TRONG HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iii Mục lục Lời cảm ơn v Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 1.1 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach . . . . . . 5 5 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 Khái niệm và ví dụ về không gian Banach, không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . 13 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . 15 1.2.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . 16 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . 17 1.3.1 Hiệu chỉnh trong trường hợp fi = 0 . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Hiệu chỉnh trong trường hợp fi 6= 0 . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 27 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 2.1.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 27 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . 30 iv 2.2 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 v Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trong trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Nhã Nam – Huyện Tân Yên – Tỉnh Bắc Giang và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K9C và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Phương 1 Bảng ký hiệu R H tập hợp số thực không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ Lp [a, b], 1 < p < ∞ không gian đối ngẫu của E không gian các hàm khả tích bậc p lp , 1 < p < ∞ trên đoạn [a, b] không gian các dãy số khả tổng bậc p ∅ ∀x tập rỗng với mọi x D(A) R(A) miền xác định của toán tử A miền ảnh của toán tử A I xn → x0 toán tử đồng nhất dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 Js J ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị 2 Mở đầu Nhiều vấn đề của khoa học, công nghệ và kinh tế . . . dẫn đến việc giải các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là có một thay đổi nhỏ của các dữ liệu đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Khái niệm bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh được J. Hadamard đưa ra vào đầu thế kỷ XX khi nghiên cứu các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình eliptic cũng như parabolic (xem [6] và tài liệu trích dẫn). Lý thuyết bài toán đặt không chỉnh đã được các nhà toán học hàng đầu thế giới đặt nền móng cho việc nghiên cứu như: V.K. Ivanov, M.M. Lavrentev, A.N. Tikhonov. . . . Gần đây, do tầm quan trọng trong ứng dụng mà lớp bài toán này được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Ya.I. Alber, A.B. Bakushinsky, P.K. Anh, Đ.Đ. Áng, Ng. Bường, Đ.N. Hào . . . Để giải lớp bài toán này ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định, sao cho khi sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Các phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh khi biết thêm thông tin định tính về nghiệm là: phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử dụng phương trình xấp xỉ. Trong trường hợp tổng quát khi không biết thêm thông tin về nghiệm, ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh do A.N. 3 Tikhonov đề xuất, dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào. Năm 1963 A.N. Tikhonov (xem [15]) đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh A(x) = f, (1) với A : H → H là toán tử liên tục và đóng yếu trong không gian Hilbert thực H. Năm 1966 F. Browder (xem [11]) đã đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, được gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov, với A là toán tử phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E vào E ∗ , ở đây E ∗ là không gian liên hợp của E. Tư tưởng của phương pháp là sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục và đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. J s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E, là một toán tử có tính chất như vậy. Ya.I. Alber (xem [5]) sử dụng ánh xạ này để xây dựng phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ , (2) cho bài toán (1), ở đây Ah là xấp xỉ của A, f δ là xấp xỉ của f , x∗ là phần tử cho trước thuộc E và α là tham số mới đưa vào. Một trong các mở rộng của bài toán (1) là bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Ai (x) = fi , i = 0, 1, . . . , N, (3) ở đây, Ai : E → E ∗ là các toán tử đơn điệu, đơn trị và fi ∈ E ∗ . Năm 2006, Ng. Bường (xem [9]) đã kết hợp các phương trình hiệu chỉnh dạng (2) để hiệu chỉnh cho hệ phương trình (3) trong trường hợp vế phải fi = 0 trên cơ sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số N X αµi Ahi (x) + αJ(x) = 0 i=0 µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, ..., N − 1, (4) 4 ở đây Ahi là xấp xỉ của Ai , α là tham số hiệu chỉnh, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E, h là sai số cho trước. Tham số hiệu chỉnh có thể được chọn tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm. Năm 2006, Ng. Bường (xem [9]) đã sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng để chọn tham số hiệu chỉnh cho phương trình (4). Tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào h được xác định từ phương trình: ρ(α) = hp α−q , p, q > 0, ở đây ρ(α) = α(a0 + kxhα k), với mỗi h > 0, a0 là hằng số dương cho trước, xhα là nghiệm của (4) phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > 0. Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (3), nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh dựa trên cách chọn tham số hiệu chỉnh này trên cơ sở bài báo [10] của Nguyễn Bường và các đồng tác giả công bố năm 2015. Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm có 2 chương. Chương 1 giới thiệu hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach. Chương 2 trình bày nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và giới thiệu ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm. 5 Chương 1 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu Chương này giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu. Nội dung của chương được trình bày trong 3 mục. Mục 1.1 giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu. Mục 1.2 trình bày khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh. Mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1]–[4], [6], [7], [9]–[12] và [16]. 1.1 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach ở mục sau, mục này giới thiệu định nghĩa, ví dụ và một số tính chất hình học của không gian Banach, không gian Hilbert; định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu mạnh, toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach. Phần cuối giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu. 6 1.1.1 Khái niệm và ví dụ về không gian Banach, không gian Hilbert Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.1.1 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là hội tụ mạnh tới x0 ∈ E, viết là xn → x0 hay limn→∞ xn = x0 , nếu kxn − x0 k → 0 khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 (ε) sao cho kxm − xn k < ε với mọi m > n0 (ε) và n > n0 (ε). Nhận xét 1.1.3 Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy nhưng điều ngược lại không đúng. Định nghĩa 1.1.4 (i) Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy đều hội tụ, là không gian Banach. (ii) Không gian tích vô hướng đầy đủ là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1.5 Không gian Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với chuẩn Z kf k = b 1/p | f (t) |p dt , f ∈ Lp [a, b]. a Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.6 Cho E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A1 , A2 là các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào F , ta định nghĩa (A1 + A2 )x = A1 x + A2 x với mọi x ∈ E; (αA1 )x = αA1 x với mọi x ∈ E, α ∈ R. Kí hiệu B(E, F ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào F . Khi đó B(E, F ) là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác 7 định như sau: kAkB = inf{M : kAxk ≤ M kxk, x ∈ E}   kAxk = sup : x 6= 0, x ∈ E kxk = sup{kAxk : x ∈ E, kxk ≤ 1} = sup{kAxk : x ∈ E, kxk = 1}. Định lý 1.1.7 (xem [3]) Nếu F là không gian Banach thì B(E, F ) là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.8 Không gian các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian liên hợp của E, kí hiệu là E ∗ . Nhận xét 1.1.9 E ∗ = B(E, R) với chuẩn của phần tử f ∈ E ∗ được xác định bởi  kf k = sup |f (x)| : x ∈ SE , ở đây SE ký hiệu là mặt cầu đơn vị của E, nghĩa là SE := {x ∈ E : kxk = 1}. Ví dụ 1.1.10 (i) Không gian liên hợp của Rn là Rn ; (ii) Không gian liên hợp của lp là lq , 1 < p < ∞ và 1 1 + = 1; p q (iii) Không gian liên hợp của Lp [0, 1] là Lq [0, 1], 1 < p < ∞ và 1 1 + = 1. p q Định lý 1.1.11 (xem [4]) Không gian liên hợp E ∗ của không gian tuyến tính định chuẩn E là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach E được gọi là phản xạ nếu với mọi phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với mọi x∗ ∈ E ∗ . 8 Ví dụ 1.1.13 Không gian Rn , không gian Hilbert H, không gian lp , Lp [a, b] với 1 < p < ∞ là các không gian phản xạ. Định nghĩa 1.1.14 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là hội tụ yếu tới x0 ∈ E, viết là xn * x0 , nếu với mọi f ∈ E ∗ ta có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞. Nhận xét 1.1.15 Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ, dãy {en }∞ n=1 trong không gian Hilbert l2 với en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) hội tụ yếu đến 0, nhưng không hội tụ mạnh về 0, do ken k = 1. Nhận xét 1.1.16 Trong không gian hữu hạn chiều, khái niệm hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương. Định lý 1.1.17 (xem [3]) Giả sử E là không gian Banach. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương (i) E là không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có dãy con hội tụ yếu. Định nghĩa 1.1.18 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE sao cho x 6= y ta có k(1 − λ)x + λyk < 1, λ ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.1.18 còn có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa mãn x + y =1 2 suy ra x = y; hoặc với mọi x, y ∈ SE , x 6= y ta có x + y < 1. 2 9 Ví dụ 1.1.19 Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn kxk2 được xác định bởi X 1/2 n 2 kxk2 = xi , x = (x1 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 là không gian Banach lồi chặt. Mệnh đề 1.1.20 (xem [4]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn kx − yk = inf kx − zk. z∈C Chú ý 1.1.21 Điểm y ∈ C thỏa mãn Mệnh đề 1.1.20 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ E. Sau đây là một số tính chất hay sử dụng của không gian Banach. Định nghĩa 1.1.22 Không gian Banach E được gọi là có tính chất KadecKlee nếu với mọi dãy {xn } ⊂ E hội tụ yếu đến x ∈ E và kxn k → kxk thì dãy {xn } hội tụ mạnh đến x. Định nghĩa 1.1.23 Không gian Banach phản xạ E được gọi là có tính chất Ephimov–Stechkin (hay tính chất ES) nếu E lồi chặt và có tính chất Kadec–Klee. Ví dụ 1.1.24 Không gian Hilbert là không gian có tính chất ES. 1.1.2 Toán tử đơn điệu Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E ∗ là không gian liên hợp của E, A : E → E ∗ là toán tử đơn trị với miền xác định là D(A) ≡ E, miền ảnh R(A) nằm trong E ∗ và ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường. Ta ký hiệu hx∗ , xi thay cho x∗ (x) với x ∈ E và x∗ ∈ E ∗ . Định nghĩa 1.1.25 Hàm ϕ : E → R ∪ {+∞} được gọi là 10 (i) nửa liên tục dưới trên E nếu lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ E; y→x (ii) nửa liên tục dưới yếu trên E nếu với mọi dãy {xn }: xn * x thì lim inf ϕ(xn ) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ E; n→∞ (iii) khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ E nếu tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho ϕ(x + λy) − ϕ(x) = hx∗ , yi ∀y ∈ E, λ→+0 λ lim và x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ0 (x). Định nghĩa 1.1.26 Toán tử đơn trị A : E → E ∗ được gọi là (i) đơn điệu nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ E; A được gọi là đơn điệu chặt trên E nếu dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x = y; (ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk ∀x, y ∈ E; nếu δ(t) = cA t2 , cA là hằng số dương thì A được gọi là đơn điệu mạnh; (iii) bức nếu hA(x), xi = +∞. kxk kxk→+∞ lim Định nghĩa 1.1.27 Một toán tử đơn trị đơn điệu A : E → E ∗ được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) := {(Ax, x) : x ∈ D(A)} của nó không bị chứa thực sự trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác. Ví dụ 1.1.28 Toán tử A : R → R xác định bởi A(x) = x3 là toán tử đơn điệu cực đại trên R. 11 Định nghĩa 1.1.29 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là λ-ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số dương λ sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ λkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ E. Định nghĩa 1.1.30 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là (i) hemi-liên tục tại x0 ∈ E nếu A(x0 + tn x) * A(x0 ) khi tn → 0 với mọi x thỏa mãn x0 + tn x ∈ E và 0 ≤ tn ≤ t(x0 ); (ii) demi-liên tục trên E nếu từ xn → x suy ra A(xn ) * A(x); (iii) thế năng nếu A(x) là đạo hàm của phiếm hàm lồi ϕ(x). Nhận xét 1.1.31 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên E thì demiliên tục trên E. Định nghĩa 1.1.32 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ E ta có kA(x1 ) − A(x2 )k ≤ Lkx1 − x2 k. Nhận xét 1.1.33 Mọi toán tử λ-ngược đơn điệu mạnh là toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1/λ. ∗ Ký hiệu 2E là tập các tập con của E ∗ . ∗ Định nghĩa 1.1.34 Ánh xạ J s : E → 2E (nói chung là đa trị) được định nghĩa bởi  J s (x) = x∗ ∈ E ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks−1 kxk = kxks , x ∈ E}, s ≥ 2 gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E. Khi s = 2 thì J s được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn vị I. Mệnh đề sau chỉ ra ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính đơn trị. 12 Mệnh đề 1.1.35 (xem [7]) Giả sử E là không gian Banach thực, J : E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó, (i) J(0) = {0}; (ii) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x) với mọi x ∈ E; (iii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x) với mọi λ > 0, mọi x ∈ E; (vi) Với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng; (v) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh J là ánh xạ lẻ. Các chứng minh khác được làm tương tự. Thật vậy, giả sử x∗ ∈ J(−x). Theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ta có hx∗ , −xi = kx∗ kk − xk = k − xk2 . Xét h−x∗ , xi = (−1)2 hx∗ , −xi = (−1)2 kx∗ kk − xk = (−1)2 k − xk2 , hay h−x∗ , xi = k − x∗ kkxk = kxk2 , chứng tỏ −x∗ ∈ J(x), hay x∗ ∈ −J(x). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ −J(x), hay −x∗ ∈ J(x). Ta có: h−x∗ , xi = k − x∗ kkxk = kxk2 . Xét hx∗ , −xi = (−1)2 h−x∗ , xi = (−1)2 k − x∗ kkxk = (−1)2 kxk2 , hay hx∗ , −xi = kx∗ kk − xk = k − xk2 , chứng tỏ x∗ ∈ J(−x). 13 Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, đơn điệu chặt và toán tử có tính chất bức là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E. Đó là nội dung của định lý sau. Định lý 1.1.36 (xem [7]) Nếu E ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu E cũng là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu chặt. Định nghĩa 1.1.37 Với toán tử r : E → E ∗ , ta sẽ viết r(x) = o(kxk) với x → 0 nếu r(x)/kxk → 0 khi x → 0. Toán tử A : E → E ∗ được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ E, nếu tồn tại T ∈ B(E, E ∗ ) sao cho A(x + h) = A(x) + T h + o(khk), với mọi h thuộc một lân cận của điểm 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại điểm x và ta viết A0 (x) = T . Đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi có tính chất đơn điệu, đó là nội dung của mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.38 (xem [12]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một hàm khả vi Gâteaux trên E. Khi đó, điều kiện cần và đủ để hàm ϕ lồi trên E là đạo hàm Gâteaux ϕ0 của nó là một toán tử đơn điệu từ E vào E ∗ . 1.1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E ∗ là không gian liên hợp của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k. Xét hệ phương trình toán tử Ai (x) = fi , i = 0, 1, . . . , N, (1.1) ở đây N là số nguyên dương cố định, Ai : E → E ∗ là các toán tử hemi-liên tục và có tính chất thế năng, fi ∈ E ∗ . Gọi Si là tập nghiệm của phương 14 trình thứ i của hệ (1.1). Ta luôn giả thiết S = N T Si khác rỗng. Khi đó, S i=0 là tập con lồi đóng trong E. Trong trường hợp Ai là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới ϕi : E → R ∪ {+∞} và fi = 0 thì tập Si trùng với tập nghiệm của bài toán cực trị inf ϕi (x) x∈E và là tập lồi đóng trong E, với mỗi i = 0, 1, . . . , N . Kết quả này được suy ra từ bổ đề Minty và các mệnh đề dưới đây. Bổ đề 1.1.39 (xem [16]) Cho E là một không gian Banach thực, E ∗ là không gian liên hợp của E, f ∈ E ∗ và A là một toán tử hemi-liên tục từ E vào E ∗ . Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ E thỏa mãn bất đẳng thức hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ E, thì A(x0 ) = f . Nếu A là toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trên tương đương với hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ E. Bổ đề trên được gọi là bổ đề Minty, tên của nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp E là không gian Hilbert. Sau này cũng chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong không gian Banach. Mệnh đề 1.1.40 (xem [12]) Giả sử ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên E và khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux ϕ0 được giả thiết là liên tục. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) x0 là điểm cực tiểu của ϕ(x) trên E; (ii) hϕ0 (x0 ), x − x0 i ≥ 0 với mọi x ∈ E; 15 (iii) hϕ0 (x), x − x0 i ≥ 0 với mọi x ∈ E. Mệnh đề 1.1.41 (xem [12]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi. Khi đó tập nghiệm của bài toán inf ϕ(x) x∈E là tập lồi đóng, có thể là tập rỗng. 1.2 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, (1.2) trong đó A : E → F là một toán tử từ không gian Banach E vào không gian Banach F , f là phần tử thuộc F. Sau đây là một định nghĩa của Hadamard. Định nghĩa 1.2.1 Bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt chỉnh (wellposed) nếu (1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ F ; (2) nghiệm này là duy nhất; (3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f ), được gọi là ổn định trên cặp không gian (E, F ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρF (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρE (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây xi = R(fi ), xi ∈ E, fi ∈ F, i = 1, 2.