..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------------------
ĐẶNG VĂN THẮNG
NGUYÊN LÝ SO SÁNH
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
TRONG CÁC LỚP CEGRELL
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2017
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------------------
ĐẶNG VĂN THẮNG
NGUYÊN LÝ SO SÁNH
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC
TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN - 2017
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công
trình nào.
Tác giả
Đặng Văn Thắng
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin
cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 06 năm 2017
Tác giả
Đặng Văn Thắng
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
i
LỜI CẢM ƠN
ii
MỤC LỤC
iii
MỞ ĐẦU
1
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1
3. Phương pháp nghiên cứu
2
4. Bố cục luận văn
2
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3
1.1. Hàm đa điều hòa dưới
3
1.2. Hàm cực trị tương đối
6
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
9
1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor
12
Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-
17
AMPERE TRONG CÁC LỚP CEGRELL
2.1. Các lớp Cegrell
17
2.2. Sự hội tụ theo dung lượng
17
2.3. Một vài định lý hội tụ
20
2.4. Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng
28
KẾT LUẬN
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
42
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tử Monge-Ampere phức (dd c .)n đối với lớp hàm đa điều hòa dưới
bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý
thuyết đa thế vị đã được E. Berfod và B.A. Taylor [4] đã xây dựng từ Năm 1982.
Đồng thời các tác giả đã thiết lập và sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu
các bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge - Ampere phức trong
PSH Ç L¥ loc (W) . Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere
đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả. Năm 1998, Cegrell [5]
đã định nghĩa các lớp năng lượng E0, F p , Ep trên đó toán tử Monge-Ampere phức
hoàn toàn xác định. Năm 2004, Cegrell [6] đã định nghĩa các lớp E, F và chỉ ra
rằng lớp E là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampere phức
(dd c .)n . Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère xác định, liên
tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Các lớp này còn được gọi là các
lớp Cegrell. Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so
sánh, giải bài toán Dirichlet [7], sự hội tụ theo dung lượng…
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối
với toán tử Monge-Ampere phức trong các lớp Cegrell ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của N.V.
Khue và P.H. Hiep ([14]) về Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampere
phức trong các lớp Cegrell.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở trong lý thuyết đa thế vị, nguyên lí so
sánh trong các lớp Cegrell và một vài áp dụng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Các kiến thức cơ sở và
các kết quả trong chương 1 được trích dẫn và tham khảo trong tài liệu [1].
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính
chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère,
nguyên lý so sánh Bedford-Taylor.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Kết quả chính của chương là
Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing. Trong mục 2.1, chúng tôi
nhắc lại một số lớp Cegrell. Trong mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương và sự
hội tụ theo dung lượng. Mục 2.3, trình bày các nghiên cứu về sự hội tụ của dãy
các hàm đa điều hòa dưới theo C n - dung lượng. Mệnh đề 2.3.3 là kết quả tương
tự nguyên lý so sánh của Xing ([7]). Trong Định lý 2.3.5, chúng tôi trình bày
điều kiện đủ đối với sự hội tụ theo C n - dung lượng của dãy các hàm đa điều
hòa dưới trong lớp F . Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có các kết quả về sự hội tụ của
các hàm Green đa cực và tiêu chuẩn đối với tính đa cực. Mục 2.4 tập trung vào
các Định lý 2.4.2 và 2.4.9. Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các
lớp Cegrell. Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương đối với độ đo
Monge – Ampere theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor. Trong phần
áp dụng, trong Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo Monge – Ampere,
tương tự Định lý 6.1 ([5]). Cuối cùng từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta có
nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp F và E .
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dưới
Định nghĩa 1.1.1. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W®
é- ¥ , ¥
êë
) là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và
b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành
phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}.
Kí hiệu PSH (W) là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong W.
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu u, v Î PSH (W) và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v
.
Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và
u Î PSH (W) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W,
u (z ) < sup lim sup u (y ) .
wÎ ¶ W y ® w
yÎ W
Định lý 1.1.4. Cho W là một tập con mở trong £ n . Khi đó
i ) Họ PSH (W) là nón lồi, tức là nếu a , b là các số không âm và u, v Î PSH (W)
, thì a u + b v Î PSH (W) .
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
{u }
ii ) Nếu W là liên thông và
j
jÎ ¥
Ì PSH (W) là dãy giảm, thì
u = lim u j Î PSH (W) hoặc u º - ¥ .
j® ¥
iii ) Nếu u : W® ¡ , và nếu {u j }
Ì PSH (W) hội tụ đều tới u trên các tập
jÎ ¥
con compact của W, thì u Î PSH (W) .
iv ) Giả sử {u a } Ì PSH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị chặn
aÎ A
aÎ A
*
trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u là đa điều hoà dưới
trong W.
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử WÌ £ n là tập mở, w Ì W là tập con mở thực sự, khác
rỗng của W. Giả sử u Î PSH (W), v Î PSH ( w) và lim supx ® y v(x ) £ v(y )
với mọi y Î ¶ w Ç W. Khi đó
ìï m ax{u, v } t rong w
w = ïí
ïï u
trong W\ w
î
là hàm đa điều hoà dưới trên W.
Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ nếu
a Î W, b Î £ n sao cho {a+ l b, l £ r } Ì W thì
1
w(a ) £
2p
2p
ò w(a + re
iq
b)d q
0
Với a Î W, b Î £ n , chọn r > 0 đủ bé để
{a+ l b, l £ r } Ì w
Khi đó
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
1 2p
u (a ) £
u (a + re i qb)d q £ w(a ) £
ò
2p 0
2p
1
v(a ) £
v(a + re i qb)d q £ w(a ) £
ò
2p 0
1
Từ đó w(a ) £
2p
1 2p
w(a + re i qb)d q
ò
2p 0
2p
1
w(a + re i qb)d q
ò
2p 0
2p
ò w(a + re
iq
b)d q .
0
Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó wW là bao đóng của w
lấy trong W. Chỉ cần xét trường hợp a Î wW Ç W. Khi đó w(a ) = u (a ) .
Vậy
1
w(a ) = u (a ) £
2p
2p
1
ò u(a + re b)d q £ w(a ) £ 2p
0
iq
2p
ò w(a + re
iq
b)d q
0
và mệnh đề được chứng minh.
W
Định lý 1.1.6. Cho W là một tập con mở của £ n .
i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong W và v > 0 . Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi,
thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W.
ii ) Cho u Î PSH (W) , v Î PSH (W) , và v > 0 trong W. Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi
và tăng dần, thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W.
iii ) Cho u, - v Î PSH (W) , u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W. Nếu
f : éêë0, ¥
)®
é0, ¥
êë
) là lồi và f (0) =
0 , thì vf (u / v ) Î PSH (W) .
Định lý 1.1.7. Cho W là một tập con mở của £ n và F = {z Î W: v(z ) = - ¥
}
là một tập con đóng của W ở đây v Î PSH (W) . Nếu u Î PSH (W\ F ) là bị chặn
trên, thì hàm u xác định bởi
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
ìï
u (z )
(z Î W\ F )
ïï
u (z ) = í lim sup u (y )
(z Î F )
ïï y ® z
ïî y Ï F
là đa điều hoà dưới trong W.
1.2. Hàm cực trị tương đối
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của W.
Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là:
{
u E ,W(z ) = sup v(z ) : v Î PSH (W), v
E
} (z Î
£ - 1, v £ 0
W).
Hàm (u E ,W)* là đa điều hoà dưới trong W.
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu E 1 Ì E 2 Ì W1 Ì W2 thì uE ,W ³ u E ,W ³ u E ,W .
1
1
2
1
2
2
Định nghĩa 1.2.3. Miền bị chặn WÌ £ n gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm
đa điều hoà dưới âm, liên tục r : W® (- ¥ , 0) sao cho với " c > 0
{z Î
}
W: r (z ) < - c Ð W
.
Mệnh đề 1.2.4. Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối
của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có
lim u E ,W(z ) = 0 .
z® w
Chứng minh. Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào
đó, M r < - 1 trên E . Như vậy M r £ uE ,W trong W. Rõ ràng, lim r (z ) = 0 và
z® w
như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
Mệnh đề 1.2.5. Nếu WÌ £ n là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
sao cho u K* ,W = - 1 thì u K ,W là hàm liên tục.
K
Chứng minh. Lấy u = u E ,W và ký hiệu F Ì PSH (W) là họ các hàm u . Giả sử
r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K. Khi đó r £ u trong W. Chỉ
cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C (W) Ç F . Sao cho
u - e £ v £ u trong W. Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho
u - e < r trong W\ Wh và K Ì Wh , trong đó
Wh = {z Î W: dist (z, ¶ W) > h}.
Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini
có
thể tìm được s > 0 sao cho u * c d - e < r trên ¶ W và u * c d - e < - 1 trên
K . Đặt
ìï
r
trong
v e = ïí
ïï max {u * c d - e, r } trong
î
W\ Wh
Wh .
Khi đó ve C( W) ∩ F và như vậy
u - e £ max {u - e, r }£ ve £ u
tại mỗi điểm trong W.
Mệnh đề 1.2.6. Cho WÌ £ n là tập mở liên thông, và E Ì W. Khi đó các điều
kiện sau tương đương :
(i ) u E* ,W º 0 ;
(ii ) Tồn tại hàm v Î PSH (W) âm sao cho E Ì
{z Î
W: v(z ) = - ¥
}
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Chứng minh. (ii ) Þ (i ) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii ) , thì
ev £ uE ,W với mọi e > 0 , từ đó u E ,W = 0 hầu khắp nơi trong W. Như vậy
u E* ,W º 0 . Bây giờ giả sử u E* ,W º 0 . Khi đó tồn tại a Î W sao cho u E ,W(a ) = 0
. Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một v j Î PSH (W) sao cho
v j < 0, v j
E
< - 1 và v j (a ) > - 2- j .
Đặt
¥
v(z ) =
å
z Î W.
v j (z ),
j=1
Chú ý rằng v(a ) > - 1 , v âm trong W, và v
E
= - ¥ .
Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận v Î PSH (W) .
W
Mệnh đề 1.2.7. Cho W là tập con mở liên thông của £ n . Giả sử E =
UE
j
j
,
trong đó E j Ì W với j = 1,2,... . Nếu u E* ,W º 0 với mỗi j , thì u E* ,W º 0 .
j
Chứng minh. Chọn v j Î PSH (W) sao cho v j < 0 và v j
( Uv
a Î W\
j
- 1
j
Ej
= - ¥ . Lấy điểm
)
({-¥ }) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số dương
thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) > - 2- j . Khi đó
v=
å
v j Î PSH (W) , v < 0 và v
j
E
= - ¥ . Suy ra u E* ,W º 0 .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
Mệnh đề 1.2.8. Cho W là tập con siêu lồi của £ n và K là một tập con compact
của W. Giả thiết rằng {Wj } là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho
¥
W=
UW và K
j
Ì W1 . Khi đó lim u K ,W (z ) = u K ,W(z ), z Î W.
j® ¥
j=1
j
Chứng minh. Lấy điểm z 0 Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
K È {z 0 } Ì W1 . Giả sử r < 0 là một hàm vét cạn đối với W sao cho r < - 1
trên K . Lấy e Î (0,1) sao cho r (z 0 ) < - e . Khi đó tồn tại j 0 Î ¥ sao cho tập
mở w = r - 1((- ¥ , - e)) là tập compact tương đối trong Wj . Lấy u Î PSH (Wj )
0
0
sao cho u £ 0 trên Wj và u £ - 1 trên K . Khi đó
0
ìï max {u (z ) - e, r (z )},
v(z ) = ïí
ïï
r (z ),
î
xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v
zÎ w
z Î W\ w
K
£ - 1 và v £ 0 . Như vậy
v(z 0 ) £ u K ,W(z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ u K ,W , nên ta có
j0
u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 )
j0
Do đó ta có u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) £ u K ,W (z 0 ) với mọi j ³ j 0 và e
j
j
nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Giả sử WÌ £ n và u Î PSH (W) . Nếu u Î C 2 (W) thì toán tử:
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
é ¶ 2u ù
ú
(dd cu )n := (14444444
dd cu ) Ù42
...4444444
Ù (dd cu43) = 4n n !det êê
dV ,
ú
¶
z
¶
z
êë j k ú
n
û1£ j ,k £ n
với dV là yếu tố thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampere. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 (W) trên W
C 0 (W) ' j a
ò j (dd u )
c
W
n
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên W thì tồn tại dãy {um }m > 1 Ì PSH (W) Ç C ¥ sao cho um ] u
và {( dd cum )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là:
lim ò j (dd cu m )n =
m
W
ò j d m, " j
Î C 0(W) .
W
Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u m } như trên, ta ký hiệu:
(dd cu )n = m
và gọi là toán tử Monge-Ampe của u .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
Mệnh đề 1.3.1. Giả sử y Î C (¥p, p ) là ( p, p) - dạng lớp C ¥ trên tập mở WÌ £ n
và T là (q, q) - dòng với p + q = n - 1 . Khi đó
y Ù (dd cT )n - dd c y ÙT = d ( y Ù d cT - d c y ÙT ) .
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡
n
yếu tới độ đo Radon m. Khi đó
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
hội tụ
a ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) .
j® ¥
b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥
c ) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì
m(E ) = lim mj (E ) .
j® ¥
Chứng minh. a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập
compact. Lấy j Î C 0 (G ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó
m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) .
j® ¥
j® ¥
Từ đó
m(G ) £ lim inf mj (G ) .
j® ¥
b) Ta có m(K ) = inf {m(V ) : V É K ,V Ì W ,V = V
0
}. Giả sử V là một lân
( )
cận mở của K và j Î C 0 V , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó
m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥
j® ¥
Từ đó
m(K ) ³ lim sup mj (K ) .
j® ¥
c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó
m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ) .
j® ¥
j® ¥
Mặt khác
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) .
j® ¥
j® ¥
Từ đó
m(E ) ³ lim sup mj (E ) Þ
m(E ) = lim mj (E ) .
j® ¥
j® ¥
W
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) sao
cho u, v £ 0 trên Wvà lim u(z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1) - dòng dương,
z® ¶W
đóng trên W. Khi đó
ò vdd u ÙT
c
ò udd v ÙT
£
c
W
.
W
Đặc biệt, nếu lim v(z ) = 0 thì
z® ¶W
ò vdd u ÙT
c
W
=
ò udd v ÙT .
c
W
1.4. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.4.1. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao
cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó
z® ¶W
ò
ò
( dd cv )n £
{u < v }
( dd cu )n .
(1.1)
{u < v }
Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , nghĩa là với mọi
z® ¶W
e > 0 tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn nữa khi
thay u bởi u + d, d> 0 , thì {u + d < v} Z {u < v} khi d ] 0 . Nếu bất đẳng
thức (1.1) đúng trên {u + d < v } thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên {u < v}
. Vì vậy có thể giả sử lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy {u < v} Ð W.
z® ¶W
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v } là tập mở, u, v liên tục
trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max{u + e, v } .
Từ giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay
z® ¶W
u(z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶W. Vậy u e = u (z ) + e gần biên
¶ W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta có
ò (dd u )
c
n
=
e
W¢
ò
ò (dd u )
c
n
, hay
W¢
ò
(dd cu e )n =
{u < v }
(dd cu )n .
{u < v }
Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv)n . Vậy ta có
ò
ò
(dd cv )n £ lim inf
e® 0
{u < v }
(dd cu e )n =
{u < v }
ò
(dd cu )n .
{u < v }
b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2}Ð w Ð W. Tồn tại
hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u
và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy
e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm liên
tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên Wsao cho v = j
trên F = W\ G . Ta có
ò
(dd cv )n = lim
{u < v }
j® ¥
ò
(dd cv )n .
{u j < v}
Nhưng {u j < v} Ì {u j < j } È G và vì {u j < j } là tập mở nên
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
ò
(dd cv )n £ ò (dd cv )n +
{u j < v}
{u j < j }
ò (dd v)
c
n
ò
£ lim
(dd cvk )n + e ,
{u j < v }
k® ¥
G
vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .
Từ {u j < j } Ì {u j < v} È G và {u j < v} Ì {u j < vk } suy ra
ò
(dd cvk )n £ ò (dd cvk )n +
{u j < j }
{u j < v }
ò (dd v )
c
n
k
£
G
ò
(dd cvk )n + e .
{u j < vk }
Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được
ò
(dd cvk )n = ò (dd cu j )n .
{u j < vk }
{u j < vk }
Do đó
ò
(dd cv )n £ lim inf lim inf
j® ¥
{u < v }
£ lim sup
j® ¥
k® ¥
ò
(dd cu j )n + 2e
{u j < v j }
ò
(dd cu j )n + 2e .
{u j £ v}
Hơn nữa
ò
(dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e
{u j £ v}
{u j £ v }ÇF
và do {u £ v} Ç F là tập compact và {u j £ v} Ì {u £ v} nên ta có
lim sup
j® ¥
ò
(dd cu j )n £
{u j £ v}ÇF
ò
{u £ v }ÇF
(dd cu )n £
ò
(dd cu )n .
{u £ v }
Do e > 0 tùy ý nên ta được
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
http://www. lrc.tnu.edu.vn/
- Xem thêm -