Tài liệu Nguyên lý cực đại pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu (lv01165)

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng ®¹i häc s- ph¹m hµ néi 2 NGUYỄN PHI LONG NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI PONTRIAGIN TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN VĂN BẰNG Hµ Néi, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Trần Văn Bằng, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Trần Văn Bằng trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, ban giám hiệu trường THPT Tự Lập - Mê Linh - Hà Nội cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo kiều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Hà Nội, tháng 06 năm 2013 Học viên Nguyễn Phi Long LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2013 Học viên Nguyễn Phi Long Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 3 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số khái niệm trong lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Tập lồi, không gian con afin và nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Một số kết quả của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Hệ điều khiển và bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1. Hệ điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2. Điều khiển và quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Hai bài toán tổng quát trong điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . 20 1.5. Một số điều kiện cần trong phép tính biến phân . . . . . . . . . . . . . 23 2 Nguyên lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu 32 2.1. Nguyên lý cực đại Pontriagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Sự biến thiên điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ii iii 2.2.1. Phương trình biến phân và phương trình liên hợp . . . . . . . . 38 2.2.2. Biến phân nhọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.3. Biến phân đa nhọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.4. Biến phân trên khoảng tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3. Tập hợp khả tới và sự xấp xỉ biên bởi các nón . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1. Nón tiếp xúc trên khoảng cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.2. Nón tiếp xúc trên khoảng tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.3. Xấp xỉ tập khả tới bởi các nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.4. Liên hệ giữa các nón tiếp xúc và hàm Hamilton . . . . . . . . . 55 2.3.5. Các quỹ đạo được điều khiển trên biên của tập khả tới . . . . . 58 2.4. Chứng minh của nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.1. Hệ mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.2. Các quỹ đạo tối ưu nằm trên biên của tập khả tới của hệ mở rộng 62 2.4.3. Các tính chất của phản hồi liên hợp và của hàm Hamilton . . . 63 2.4.4. Các điều kiện hoành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5. Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết điều khiển tối ưu là một trong những lý thuyết gắn liền với hầu hết các lĩnh vực khoa học cũng như thực tiễn. Tuy nhiên các mô hình điều khiển thường rất phức tạp. Có rất nhiều công trình nghiên cứu về các điều kiện tối ưu, tuy nhiên hầu hết chỉ là điều kiện cần hoặc điều kiện đủ. Điều kiện đủ quan trọng nhất là phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman, trong khi đó một trong các điều kiện cần quan trọng nhất phải kể đến Nguyên lý cực đại Pontriagin mà trường hợp đặc biệt của nó là phương trình Euler-Lagrange. Nguyên lý này được Pontriagin và các học trò của ông phát hiện và công bố năm 1956. Tuy nhiên đây là một trong những điều kiện cần rất trừu tượng trong việc hiểu, vận dụng, đặc biệt là trong chứng minh. Với mong muốn có thêm hiểu biết về nguyên lý cực đại này cùng những ứng dụng của nó đối với lý thuyết điều khiển tối ưu, tôi đã chọn đề tài: Nguyên lý cực đại Pontriagin trong lý thuyết điều khiển tối ưu. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về Nguyên lý cực đại Pontriagin và ứng dụng trong lý thuyết điều khiển tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý cực đại Pontriagin, chứng minh nguyên lý và ứng dụng của nguyên lý đối với bài toán điều khiển tối ưu toàn phương. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu toàn phương. Phạm vi nghiên cứu: Bài toán điều khiển tối ưu tất định đặc biệt là bài toán điều khiển tối ưu toàn phương. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, của lý thuyết điều khiển tối ưu. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. 6. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu tất định đặc biệt là bài toán điều khiển tối ưu toàn phương. Nội dung của luận văn bao gồm hai chương: Chương 1, trình bày một số kiến thức chuẩn bị về: lý thuyết độ đo, giải tích lồi, phương trình vi phân đo được theo thời gian, giải tích hàm, lý thuyết biến phân, lý thuyết điều khiển tối ưu...cần thiết cho chương sau. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [3, 1, 2, 4]. Chương 2, trình bày về nguyên lý cực đại Pontriagin, bao gồm: phát biểu nguyên lý, chứng minh nguyên lý và ứng dụng của nguyên lý đối với bài toán điều khiển tối ưu toàn phương. Nội dung của chương này cơ bản dựa trên bài giảng của Giáo sư Andrew D. Lewis ([3]). Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các kí hiệu chính sau đây: 1. R là tập số thực và R = {−∞} ∪ R ∪ {∞} là tập số thực mở rộng. 2. Tập các ánh xạ tuyến tính từ Rm vào Rn kí hiệu là L (Rm ; Rn ). 3. Tích vô hướng trong Rn được kí hiệu h·, ·i và chuẩn được kí hiệu bởi k·k. Chúng ta cũng sử dụng k·k cho chuẩn của các ánh xạ tuyến tính và đa tuyến tính. 4. Cho x ∈ Rn và r > 0,ta kí hiệu: B (x, r) = {y ∈ Rn | ky − xk < r} , B (x, r) = {y ∈ Rn | ky − xk ≤ r} là hình cầu mở và hình cầu đóng bán kính r có tâm tại x. 5. Chúng ta kí hiệu Sn = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} là mặt cầu đơn vị n chiều và Dn = {x ∈ Rn | kxk ≤ 1} là hình cầu đơn vị n chiều. 6. Phần trong, biên và bao đóng của tập hợp A ⊂ Rn được kí hiệu theo thứ tự là int (A), bd (A) và cl (A). Nếu A ⊂ Rn thì tôpô trên A là họ tất cả các tập có dạng U ∩ A với U ⊂ Rn mở. Nếu S ⊂ A ⊂ Rn thì intA (S) là phần trong của S đối với tôpô 3 4 cảm sinh trên A. 7. Nếu U ⊂ Rn là một tập mở và φ : U → Rm là ánh xạ khả vi thì đạo hàm của φ tại x ∈ U được kí hiệu bởi Dφ (x) và nó là một ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm . Đạo hàm cấp r của φ tại x kí hiệu là Dr φ (x) và nó là một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng từ (Rn )r vào Rm . 8. Nếu Ua ⊂ Rna , a ∈ {1, ..., k} là các tập hợp mở và nếu φ : U1 × · · · × Uk → Rm là hàm khả vi thì ta kí hiệu Da φ (x1 , ..., xk ), đạo hàm riêng thứ a với a ∈ {1, ..., k}, và nó được định nghĩa là một đạo hàm tại xa của ánh xạ từ Ua vào Rm xác định bởi: x 7→ φ (x1 , ..., xa−1 , x, xa+1 , ..., xk ) . Chúng ta kí hiệu Dar φ là đạo hàm riêng cấp r theo thành phần thứ a. 9. Cho U ⊂ Rn là một tập mở. Ánh xạ φ : U → Rm được gọi thuộc lớp C r nếu nó khả vi r lần liên tục. . 10. f được kí hiệu là đạo hàm của hàm f : R → Rk theo biến “thời gian” trong các bài toán này. 11. Chúng ta kí hiệu o ε
k là một hàm liên tục của ε thỏa mãn limε→0 nó còn được gọi là vô cùng bé bậc cao hơn εk khi ε → 0.
o εk = 0, εk 12. Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In và ma trận không cấp m × n được kí hiệu là 0m×n . 1.1. Một số khái niệm trong lý thuyết độ đo Định nghĩa 1.1.1 (Hàm bị chặn cốt yếu liên tục tuyệt đối). Cho I ⊂ R là một khoảng và f : I → R đo được. (i) Nếu với mỗi khoảng con compact J ⊂ I, hàm f |J là khả tích thì f được gọi là khả tích địa phương. 5 (ii) Nếu tồn tại M > 0 sao cho λ ({t ∈ I| |f (t)| > M }) = 0 thì hàm f được gọi là bị chặn cốt yếu và ta đặt esssupt∈I |f (t)| = inf {M ∈ R|λ ({t ∈ I| |f (t)| > M }) = 0} . (iii) Nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương g : I → R và t0 ∈ I sao cho Z (g | [t0 , t]) dλ, f (t) = [t0 ,t] thì f được gọi là liên tục tuyệt đối địa phương. Nếu I là compact thì liên tục tuyệt đối địa phương sẽ được gọi là liên tục tuyệt đối. Chú ý 1. Một hàm liên tục tuyệt đối có đạo hàm hầu khắp nơi. Hơn nữa, nếu Zt f (t) = g (τ ) dτ t0 . với g là hàm khả tích địa phương thì f (t) = g (t) tại hầu hết t. Ngược lại, nếu một hàm liên tục tuyệt đối có đạo hàm bằng 0 hầu khắp nơi thì nó là hằng số. Định nghĩa 1.1.2 (Điểm Lebesgue). Cho I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là hàm khả tích địa phương. Điểm t0 ∈ I là một điểm Lebesgue của f nếu 1 lim ε→0 2ε tZ0 +ε |f (t) − f (t0 )| dt = 0. t0 −ε Ta có phần bù của tập hợp các điểm Lebesgue có độ đo bằng 0. Tất cả các khái niệm trên đối với hàm giá trị trong R đều có thể được áp dụng với các hàm giá trị trong Rn bằng việc áp dụng các định nghĩa trên đối với từng thành phần. 1.2. Tập lồi, không gian con afin và nón Một phần quan trọng trong chứng minh nguyên lý cực đại là sử dụng các nón và nón lồi để xấp xỉ tập khả tới. Dưới đây là các định nghĩa cơ bản và các tính chất mà ta sẽ sử dụng. 6 Hình 1.1: Tập lồi, 2 nón lồi và không gian con afin Định nghĩa 1.2.1 (Tập lồi, nón, nón lồi và không gian con afin). (i) Tập con C ⊂ Rn là lồi nếu với mỗi x1 , x2 ∈ C ta có {sx1 + (1 − s) x2 |s ∈ [0, 1]} ⊂ C. (ii) Tập con K ⊂ Rn là một nón nếu với mỗi x ∈ K ta có {λx|λ ∈ R≥0 } ⊂ K. (iii) Tập con K ⊂ Rn là một nón lồi nếu nó vừa lồi và vừa là một nón. (iv) Một tập con A ⊂ Rn là một không gian con afin nếu với mỗi x1 , x2 ∈ A, ta có {sx1 + (1 − s) x2 |s ∈ R} ⊂ A. 7 Chú ý tập hợp {sx1 + (1 − s) x2 |s ∈ [0, 1]} là đoạn thẳng trong Rn nối x1 và x2 . Do đó một tập lồi là lồi khi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập đó đều nằm trong tập đó. Tương tự {λx|λ ∈ R≥0 } là tia xuất phát từ 0 ∈ Rn qua điểm x. Một tập là một nón khi các tia xuất phát từ 0 qua một điểm bất kỳ của tập đó đều nằm trong tập đó. Không gian con afin là một tập hợp mà mọi đường thẳng qua hai điểm bất kỳ thuộc tập hợp đó đều nằm trong tập đó. Ta sẽ minh họa bằng trực giác trên Hình 1.1. Ta sẽ quan tâm đến các bao lồi, bao nón và không gian con afin sinh bởi các tập đã cho. Định nghĩa 1.2.2 (Bao lồi, bao nón, bao nón lồi, bao afin). Cho S ⊂ Rn là tập khác rỗng. (i) Một tổ hợp lồi của S là một tổ hợp tuyến tính trong Rn có dạng k X k ∈ Z>0 , λ1 , ..., λk ∈ R≥0 , λj vj , j=1 k X λj = 1, v1 , ..., vk ∈ S. j=1 (ii) Bao lồi của S, kí hiệu là conv (S) là tập lồi nhỏ nhất của Rn chứa S. (iii) Bao nón của S kí hiệu là cone (S) là nón nhỏ nhất trong Rn chứa S. (iv) Một tổ hợp nón lồi của S là một tổ hợp tuyến tính trong Rn có dạng k X λj vj , k ∈ Z>0 , λ1 , ..., λk ∈ R≥0 , v1 , ..., vk ∈ S. j=1 (v) Bao nón lồi của S kí hiệu là conv cone (S) là nón lồi nhỏ nhất trong Rn chứa S. (vi) Một tổ hợp afin của S là một tổ hợp tuyến tính trong Rn có dạng k X j=1 λj vj , k ∈ Z>0 , λ1 , ..., λk ∈ R≥0 , k X λj = 1, v1 , ..., vk ∈ S j=1 (vii) Bao afin của S, kí hiệu là af f (S) là không gian con afin nhỏ nhất của Rn chứa S. 8 Chú ý 2. Các định nghĩa của conv (S), cone (S) , conv cone (S) và aff (S) có nghĩa bởi giao của các tập hợp là lồi, giao của các nón là nón và giao của các không gian con afin là không gian con afin. Thuật ngữ “bao nón” và “bao nón lồi” còn được gọi lần lượt là “nón sinh bởi S” và “nón lồi sinh bởi S”. Mệnh đề 1.2.1 (Bao lồi là họ tất cả các tổ hợp lồi). Cho S ⊂ Rn là tập không rỗng và kí hiệu C (S) là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi từ S. Khi đó C (S) = conv (S). Mệnh đề 1.2.2 (Tập hợp tất cả các bội số dương của một tập là bao nón). Cho S ⊂ Rn là không rỗng và kí hiệu K (S) = {λx|x ∈ S, λ ∈ R≥0 } . Khi đó K (S) = cone (S). Mệnh đề 1.2.3 (Bao nón lồi là họ tất cả các tổ hợp nón lồi). Cho S ⊂ Rn là không rỗng và kí hiệu K 0 (S) là tập hợp tất cả các tổ hợp nón lồi từ S. Khi đó K 0 (S) = conv cone (S) . Mệnh đề 1.2.4 (Đặc trưng của không gian con afin). Một tập con không rỗng A ⊂ Rn là một không gian con afin khi và chỉ khi tồn tại x0 ∈ Rn và một không gian con U ⊂ Rn sao cho A = {x0 + u|u ∈ U } . Mệnh đề 1.2.5 (Bao afin là họ tất cả các tổ hợp afin). Cho S ⊂ Rn là không rỗng và kí hiệu A (S) tập hợp tất cả các tổ hợp afin từ S khi đó A (S) = aff (S) . Bây giờ ta sẽ nói về topo của tập lồi. Do mỗi tập lồi là một tập con của bao afin của nó nên nó có phần trong trong bao afin đó. Định nghĩa 1.2.3 (Phần trong tương đối và biên tương đối). Nếu C ⊂ Rn là một tập lồi thì tập hợp  rel int (C) = x ∈ C|x ∈ intaff(C) (C) là phần trong tương đối của C và tập rel bd (C) = cl (C) \rel int (C) là biên tương đối của C. 9 Định nghĩa 1.2.4 (Số chiều của một tập lồi). Cho C ⊂ Rn là tập lồi và U ⊂ Rn là một không gian con sao cho aff (S) = {x0 + u|u ∈ U } với một x0 ∈ Rn . Số chiều của C kí hiệu bởi dim (C) được định nghĩa là số chiều của không gian con U . Ta sẽ có kết quả dưới đây. Mệnh đề 1.2.6 (Bao đóng, phần trong tương đối của tập lồi, nón lồi tương ứng là tập lồi và nón lồi). Cho C ⊂ Rn là một tập lồi và K ⊂ Rn là một nón lồi. Khi đó: (i) cl (C) là lồi và cl (K) là một nón lồi, (ii) rel int (C) là lồi và rel int (K) là một nón lồi. Hơn nữa, aff (C) = aff (cl (C)) và aff (K) = aff (cl (K)). Bổ đề 1.2.1. Nếu C là một tập lồi, x ∈ rel int (C) và nếu y ∈ cl (C) thì [x, y) := {sx + (1 − s) y|s ∈ [0, 1]} chứa trong rel int (C). Mệnh đề 1.2.7 (Bao đóng của phần trong tương đối). Nếu C ⊂ Rn là một tập lồi thì cl (rel int (C)) = cl (C) . Các ví dụ đặc biệt của tập lồi và nón lồi các đơn hình và nón đơn hình: Định nghĩa 1.2.5 (Sự độc lập affine, đơn hình, nón đơn hình). Cho n ∈ Z>0 . (i) Tập hợp {x0 , x1 , ..., xk } ⊂ Rn là độc lập afin nếu tập hợp {x1 − x0 , ..., xk − x0 } là độc lập tuyến tính. (ii) Một k−đơn hình là bao lồi của tập hợp {x0 , x1 , ..., xk } các điểm độc lập affine. (iii) Một nón k−đơn hình là bao nón lồi của một tập hợp {x1 , ..., xk } độc lập tuyến tính. Ví dụ 1.2.1 (n−đơn hình chuẩn, nón n−đơn hình chuẩn). 1. n-đơn hình chuẩn là tập con của Rn ( ∆n = n x ∈ R |x1 , ..., xn ≥ 0, n X j=1 ) xj ≤ 1 . 10 Như vậy ∆n là bao lồi của n- vectơ cơ sở chính tắc và gốc tọa độ. 2. Nón n-đơn hình chuẩn là tập con của Rn Kn = {x ∈ Rn |x1 , ..., xn ≥ 0} . Chú ý Kn là bao nón lồi của n-vectơ cơ sở chính tắc. Trong hình B.2 ta minh họa n-đơn hình chuẩn và nón n-đơn hình chuẩn khi n = 2. Hình 1.2: 2−đơn hình chuẩn và 2−nón đơn hình chuẩn Kết quả dưới đây về số chiều của đơn hình và nón đơn hình. Mệnh đề 1.2.8 (Chiều của đơn hình và của nón đơn hình). Nếu C, K ⊂ Rn lần lượt là k-đơn hình và nón k-đơn hình thì dim (C) = dim (K) = k. Mệnh đề 1.2.9 (Sự tồn tại của các lân cận đơn hình). Cho C ⊂ Rn là lồi và có số chiều k, cho x0 ∈ rel int (C) và U là một lân cận của x0 trong Rn . Khi đó tồn tại một k đơn hình C0 ⊂ C sao cho C0 ⊂ U và x0 ∈ rel int (C0 ). Bổ đề 1.2.2. Nếu V là không gian thực hữu hạn chiều có tích vô hướng và nếu {v1 , ..., vn } là một cơ sở của V thì tồn tại v0 ∈ V sao cho hv0 , vj i < 0 với mọi j ∈ {1, ..., n} . Với các nón ta có kết quả tương tự. Mệnh đề 1.2.10 (Sự tồn tại của các lân cận nón đơn hình). Cho K ⊂ Rn là một nón lồi k chiều, cho x0 ∈ rel int (K) \ {0} và U là một lân cận của x0 ∈ Rn . Khi đó tồn tại một nón k-đơn hình K0 ⊂ K sao cho K0 ⊂ cone (U ) và x0 ∈ rel int (K0 ) . 11 Nếu C là đơn hình nhận được bằng cách lấy bao lồi của các điểm {x0 , x1 , ..., xk } , thì mọi điểm x ∈ C có biểu diễn duy nhất x= k X λ j xj j=0 với λ0 , λ1 , ..., λk ∈ R≥0 có tổng bằng 1. Chú ý rằng tập hợp các λ xuất hiện trong các tổ hợp tuyến tính như vậy có tính chất: điểm k X λj ej j=0 nằm trong k-đơn hình chuẩn nếu ta quy ước e0 = 0. Thật vậy ánh xạ k X λj ej 7→ j=0 k X λ j xj j=0 là một phép đồng cấu giữa ∆k và C. Sử dụng tham số đơn hình C bởi λ0 , λ1 , ..., λk ta có một hệ tọa độ trọng tâm cho C. Một phép xây dựng tương tự được thực hiện cho một nón k-đơn hình: K = conv cone ({x1 , ..., xk }) . Ta cố định vectơ v0 ∈ rel int (K) \ {0} và cho Pv0 là phần bù trực giao của v0 . Ta giả sử x1 , ..., xk ∈ {v0 + x|x ∈ Pv0 } , tức là các điểm x1 , ..., xk nằm trên một mặt phẳng song song với Pv0 và qua v0 . Ta xác định một (k − 1)- đơn hình Cv0 ⊂ Pv0 bởi Cv0 = {x ∈ Pv0 |x + v0 ∈ K} (có thể thấy Cv0 là (k − 1) đơn hình). Gọi (λ1 , ..., λk ) là tọa độ trọng tâm của Cv0 . Một hx, v0 i và λ (x) điểm x ∈ K được xác định duy nhất bởi (l (x) , λ (x)) trong đó l (x) = kv0 k là các tọa độ trọng tâm trong Cv0 đối với điểm l (x) x − v0 . Ta gọi (l, λ) là các K tọa độ trọng tâm. (xem hình 1.3) Định nghĩa 1.2.6 (Siêu phẳng, nửa không gian, siêu phẳng giá). (i) Một siêu phẳng trên Rn là một tập con có dạng 12 Hình 1.3: Tọa độ trọng tâm của nón đơn hình x = l (x) (λ1 (x) x1 + ... + λk (x) xk ) . {x ∈ Rn | hλ, xi = a}, . với λ ∈ Rn \ {0} và a ∈ R. Siêu phẳng này được kí hiệu là Pλ,a . (ii) Một nửa không gian trên Rn là một tập con có dạng {x ∈ Rn | hλ, xi > a} . với λ ∈ Rn \ {0} và a ∈ R. Ta sẽ kí hiệu − Hλ,a = {x ∈ Rn | hλ, xi < a} , + = {x ∈ Rn | hλ, xi > a} . Hλ,a (iii) Nếu A ⊂ Rn , một siêu phẳng giá của A là một siêu phẳng Pλ,a sao cho + A ⊂ Hλ,a S Pλ,a . (iv) Cho các tập con A, B ⊂ Rn , một siêu phẳng tách A và B là một siêu phẳng Pλ,a sao cho 13 + A ⊂ Hλ,a S Pλ,a , − B ⊂ Hλ,a S Pλ,a . Định lý 1.2.1 (Các tập lồi có siêu phẳng giá). Nếu C ⊂ Rn là một tập lồi khác Rn thì C có một siêu phẳng giá. Hệ quả 1.1 (Sự tách tập lồi và điểm). Nếu C ⊂ Rn là lồi và x0 ∈ / int (C) thì tồn tại một siêu phẳng tách {x0 } và C. Hệ quả 1.2 (Các tập lồi rời nhau là tách được). Nếu C1 , C2 ⊂ Rn là các tập lồi rời nhau thì tồn tại một siêu phẳng tách C1 và C2 . Định lý 1.2.2 (Định lý tách tổng quát). Nếu C1 , C2 ⊂ Rn là các tập lồi thì chúng có một siêu phẳng tách khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tồn tại một siêu phẳng P sao cho C1 , C2 ⊂ P ; (ii) rel int (C1 ) 1.3. T rel int (C2 ) = ∅. Một số kết quả của giải tích hàm Trong mục này ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết cho vấn đề xấp xỉ tập khả tới bởi các nón sinh bởi các biến phân nhọn và trong việc thiết lập các điều kiện hoành. Với n ∈ Z>0 ta kí hiệu Sn = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} , Dn = {x ∈ Rn | kxk ≤ 1} . Định lý 1.3.1 (Định lý hình cầu Hairy). Giả sử n ∈ Z>0 là số chẵn. Nếu f : Sn → Rn+1 là liên tục và có tính chất hf (x) , xi = 0 với ∀x ∈ Sn thì tồn tại x0 ∈ Sn sao cho f (x0 ) = 0. Bổ đề 1.3.1. Cho A ⊂ Rn là compac, U là một lân cận của A, và g : U → Rk thuộc lớp C 1 . Khi đó, tồn tại M ∈ R>0 sao cho kg (y) − g (x)k ≤ M ky − xk , x, y ∈ A. 14 Bổ đề 1.3.2. Cho A ⊂ Rn+1 là tập compac, U là một lân cận của A, g : U → Rn+1 thuộc lớp C 1 , và với s ∈ R, hs : A → Rn+1 xác định bởi hs (x) = x + sg (x) . Khi đó tồn tại ε ∈ R>0 sao cho (i) với mỗi s ∈ [ε, ε] , hs là đơn ánh và (ii) hàm s 7→ vol (hs (A)) là một đa thức. Bổ đề 1.3.3. Cho f : Sn → Rn+1 có các tính chất sau: (i) hf (x) , xi = 0 với mọi x ∈ Sn , (ii) kf (x)k = 1 với mọi x ∈ Sn . Cho U là một lân cận của Sn và f : U → Rn+1 là một thác triển khả vi liên tục của f , và với mỗi s ∈ R, xác định hs : U → Rn+1 bởi hs (x) = x + sf (x) . Khi đó với |s| đủ nhỏ, f ánh xạ Sn lên hình cầu Sn có bán kính √ √ √
 1 + s2 = x ∈ Rn+1 | kxk = 1 + s2 1 + s2 . Ta hình dung định lý hình cầu Hairy như sau: Do hf (x) , xi = 0 với mọi x ∈ Sn nên f (x) cho ta một vectơ tiếp xúc với Sn tại x, nói cách khác f là một trường vectơ tiếp xúc trên Sn . Định lý khẳng định rằng khi n chẵn thì mọi trường vectơ tiếp xúc trên Sn đều phải triệt tiêu tại ít nhất một điểm. Kết quả yêu cầu n là chẵn nếu n lẻ thì hàm f (x1 , ..., xn+1 ) = (x2 , −x1 , x4 , −x3 , ..., xn , −xn+1 ), xác định một trường vectơ đơn vị tiếp xúc với Sn nhưng không triệt tiêu trên Sn . Định lý 1.3.2 (Định lý điểm bất động Brouwer). Nếu f : Dn → Dn là liên tục thì tồn tại x0 ∈ Dn sao cho f (x0 ) = x0 . Từ định lý điểm bất động Brouwer ta có hai hệ quả sau. Chúng được sử dụng khi xấp xỉ tập khả tới bởi các nón biến phân nhọn và khi thiết lập các điều kiện hoành. 15 Bổ đề 1.3.4 (Một tính chất của các ánh xạ trên các tập lồi compac). Cho K ⊂ Rn là compac và lồi với int (K) 6= 0 và cho f : K → Rn liên tục. Nếu x0 ∈ int (K) có tính chất kf (x) − xk < kx − x0 k với mọi x ∈ bd (K) thì x0 ∈ image (f ) . Bổ đề này được minh họa qua Hình 1.4. Nó nói rằng, nếu biên của tập K không biến đổi quá nhiều qua ánh xạ liên tục f , thì tập K sẽ biến đổi đủ ít theo nghĩa nếu có một miền chứa ảnh của biên f (bdK) mà không chứa x0 thì ảnh f (K) này sẽ chứa x0 . Kết quả tiếp theo nói về giao của các mặt phẳng ngang qua ảnh của một ánh xạ liên tục. Hình 1.4: Đường tròn biểu diễn biên của K, miền mờ là nơi biên của K sẽ được ánh xạ vào. Bổ đề 1.3.5 (Giao của các ảnh liên tục của các mặt phẳng ngang). Cho n, k ∈ Z>0 với k < n. Xác định C n = {(x1 , ..., xn ) |max {|x1 | , ..., |xn |} ≤ 1} ,  P1 = (x1 , ..., xn ) ∈ C n |xk+1 = ... = xn = 0 ,  P2 = (x1 , ..., xn ) ∈ C n |x1 = ... = xk = 0 . Giả sử fa : Pa → Rn , a ∈ {1, 2} là các ánh xạ liên tục sao cho