Tài liệu Nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất của phương trình elliptic

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, các giáo sư của Viện Toán học. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết hơn đến các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến Ngoạn, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã cảm thông, luôn theo sát động viên, ủng hộ và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn, giúp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 7 năm 2012 Tác giả Lương Thị Dung Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 6 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 8 1 Phép tính biến phân 1.1 9 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H01,2 (Ω) . . . . . . 19 1.3 Phiếm hàm trong H01,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 33 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . 33 2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng . . . . 34 2.2 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần đúng . . . 37 2.3.1 Trường hợp g ≡ 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 37 2.3.2 Trường hợp g 6= 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Mở đầu Nghiệm suy rộng của bài toán biên Drichlet của phương trình elliptic cấp 2 trong miền Ω được định nghĩa trong không gian H 1,2 (Ω) là hàm số gồm những hàm số mà các đạo hàm riêng đến cấp 1 là bình phương khả tích trong Ω. Người ta đã chứng minh rằng nghiệm suy rộng này có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng. Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic tuyến tính cấp 2. Các vấn đề được đề cập trong luận văn được tập hợp từ [1]. Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương. Phần đầu chương 1 Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị như không gian H 1,2 (Ω) và H01,2 (Ω) các phiếm hàm trong các không gian này. Phần tiếp theo, Luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất phần tử cực tiểu hóa của phiếm hàm. Phần cuối của chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một phần tử là cực tiểu hóa. Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2. Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 lý Dirichlet được phát biểu như sau: Hàm u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u(x) = g(x) trên ∂Ω là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet khi và chỉ khi nó là cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Một số ký hiệu và chữ viết tắt R Rn Rd Wd 1 W 2 (Ω) Tập các số thực. Không gian Euclidean n chiều. Không gian Euclidean d chiều. Thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd . Không gian sinh ra bởi tích vô hướng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chương 1 Phép tính biến phân 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp (Ω) Cho Ω ∈ Rn là một miền trong Rn . Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ là tập hợp tất cả các hàm f (x) đo được trong Ω và |f (x)|p khả tích trong Ω, tức là Z |f (x)|p dx < +∞. Ω Trong Lp (Ω) ta đưa vào chuẩn ||f (x)||Lp (Ω)  1 Z p p   = |f (x)| dx . (1.1) Ω Khi đó Lp (Ω) là không gian Banach. Không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng sau Z (f, g)L2 (Ω) = f (x)g(x)dx. (1.2) Ω Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Giả sử các số p và q thỏa mãn các điều kiện p ≥ 1, q ≥ 1, 1 1 + = 1. p q Khi đó ta có bất đẳng thức Holder sau đây Z |f (x)g(x)|dx ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) . (1.3) Ω 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) Không gian C 1 (Ω̄) là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng và chuẩn sau  Z < u, v >C 1 (Ω̄) = n X  Ω  Dj (u)Dj (v) + u(x)v(x) dx, (1.4) j=1  ||u||2C 1 (Ω̄) = Z u2 + Ω n X  (Dj u)2  dx. (1.5) j=1 ∂u . ∂xj Ta kí hiệu H 1,2 (Ω) là bao đóng của C 1 (Ω̄) theo chuẩn (1.5). Trong đó Dj u = 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) Không gian H01,2 (Ω) là không gian con của không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) = {u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u|∂Ω = 0}. Ta có thể định nghĩa H01,2 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) đối với chuẩn (1.5), trong đó C0∞ (Ω) là không gian tất cả các hàm số khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ Rd là miền bị chặn và u ∈ L1loc (Ω). Hàm v ∈ L1loc (Ω) gọi là đạo hàm yếu của u theo biến xj nếu Z Z ∂φ (1.6) φv = − u j dx, ∂x Ω Ω ∀φ ∈ C01 (Ω). Ta viết v = Dj u. Hàm u được gọi là khả vi yếu nếu nó đạo hàm yếu theo xi , ∀i ∈ {1, ..., d}. Ta kí hiệu B1 (0) là hình cầu đơn vị trong Rd . Giả sử ρ(x) ∈ C0∞ (B1 (0)) sao cho Z ρ(x)dx = 1. Rd Với u(x) ∈ L1loc (Ω) và h > 0 đủ nhỏ, ta đặt   Z 1 x−y uh (x) = d u(y)ρ dy. h h Rd Bổ đề 1.1.2. Giả sử u ∈ L1loc (Ω) và giả sử v = Di u tồn tại. Nếu điều kiện sau về khoảng cách được thỏa mãn dist(x, ∂Ω) > h thì chúng ta có Di (uh (x)) = (Di u)h (x). Chứng minh. Từ định nghĩa ta thu được   Z 1 ∂ x−y Di (uh (x)) = d ρ u(y)dy h ∂xi h Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12   Z −1 ∂ x−y = d ρ u(y)dy h ∂y i h  Z  1 x−y = d ρ Di u(y)dy = (Di u)h (x). h h Định lý 1.1.3. Giả sử u, v ∈ L2 (Ω), v = Di u. Khi đó tồn tại dãy ∂ (un ) ⊂ C ∞ (Ω) với un → u, i un → v trong L2 (Ω0 ) với bất kì ∂x Ω0 ⊂ Ω. Định nghĩa 1.1.4. Không gian W 1,2 (Ω) được định nghĩa như không gian của u ∈ L2 (Ω) mà có đạo hàm yếu của lớp L2 (Ω) theo các biến xi (i = 1, ..., d). Trong W 1,2 (Ω) ta định nghĩa tích vô hướng Z (u, v)W 1,2 (Ω) := uv + Ω d Z X Di u.Di v i=1 Ω và chuẩn 1 2 ||u||W 1,2 (Ω) := (u, u)W 1,2 (Ω) . Hệ quả 1.1.5. W 1,2 (Ω) là đầy đủ với chuẩn || · ||W 1,2 (Ω) và do đó W 1,2 (Ω) = H 1,2 (Ω). Chứng minh. Giả sử (un )n∈N là dãy Cauchy trong W 1,2 (Ω), khi đó (un )n∈N , (Di un )n∈N , (i = 1, ..., d) là dãy Cauchy trong L2 (Ω). Vì L2 (Ω) là đầy đủ, tồn tại u, v i ∈ L2 (Ω) với un → u, Di un → v i trong L2 (Ω), (i = 1, ..., d). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Cho φ ∈ C01 (Ω ta có Z và bên trái hội tụ đến Di un φ = − R Z un Di φ R v i φ, bên phải hội tụ đến − uDi φ. Do đó Di u = v i và u ∈ W 1,2 (Ω). Để chứng minh trên đẳng thức H 1,2 (Ω) = W 1,2 (Ω), ta cần chỉ ra rằng không gian C ∞ (Ω) ∩ W 1,2 (Ω) là trù mật trong W 1,2 (Ω). Cho n ∈ N ta đặt Ωn := {x ∈ Ω : ||x|| < n, dist(x, ∂Ω) > 1 , n với Ω0 = Ω−1 := ∅ do đó Ωn ⊂⊂ Ωn+1 và [ Ωn = Ω. n∈N Giả sử {ϕj }j∈N là một phân hoạch đơn vị của phủ sau của Ω  Ωn+1 \Ωn−1 . Giả sử u ∈ W 1,2 (Ω), theo Định lý 1.1.3 cho mỗi  > 0, ta tìm được một số dương hn cho bất kì n ∈ N sao cho hn ≤ dist(Ωn , ∂Ωn+1 );  2n vì ϕn là các hàm số trong phân hoạch đơn vị trên bất kì Ω0 ⊂⊂ Ω, ||(ϕn u)hn − ϕn u||W 1,2 (Ω) < hàm trơn (ϕn u)hn có giá trị khác 0. Vậy e := u X (ϕn u)hn ∈ C ∞ (Ω). n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Ta có e||W 1,2 (Ω) ≤ ||u − u X ||(ϕn u)hn − ϕn u|| <  n và ta thấy rằng mỗi u ∈ W 1,2 (Ω) có thể xấp xỉ bởi hàm C ∞ (Ω). Bổ đề 1.1.6. Cho u ∈ W 1,2 (Ω), f ∈ C 1 (R), giả sử sup |f 0 (y)| < ∞. y∈R Khi đó f ◦ u ∈ W 1,2 (Ω) và đạo hàm yếu thỏa mãn D(f ◦ u) = f 0 (u)Du. Chứng minh. Giả sử un ∈ C ∞ (Ω), un → u trong W 1,2 (Ω) khi n → ∞. Khi đó Z Z |f (un ) − f (u)|2 dx ≤ sup |f 0 |2 |un − u|2 dx → 0 Ω và Z Ω |f 0 (un )Dun − f 0 (u)Du|2 dx ≤ 2 sup |f 0 |2 Ω Z |Dun − Du|2 dx Ω Z +2 |f 0 (un ) − f 0 (u)|2 |Du|2 dx. Ω Do sự chọn của dãy con un hội tụ tới u hầu hết theo từng điểm trong Ω3 . Vì f 0 liên tục, f 0 (un ) cũng hội hội tụ hầu khắp nơi tới f 0 (u). Vì f 0 cũng bị chặn, tích phân cuối cùng hội tụ tới 0 cho n → ∞ bởi định lý Lebesgue trên sự hội tụ do đó f (un ) → f (u) trong L2 (Ω) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 và D(f (un )) = f 0 (un )Dun → f (u)Du trong L2 (Ω). Do đó f ◦ u ∈ W 1,2 (Ω) và D(f ◦ u) = f 0 (u)Du. Hệ quả 1.1.7. Nếu u ∈ W 1,2 (Ω) thì |u| ∈ W 1,2 (Ω) và D|u| = sign u.Du 1 Chứng minh. Ta xét f (u) := (u2 + 2 ) 2 − , áp dụng Bổ đề 7.2.3 và giả sử  → 0, sử dụng một lần nữa định lý Lebesgue trên sự hội tụ để khẳng định giới hạn như trước. Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức Poincare). Cho u ∈ H01,2 (Ω) ta có  ||u||L2 (Ω) ≤ |Ω| ωd  d1 ||Du||L2 (Ω) , |Ω| là kí hiệu thể tích của Ω, ωd là thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd , cho bất kì u ∈ H01,2 (Ω). Chuẩn W 1,2 được đánh giá bởi chuẩn L2 của Du  ||u||H 1,2 (Ω) ≤ 1+ |Ω| wd  d1 ! ||Du||L2 (Ω) . Chứng minh. Giả sử u ∈ C01 (Ω) ta đặt u(x) = 0 cho x ∈ Rd \Ω, cho ω ∈ Rd với |ω| = 1 mà u(x) = − Z∞ ∂ u(x + rω)dr. ∂r 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Lấy tích phân theo ω u(x) = −1 dωd −1 = dωd −1 = dωd Z Ω Z∞ Z ∂ u(x + rω)dudr ∂r 0 |ω|=1 Z∞ Z 1 ∂ (z)dδ(z)dr rd−1 ∂v 0 ∂B(x,r) d X ∂ 1 xi − y i u(y) dy. |x − y|d−1 i=0 ∂y i |x − y| Do đó theo bất đẳng thức Schwarz ta thu được Z 1 1 |u(x)| ≤ |Du(y)|dy. dωd |x − y|d−1 Ω Bổ đề 1.1.9. Cho f ∈ L1 (Ω), 0 < µ ≤ 1, giả sử Z (Vµ f )(x) := |x − y|d(µ−1) f (y)dy Ω Khi đó ||Vµ f ||L2 (Ω) ≤ 1 1−µ µ ω |Ω| ||f ||L2 (Ω) . µ d Chứng minh. Đặt B(x, R) := {y ∈ Rd |x−y| ≤ R}, giả sử R được chọn sao cho |Ω| = |B(x, R)| = ωd Rd . Từ đẳng thức |Ω\(Ω ∩ B(x, R))| = B(x, R)\(Ω ∩ B(x, R))| và |x − y|d(µ−1) ≥ Rd(µ−1) , |x − y| ≤ R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Nên ta có Z Z d(µ−1) |x−y| dy ≤ Ω 1 1 ωd Rdµ = ωd1−µ |Ω|µ . ω µ |x−y|d(µ−1) dy = B(x,R) Ta viết d(µ−1) |x − y|  |f (y)| = |x − y| d 2 (µ−1)  |x − y| d 2 (µ−1)  |f (y| . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được R |(Vµ f )(x)| ≤ |x − y|d(µ−1) |f (y)|dy Ω   R R d(µ−1) d(µ−1) 2 ≤ |x − y| dy |x − y| |f (y)| dy Ω Ω   1 1−µ µ 2 R |f (y)|2 dy. ωd |Ω| ≤ µ Ω Định lý 1.1.10. Giả sử Ω ∈ Rd mở và bị chặn. Khi đó H01,2 (Ω) được nhúng compact trong L2 (Ω), tức là với bất kì dãy (un )n∈N ⊂ H01,2 (Ω) với ||un ||W 1,2 (Ω) ≤ C0 (1.7) luôn chứa dãy con hội tụ trong L2 (Ω). Chứng minh. Ta cần tìm hàm ωn, ⊂ C 1 (Ω), cho bất kì  > 0 sao cho ||un − ωn, ||W 1,2 (Ω) <  2 (1.8) và ||ωn, ||W 1,2 (Ω) ≤ C1 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.9) http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 (hằng số C1 phụ thuộc vào  nhưng không phụ thuộc vào n), bởi định lý Ascoli dãy (ωn, )n∈N chứa dãy con hội tụ đều, do đó cũng trong L2 . Cố định cho mỗi  > 0, bao đóng của (un )n∈N là compact trongL2 (Ω) và chứa dãy con hội tụ. Ứng dụng kết quả bao đóng của dãy (ωn, )n∈N ta kết luận luôn tồn tại nhiều hữu hạn zv , v = 1, ..., N trong L2 . Như vậy cho mỗi n ∈ N  ||ωn, − zv ||L2 (Ω) < , v ∈ {1, ..., N }. 2 Do đó từ (1.8) và (1.10) cho mỗi n ∈ N (1.10) ||un − zv ||L2 (Ω) <  vì  > 0 cố định nên dãy (un )n∈N là dãy bị chặn hoàn toàn. Vì vậy bao đóng của nó là compact trong L2 (Ω) và ta muốn có dãy con hội tụ trong L2 (Ω). Theo định nghĩa của H01,2 (Ω) tồn tại ωn ∈ C01 (Ω) với  ||un − ωn ||W 1,2 (Ω) < . 4 Sau đó hàm ωn,ε (x) được xây dựng như sau  Z  1 x−y ωn,ε (x) = d ρ ωn (y)dy. h h Ω Kiểm tra chuẩn L2 của hiệu ωn − ωn,ε  2 Z Z Z   |ωn (x)−ωn,ε (x)|2 dx =  ρ(y)(ωn (x) − ωn (x − hy))dy  dx Ω Ω  ≤ Z Z   Ω |y|≤1 |y|≤1 2  Zh|y| ∂  y  ρ(y)  ωn (x − rω) drdy  dx với ω = ∂r |y| 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19  Z Z =   Ω ρ(y)1/2 ρ(y)1/2 0 |y|≤1   ≤ 2  ∂   ωn (x − rω) drdy   dx  ∂r  Zh|y|  Z  Z  ρ(y)dy   |y|≤1 2 2 ρ(y)h |y| |y|≤1 Z  |Dωn (x)|2 dxdy  . Ω R Do bất đẳng thức Holder’s và Định lý Fubini’s. Vì ρ(y)dy = 1, |y|≤1 ta thu được đánh giá ||ωn − ωn,ε ||L2 (Ω) ≤ h||Dωn ||L2 (Ω) . Sau đó chúng ta có thể lựa chọn h sao cho ε ||ωn − ωn,ε ||L2 (Ω) < . 4 1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H01,2(Ω) Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (H(·, ·)) là không gian Hilbert với chuẩn || · ||. A : H × H → R là dạng song tuyến tính, đối xứng, liên tục sao cho |A(u, v)| ≤ C||u||||v||. (1.11) Tính đối xứng có nghĩa là ∀u, v ∈ H A(u, v) = A(v, u). (1.12) Dạng A gọi là eliptic nếu tồn tại một số λ dương sao cho ∀v ∈ H A(v, v) ≥ λ||v||2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Định lý 1.2.2. Giả sử (H, (·, ·)) là không gian Hilbert với chuẩn || · || và V ⊂ H là lồi và đóng, A : H × H → R là hàm liên tục, đối xứng, eliptic. Cho dạng tuyến tính L : H → R là ánh xạ tuyến tính liên tục. Đặt J(v) := A(v, v) + L(v). (1.14) Khi đó tồn tại duy nhất cực tiểu hóa u của phiếm hàm J(v) trong V. Chứng minh. Do tính eliptic của A nên J bị chặn dưới −||L||2 J(v) ≥ λ||v|| − ||L||||v|| ≥ . 4λ 2 Ta đặt K := inf J(v). v∈V (1.15) Giả sử (un )n∈N ⊂ V là dãy cực tiểu hóa tức là lim J(un ) = k. n→∞ (1.16) Ta sẽ chứng minh (un )n∈N là dãy Cauchy. Khi đó vì V là đóng, tồn tại giới hạn u = lim un ∈ V. n→∞ Tính chất Cauchy được xác định như sau un + um ) 1 1 1 ) = J(un ) + J(um ) − A(un − um , un − um ). 2 2 2 4 un + um (Nếu un và um có trong V , nên ∈ V vì V là lồi). 2 k ≤ J( Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn