Tài liệu Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THÚY HÀ NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình đựoc hoàn thành tại : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: GS.TS. Trần Vũ Thiệu Phản biện 2: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 07 tháng 11 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên và thư viện Trường Đại học Khoa học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. T¡c gi£ xin b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y v· sü tªn t¼nh h÷îng d¨n trong suèt thíi gian t¡c gi£ l m luªn v«n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n, thæng qua c¡c b i gi£ng v  x¶mina, t¡c gi£ th÷íng xuy¶n nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u cõa TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy v  c¡c th¦y c¡c cæ trong tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Th.s. L¥m Thòy D÷ìng gi£ng vi¶n ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tø ¡y láng m¼nh, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n c¡c th¦y c¡c cæ. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi c¡c th¦y, c¡c cæ trong Ban gi¡m hi»u, Pháng  o t¤o, Tê To¡n - Tin Tr÷íng Vòng Cao Vi»t B­c, ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  l m luªn v«n cao håc. Xin ch¥n th nh c£m ìn anh chà em håc vi¶n cao håc to¡n K2 v  b¤n b± çng nghi»p g¦n xa ¢ trao êi, ëng vi¶n v  kh½ch l» t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  l m luªn v«n. Luªn v«n s³ khæng ho n th nh ÷ñc n¸u khæng câ sü thæng c£m, gióp ï cõa nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh t¡c gi£. ¥y l  mân qu  tinh th¦n, t¡c gi£ xin k½nh t°ng gia ¼nh th¥n y¶u cõa m¼nh vîi t§m láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c. T¡c gi£ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mët sè kþ hi»u v  chú vi¸t t­t khæng gian Euclide n-chi·u trà tuy»t èi cõa sè thüc β x ÷ñc ành ngh¾a b¬ng y ∀x vîi måi x ∃x tçn t¤i x I ¡nh x¤ çng nh§t A ⊂ B tªp A l  tªp con thüc sü cõa tªp B A ⊆ B tªp A l  tªp con cõa tªp B A ∪ B A hñp vîi B A ∩ B A giao vîi B A × B t½ch ·-c¡c cõa hai tªp A v  B convD bao lçi cõa tªp D AT ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A xk → x d¢y {xk } hëi tö m¤nh tîi x xk * x d¢y {xk } hëi tö y¸u tîi x A∗ to¡n tû li¶n hñp cõa to¡n tû A D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû A MV I b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hén hñp MP b i to¡n cì b£n AP k b i to¡n phö Rn |β| x := y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mð ¦u Nguy¶n lþ b i to¡n phö ¢ ÷ñc G.Cohen [11], [12], [13] giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1980 trong khi nghi¶n cùu b i to¡n tèi ÷u. Sau â nguy¶n lþ n y ¢ ÷ñc nghi¶n cùu mð rëng cho c¡c tr÷íng hñp kh¡c nhau cõa to¡n tû: Khæng èi xùng, ìn i»u tr÷îc ho°c para-ìn i»u (xem [16], [17], [19], [23], [24], [26], [27], [28], [29]). Nguy¶n lþ b i to¡n phö cho ph²p x¡c ành nghi»m cõa c¡c b i to¡n: b i to¡n cüc tiºu hâa, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung.... b¬ng c¡ch gi£i mët d¢y c¡c b i to¡n phö. G.Mastroeni [21] ¢ sû döng nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen º mð rëng b i to¡n c¥n b¬ng têng qu¡t. °c bi»t l  c¡c ùng döng cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  b i to¡n tèi ÷u hâa. A.Kaplan v  R.Tichatschke [18] ¢ sû döng nguy¶n lþ b i to¡n phö cho b i to¡n ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k·, mð rëng nguy¶n lþ b i to¡n phö cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi to¡n tû a trà khæng èi xùng trong khæng gian Hilbert... B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå c¡c ¡nh x¤ gi£ co ch°t Ti , i = 1, 2, ...N, thuëc khæng gian Hilbert hay Banach l  mët v§n · lîn v  hi»n ÷ñc r§t nhi·u c¡c nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m. Trong tr÷íng hñp N = 1 th¼ b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa ¡nh x¤ gi£ co ch°t tr¶n tªp C l  tªp con cõa khæng gian Hilbret ¢ ÷ñc F.E.Browder [7], G.Marino v  H.K.Xu [20], B.E.Rhoades [25] nghi¶n cùu. Trong tr÷íng hñp N > 1 th¼ b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå c¡c ¡nh x¤ gi£ co ch°t tr¶n tªp C l  tªp con cõa khæng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 gian Hilbert ¢ ÷ñc G.Wang, J.Peng, H.J.Lee [30] nghi¶n cùu. B¬ng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cõa Tikhonov, GS.TS Nguy¹n B÷íng v  Ph¤m V«n Sìn [8] ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t trong khæng gian Hilbert. GS.TS. Nguy¹n B÷íng [9] ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p l°p hi»u ch¿nh bªc 0 º t¼m nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cho ¡nh x¤ li¶n töc Lipschitz ìn i»u v  l  iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t tr¶n tªp con lçi âng trong khæng gian Hilbert. Trong luªn v«n n y chóng tæi ch¿ tr¼nh b y mët kh½a c¤nh li¶n quan ¸n ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh k¸t hñp vîi nguy¶n lþ b i to¡n phö º t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t trong khæng gian Hilbert. Sü k¸t hñp n y ¢ ÷ñc Baasansuren v  Khan [5] l  nhúng ng÷íi ¦u ti¶n sû döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hén hñp. Bè cöc luªn v«n gçm 02 ch÷ìng: Ch÷ìng I: C¡c kh¡i ni»m cì b£n Trong ch÷ìng n y giîi thi»u mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Hilbert, b i to¡n °t khæng ch¿nh, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung, nguy¶n lþ ¡nh x¤ co, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n... Ch÷ìng II: Nguy¶n lþ b i to¡n phö hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t Ch÷ìng n y gçm 2 ph¦n: + Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t. + Nguy¶n lþ b i to¡n phö hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ gi£ co ch°t. Do thíi gian câ h¤n n¶n luªn v«n mîi ch¿ døng l¤i ð vi»c t¼m hiºu, tªp hñp t i li»u, s­p x¸p v  tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¢ câ theo chõ · °t ra. Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n công nh÷ trong qu¡ tr¼nh sû lþ v«n b£n ch­c ch­n khæng thº tr¡nh khäi sai sât, r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa Th¦y cæ v  b¤n åc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Ch÷ìng 1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Trong ch÷ìng n y, chóng tæi · cªp ¸n c¡c v§n · sau. Trong möc 1.1, chóng tæi giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v  ki¸n thùc li¶n quan ¸n khæng gian Hilbert. Trong möc 1.2, chóng tæi tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa to¡n tû. Möc 1.3, chóng tæi tr¼nh b y b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung. Möc 1.4 ph¡t biºu v  minh håa v· b i to¡n °t khæng ch¿nh. Trong möc 1.5, chóng tæi giîi thi»u v· nguy¶n lþ b i to¡n phö v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. T i li»u tham kh£o ch½nh cõa ch÷ìng n y l  [1], [2], [3], [4]. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cõa khæng gian Hilbert ành ngh¾a khæng gian Hilbert 1.1.1. Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n R. Mët t½ch væ h÷îng trong X l  mët ¡nh x¤ h., .i : X × X → R tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X ; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X. Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi t½ch væ h÷îng h., .i ÷ñc gåi l  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 khæng gian ti·n Hilbert. Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert. Chu©n cõa ph¦n tû x ÷ñc k½ hi»u l  kxk v  ÷ñc p x¡c ành b¬ng kxk = hx, xi. C¡c khæng gian Rn , L2 [a, b] l  c¡c khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng ÷ñc x¡c ành t÷ìng ùng l : hx, yi = n X ξi ηi ; x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn ; i=1 y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn ; Z hϕ, ψi = b ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b]. a 1.1.2. Mët sè kh¡i ni»m li¶n quan • Cho X l  mët khæng gian Hilbert, mët d¢y {xn } gçm c¡c ph¦n tû xn ∈ X gåi l  hëi tö m¤nh tîi ph¦n tû cõa x ∈ X n¸u kxn − xk → 0 khi n → ∞. N¸u {xn } hëi tö m¤nh tîi x ∈ X th¼: (i) Méi d¢y con {xnk } ⊂ {xn } công hëi tö tîi x; (ii) Méi d¢y {kxn − ξk} bà ch°n, ξ ∈ X. • D¢y {xn } ⊂ X ÷ñc gåi l  õ hay Cauchy, n¸u vîi méi ε > 0, tçn t¤i n0 (ε) sao cho: kxm − xn k < ε vîi måi m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε). • Cho X, Y l  hai khæng Hilbert. Khi vi¸t A : X → Y câ ngh¾a A l  mët to¡n tû ìn trà tø X v o Y. Khi vi¸t A : X → 2Y câ ngh¾a A l  mët to¡n tû a trà tø X v o Y. • To¡n tû A : X → R ÷ñc gåi l  tuy¸n t½nh n¸u: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ∀x1 , x2 ∈ X; (ii)A(αx) = αAx ∀α ∈ R, x ∈ X. • To¡n tû tuy¸n t½nh A ÷ñc gåi l  bà ch°n, n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè M > 0 sao cho kAxk ≤ M kxk. Gi¡ trà h¬ng sè M nhä nh§t thäa m¢n b§t ¯ng thùc â ÷ñc gåi l  chu©n cõa A v  kþ hi»u l  kAk. Cho X l  mët khæng gian Hilbert v  x0 ∈ X l  mët ph¦n tû tòy þ. Khi â tçn t¤i mët h m tuy¸n t½nh ϕ : X → R sao cho kϕk = 1 v  ϕ(x0) = kx0k. • Tªp hñp t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X gåi l  M»nh · 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 khæng gian li¶n hñp (hay khæng gian èi ng¨u cõa X) v  ÷ñc kþ hi»u l  X ∗ . • D¢y {xn } gçm c¡c ph¦n tû xn ∈ X ÷ñc gåi l  hëi tö y¸u tîi ph¦n tû x ∈ X (vi¸t t­t l  xn * x) n¸u hφ, xn i → hφ, xi vîi méi φ ∈ X ∗ . • Cho X l  khæng gian Hilbert, v  C l  tªp con cõa X . Mët ¡nh x¤ T : C → X ÷ñc gåi l  demicompact, n¸u nâ thäa m¢n t½nh ch§t vîi méi d¢y {xn } bà ch°n trong X v  {T xn − xn } hëi tö m¤nh th¼ tçn t¤i mët d¢y con {xnk } cõa {xn } công hëi tö m¤nh. • T ÷ñc gåi l  demiclosed t¤i iºm p n¸u {xn } ∈ D(T ) sao cho {xn } hëi tö y¸u tîi x ∈ D(T ) v  {T (xn )} hëi tö m¤nh ¸n p th¼ T (x) = p. N¸u d¢y {xn } hëi tö y¸u tîi x ∈ X th¼ d¢y {kxn k} l  bà ch°n. Cho X l  mët khæng gian Hilbert, M l  mët tªp con kh¡c réng cõa X. (i) M ÷ñc gåi l  lçi n¸u vîi måi x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1 ta câ: ành ngh¾a 1.1. λx + (1 − λ)y ∈ M ; (ii) M ÷ñc gåi l  compact n¸u måi d¢y {xn } ⊂ M ·u chùa d¢y con hëi tö tîi mët iºm thuëc M . • Méi tªp con âng bà ch°n M cõa mët khæng gian Hilbert l  compact y¸u, tùc l  vîi méi d¢y bà ch°n trong M câ thº tr½ch ra ÷ñc mët d¢y con hëi tö y¸u tîi mët ph¦n tû cõa khæng gian n y. • Tªp M ⊂ X ÷ñc gåi l  tªp âng y¸u, n¸u {xn } * x, th¼ x ∈ M . ành lþ 1.1. (Mazur) Méi tªp con lçi âng cõa mët khæng gian Hilbert l  âng y¸u. ành ngh¾a 1.2. Mët phi¸m h m ϕ x¡c ành tr¶n X ÷ñc gåi l  lçi, n¸u ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) (1.1) vîi måi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1]. N¸u d§u "=" x£y ra ch¿ khi x = y , th¼ ϕ ÷ñc gåi l  lçi ch°t. • N¸u tçn t¤i mët h m li¶n töc t«ng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0 sao Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(kx − yk) (1.2) vîi måi x, y ∈ X th¼ ϕ ÷ñc gåi l  lçi ·u v  h m γ(t) gåi l  modul lçi cõa ϕ. • N¸u γ(t) = ct2 (c > 0) th¼ phi¸m h m ϕ ÷ñc gåi l  lçi m¤nh. Mët phi¸m h m ϕ ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 ∈ X , n¸u vîi méi d¢y {xn } ⊂ X sao cho xn → x0 ta câ: ành ngh¾a 1.3. ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). (1.3) n→∞ N¸u xn * x0 v  ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ), n→∞ th¼ ϕ ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc y¸u t¤i x0 . Cho mët phi¸m h m ϕ : X → R. theo h÷îng h t¤i mët iºm x ∈ X n¸u giîi h¤n ành lþ 1.2. Ta nâi r¬ng ϕ kh£ vi ϕ(x + th) − ϕ(x) = V 0 (x, h). t→0 t lim (1.4) N¸u giîi h¤n trong (1.4) tuy¸n t½nh li¶n töc theo h, tùc l  V 0 (x, h) = A(x)h th¼ A(x) ÷ñc gåi l  vi ph¥n G¥teaux cõa ϕ t¤i iºm x v  ÷ñc k½ hi»u l  ϕ0 (x). Trong ành ngh¾a (1.4) n¸u tçn t¤i to¡n tû A : X → X ∗ sao cho: V 0 (x, h) = hAx, hi, ∀x, h ∈ X, th¼ to¡n tû A ÷ñc gåi l  Gradient cõa h m ϕ v  kþ hi»u ϕ0 hay gradϕ. ành lþ 1.3. (i) N¸u ϕ(x) l  mët phi¸m h m lçi tr¶n X th¼ ϕ0(x) thäa m¢n b§t ¯ng thùc sau: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 (ii) N¸u ϕ(x) l  mët phi¸m h m lçi ·u tr¶n X th¼: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 2γ(kx − yk), ∀x, y ∈ X; (iii) N¸u ϕ(x) l  mët phi¸m h m lçi m¤nh tr¶n X th¼: hϕ0 (x) − ϕ0 (y), x − yi ≥ 2ckx − yk2 , ∀x, y ∈ X. ành lþ 1.4. (i) N¸u ϕ(x) l  mët phi¸m h m lçi tr¶n X th¼ ϕ0(x) thäa m¢n b§t ¯ng thùc sau: hϕ0 (x), x − yi ≥ ϕ(x) − ϕ(y), ∀x, y ∈ X; (ii) N¸u ϕ(x) l  mët phi¸m h m lçi ·u tr¶n X th¼: hϕ0 (x), x − yi ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + γ(kx − yk), ∀x, y ∈ X; (iii) N¸u ϕ(x) l  mët phi¸m h m lçi m¤nh tr¶n X th¼: hϕ0 (x), x − yi ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + ckx − yk2 , ∀x, y ∈ X. ành ngh¾a 1.4. Mët phi¸m h m ϕ : X → R ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet (hay kh£ vi m¤nh) t¤i mët iºm x0 ∈ X n¸u tçn t¤i mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc F : X → X ∗ sao cho vîi måi x + h ∈ X th¼: ϕ(x + h) − ϕ(x) = hF (x), hi + w(x, h); trong â w(x, h) = ◦(khk), ngh¾a l  w(x, h) = 0. khk→0 khk lim ¤i l÷ñng F (x) = ϕ0 (x) ÷ñc gåi l  ¤o h m Fr²chet cõa h m ϕ t¤i x. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 1.2 Mët sè t½nh ch§t cõa to¡n tû ành ngh¾a 1.5. To¡n tû A : X → 2Y ÷ñc gåi l  bà ch°n n¸u nâ bi¸n méi tªp bà ch°n trong X th nh mët tªp bà ch°n trong Y . N¸u R(A) ⊂ Y l  mët tªp bà ch°n th¼ to¡n tû A ÷ñc gåi l  bà ch°n ·u. ∗ To¡n tû A : X → 2X ÷ñc gåi l  bùc n¸u nâ tçn t¤i mët h m c(t) x¡c ành vîi t ≥ 0 sao cho c(t) → +∞ khi t → ∞, th¼: ành ngh¾a 1.6. hy, xi ≥ c(kxk)kxk, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Ax. i·u ki»n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi: A l  to¡n tû bùc khi v  ch¿ khi: hAx, xi = +∞. kxk→∞ kxk lim ành ngh¾a 1.7. To¡n tû A : X → X ÷ñc gåi l  compact tr¶n X n¸u nâ bi¸n méi tªp bà ch°n trong X th nh mët tªp compact trong Y. Cho X, Y l  khæng gian Hilbert. To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l : (i) li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u vîi méi d¢y con {xn } ⊂ X sao cho: Axn → Ax0 , khi xn → x0 ; ành ngh¾a 1.8. (ii) h - li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u A(x0 + tn h) * Ax0 khi tn → 0 vîi méi v²c tì h thäa m¢n x0 + tn h ∈ X, v  0 ≤ tn ≤ t(x0 ); (iii) d - li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u vîi méi d¢y con {xn } ⊂ X sao cho khi xn → x0 th¼ Axn * Ax0 ; (iv) li¶n töc Lipschitz n¸u ∃L > 0 sao cho: kAx − Ayk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ X. ành ngh¾a 1.9. To¡n tû A : X → 2X ÷ñc gåi l  d - ìn i»u tr¶n X n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m d(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, v  d(0) = 0 thäa m¢n t½nh ch§t: ∗ hAx − Ay, x − yi ≥ (d(kxk) − d(kyk))(kxk − kyk), ∀x, y ∈ X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 ành ngh¾a 1.10. To¡n tû A : X → 2X ÷ñc gåi l  ìn i»u ·u tr¶n X n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, v  δ(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t: ∗ hAx − Ay, x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ X. N¸u δ(t) = ct2 , (c > 0) th¼ to¡n tû A ÷ñc gåi l  ìn i»u m¤nh. To¡n tû A ÷ñc gåi l  nûa ìn i»u, n¸u tçn t¤i mët to¡n tû compact C sao cho A + C l  mët to¡n tû ìn i»u. 1.3 B i to¡n t¼m iºm b§t ëng Cho X l  khæng gian Metric b§t ký T : X → X l  mët ¡nh x¤ li¶n töc, khi â b i to¡n t¼m iºm b§t ëng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m iºm x∗ ∈ X sao cho T (x∗) = x∗. Trong tr÷íng hñp T : X → 2X l  mët ¡nh x¤ a trà th¼ b i to¡n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ T (x∗ ). B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå c¡c ¡nh x¤ gi£ co ch°t thuëc khæng gian Hilbert hay Banach l  mët v§n · lîn v  hi»n ÷ñc r§t nhi·u c¡c nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m. Trong luªn v«n n y chóng tæi ch¿ tr¼nh b y mët kh½a c¤nh li¶n quan ¸n ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh k¸t hñp vîi nguy¶n lþ b i to¡n phö ð ch÷ìng ti¸p theo. Nhúng ành lþ iºm b§t ëng nêi ti¸ng ¢ xu§t hi»n tø ¦u th¸ k 20, trong â ph£i kº ¸n " Nguy¶n lþ iºm b§t ëng Brouwer (1912) v  Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach (1922)". C¡c k¸t qu£ kinh iºn n y ¢ ÷ñc mð rëng ra cho lîp c¡c ¡nh x¤ v  khæng gian kh¡c nhau, ¢ ÷ñc ùng döng trong to¡n håc nâi ri¶ng v  trong khoa håc kÿ thuªt nâi chung. 1.3.1. Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co. Tr÷îc khi ph¡t biºu nguy¶n lþ ¡nh x¤ co ta s³ ành ngh¾a ¡nh x¤ co: Cho X, Y l  c¡c khæng gian Metric, ¡nh x¤ T : X → Y ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ co n¸u tçn t¤i k ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) ≤ ành ngh¾a 1.11. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 kd(x, y), ∀x, y ∈ X. Nh÷ vªy, ¡nh x¤ co l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa ¡nh x¤ Lipschitz v  hiºn nhi¶n l  li¶n töc. ành lþ 1.5. Cho (X, d) l  mët khæng gian Metric ¦y õ v  T l  ¡nh x¤ co trong X . Khi â tçn t¤i duy nh§t x∗ ∈ X sao cho: T (x∗) = x∗. Ngo i ra, vîi måi x0 ∈ X , ta câ T nx0 → x∗ khi n → ∞. Chùng minh: L§y x0 ∈ X tòy þ, °t xn+1 = T xn vîi n = 0, 1, 2... V¼ T l  ¡nh x¤ co, cho n¶n tçn t¤i k ∈ [0, 1) sao cho: d(x2 , x1 ) = d(T x1 , T x0 ) ≤ kd(x1 , x0 ) d(x3 , x2 ) = d(T x2 , T x1 ) ≤ kd(x2 , x1 ) ≤ k 2 d(x1 , x0 ) ...... d(xn+1 , xn ) ≤ k n d(x1 , x0 ). (1.5) L§y m ≥ n ta câ: d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ..... + d(xm−1 , xm ) ≤ k n d(x0 , x1 ) + k n+1 d(x0 , x1 ) + .... + k m−1 d(x0 , x1 ) ≤ k n (1 + k + .... + k m−n−1 )d(x0 , x1 ) kn ≤ d(x0 , x1 ). 1−k V¼ k ∈ [0, 1) n¶n k n → 0 khi n → ∞. Do â, tø (1.5) suy ra d¢y {xn } l  d¢y Cauchy. Nh÷ng (X, d) l  khæng gian Metric õ n¶n {xn } hëi tö tîi mët ph¦n tû x∗ ∈ X. • Vîi méi n ta câ: 0 ≤ d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + kd(xn−1 , x∗ ). Cho n → ∞ ta ÷ñc d(x∗ , T x∗ ) = 0, tùc l  T x∗ = x∗ • Gi£ sû cán y ∗ ∈ X m  T y ∗ = y ∗ th¼ ta câ: d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 V¼ k ∈ [0, 1) n¶n d(x∗ , y ∗ ) = 0, x∗ = y ∗ . Vªy iºm b§t ëng cõa T l  duy nh§t v  nguy¶n lþ ÷ñc chùng minh. 1.3.2. To¡n tû gi£ co ch°t trong khæng gian Hilbert ành ngh¾a 1.12. Cho H l  khæng gian Hilbert, C l  tªp con lçi âng cõa H . To¡n tû T : C → H ÷ñc gåi l  khæng gi¢n tr¶n C , n¸u: kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀ x, y ∈ C. ành lþ 1.6.[7] Cho H l  khæng gian Hilbert, C l  tªp con lçi âng v  giîi nëi cõa H . To¡n tû T : C → H l  khæng gi¢n tr¶n C . Khi â T câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng. ành lþ 1.7.[22] Cho C l  tªp con lçi âng v  giîi nëi trong khæng gian Hilbert H, T : C → H l  ¡nh x¤ khæng gi¢n v  demicompact, tùc l  n¸u måi d¢y {xn} bà ch°n trong H v  d¢y {T xn − xn} hëi tö m¤nh, th¼ tçn t¤i d¢y con {xn } công hëi tö m¤nh. Khi â tªp hñp c¡c iºm b§t ëng F ixT cõa ¡nh x¤ T l  mët tªp lçi, âng v  vîi méi x0 ∈ C, λ ∈ (0, 1) d¢y l°p {xn}∞n=0 x¡c ành bði: k xn+1 = (1 − λ)xn + λT xn , n = 0, 1.. hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng cõa to¡n tû T . Nhªn x²t. N¸u T khæng câ t½nh ch§t demicompact th¼ d¢y l°p {xn} hëi tö y¸u tîi iºm b§t ëng cõa T . Cho H l  khæng gian Hilbert, C l  tªp con lçi âng cõa H . To¡n tû T : C → H l  λ−gi£ co ch°t n¸u ∃λ ∈ [0, 1) sao cho: ành ngh¾a 1.13. kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + λk(I − T )x − (I − T )yk2 , ∀x, y ∈ C, (1.6) trong â I l  to¡n tû çng nh§t trong H . D¹ th§y, khi λ = 0 th¼ T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n, tùc l : kT x − T yk ≤ kx − yk, vîi måi x, y ∈ C. i·u n y câ ngh¾a r¬ng, lîp c¡c to¡n tû λ- gi£ co ch°t chùa lîp c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 ành lþ 1.8. Cho H l  khæng gian Hilbert, C l  tªp con lçi âng v  giîi nëi cõa H. To¡n tû T : C → H l  λ− gi£ co ch°t. Khi â vîi méi x0 ∈ C, 0 < µ < 1 − λ, d¢y l°p {xn }∞ n=0 x¡c ành bði: xn+1 = (1 − µ)xn + µT xn , n = 0, 1... (1.7) hëi tö y¸u tîi iºm b§t ëng cõa to¡n tû T . Hìn núa, n¸u T l  demicompact th¼ d¢y l°p {xn} hëi tö m¤nh tîi x∗. Chùng minh. Theo gi£ thi¸t T l  to¡n tû λ - gi£ co ch°t, tùc l  ∃λ ∈ [0, 1) sao cho: kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + λk(I − T )x − (I − T )yk2 , ∀x, y ∈ C. °t A := I − T , ta câ: hAx − Ay, x − yi ≥ 1−λ kAx − Ayk2 . 2 1−λ 1−λ , v¼ λ < 1, n¶n λ̃ = > 0. 2 2 Do â suy ra A l  to¡n tû ìn i»u. °t Tt = (1 − t)I + tT . Khi â vîi t > 0 ta câ: °t λ̃ = kTt x − Tt yk2 =k(I − tA)x − (I − tA)yk2 =k(x − y) − t(Ax − Ay)k2 =k(x − y)k2 + t2 k(Ax − Ay)k2 − 2thAx − Ay, x − yi ≤k(x − y)k2 + t2 k(Ax − Ay)k2 − 2tλ̃kAx − Ayk2 =k(x − y)k2 + t(t − 2λ̃)kAx − Ayk2 . V¼ t > 0 n¶n n¸u t < 2λ̃ = 1 − λ th¼: kTt x − Tt yk2 ≤ k(x − y)k2 hay kTt x − Tt yk2 ≤ k(x − y)k2 . Do â T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n. Theo ành lþ (1.6) Tt câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng trong C . M°t kh¡c, l¤i theo ành lþ 1.7 vîi méi k ∈ [0, 1) d¢y l°p xn = (Tt )nk x0 vîi x0 ∈ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 C hëi tö y¸u tîi iºm b§t ëng x∗ cõa T trong C . M°t kh¡c, to¡n tû (Tt )k câ d¤ng: (Tt )k = (1 − k)I + kT t = (1 − k)I + k[(1 − t)I + tT ] = (1 − kt)I + ktT = Tµ vîi µ = kt < t ≤ 1 − λ. Gi£ sû T l  demicompact. Ta ph£i chùng minh d¢y {xn } x¡c ành bði (1.7) hëi tö m¤nh tîi x∗ . º chùng minh i·u â ta c¦n ch¿ ra Tµ l  demicompact. Gi£ sû x0 ∈ C, {xn } bà ch°n x¡c ành bði: xn = (Tt )nk x0 , k ∈ (0, 1). C¦n chùng minh d¢y {xn − Tt (xn )}n∈N hëi tö m¤nh tîi 0. Thªt vªy: xn+1 − x∗ = (1 − k)xn + kTt (xn ) − x∗ = (1 − k)(xn − x∗ ) + k(Tt xn − x∗ ). M°t kh¡c, vîi méi h¬ng sè a ta câ: a(xn − Tt (xn )) = a(xn − x∗ ) − a(Tt xn − x∗ ). N¶n kxn+1 − x∗ k2 = (1 − k)2 kxn − x∗ k2 + k 2 kTt xn − x∗ k2 + 2k(1 − k)hTt xn − x∗ , xn − x∗ i, v  a2 kxn − Tt xn k2 = a2 kxn − x∗ k2 + a2 kTt xn − x∗ k2 − 2a2 hTt xn − x∗ , xn − x∗ i. (1.8) (1.9) Cëng v¸ t÷ìng ùng cõa hai ¯ng thùc (1.8) v  (1.9) v  sû döng t½nh ch§t khæng gi¢n cõa to¡n tû Tt còng vîi Tt x∗ = x∗ ta thu ÷ñc: kxn+1 − x∗ k2 + a2 kxn −Tt xn k2 ≤ [2a2 + k 2 + (1 − k)2 ]kxn − x∗ k2 + 2[k(1 − k) − a2 ]hTt xn − x∗ , xn − x∗ i. (1.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn