..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN DŨNG
NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN DŨNG
NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU
THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc
Më ®Çu
3
1
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
6
1.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Sù tån t¹i nghiÖm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Mét sè bµi to¸n dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
1.3.1. Bµi to¸n quy ho¹ch låi
. . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Bµi to¸n hÖ ph¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3.
2
Bµi to¸n bï
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Ph¬ng ph¸p chiÕu gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu 20
2.1. §iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Ph¬ng ph¸p ®¹o hµm t¨ng cêng . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu siªu ph¼ng. . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
Ph¬ng ph¸p gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n dùa vµo hµm ®¸nh gi¸ 33
3.1. Hµm ®¸nh gi¸ (Gap function)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1. Hµm ®¸nh gi¸ Auslender . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3.1.2. Hµm ®¸nh gi¸ Fukushima
3.1.3.
. . . . . . . . . . . . . . . . 35
Hµm ®¸nh gi¸ kh«ng rµng buéc ( D - Gap function ) . . 40
3.2. ThuËt to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1. ThuËt gi¶i to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸
γcd (.)
3.2.2. ThuËt to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ Fukushima
. . . . . . 43
γc (.)
. . . 44
KÕt luËn
47
Tµi liÖu tham kh¶o
48
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Më ®Çu
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®îc øng dông réng r·i trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c
nhau nh kinh tÕ, kü thuËt, vËn trï häc, vËt lý to¸n. GÇn ®©y, bµi to¸n tèi u
víi rµng buéc bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (cßn gäi lµ rµng buéc c©n b»ng) còng
lµ mét ®Ò tµi ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu v× vai trß quan träng
cña nã trong lý thuyÕt to¸n häc vµ trong øng dông thùc tÕ.
Mét trong nh÷ng híng nghiªn cøu quan träng cña bÊt ®¼ng thøc biÕn
ph©n lµ viÖc x©y dùng ph¬ng ph¸p gi¶i. Cã rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®· ®îc nghiªn cøu nh: ph¬ng ph¸p ®Þa ph¬ng vµ
toµn côc dùa trªn viÖc chuyÓn bµi to¸n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh, ph¬ng ph¸p dùa
trªn kü thuËt hµm ch¾n, ph¬ng ph¸p dùa trªn c¸ch tiÕp cËn ®iÓm bÊt ®éng...
Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy nh»m tr×nh bµy c¸c thuËt to¸n gi¶i bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n dùa trªn ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu vµ ph¬ng ph¸p hµm ®¸nh
gi¸.
LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ
bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm vµ mét sè bµi to¸n dÉn
®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
Trong ch¬ng 2 sÏ giíi thiÖu thuËt to¸n h×nh chiÕu cho c¸c bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, mµ cô thÓ lµ ph¬ng ph¸p ®¹o hµm t¨ng cêng
vµ ph¬ng ph¸p h×nh chiÕu siªu ph¼ng.
Ch¬ng 3 sÏ ®a ra c¸c thuËt gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n dùa vµo hµm
®¸nh gi¸. C¸c thuËt to¸n dùa trªn hµm ®¸nh gi¸ Anslender vµ hµm ®¸nh gi¸
hiÖu chØnh Fukushima.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Lêi c¶m ¬n
B¶n luËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn cña GS. Lª Dòng
Mu. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®Õn ThÇy vÒ c«ng t¸c
gi¶ng d¹y cïng víi sù híng dÉn tËn t×nh trong thêi gian t¸c gi¶ häc cao häc
vµ hoµn thµnh luËn v¨n.
Trong qu¸ tr×nh häc tËp, t¸c gi¶ ®· nhËn ®îc sù quan t©m gióp ®ì vµ sù
gi¶ng d¹y nhiÖt t×nh cña PGS. §ç V¨n Lu, PGS. Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS.
T¹ Duy Phîng, GS. TrÇn Vò ThiÖu, TS. NguyÔn ThÞ Thu Thñy, cïng nhiÒu
ThÇy, C« c«ng t¸c t¹i ViÖn To¸n Häc, ViÖn C«ng NghÖ Th«ng Tin, Trêng
®¹i häc s ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn. t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u
s¾c ®Õn c¸c ThÇy, c¸c C«.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n TS. NguyÔn ThÞ Thu Thñy ®· ®éng viªn, gióp ®ì
t¸c gi¶ rÊt nhiÒu trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp.
T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi c¸c ThÇy, C« gi¸o Trêng §¹i häc
Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn.
T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n BGH trêng Cao ®¼ng s ph¹m §¨kL¨k,
BCN khoa Tù Nhiªn, ®· t¹o nhiÒu ®iÒu kiÖn thuËn lîi trong thêi gian t¸c gi¶
häc cao häc.
T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c anh chÞ, c¸c b¹n häc viªn cao häc, b¹n
bÌ, ®ång nghiÖp, c¸c häc trß. §Æc biÖt c¶m ¬n häc trß TrÇn ThÞ CÈm Nhung
vµ NguyÔn ThÞ Th¹ch Th¶o, ®· gióp ®ì t¸c gi¶ rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc
tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n.
LuËn v¨n nµy sÏ kh«ng ®îc hoµn thµnh nÕu thiÕu sù th«ng c¶m, chia sÎ
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
vµ sù ®éng viªn kÞp thêi cña gia ®×nh. Xin göi tíi gia ®×nh lêi c¶m ¬n ch©n
thµnh vµ s©u s¾c.
T¸c gi¶
Ph¹m V¨n Dòng
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (®îc viÕt t¾t lµ - VIP) lµ mét c«ng cô m¹nh, ®îc
sö dông trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc øng dông. NhiÒu bµi
to¸n vÒ lý thuyÕt tèi u, kinh tÕ vµ vËt lý to¸n ®Òu dÉn ®Õn bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n.
1.1.
Ph¸t biÓu bµi to¸n
Bµi to¸n VIP vÒ mÆt h×nh thøc ®îc ®Þnh nghÜa nh sau:
§Þnh nghÜa 1.1.1.
vµ ¸nh x¹
( Xem [7]. §Þnh nghÜa 1.1) Cho mét tËp con
x∗
cña
Rn
F : K −→ Rn .
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®îc ký hiÖu lµ
t×m
K
V IP (K; F ),
lµ bµi to¸n
sao cho:
x∗ ∈ K, hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ K.
TËp hîp nh÷ng ®iÓm
vµ ký hiÖu lµ
(1.1)
x∗ tháa m·n (1.1) ®îc gäi lµ tËp nghiÖm cña V IP (K; F )
SOL − V IP (K; F ).
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Sau ®©y, chóng ta lu«n gi¶ sö r»ng
lµ tËp låi ®ãng vµ
F
lµ ¸nh x¹ liªn
K.
tôc trªn
1.2.
K
Sù tån t¹i nghiÖm.
§Þnh lý
¸nh x¹
1.2.1.
F : K −→ K
Bæ ®Ò 1.2.2.
gian
( Xem [4]. §Þnh lý Brower) Cho
lµ liªn tôc, th×
F
( Xem [4]. Bæ ®Ò 2.1) Cho
K ⊂ Rn
compact vµ låi,
ph¶i cã mét ®iÓm bÊt ®éng.
K lµ mét tËp con låi ®ãng cña kh«ng
Rn . Khi ®ã víi mçi x ∈ Rn , cã duy nhÊt y ∈ K ,
sao cho:
kx − yk = inf kx − ηk
(1.2)
η∈K
§iÓm y tháa m·n (1.2) ®îc gäi lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña x lªn
K
vµ ta
viÕt:
y = P rK x.
Chó ý r»ng:
P rK x = x, ∀x ∈ K.
Chøng minh: Cho
ηk ∈ K
lµ mét d·y cùc tiÓu hãa, tøc lµ
ηk
tháa m·n:
lim kηk − xk = d = inf kη − xk.
k→∞
(1.3)
η∈K
Tõ quy luËt h×nh b×nh hµnh, ta cã:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 , x, y ∈ Rn .
¸p dông c«ng thøc nµy th×:
1
kηk − ηh k2 = 2kx − ηk k2 + 2kx − ηh k2 − 4kx − (ηk + ηh )k2 .
2
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(1.4)
Do
K
lµ mét tËp låi nªn:
1
(ηk + ηh ) ∈ K,
2
vµ
1
d2 ≤ kx − (ηk + ηh )k2 ,
2
v× vËy:
kηk − ηh k2 ≤ 2kx − ηk k2 + 2kx − ηh k2 − 4d2 ,
vµ tõ (1.3) ta kÕt luËn r»ng:
lim kηk − ηh k = 0.
k→∞
Do ®ã, cã mét gi¸ trÞ
y∈K
sao cho
lim ηk = y.
k→∞
Ngoµi ra,
kx − yk = lim kx − ηk k = d.
k→∞
§Ó thÊy y lµ duy nhÊt, chØ cÇn quan s¸t r»ng bÊt kú 2 gi¸ trÞ
m·n (1.2) th× cã thÓ ®a vµo c«ng thøc (1.4) thay vÞ trÝ cña
y, y 0 ∈ K
tháa
ηk , ηh . §iÒu nµy
cho thÊy
1
ky − y 0 k2 = 2kx − yk2 + 2kx − y 0 k2 − 4kx − (y + y 0 )k2
2
≤ 4d2 − 4d2 = 0,
hay:
2
y = y0.
§Þnh lý
gian
1.2.3.
( Xem [4]. §Þnh lý 2.3) Cho
K
lµ tËp låi ®ãng trong kh«ng
Rn , th× y = P rK x lµ h×nh chiÕu cña x lªn K
khi vµ chØ khi:
y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi ∀η ∈ K
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(1.5)
Chøng minh: Cho
x ∈ Rn
vµ
y = P rK x ∈ K , v× K
låi nªn
(1 − t)y + tη = y + t(η − y), ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1
vµ v× vËy, theo bæ ®Ò 1.2.2, hµm:
φ(t) = kx − y − t(η − y)k2 = kx − yk2 − 2t(x − y, η − y) + t2 kη − yk2
®¹t cùc tiÓu t¹i t=0, nªn
φ0 (0) ≥ 0, tøc lµ:
hx − y, η − yi ≤ 0, η ∈ K,
hoÆc:
hy, η − yi ≥ hx, η − yi, η ∈ K.
MÆt kh¸c, nÕu:
y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi, η ∈ K,
th×:
0 ≤ hy − x, (η − x) + (x − y)i ≤ −kx − yk2 + hy − x, η − xi.
V× vËy:
ky − xk2 ≤ hy − x, η − xi ≤ ky − xkkη − xk.
Tãm l¹i:
ky − xk ≤ hη − xi, η ∈ K.
HÖ qu¶ 1.2.4.
kh«ng gian
( Xem [4]. HÖ qu¶ 2.4) Cho
Rn , th× P rK
K
lµ mét tËp låi ®ãng trong
lµ to¸n tö kh«ng gi¶n, tøc lµ:
kP rK x − P rK x0 k ≤ kx − x0 k, x, x0 ∈ Rn .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh:
Cho tríc
x, x0 ∈ Rn ,
cho
y = P rK x
vµ
y 0 = P rK x0 ,
lóc
nµy:
y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi, η ∈ K.
y 0 ∈ K : hy 0 , η − y 0 i ≥ hx0 , η − y 0 i, η ∈ K.
Ta chän
η = y0
η=y
cho bÊt ®¼ng thøc ®Çu vµ
cho bÊt ®¼ng thøc thø hai,
thªm vµo ®ã ta cã:
ky − y 0 k2 = hy − y 0 , y − y 0 i ≤ hx − x0 , y − y 0 i ≤ kx − x0 kky − y 0 k,
hay:
2
ky − y 0 k ≤ kx − x0 k.
Dùa vµo ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brower, ta chøng minh ®îc sù tån t¹i
nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1).
§Þnh lý
1.2.5.
( Xem [4]. §Þnh lý 3.1) Cho
compact vµ låi, ¸nh x¹
F : K −→ K
K
kh¸c rçng,
K ⊂ Rn
lµ tËp
liªn tôc, khi ®ã bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n (1.1) cã nghiÖm, tøc lµ tån t¹i
x∗ ∈ K
tháa m·n:
hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ K.
Chøng minh: X©y dùng ¸nh x¹
Φ b»ng c¸ch víi mçi x ∈ K
®Æt:
Φ(x) := PK (x − F (x)).
Ta cã:
Φ : K −→ K.
Do
F
liªn tôc trªn
K
vµ phÐp chiÕu
PK
liªn tôc nªn
Φ liªn tôc.
VËy theo
®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brower tån t¹i:
x∗ = Φ(x∗ ).
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Theo ®Þnh nghÜa cña
Φ, th×:
x∗ = Φ(x∗ ) = PK (x∗ − F (x∗ )).
Theo tÝnh chÊt cña h×nh chiÕu vµ ®Þnh lý 1.2.3, ta cã:
hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ K.
VËy bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) cã nghiÖm.
2
Chó ý r»ng bµi to¸n (1.1) kh«ng ph¶i lu«n lu«n cã nghiÖm khi K kh«ng
bÞ chÆn, vÝ dô nÕu
K = R, th× bµi to¸n
F (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K
kh«ng cã nghiÖm khi
F (x) = ex .
§Þnh lý sau ®©y lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i nghiÖm.
Cho tËp låi
K 6= ∅, ®Æt KR = K ∩
kÝnh R vµ t©m
O ∈ Rn . Khi ®ã KR
P
R trong ®ã
P
R lµ h×nh cÇu ®ãng b¸n
lµ tËp compact. VËy theo ®Þnh lý 1.2.5,
ta cã:
xR ∈ KR : hF (xR ), y − xR i ≥ 0 ∀y ∈ KR .
§Þnh lý
1.2.6.
( Xem [4]. §Þnh lý 4.2) Cho
(1.6)
K ⊂ Rn lµ tËp låi, ®ãng vµ ¸nh
x¹:
F : K −→ Rn
liªn tôc trªn
K.
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) lµ tån t¹i mét sè
xR ∈ KR
R>0
sao cho cã mét nghiÖm
cña bµi to¸n (1.6) tháa m·n:
kxR k < R.
(1.7)
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh: Râ rµng lµ nÕu tån t¹i mét nghiÖm x cña bµi to¸n (1.1) th× x
lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n (1.6), miÔn lµ:
kxk < R,
v×:
x ∈ KR ⊂ K.
xR ∈ KR
Gi¶ sö
tháa m·n
kxR k < R, th× xR
còng lµ mét nghiÖm cña bµi
to¸n (1.1).
Qu¶ thËt, v×
|xR | < R,
cho
y ∈ K, w = xR + ε(y − xR ) ∈ KR
víi
ε≥0
®ñ nhá.
V× vËy:
xR ∈ KR ⊂ K : 0 ≤ hF (xR ), w − xR i = εhF (xR ), y − xR i ∀y ∈ K.
§iÒu nµy cã nghÜa lµ
xK
lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n (1.1).
2
Tõ ®Þnh lý nµy ta cã thÓ rót ra ®îc nhiÒu ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó tån t¹i nghiÖm.
Ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm vÒ tÝnh chÊt tù bøc sau.
HÖ qu¶ 1.2.7.
( Xem [4]. HÖ qu¶ 4.3) NÕu
F : K −→ Rn
tháa m·n:
hF (x) − F (x0 ), x − x0 i
→∞
|x − x0 |
khi
x ∈ K, kxk → +∞
víi
x0
nµo ®ã thuéc
(1.8)
K , th× tån t¹i mét nghiÖm ®èi víi bµi to¸n (1.6).
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh: Chän
H > |f (x0 )| vµ R > |x0 | sao cho:
hF (x) − F (x0 ), x − x0 i ≥ H|x − x0 |, |x| ≥ R, x ∈ K,
th×:
hF (x), x − x0 i ≥ H|x − x0 | + hF (x0 ), x − x0 i
≥ H|x − x0 | − |F (x0 )), x − x0 |
≥ (H − |F (x0 )|)(|x| − |x0 |) > 0, |x| = R.
B©y giê, ta cho
xR ∈ KR
(1.9)
lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.6) th×
hF (xR ), xR − x0 i ≥ −hF (xR ), x0 − xR i ≤ 0.
V× vËy, dùa vµo (1.9), ta cã
|x| =
6 R. Nãi c¸ch kh¸c,
2
|x| < R.
Th«ng thêng, nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n kh«ng ph¶i
lµ duy nhÊt. Tuy vËy vÉn cã mét ®iÒu kiÖn rÊt c¬ b¶n ®¶m b¶o cho sù duy
nhÊt. Gi¶ sö
x, x0 ∈ K
lµ hai nghiÖm kh¸c nhau cña bµi to¸n (1.1) th×:
x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K,
x0 ∈ K : hF (x0 ), y − x0 i ≥ 0 ∀y ∈ K.
Tõ ®©y ta thÊy, nÕu:
hF (x) − F (x0 ), x − x0 i > 0 miÔn lµ x, x0 ∈ K, x 6= x0
(1.10)
VËy, ®iÒu kiÖn (1.10) kÐo theo tÝnh duy nhÊt nghiÖm. §iÒu kiÖn (1.10)
®îc gäi lµ ®iÒu kiÖn ®¬n ®iÖu chÆt.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§Þnh nghÜa 1.2.8.
lµ ®¬n ®iÖu trªn
K
( Xem [4]. §Þnh nghÜa 4.5) Ta gäi ¸nh x¹
F : K −→ Rn
nÕu:
hF (x) − F (x0 ), x − x0 i ≥ 0 ∀x, x0 ∈ K.
Ta nãi
F
§Þnh lý
lµ ®¬n ®iÖu chÆt nÕu ®¼ng thøc chØ x¶y ra khi x=x'.
1.2.9.
( Xem [4]. §Þnh lý 4.6) Cho
liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu chÆt cña tËp låi ®ãng
F : K1 −→ Rn
K 1 ⊂ Rn
. Cho
lµ mét ¸nh x¹
K2 ⊂ K1
lµ mét
tËp låi vµ ®ãng. Gi¶ sö tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n:
xj ∈ Kj : hF (xj ), y − xj i ≥ 0, x ∈ Kj , J = 1, 2
F (x2 ) = 0 th× x1 = x2
(i) NÕu
(ii) NÕu
tõ
F (x2 ) 6= 0 vµ x1 6= x2 th× siªu ph¼ng hF (x2 ), y − x2 i = 0 t¸ch x1
K2 .
1.3.
Mét sè bµi to¸n dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
Trong phÇn nµy, ta giíi thiÖu mét sè bµi to¸n cã liªn quan ®Õn bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n. §Æc biÖt, ta xÐt ®Õn mèi quan hÖ gi÷a hµm låi vµ to¸n tö ®¬n
®iÖu.
f ∈ C 1 (K), K ⊂ Rn , lµ tËp låi ®ãng, vµ ®Æt:
Cho
F (x) = gradf (x)(§¹o hµm cña f).
1.3.1.
Bµi to¸n quy ho¹ch låi
§Þnh lý
1.3.1.
( Xem [4]. §Þnh lý 5.1) Gi¶ sö tån t¹i
x∈ K
sao cho:
f (x) = minf (y).
y∈K
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
th×
x lµ mét nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 víi y ∈ K.
Chøng minh: NÕu
v× vËy hµm:
y∈K
th×
z = x + t(y − x) víi 0 ≤ t ≤ 1,
ϕ(t) = f (x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1 ®¹t cùc tiÓu khi t = 0.
Nªn,
0
0 ≤ ϕ (0) = hgrad f (x), y − xi = hF (x), y − xi.
§iÒu ®¶o l¹i còng ®óng nÕu
§Þnh lý
1.3.2.
f
2
lµ hµm låi, cô thÓ ta cã ®Þnh lý sau:
( Xem [4]. §Þnh lý 5.2) Gi¶ sö
f
låi vµ
x tháa m·n:
x ∈ K : hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K,
th×:
f (x) = minf (y).
y∈K
Chøng minh: ThËt vËy, v×
f
låi nªn,
f (y) ≥ f (x) + hF (x), y − xi ∀y ∈ K.
Nhng:
hF (x), y − xi ≥ 0,
v× vËy:
2
f (y) ≥ f (x).
§Þnh lý
1.3.3.
( Xem [4]. §Þnh lý 5.3) Cho
hµm låi kh¶ vi liªn tôc (låi chÆt). Th×
F : E −→ R1 , E ⊂ Rn , lµ mét
F (x) = gradf (x)
sÏ ®¬n ®iÖu (®¬n
®iÖu chÆt).
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chøng minh: Cho tríc
x, x0 ∈ E ,
f (x) ≥ f (x0 ) + hF (x0 ), x − x0 i,
vµ:
f (x0 ) ≥ f (x) + hF (x), x0 − xi.
Tõ ®ã ta cã:
hF (x0 ) − F (x), x0 − xi ≥ 0, x, x0 ∈ E.
VËy
F
®¬n ®iÖu. C¸ch chøng minh
F
®¬n ®iÖu chÆt khi
f
låi chÆt còng
t¬ng tù.
2
Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i tÊt c¶ c¸c to¸n tö ®¬n ®iÖu ®Òu lµ ®¹o hµm cña mét
hµm låi.
1.3.2.
Bµi to¸n hÖ ph¬ng tr×nh
Khi K lµ toµn bé tËp
Rn , th×:
x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) ⇔ F (x∗ ) = 0.
ThËt vËy:
• Víi x∗ ∈ Rn
vµ
F (x∗ ) = 0,
suy ra:
x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) : h0, x − x∗ i ≡ 0 ∀x ∈ Rn .
V× vËy:
Rn ∩ F −1 (0) = F −1 (0) ⊂ SOL − V IP (Rn ; F ).
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
• Ngîc l¹i: x∗ ∈ SOL − V IP (Rn ; F ) ⇒ hF (x∗ ), di ≥ 0 ∀d ∈ Rn .
§Æc biÖt:
d ≡ −F (x∗ ) ⇒ F (x∗ ) = 0.
Nãi c¸ch kh¸c:
SOL − V IP (Rn ; F ) = F −1 (0).
1.3.3.
Bµi to¸n bï
§Þnh nghÜa 1.3.4.
( Xem [7]. §Þnh nghÜa 1.2) Cho mét nãn låi K vµ ¸nh x¹
F : K −→ Rn .
Bµi to¸n bï phi tuyÕn kÝ hiÖu lµ
N CP (K; F ), lµ t×m x∗ ∈ K
sao cho:
K 3 x∗ ⊥ F (x∗ ) ∈ K ∗ ,
trong ®ã
K∗
(1.11)
K , ®îc ®Þnh nghÜa lµ:
lµ nãn ®èi ngÉu cña
K ∗ ≡ {y ∈ Rn |hy, xi ≥ 0, ∀x ∈ K},
(tøc lµ
thuéc
K∗
K
bao gåm mäi vector
y
sao cho
y
t¹o víi mäi vector
x
bÊt kú
mét gãc kh«ng tï).
TËp hîp nh÷ng gi¸ trÞ
®îc gäi lµ
x∗ ∈ K
thâa m·n
N CP (K; F ) ( tháa m·n (1.11)
SOL − N CP (K; F ).
Râ rµng, mét bµi to¸n
N CP (K; F ) lµ nh sau:
x∗ ∈ K, F (x∗ ) ∈ K ∗
KÕt qu¶ sau cho biÕt mèi liªn hÖ gi÷a
MÖnh ®Ò 1.3.5.
vµ
hF (x∗ ), x∗ i = 0.
V IP (K; F ) vµ N CP (K; F ).
( Xem [7]. MÖnh ®Ò 1.1) Cho
K
lµ mét nãn låi trong
Ta cã:
SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ).
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Rn .
Chøng minh:
• =⇒ SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F )
Gi¶ sö:
x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ),
râ rµng,
x∗ ∈ K.
B»ng c¸ch lÊy
x = 0 ∈ K , trong (1.1) ta cã:
hF (x∗ ), −x∗ i ≥ 0
LÊy
x = 2x∗ ∈ K , trong (1.1), ta cã ®îc:
hF (x∗ ), x∗ i ≥ 0,
suy ra:
hF (x∗ ), x∗ i = 0,
nãi c¸ch kh¸c ®iÒu nµy cho thÊy:
hF (x∗ ), x − x∗ i = hF (x∗ ), xi − hF (x∗ ), x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ K.
| {z }
=0
Tøc lµ:
hF (x∗ ), xi ≥ 0 ∀x ∈ K,
v× vËy:
F (x∗ ) ∈ K.
ThÕ nªn:
x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ).
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
50 
5 
91 
