Tài liệu Nghiên cứu xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp kriging metamodels

iii NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS Học viên: NGUYỄN DUY MỸ Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng DD&CN Mã số: 85.80.201 Khóa: K35 Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Luận văn này giới thiệu phương pháp ứng dụng một mô hình xác suất dựa trên lý thuyết Kriging để mô phỏng ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là ngẫu nhiên. Kriging Metamodels cho phép tích hợp các thông số đầu vào của mô hình số với các tham số ngẫu nhiên và kết quả mô phỏng ứng xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua các biến. Luận văn đã nêu được lý thuyết tính toán, kiểm chứng với phương pháp Monte Carlo và phần tử hữu hạn. Sau đó ứng dụng vào bài toán cụ thể, nhằm phân tích được kết quả của bài toán khi các thông số đầu vào là ngẫu nhiên, đánh giá được mức độ ảnh hưởng của các thông số. Nghiên cứu này góp phần quan trọng trong việc giải bài toán phân tích độ tin cậy, tiết kiệm được thời gian tính toán. Từ khóa: Kriging; Metamodels RESEARCH ON CONSTRUCTION OF RESPONSE MODEL RANDOM VIBRATION STRUCTURE BASED ON KRIGING METAMODELS METHOD Abstract – This thesis introduces the method of applying a probability model based on Kriging theory to simulate the response of structures when the factors affecting the structure are random. Kriging allows integration of numerical model input parameters with random values and response simulation results from finite element software through variables. The thesis has stated the calculation theory and verified with Monte-Carlo method and finite element. Then apply to two specific problems, in order to analyze the results of the problem when the input parameters are random, evaluate the influence of the parameters. This study makes an important contribution to solving uncertain quantitative problems, estimating reliability, and saving calculation time. Keywords: Kriging; metamodels iv MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................ i LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................................... ii MỤC LỤC ............................................................................................................................. iv MỤC BẢNG ............................................................................................................................. vi MỤC HÌNH ............................................................................................................................ vii DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................... ix MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................................................1 Mục tiêu nghiên cứu ...............................................................................................................1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .........................................................................................2 Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................................2 Bố cục đề tài ............................................................................................................................2 Tổng quan tài liệu nghiên cứu ...............................................................................................2 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN ................................................................................................ 3 1.1 Tình hình nghiên cứu về bài toán dao động trong xây dựng ....................................................3 1.2 Cơ sở động lực học kết cấu và tính toán hệ đàn hồi chịu động đất ..........................................4 1.2.1. Khái niệm động lực học công trình ..................................................................................4 1.2.2. Bậc tự do ..........................................................................................................................7 1.3 Nhận xét chương ....................................................................................................................30 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT KRIGING METAMODELS ............................................ 31 2.1 Cơ sở về xác suất và biến ngẫu nhiên ....................................................................................31 2.1.1. Các dạng phân phối xác suất ..........................................................................................31 2.1.2. Biến ngẫu nhiên..............................................................................................................32 2.1.3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên.................................................................................32 2.2 Các mô hình ứng xử ...............................................................................................................32 2.2.2. Low-rank approximations (LRA) ...................................................................................33 2.2.3. Kriging (KRG) ...............................................................................................................33 2.2.4. Polynomial chaos expansions (PCE) ..............................................................................33 2.2.5. Polynomial chaos Kriging (PCK)...................................................................................34 2.2.6. Stochastic Kriging SCR .................................................................................................34 2.2.7. Các khái niệm cơ bản .....................................................................................................35 2.2.8. Các kiểu hàm dự báo hồi quy .........................................................................................36 2.2.9. Các hàm tương quan [26] ...............................................................................................37 2.2.10. Phương pháp ước lượng hệ số  .....................................................................................39 2.2.11. 2.2.12. Phương pháp tối ưu ........................................................................................................40 Ước tính lỗi phát sinh .....................................................................................................41 CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU 42 v 3.1 Đặt vấn đề ..............................................................................................................................42 3.2 Ví dụ 1: Dầm một đầu ngàm – bài toán đơn biến ..................................................................43 3.2.1. Xây dựng mô hình ..........................................................................................................43 3.2.2. Lấy ngẫu nhiên giá trị biên độ lực tác động theo phân phối Gausian ............................44 3.2.3. Chương trình tính toán ...................................................................................................46 3.2.4. Kiểm tra bài toán bằng phương pháp PTHH ..................................................................47 3.2.5. Một cách tiếp cận khác của bài toán...............................................................................49 3.2.6. Nhận xét .........................................................................................................................55 3.3 Ví dụ 2: Dầm một đầu ngàm – bài toán đa biến. ....................................................................56 3.3.1. Xây dựng mô hình ..........................................................................................................56 3.3.2. Chương trình tính toán ...................................................................................................57 3.3.3. Kết quả bài toán..............................................................................................................57 3.3.4. Xây dựng mô hình phân tích độ nhạy của các tham số ..................................................58 3.4 Ví dụ 3: Phân tích với công trình 10 Tầng .............................................................................64 3.4.1. Dữ liệu ban đầu ..............................................................................................................65 3.4.2. Khảo sát với giả thiết tải trọng ngẫu nhiên.....................................................................66 3.4.3. Khảo sát với giả thiết kích thước cột là BNN ................................................................72 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................................ 79 KẾT LUẬN .......................................................................................................................................79 KIẾN NGHỊ ......................................................................................................................................79 HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI ..........................................................................................79 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................................... 80 Phụ lục 1 - Chương trình “uq_Kriging_01_01_ViDu1.m” ..................................................................1 Phụ lục 2 - Chương trình “uq_cantileverbeam_dabien.m” ..................................................................3 Phụ lục 3.1 - Chương trình “uq_Kriging_01_02_HamDonBien.m” ....................................................4 Phụ lục 3.2 - Chương trình “uq_Kriging_02_01_HamDaBien.m” ......................................................6 Phụ lục 4 - Chương trình “uq_Kriging_03_02_HamDaBien_Sensitivity.m” ......................................9 Phụ lục 5 – Chương trình “uq_Kriging_Vidu3.m” ............................................................................12 Phụ lục 6 – Chương trình “uq_Kriging_10_Story” ............................................................................14 vi MỤC BẢNG Bảng 3.1 Các đại lượng và giá trị của dầm một đầu ngàm ........................................................44 Bảng 3.2 Kết quả chuyển vị theo phân phối Gaussian ..............................................................45 Bảng 3.3 Tổng hợp kết quả chuyển vị (mm) .............................................................................48 Bảng 3.4 Bảng so sánh kết quả của hai phương pháp................................................................49 Bảng 3.5 Giá trị chuyển vị theo phương pháp LHS...................................................................49 Bảng 3.6 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS ......................................................................49 Bảng 3.7 Giá trị chuyển vị theo phương pháp MC ....................................................................52 Bảng 3.8 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC ........................................................................52 Bảng 3.9 Mô đun đàn hồi ban đầu của bê tông khi nén và kéo theo TCVN 5574-2018 [1]......56 Bảng 3.10 Giá trị các đại lượng và hệ số sai lệch ....................................................................57 Bảng 3.11 Kết quả với bai toán đơn biến và đa biến ...............................................................57 Bảng 3.12 Các thông số đầu vào..............................................................................................61 Bảng 3.13 Giá trị độ nhạy % của các tham số ........................................................................61 Bảng 3.14 Các đại lượng khảo sát ...........................................................................................62 Bảng 3.15 Kết quả của các tham số đầu vào ...........................................................................62 Bảng 3.16 Các giá trị với phương án thay đổi Cov của tải trọng.............................................63 Bảng 3.17 Kết quả khảo sát .....................................................................................................63 Bảng 3.18 Các thông số đầu vào của công trình ......................................................................66 Bảng 3.19 Giá trị của phân phối các đại lượng ngẫu nhiên .....................................................66 Bảng 3.20 Các điểm quan sát ..................................................................................................68 Bảng 3.21 Bộ cơ sở dữ liệu để dự đoán (Xval,Yval) ...............................................................68 Bảng 3.22 Các điểm kiểm tra ..................................................................................................71 Bảng 3.23 Các thông số đầu vào với tiết diện thay đổi ...........................................................72 Bảng 3.24 Quy ước vị trí và kích thước cột.............................................................................72 Bảng 3.25 Thống kê số lượng các loại cột trong mô hình .......................................................73 Bảng 3.26 Giá trị chuyển vị đỉnh công trình theo từng trường hợp .........................................73 Bảng 3.27 Trọng số của từng loại cột theo từng trường hợp ...................................................76 Bảng 3.28 Các điểm quan sát A, B, C, D, E ............................................................................77 vii MỤC HÌNH Hình 1.1 Kết cấu dầm giản đơn và mô hình các khối lượng tập trung thay thế .....4 Hình 1.2 Các loại tải trọng tác dụng lên hệ kết cấu ................................................6 Hình 1.3 Dao động của con lắc đơn........................................................................7 Hình 1.4 Dao động tự do không cản .......................................................................8 Hình 1.5 Dao động tự do có cản .............................................................................8 Hình 1.6 Dao động của hệ một bậc tự do có xét ảnh hưởng của chuyển vị nền ....9 Hình 1.7 Dao động của hệ một bậc tự do dưới tác dụng của lực cưỡng bức .......10 Hình 1.8 Biểu đồ Nyquist của hàm độ dẫn cơ học M() .....................................12 Hình 1.9 Tải trọng xung ........................................................................................13 Hình 1.10 Mô hình tính toán tương đương hệ một bậc tự do .................................18 Hình 1.11 Mô hình hệ một bậc tự do chịu tải trọng động đất.................................19 Hình 1.12 Chuyển động của hệ kết cấu có cản tới hạn ...........................................21 Hình 1.13 Phổ gia tốc nền và vận tốc nền thực và sau khi làm trơn ......................24 Hình 1.14 Phổ phản ứng băng gia tốc nền của trận động đất Imperial Valley (15/10/1979), đo tại trạm El Centro Array ............................................................. 25 Hình 1.15 Phổ mục tiêu MCE so với trung bình SRSS trong kết cấu cách chấn ...26 Hình 1.16 Bậc tự do động của hệ kết cấu: a. Hệ khi có xét đến biến dạng dọc trục của kết cấu gồm 18 bậc tự do và b. Hệ khi không xét đến biến dạng dọc trục của kết cấu gồm 8 bậc tự do .......................................................................................... 27 Hình 1.17 Bậc tự do của sàn cứng trong mặt phẳng ngang ....................................30 Hình 1.18 Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất ...............30 Hình 2.1 Các dạng phân phối ...............................................................................31 Hình 2.2 Phân loại các mô hình metamodels .......................................................33 Hình 3.1 Mô hình dầm một đầu ngàm ..................................................................43 Hình 3.2 Mô tả thông số đầu vào bởi hàm phân phối Gaussian (N=1000) ..........45 Hình 3.3 Mô tả kết quả N=1000 bởi hàm phân phối Gaussian ............................ 45 Hình 3.4 Sơ đồ các bước thực hiện bài toán Kriging Metamodels.......................46 Hình 3.5 Mô tả kết quả bởi hàm phân phối Gaussian ..........................................47 Hình 3.6 Kết quả theo PTHH là (theo công thức (3.2)) .......................................48 Hình 3.7 Chuyển vị theo phương pháp LHS – Xét trục Ns ..................................50 viii Hình 3.8 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS – Xét trục Ns ........................... 50 Hình 3.9 Chuyển vị theo phương pháp LHS - Xét trục N ....................................51 Hình 3.10 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS -Xét trục N .............................. 51 Hình 3.11 Chuyển vị theo phương pháp MC – Xét trục Ns ...................................53 Hình 3.12 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC – Xét trục Ns ............................ 53 Hình 3.13 Chuyển vị theo phương pháp MC – Xét trục N .....................................54 Hình 3.14 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC – Xét trục N .............................. 54 Hình 3.15 Sơ đồ phân tích độ nhạy theo phương pháp Sobol’. .............................. 61 Hình 3.16 Biểu đồ khảo sát độ nhạy của các tham số ............................................62 Hình 3.17 Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo 5 trường hợp .........................................63 Hình 3.18 Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo 5 trường hợp tải trọng .......................... 64 Hình 3.19 Xây dựng mô hình 3D ...........................................................................67 Hình 3.20 Các module phân tích trong Ansys ........................................................67 Hình 3.21 Biểu diễn các kết quả Yval ; YKRG .......................................................... 70 Hình 3.22 Kết quả dự đoán từ mô hình thực và mô hình Kriging .......................... 70 Hình 3.23 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 1 ..................................74 Hình 3.24 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 2 ..................................74 Hình 3.25 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 3 ..................................75 Hình 3.26 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 4 ..................................75 Hình 3.27 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 5 ..................................76 Hình 3.28 Mô hình Kriging cho 5 điểm A, B, C, D, E ...........................................77 Hình 3.29 Kết quả với trường hợp các cột đều là 500x500 ....................................78 ix DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt KRG Kriging UQ Uncertainty Quantification PTHH Phần tử hữu hạn ML Maximum Likehood CV Cross Validation LRA Low-rank approximations PCE Polynomial chaos expansions PCK Polynomial chaos Kriging SVC Support vector machines for classification SVR Support vector machines for regression 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Trong xây dựng, mô phỏng ứng xử của kết cấu dưới tác động của những yếu tố ngẫu nhiên bằng các phương pháp số rất phức tạp. Phương pháp số có thể giải quyết bài toán ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là xác định. Các thông số đầu vào theo lý thuyết là xác định, tuy nhiên trong thực tế, hầu như mọi thông số lại là không xác định do các yếu tố như sự sai khác trong sản xuất, điều kiện môi trường, điều kiện vận hành. Chúng đều tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào đó. Trong các thông số đó, tải trọng tác dụng lên kết cấu cũng là một thông số không xác định, hay còn gọi là tải trọng ngẫu nhiên. Luận văn này giới thiệu phương pháp ứng dụng một mô hình xác suất dựa trên lý thuyết Kriging (KRG) để mô phỏng ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là ngẫu nhiên. KRG cho phép tích hợp các thông số đầu vào của mô hình số với các tham số ngẫu nhiên và kết quả mô phỏng ứng xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua các biến [17]. Trong luận văn này, việc phân tích và đánh giá và ứng dụng mô hình ứng xử sẽ mang lại nhiều hiệu quả, góp phần kiểm chứng các lý thuyết tính toán, cũng như đánh giá được hiệu quả khi dùng mô hình ứng xử với các thông số đầu vào cùng với một số kết quả đầu ra đáng tin cậy để làm cơ sở cho việc dự đoán kết quả phân tích trên toàn miền khảo sát. Việc phân tích trên bằng mô hình KRG sẽ giúp giảm thiểu chi phí thí nghiệm, dự đoán được giá trị mong muốn với một độ tin cậy nhất định, là tiền đề trong việc tiếp tục nghiên cứu với công trình thực tế. Đây chính là lý do để học viên nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp Kriging Metamodels”. 2. - Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu tổng quát:  Xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu bằng phương pháp Kriging Metamodels.  Đưa ra một số đề xuất về thay đổi các tham số trong mô hình: phương pháp chọn điểm mô phỏng ngẫu nhiên, số lượng điểm, số vòng lặp, phương pháp ước lượng hệ số theta, phương pháp tối ưu.  Phân tích độ nhạy của kết cấu, đánh giá được vai trò của các tham số trong bài toán. 2 - Mục tiêu cụ thể : Đưa ra mô hình ứng xử của kết cấu cụ thể dưới tác động của tải trọng ngẫu nhiên. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Kết cấu công trình. - Phạm vi nghiên cứu: Mô hình tính toán kết cấu theo phương pháp Kriging Metamodels và mô hình phần tử hữu hạn. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết, phương pháp số. - Phương pháp thống kê. - Đánh giá kết quả. 5. Bố cục đề tài Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, còn gồm 3 chương với các nội dung sau: Chương 1. Tổng quan về bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào ngẫu nhiên. Chương 2. Lý thuyết Kriging Metamodels. Chương 3. Phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo và phụ lục tính toán. 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu Luận văn được thực hiện dựa trên nghiên cứu, đánh giá nhiều tài liệu trong và nước. Trong đó có sử dụng gói phần mềm UQLab, đây là một khung phần mềm dựa trên Matlab được thiết kế để đưa các kỹ thuật và thuật toán định lượng mức độ ngẫu nhiên Đây là một nền tảng ứng dụng mở, nó không chỉ cung cấp cho người dùng một loạt các phân tích và thuật toán tích hợp mà còn cung cấp các công cụ giúp các nhà nghiên cứu có thể tùy biến theo từng bài toán cụ thể. UQ bắt nguồn từ năm 2013, khi Giáo sư Bruno Sudret thành lập và là chủ tịch Hội định lượng rủi ro, an toàn và không chắc chắn tại ETH Zurich. Cho đến nay, UQLab cung cấp nền tảng cho nghiên cứu của các thành viên, ví dụ: metamodelling (polynomial chaos expansions, Gaussian process modelling, low-rank tensor approximations), ước lượng sự kiện hiếm gặp (độ tin cậy cấu trúc), phân tích độ nhạy tổng thể, kỹ thuật suy luận Bayes cho các vấn đề nghịch đảo, ...vv. 3 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN 1.1 Tình hình nghiên cứu về bài toán dao động trong xây dựng Một trong những nhiệm vụ quan trọng trong thiết kế kết cấu là phải đánh giá được độ an toàn. Nhiệm vụ này rất phức tạp vì có rất nhiều yếu tố có thể có ảnh hưởng đáng kể đến khả năng làm việc của kết cấu mà khó xác định cụ thể. Ví dụ, khi thiết kế nhà cao tầng, các yếu tố ảnh hưởng đến độ an toàn của kết cấu là địa chất, vật liệu, gió, và động đất, v.v. Các yếu tố này có thể gây ra các đáp ứng có tính chất thay đổi bất thường, khó dự đoán, vì vậy trong giai đoạn thiết kế khó bao quát các yếu tố bất định này, thường bị thiếu sót. Nên trong quá trình làm việc khi các yếu tố bất định xuất hiện làm cho công trình nhanh xuống cấp, hư hỏng, thậm chí bị phá hủy đột ngột. Theo tác giả Nguyễn Lê Ninh, trong thiết kế các công trình chịu tải trọng ngẫu nhiên: ví dụ như động đất là một yếu tố có độ tin cậy rất thấp. Sau một thời gian rất dài nổ lực nghiên cứu, con người đã phải tạm thời chấp nhận thất bại trong việc dự báo động đất, đặc biệt trong các vấn đề dự báo thời điểm và độ lớn các trận động đất sẽ xảy ra [4]. Chính vì không thể dự báo tác dụng của tải trọng ngẫu nhiên nên các kết quả đầu ra khi phân tích công trình cũng là yếu tố ngẫu nhiên như chu kỳ, tần số, chuyển vị đỉnh, chuyển vị giữa các tầng, lực cắt đáy.... Nhiều mô hình ứng xử được đưa ra để giải quyết bài toán đó. Các phương trình toán học được mô tả và giải quyết với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Việc thay thế mô hình tính toán với một loạt các đa thức trực giao trong các biến đầu vào trong đó đa thức được chọn kết hợp với phân phối xác suất của các biến đầu vào đó. Hay giả thiết rằng mô hình ứng xử hoạt động như một sự thực hiện của một quá trình ngẫu nhiên Gaussian. Ở trong nước, tác giả Nguyễn Thanh Hưng [3] có bài viết “Đánh giá khả năng chịu lực của kết cấu trong trường hợp thiếu số liệu quan sát đo đạc” bằng giải thuật mờ (fuzzy logic), bằng cách tính độ tin cậy theo phương pháp giao thoa mở rộng là bước đầu cho việc nghiên cứu các bài toán về. Ở nước ngoài, việc nghiên cứu bài toán dao động trong xây dựng đã phát triển từ rất sớm, nhiều công cụ hỗ trợ tính toán cho vấn đề này được đề ra. Trong đó phải kể đến công trình nghiên cứu về gói phần mềm hỗ trợ UQLab của Giáo sư Bruno Sudret và cộng sự. Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất [8-13]. 4 1.2 Cơ sở động lực học kết cấu và tính toán hệ đàn hồi chịu động đất 1.2.1. Khái niệm động lực học công trình 1.2.1.1 Khái niệm Quán tính là một thuộc tính của vật chất, có xu hướng bảo tồn trạng thái đang tồn tại, chống lại những tác động bên ngoài nhằm thay đổi trạng thái sẵn có của chúng. Quán tính được đặc trưng bởi khối lượng và lực quán tính được tính bằng khối lượng nhân với gia tốc của vật thể trong chuyển động. Như vậy, lực quán tính là đặc trưng cốt lõi của động lực học. Nếu bỏ qua quán tính, tức là cho gia tốc bằng không, thì bài toán không còn là động lực học nữa mặc dù vẫn có chứa yếu tố thời gian. 1.2.1.2 Mô hình hóa công trình a/ Mô hình tập trung khối lượng Mô hình được xây dựng bằng cách giả thiết một cách gần đúng sự phân bố khối lượng liên tục trong không gian của công trình được quy về tập trung tại một số điểm nào đó. Khi đó công trình thực chất được thay bằng một hệ hữu hạn các chất điểm và bài toán động lực học công trình trở lên đơn giản hơn vì lực quán tính xác định tại các điểm khối lượng tập trung. Lúc này bài toán động lực học công trình được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, việc tập trung bao nhiêu khối lượng, việc quy đổi khối lượng tại từng điểm và liên kết giữa các chất điểm như thế nào để đảm bảo độ chính xác của kết quả phân tích động lực học là vấn đề phụ thuộc vào kinh nghiệm và sự hiểu biết của từng chuyên gia đối với từng loại công trình cụ thể. Hình 1.1 giới thiệu việc mô hình hóa khối lượng tập trung một dầm giản đơn trong tính toán động lực học công trình. P(t) Hình 1.1 P(t) m1 mi mn Kết cấu dầm giản đơn và mô hình các khối lượng tập trung thay thế b/ Mô hình tọa độ suy rộng Mô hình này được xây dựng dựa trên một tập hợp vô hạn đếm được các tham số phụ thuộc thời gian. Cơ sở toán học của việc mô hình hóa này là sự tồn tại triển khai 5 trường chuyển vị của hệ dưới dạng tổng chuỗi vô hạn các hàm trực giao  n x, y, z  đã biết thỏa mãn các điều kiện biên hình học: n u x, y, z, t    bm t  n x, y, z  (1.1) m 1 Khi đó bm(t) ứng với mỗi dạng chuyển vị cho trước  n x, y, z  được xem là các tọa độ suy rộng của công trình. Tuy nhiên, việc tính toán với tập vô hạn tham số là không thể tiến hành được. Nên người ta phải ngắt đuôi, giữ lại một số hữu hạn các tọa độ suy rộng. Và khi đó lời giải bài toán chỉ gần đúng. Độ chính xác của phương pháp tọa độ suy rộng sẽ tăng lên nếu ta lấy nhiều số hạng của chuỗi xấp xỉ, khi đó khối lượng tính toán cũng tăng lên đáng kể. c/ Mô hình phần tử hữu hạn (PTHH) Phương pháp PTHH là phương pháp cơ bản, hiện đại và rất thông dụng hiện nay dùng để mô hình hóa và phân tích tĩnh, động lực học các công trình. Ý tưởng của phương pháp PTHH thực chất là dựa trên hai cách mô hình hóa nêu trên và nội dung như sau: chọn một tập hữu hạn các điểm nút trên công trình với các tọa độ suy rộng định sẵn rồi tìm cách tập trung khối lượng vào các điểm nút và biểu diễn trường chuyển vị của công trình qua các tọa độ suy rộng này một cách hợp lý nhất để cuối cùng xây dựng được một hệ rời rạc mô tả bằng phương trình vi phân thường đối với các tọa độ suy rộng. Sau khi tìm được các véc tơ chuyển vị nút, các đặc trưng và trạng thái ứng suất, biến dạng của công trình tại bất kỳ điểm nào trên công trình đều có thể xác định được. Trong các phần mềm sử dụng để phân tích kết cấu thì ANSYS có khả năng phân tích các bài toán cơ học. Có nhiều mô đun tính toán với công dụng khác nhau như: – Tính toán cấu trúc tĩnh (Structural Static Analysis). – Tính toán dạng dao động (Modal Analysis). – Tính toán đáp ứng điều hòa (Harmonic Response Analysis). – Tính toán động lực học quá độ (Transient Dynamic Analysis). – Phân tích phổ (Spectrum Analysis). – Tính toán bất ổn định (Buckling Analysis). – Tính toán cấu trúc phi tuyến (Nonlinear Structural Analysis). Trong luận văn này, tác giả sử dụng phần mềm Ansys để thực hiện đề tài. 6 1.2.1.3 Các dạng tải trọng tác động lên công trình Trong quá trình sử dụng, các công trình chịu nhiều loại tải trọng khác nhau. Tải trọng tĩnh là dạng tải trọng bản thân, trọng lượng của vật thể đã có sẵn trên công trình hoặc tải trọng được đặt lên hệ một cách từ từ trong khoảng thời gian dài nhưng gây ra gia tốc biến dạng bé có thể bỏ qua lực quán tính. Tải trọng động là dạng tải trọng phụ thuộc thời gian và gây nên gia tốc không thể bỏ qua. Thực tế, hầu hết các tác động lên công trình là tải trọng động và mang tính ngẫu nhiên. Tuy nhiên, cũng có những tác động có thể mô tả bằng các hàm tiền định như tải trọng tuần hoàn (Hình 1.2a). Tải trọng xung tức thời hay tải trọng dạng bất kỳ theo thời gian gây ra gia tốc biến dạng lớn (Hình 1.2b). Tải trọng tuần hoàn là tải trọng lặp lại trong một khoảng thời gian nhất định như tải trọng phát sinh khi đặt mô tơ có độ lệch tâm lên công trình, tải trọng sóng... Sử dụng khai triển chuỗi Fourier, việc tính toán công trình chịu tải trọng tuần hoàn bất kỳ dẫn về việc tính công trình chịu tải trọng điều hòa đơn giản dạng sin, cos. Tải trọng xung tức thời như: tải trọng nổ mìn, đóng cọc bằng búa, do va chạm, động đất...xảy ra trong khoảng thời gian ngắn gây ra sự thay đổi vận tốc biến dạng tại các điểm vật chất của công trình. Hình 1.2 Các loại tải trọng tác dụng lên hệ kết cấu 7 1.2.2. Bậc tự do 1.2.2.1 Hệ một bậc tự do a/ Khái niệm Ta nghiên cứu chuyển động của một con lắc toán học đơn giản như trong Hình 1.3. Chất điểm có khối lượng m. tập trung tại đầu dây không trọng lượng có chiều dài L được cố định đầu kia của dây tại điểm A. Vị trí của chất điểm trong mặt phẳng được xác định bằng 2 tọa độ x và y. Nhưng vì một đầu dây cố định và khoảng cách từ chất điểm đến A không đổi nên hệ chỉ có 1 bậc tự do, đó là góc giữa đoạn dây tạo với phương thẳng đứng, ký hiệu là φ. Chọn tọa độ như trong hình vẽ ta có: x = Lsinφ, y = L(1 – cosφ) Hình 1.3 Dao động của con lắc đơn Khi đó động năng và thế năng của vật bằng:   1 1 T  m x 2  y 2  m L2 2 2 2 (1.2) V  m g y  m g L1 cos   (1.3) Bỏ qua những lực khác, phương trình Lagrange có dạng: g L    sin  0 (1.4) Trong đó: g là gia tốc trọng trường. Đây là phương trình vi phân bậc 2 tuyến tính, sau khi khai triển Taylor hàm sin có dạng:   02   02 2  3    0; 02  g L (1.5) Nếu chỉ xét thành phần bậc nhất ta được phương trình cơ bản biểu diễn dao động điều hòa: 8   02   0 (1.6) Phương trình này cho ta nghiệm:   a sin0 t    (1.7) Biểu diễn một dao động điều hòa với biên độ dao động a, tần số dao động 0 (hay chu kỳ dao động bằng T  2 0 ) và pha ban đầu θ, xem Hình 1.4. Trong trường hợp dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do, biên độ và pha ban đầu được xác định bằng điều kiện đầu:  0   0 ,  0   0 , tức: a   02      02 ,   a r ctg  0 0  2 0   0  Hình 1.4 (1.8) Dao động tự do không cản Khi có kể đến lực cản nhớt tỷ lệ với vận tốc, dao động tự do của hệ một bậc tự do có cản được mô tả bằng phương trình: z  2 0 z  02 z (1.9) Nghiệm phương trình biểu diễn một dao động tắt dần z  ae 0 t sin D t     D  0 1  (1.10) 2 Với ξ là một số dương và được gọi là hệ số tắt dần dao động, đặc trưng cho lực cản nhớt, D là tần số dao động của hệ có cản, xem Hình 1.5 Hình 1.5 Dao động tự do có cản 9 Trong khuôn khổ dao động chúng ta chỉ xét hệ số tắt dần nhỏ hơn 1 (0 <ξ <1). Biên độ a và pha ban đầu θ của hệ có cản được xác định bằng điều kiện ban đầu z0  z 0 , z0  z0 có dạng: a  z 02  z0   0 z 0 2  2 D  z 0 D   ,   a r ctg   z 0   0 z 0  (1.11) Ký hiệu zn và zn+1 là hai đỉnh dương liên tiếp của dao động tại các thời điểm n và n  1 2 D ; δ là hệ số suy giảm dao động logarit,   ln 2 D zn , khi đó ta có thể xác định z n 1 hệ số tắt dần dao động ξ từ phương trình (1.12):  2  1  2    4 2   2 (1.12) b/ Dao động cưỡng bức-các đặc trưng tần số Xét hệ cơ học như mô tả trong Hình 1.6. Giả sử nền đất bị dịch chuyển với gia tốc vt  và chuyển dịch tuyệt đối của vật là z(t). Chọn gốc tọa độ tương ứng với điểm cân bằng tĩnh của lò xo, khi đó động năng và thế năng của hệ bằng: 1 1 2 T  m z 2 ; V  k z  v  2 2 (1.13) Lực suy rộng là lực cản bằng Q  cz  v , Phương trình vi phân chuyển động (phương trình Lagrange) có dạng: mz  cz  v  k z  v   0 Hình 1.6 (1.14) Dao động của hệ một bậc tự do có xét ảnh hưởng của chuyển vị nền Dựa vào tọa độ suy rộng x = z – v là chuyển vị tương đối của vật thể so với nền, ta được phương trình: m x  c x  k x   m vt  (1.15) 10 Như vậy, dao động của hệ một bậc tự do có nền bị dịch chuyển với gia tốc vt  là một trường hợp riêng của bài toán dao động hệ một bậc tự do chịu tải trọng bất kỳ (1.8)được biểu diễn bằng phương trình: m x  c x  k x  Pt  (1.16) Hay là: x  2 0 x  02 x  Pt  m (1.17) trong đó: 0  k c ;  m 2 km (1.18) với lực tác dụng Pt    mvt  Xét phương trình dao động (1.16). Giả sử tải trọng ngoài là dao động điều hòa Pt   P0 e i t với biên độ phức P0 và tần số . Khi đó nghiệm đầy đủ của (1.17) có dạng: x  xT t   x P t   a e  0 t sin  D t     Ae i t P0 m A  A   2 2  0    2i  0  (1.19) trong đó: xT(t) là nghiệm tổng quát phụ thuộc vào điều kiện đầu x0  x0 , x0  x 0 , là dao động điều hòa tắt dần được gọi là quá trình chuyển tiếp; xP(t) là nghiệm riêng không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, vế phải phương trình thứ nhất của (1.19) là dao động điều hòa có tần số bằng tần số lực kích động  và biên độ phức A() là một hàm của tần số kích động và được gọi là dao động cưỡng bức của hệ. Hình 1.7 Dao động của hệ một bậc tự do dưới tác dụng của lực cưỡng bức Biên độ aP và pha đầu θP của dao động cưỡng bức có dạng: 11 aP  A   P0 m 2 0   2 2  4   2 2 0 2 ,  P  arctan 2  0  02   2 (1.20) Lần lượt được gọi là đặc trưng biên độ, tần số và đặc trưng pha hay các đặc trưng phổ của hệ đã cho. Hàm phức: K    P0  k  m 2  i c  A (1.21) Được gọi là độ cứng động (Dynamic Stiffness) của hệ một bậc tự do. Hàm này là tỷ số giữa biên độ phức của lực tác dụng và biên độ phức của dịch chuyển (ý nghĩa độ cứng) và phụ thuộc vào tần số lực kích động (ý nghĩa động lực học). Dễ dàng nhận thấy K(0)=k, đặc trưng cho độ cứng tĩnh. Hàm phức: H    1 K    1 (1.22) k  m 2  i c Được gọi là độ mềm động hay hàm phản ứng tần số. Trở kháng cơ học (Mechanical Impedance) của hệ là đại lượng được xác định bằng tỷ số giữa biên độ phức của lực tác dụng với biên độ phức của vận tốc và có dạng: I     P0 k  m 2  i c   i A i  (1.23) Hàm phức: M    1 I    i (1.24) k  m 2  i c  Được gọi là độ dẫn cơ học (Mechanical Mobility) của hệ một bậc tự do. M() là một hàm phức có phần thực và phần ảo như sau: Re   c 2 ; Im   2 k   m  c   2 2  k  m 2  k   m  c  2 2 2 Đối với các hàm trên ta có hằng đẳng thức: 2  1 1 2 Re     Im     2c    2c  2 (1.25) 12 Với mọi . Trên mặt phẳng phức trục hoành là phần thực và trục tung là phần ảo của hàm độ dẫn cơ học thì độ dẫn cơ học được biểu diễn bằng một đường tròn bán kính bằng 1/2c với tâm tại điểm có tọa độ (1/2c, 0), xem Hình 1.8. Hình 1.8 Biểu đồ Nyquist của hàm độ dẫn cơ học M() Đường tròn này đi qua gốc tọa độ (ứng với  = 0) cắt trục hoành tại điểm ứng với   0  k / m (tần số riêng), khi đó phần thực là độ dẫn cơ học bằng 1/c. Đường tròn này được gọi là chu trình Nyquist của độ dẫn cơ học. Như vậy, ta có thể tìm được tần số riêng và hệ số cản của hệ nếu biết đường tròn Nyquist của độ dẫn cơ học. Chỉ cần tìm giao điểm của đường tròn với trục hoành, khi đó giá trị của tần số tương ứng với giao điểm bằng tần số riêng, còn hệ số cản là nghịch đảo của hoành độ giao điểm. c/ Hàm phản ứng xung Tải trọng xung thường được đặc trưng bởi lực có giá trị lớn xảy ra trong khoảng thời gian ngắn. Ta có biểu diễn xung P(t) ở dạng: 0  ˆ P Pt     2 0  t        t    t    Trong Hình 1.9 với  > 0 là số đủ nhỏ (1.26) 13 Hình 1.9 Tải trọng xung Xung lượng của tải trọng P(t) là: I P       Pt dt    Pˆ 2  Pˆ 2 (1.27) Như vậy, hàm P(t) chỉ khác 0 trong lân cận [τ - , τ + ] và có tính chất   Pt dt  Pˆ . Khi   0 thì hàm P(t) được gọi là hàm Delta-Dirac với cường độ    I  Pˆ .  Trường hợp xung có cường độ bằng 1 ký hiệu δ(t) với tính chất: t  t  0  t    ; I     t  dt  1 0 t  0 t (1.28) Xét hệ một bậc tự do ở thời điểm ban đầu đứng yên x0  0 ; x0  0 chịu tải trọng xung P(t), khi đó phương trình chuyển động của hệ là: m x  c x  k x  Pˆ  t  Biến đổi Laplace hai vế phương trình cuối ta được m s 2  ~  c s  k X s   Pˆ Từ đó suy ra: X s   ~ Pˆ ms 2  c s  k Biến đổi Laplace ngược đẳng thức cuối ta sẽ được xt   Pˆ ht  (1.29) Trong đó hàm số h(t) e  0t sin   D t  t  0 ht    m  D 0 t0 1 (1.30)