Tài liệu Nghiên cứu ứng dụng thuật toán chặt cân bằng cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

.. N C C N N P ................  ................... N ỄN VĂN N N CỨ ỨN DỤN O N C Ặ CÂN BẰN C O BÀ O N Ề ỂN CÂN BẰN XE A B N N ÀN : L Ề ỂN VÀ Ự ỘN N VĂN Ề C SĨ OA C ỂN VÀ Ự ỘN ƯỜ DẪ K OA ƯỚ TS. Vũ Ngọc iên Thái Nguyên – năm 2020 : ÓA ÓA i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái nguyên, ngày 20/7/2020 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Đô ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Vũ Ngọc Kiên, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn em trong suốt thời gian qua. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy cô giáo trong Khoa, bộ môn cùng đông đảo bạn bè, đồng nghiệp đã cổ vũ rất nhiều cho việc thực hiện luận văn này. Mặc dù được sự chỉ bảo sát sao của thầy hướng dẫn, sự nỗ lực cố gắng của bản thân. Song vì kiến thức còn hạn chế, nên chắc chắn luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự góp ý chân thành của các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! iii MỞ ĐẦU Tăng tốc độ xử lý và tính toán hiện nay là một hướng ưu tiên nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật. Để tăng tính toán, có một số hướng tiếp cận sau: 1. Sử dụng tối ưu thông lượng bộ nhớ cho các vi xử lý song song. 2. Phân rã các bài toán và lập trình song song theo nghĩa tính toán hiệu năng cao. 3. Quay về dùng các chip tương tự như mạng nơ ron tế bào (CNN) 4. Tìm cách giảm độ phức tạp của thuật toán mà vẫn đảm bảo sai số theo yêu cầu. Giảm độ phức tạp của thuật toán chính là giảm bậc mô hình mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu. Trong những năm gần đây, nghiên cứu về giảm bậc mô hình xe hai bánh tự cân bằng đã được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm. Một trong những khó khăn nhất của vấn đề nghiên cứu xe hai bánh là khả năng duy trì cân bằng ổn định trong những địa hình khác nhau. Trong đó, một vấn đề khó khăn là nghiên cứu điều khiển cân bằng xe hai bánh. Để giải quyết vấn đề cân bằng xe hai bánh, có ba phương pháp cơ bản như sau: (i) điều khiển cân bằng bằng bánh đà, (ii) điều khiển cân bằng sử dụng lực ly tâm (iii) điều khiển cân bằng cách thay đổi tâm của trọng lực Trong số ba phương pháp đó, cân bằng nhờ sử dụng bánh đà có ưu điểm là đáp ứng nhanh và có thể cân bằng ngay cả khi xe không di chuyển. Do xe hai bánh thường phải làm việc trong các điều kiện khác nhau, tải trọng mang theo có thể thay đổi, ngoại lực tác động vào xe có thể thay đổi nên việc mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng gặp nhiều khó khăn và có thể coi xe hai bánh là đối tượng bất định. Do tính chất bất định của mô hình xe hai bánh nên thuật toán điều khiển bền vững như trong nghiên cứu là thích hợp nhất. Lý thuyết điều khiển H∞ là một lý thuyết điều khiển hiện đại cho việc thiết kế các bộ điều khiển tối ưu và bền vững cho các đối tượng điều khiển có thông số thay iv đổi hoặc chịu tác động của nhiễu bên ngoài. Tuy nhiên, thiết kế bộ điều khiển theo lý thuyết điều khiển H∞, bộ điều khiển thu được thường có bậc cao (bậc của bộ điều khiển được xác định là bậc của đa thức mẫu). Bậc của bộ điều khiển cao có nhiều bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều khiển trên xe hai bánh, vì mã chương trình phức tạp. Vì vậy, việc giảm bậc bộ điều khiển mà vẫn đảm bảo chất lượng có một ý nghĩa thực tiễn. Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu và đánh giá ưu nhược điểm của các phương pháp giảm bậc mô hình. - Nghiên cứu xây dựng mô hình xe hai bánh tự cân bằng và thiết kế hệ thống điều khiển cân bằng mô hình xe hai bánh. - Ứng dụng thuật toán chặt cân bằng trong hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các thuật toán giảm bậc mô hình, xe hai bánh tự cân bằng. - Phạm vi nghiên cứu: Thuật toán chặt cân bằng cho hệ tuyến tính ổn định và không ổn định; bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập nội dung các phương pháp giảm bậc mô hình, các thuật toán điều khiển cân bằng xe hai bánh thông qua sách, các tạp chí chuyên ngành và qua mạng internet. - Lựa chọn thuật toán thuật toán giảm bậc mô hình có khả năng giảm bậc cả hệ ổn định và không ổn định. - Lựa chọn thuật toán điều khiển cân bằng xe dựa trên khả năng hoạt động ổn định của xe hai bánh. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Áp dụng thuật toán chặt cân bằng để giảm bậc bộ điều khiển bậc cao sẽ giúp giảm độ phức tạp của thuật toán điều khiển, giảm thông tin thừa, tăng tốc độ xử lý. Mô hình giảm bậc được sử dụng sẽ giúp xử lý tín hiệu một cách đơn giản, tăng tốc v độ tính toán, thiết kế hệ thống điều khiển đơn giản hơn đồng thời vẫn đảm bảo độ chính xác yêu cầu. Nội dung cơ bản của luận văn gồm các chương sau: Chương 1: Tổng quan về giảm bậc mô hình. Chương 2: Thuật toán giảm bậc mô hình. Chương 3: Ứng dụng giảm bậc mô hình cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh. Sau thời gian tìm hiểu và nghiên cứu và đặc biệt dưới sự hướng dẫn của Thầy TS. Vũ Ngọc Kiên luận văn của em đã được hoàn thành. Trong quá trình thực hiện luận văn, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và sự góp ý chân thành của các bạn. vi MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI CAM ĐOAN .....................................................................................................i LỜI CẢM ƠN .........................................................................................................ii MỞ ĐẦU .............................................................................................................. iii MỤC LỤC ............................................................................................................. vi Danh mục các bảng ..............................................................................................viii Danh mục các hình vẽ, đồ thị.................................................................................. ix Danh mục các ký hiệu viết tắt ................................................................................xii CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MÔ HÌNH ....................................... 1 1.1. Giới thiệu về giảm bậc mô hình .................................................................... 1 1.2 Bài toán giảm mô hình................................................................................... 2 1.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình .............................................................. 3 1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mô hình trên thế giới ...................................... 3 1.3.2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc ................................................. 5 1.4 Kết luận chương 1 ......................................................................................... 6 CHƯƠNG 2. THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH............................................ 7 2.1. Một số phép tính toán sử dụng trong giảm bậc mô hình .................................... 7 2.1.1 Một số phép phân tích ma trận ................................................................ 7 2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính .................................. 7 2.2 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ ổn định ....................................................... 9 2.3 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ổn định........................................... 11 2.3.1 Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ không ổn định ........... 13 2.3.2 Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không ổn định ..................... 16 2.3.3 Thuật toán chặt cân bằng trực tiếp của Zhou ......................................... 17 2.4 Kết luận chương 2 ....................................................................................... 18 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG XE HAI BÁNH ................................................................... 20 3.1 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng ................................................................. 20 vii 3.2. Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng ......................................................... 21 3.3.Thiết kế bộ điều khiển bền vững RH∞.......................................................... 28 3.3.1. Khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển RH∞ .................................... 28 3.3.2. Mô tả không gian H∞ và RH∞ .............................................................. 29 3.3.3. Xác định tập R( s ) các bộ điều khiển làm hệ SISO ổn định.................. 31 3.3.4 Tìm R( s ) trong R ( s ) để hệ có độ nhạy nhỏ nhất .................................. 33 3.3.5. Thiết kế tối ưu RH ∞ cho bài toán cân bằng xe hai bánh ...................... 34 3.4 Ứng dụng giảm bậc mô hình cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh . 42 3.4.1. Giảm bậc bộ điều khiển cân bằng xe hai bánh ..................................... 42 3.4.2. Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc để điều khiển cân bằng xe hai bánh .. 47 3.5 Kết luận chương 3 ....................................................................................... 61 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................................... 62 A. KẾT LUẬN .................................................................................................. 62 B. KIẾN NGHỊ ................................................................................................. 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 64 viii Danh mục các bảng Tên bảng Trang Bảng 3.1. Các thông số của mô hình xe hai bánh tự cân bằng 21 Bảng 3.2 Kết quả giảm bậc phân hệ ổn định của bộ điều khiển bậc cao 43 Bảng 3.3 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao 43 Bảng 3.4 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao 45 ix Danh mục các hình vẽ, đồ thị Tên hình Trang Hình 3.1. Mô hình xe hai bánh tự cân bằng 20 Hình 3.2. Mô hình xe hai bánh từ cân bằng 21 Hình 3.3. Mô hình điều khiển bền vững 28 Hình 3.4. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bền vững RH ∞ 30 Hình 3.5. Mô hình Simulink xe hai bánh tự cân bằng 38 Hình 3.6. Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh tự cân 38 bằng Hình 3.7. Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mô hình danh định 39 Hình 3.8. Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mô hình thay đổi 40 Hình 3.9. Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mô hình thay đổi 41 Hình 3.10. Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển 44 giảm bậc theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp Hình 3.11. Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm 44 bậc theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp Hình 3.12. Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển 46 giảm bậc theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3.13. Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm 46 bậc theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3.14 Mô hình Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh 47 Hình 3. 15 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 48 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp x Hình 3. 16 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 49 dụng bộ điều khiển bậc 4 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp Hình 3. 17 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 50 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 khi thông của mô hình xe hai bánh thay đổi Hình 3. 18. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 51 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 khi thông của mô hình xe hai bánh thay đổi Hình 3.19 Mô hình Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh 52 Hình 3. 20. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 53 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3. 21. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 54 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3. 22. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 55 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3. 23. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 56 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3. 24. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 57 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3. 25. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng 58 xi trực tiếp Hình 3. 26. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử 59 dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp Hình 3. 27. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp 60 xii Danh mục các ký hiệu viết tắt LQG Linear Quadratic Regulator MPC Model Predictive Control MOR Model Order Reduction ODEs Ordinary Differential Equations SVD Singular Value Decomposition 1 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MÔ HÌNH 1.1. Giới thiệu về giảm bậc mô hình Vì sao có bài toán giảm bậc mô hình ? Trong rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật (như kỹ thuật hàng không, kỹ thuật điều khiển, kỹ thuật ô tô, động lực, …), mô hình toán học được sử dụng để mô hình hóa, điều khiển và phân tích cho các hệ thống lớn và các hiện tượng vật lý. Do sự phát triển của các phần mềm thiết kế mô hình chuyên dụng và tính toán chính xác trên máy tính nên mô phỏng số ngày càng được sử dụng để mô phỏng các hệ thống phức tạp hoặc hiện tượng vật lý và rút ngắn thời gian phát triển sản phẩm và giảm giá thành. Tuy nhiên, do yêu cầu tăng cường tính chính xác của các mô hình đã dẫn đến việc tăng cường số lượng các biến (biến trạng thái) và khối lượng tính toán cần được xử lý làm tăng chi phí tính toán mô phỏng. Hơn nữa, theo quan điểm của điều khiển học, khi mô hình đối tượng bậc cao hoặc bộ điều khiển bậc cao sẽ dẫn đến : + Sự gia tăng thời gian mô phỏng và khó khăn trong việc phân tích tính chất của mô hình như tính chất bất định, thay đổi thông số, tính phi tuyến ... + Khó khăn khi tổng hợp bộ điều khiển hiện đại (như điều khiển LQG, điều khiển bền vững H∞, H∞,/H2, MPC ...) cũng như hệ thống điều khiển sẽ khó có khả năng đáp ứng yêu cầu điều khiển thời gian thực. Vì vậy nếu có một mô hình toán học có bậc nhỏ hơn mà có thể mô tả một cách tương đối chính xác đối tượng hoặc bộ điều khiển bậc cao thì : - Mô hình giảm bậc tạo điều kiện để tìm hiểu về hệ thống hoặc để có sự hiểu biết ban đầu về hệ thống dễ dàng hơn: Mô hình giảm giúp hiểu về hệ thống đơn giản hơn. - Mô hình bậc thấp sẽ giảm thời gian tính toán: Mô hình bậc thấp giúp quá trình tính toán nhanh hơn. - Mô hình bậc thấp chỉ ra được các đặc điểm (hành vi) bền vững của mô hình gốc: Mô hình giảm bậc là mô hình đáng tín cậy hơn. 2 - Mô hình giảm bậc làm cho việc thiết kế điều khiển được thuận lợi hoặc dễ dàng hơn: Bộ điều khiển thu được có cấu trúc đơn giản và dễ dàng hơn để hiểu và thiết kế cũng như đáp ứng được yêu cầu điều khiển thời gian thực. Từ thực tế đó, yêu cầu xác định mô hình bậc thấp từ mô hình gốc bậc cao đáp ứng một số yêu cầu nhất định là một yêu cầu cấp thiết. Các thuật toán để xác định mô hình bậc thấp từ mô hình bậc cao đáp ứng một số yêu cầu cơ bản (như bảo toàn tính ổn định, sai số giảm bậc nhỏ, ..) hình thành nên lĩnh vực được gọi là “giảm bậc mô hình” (MOR: Model Order Reduction). 1.2 Bài toán giảm mô hình Mô hình giảm hay giảm bậc mô hình là một thuật toán để tìm một hệ bậc thấp hơn so với hệ gốc dạng hệ phương trình vi phân thường (ODEs – ordinary differential equations). Ý tưởng chính của thuật toán là chuyển véctơ trạng thái bậc cao thành một véctơ trạng thái bậc thấp trong không gian trạng thái, cụ thể như sau: Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau: x = Ax + Bu y = Cx (1.1) trong đó, x ∈ R n , u ∈ R p , y ∈ R q , A ∈ R nxn , B ∈ R nxp , C ∈ R qxn . Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương trình đã cho trong (1.1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ các phương trình: xr = Ar xr + Br u yr = Cr xr (1.2) trong đó, x ∈ R r , u ∈ R p , y ∈ R q , A ∈ R rxr , B ∈ R rxp , C ∈ R qxr , với r ≤ n Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mô hình mô tả bởi phương trình trong (1.1), đồng thời đáp ứng được một số yêu cầu sau: 1. Sai số giảm bậc nhỏ và tồn tại một giới hạn lỗi toàn cục; 3 2. Thuật toán giảm bậc cần tính toán hiệu quả, ổn định; 3. Thuật toán giảm bậc có thể thực hiện tự động dựa trên giới hạn sai số; 4. Các tính chất quan trọng của hệ thống gốc cần được bảo toàn trong hệ giảm bậc như tính ổn định và thụ động, … 1.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình 1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mô hình trên thế giới Trong nhiều năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu để giải quyết bài toán giảm bậc mô hình bậc cao được công bố và đề xuất, trong đó hầu hết các công trình tập trung giải quyết bài toán giảm bậc cho hệ tuyến tính. Tuy nhiên theo [1, 32], đối với một hệ bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất có thể được phân loại như sau Nhóm phương pháp bảo toàn những giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp. Và các tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mô hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc. Đề xuất được quan tâm nhiều nhất của nhóm là phương pháp điểm cực trội của Rommes [22, 23, 24], trong những nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra được khái niệm hay tiêu chuẩn đánh giá tính quan trọng của điểm cực dựa trên cở sở đóng góp của điểm cực vào đáp ứng xung đầu ra từ đó làm cơ sở phân loại các điểm cực và bảo lưu các điểm cực trong hệ giảm bậc. Nhóm phương pháp dựa trên thuật toán phân tích giá trị suy biến SVD: Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là phương pháp chặt cân bằng (cân bằng nội) do Moore đề xuất [18]. Phương pháp chặt cân bằng được thực hiện bằng cách áp dụng điều kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận gramian điều khiển và quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở. Việc tương đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyển mô hình gốc biểu diễn trong hệ cơ sở bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội. Từ không gian cân bằng đó, mô hình bậc thấp có thể tìm được 4 bằng cách loại bỏ các giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ. Những nghiên cứu gần đây [10] tập trung vào hoàn thiện thuật toán cho từng ứng dụng cụ thể của thuật toán cắt ngăn cân bằng. Ngoài phương pháp cân bằng nội thì còn có một số phương pháp cân bằng khác như phương pháp cân bằng ngẫu nhiên [17, 31], cân bằng giới hạn thực, cân bằng thực dương [26], cân bằng LQG [9], cân bằng trọng tần số [35], phương pháp xấp xỉ chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation) [2], … Nhóm phương pháp Singular Perturbation Approximation được đề xuất đầu tiên bởi Y. Liu và B. D. O. Anderson [34] và được hoàn thiện thêm thuật toán và ứng dụng trong các nghiên cứu [1, 28, 29]. Nhóm phương pháp dựa trên không gian con Krylov (moment matching methods): Cơ sở của nhóm phương pháp này là chọn trùng khớp đặc tính đáp ứng của hệ giảm bậc và hệ gốc. Sự hấp dẫn chủ yếu của nhóm phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các phương pháp khác. Nhóm phương pháp này được phát triển từ phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàm theo chuỗi của Pade [21]. Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đôi khi các mô hình bậc thấp tìm được có thể không ổn định dù rằng mô hình gốc bậc cao ổn định. Để khắc phục nhược điểm trên đã có nhiều phương pháp được đề xuất trong đó quan trọng nhất là phương pháp giảm bậc ổn định sử dụng phương pháp gần đúng theo chuỗi Chebyshev Pade do Bistritz và Lanholz đề xuất [5] và phương pháp thời điểm phù hợp (Pade approximants - moment matching) dựa trên không gian Krylov [13, 16, 32] và được chia làm 3 nhóm nhỏ hơn là 1) thực hiện theo quy trình Arnoldi [33] 2) thực hiện theo quy trình Lanholz [13], 3) thực hiện theo tỷ số năng lượng [16]. Các kỹ thuật thuật toán này đảm bảo cho việc lựa chọn điểm trùng khớp phù hợp, cung cấp giới hạn lỗi, đảm bảo được sự ổn định của mô hình, có thể áp dụng cho hệ nhiều vào nhiều ra, hệ tính toán song song,… Nhóm phương pháp dựa trên Gramian và hàm dấu ma trận (Low-rank Gramian approximants and matrix sign function method): Nhóm phương pháp này 5 là sự kết hợp của phương pháp dựa trên SVD và phương pháp thời điểm phù hợp (moment matching) dựa trên không gian con Krylov: Nhóm phương pháp này tìm cách kết hợp ưu điểm của các thuật toán dựa trên SVD và các thuật toán dựa trên phương pháp thời điểm phù hợp. Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là của Li [25] đề xuất cách giải 2 phương trình Lyapunov bằng phép chiếu không gian con Krylov. Tiếp theo hiện có rất nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu và đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để kết hợp 2 nhóm phương pháp trên [4, 5, 8, 11, 12]. Nhóm các phương pháp khác: Đánh quan tâm nhất là nhiễu loạn được Sannuti và Kokovic đề xuất [27], phương pháp này đặc biệt tiện lợi khi hệ thống gốc có đặc tính biến đổi theo hai mức thời gian. Các trạng thái động học của hệ được phân chia thành các nhóm thuộc mode “chậm” và mode “nhanh” và việc giảm bậc được thực hiện bằng cách cho các đạo hàm theo thời gian của các trạng thái thuộc mode “nhanh” bằng không để các trạng thái thuộc thuộc mode “nhanh” được loại bỏ. Ngoài ra con có các phương pháp như phương pháp kết hợp phép chiếu trực giao thích hợp (POD) với phương pháp cắt ngắn cân bằng (POD-BT), hay phương pháp dùng các thuật toán PSO hoặc GA tìm thông số của mô hình giảm bậc cố định cho hệ SISO, ... 1.3.2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc Theo tìm hiểu của tác giả thì ở trong nước hiện nay chưa có nhiều công trình nghiên cứu về giảm bậc mô hình, xin nêu ra ở đây một số công trình mà tác giả đã tìm hiểu được. Luận văn tiến sĩ của Đào Huy Du [20] đề xuất phương pháp giảm bậc kết hợp giữa phương pháp dựa trên SVD với bảo toàn giá trị riêng quan trọng và áp dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán viễn thông. Các nghiên cứu của Nguyễn Ngọc San [7] đề xuất phương pháp giảm bậc tối ưu đầu ra, đảm bảo bảo lưu các trạng thái các trạng thái của mô hình gốc bậc cao 6 trong mô hình giảm bậc và áp dụng thuật toán giảm bậc cho các bài toán trong mạng viễn thông. Luận văn tiến sĩ của Vũ Ngọc Kiên [32] để xuất thuật toán giảm bậc bảo toàn các điểm cực trội theo chuẩn H2, H∞ trong quá trình giảm bậc hệ ổn định và không ổn định và áp dụng thuật toán vào bài toán điều khiển. 1.4 Kết luận chương 1 Qua quá trình tìm hiểu các phương pháp giảm bậc mô hình, cho thấy phương pháp "tốt nhất" hiện nay, tức là một phương pháp giảm bậc đáp ứng mọi yêu cầu, chưa tồn tại. Mỗi phương pháp giảm bậc đều có những ưu nhược điểm riêng và cần sử dụng theo một nhu cầu thích hợp. Với mục tiêu của luận văn là nghiên cứu giảm bậc ứng dụng cho bài toán điều khiển, cụ thể là ứng dụng cho bài toán điều khiển xe hai bánh tự cân bằng thì phương pháp giảm bậc cần phải đảm bảo sai số giảm bậc nhỏ, hiệu quả tính toán cao, đồng thời do bộ điều khiển bậc cao thu được theo các phương pháp điều khiển bền vững H∞ có thể là không ổn định nên các thuật toán giảm bậc cần phải giảm bậc được cho cả đối tượng ổn định và không ổn định. 7 CHƯƠNG 2. THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 2.1. Một số phép tính toán sử dụng trong giảm bậc mô hình 2.1.1 Một số phép phân tích ma trận 2.1.1.1 Phân tích SVD (Singular Value Decompositon) Cho ma trận A ∈ C nxn , với n ≤ m. Khi đó tồn tại hai ma trận unita U ∈ C nxn , UU * = I , và V ∈ C nxn , VV * = I , sao cho: A = U ΣV T , trong đó Σ = diag (σ 1 , σ 2 ,...σ n ) là ma trận đường chéo, với σ 1 > σ 2 > ... > σ n là căn bậc hai của giá trị riêng AA* . Phép phân tích A = U ΣV * được gọi là phép phân tích giá trị suy biến của ma trận A [1]. 2.1.1.2 Phân tích Schur Cho ma trận vuông A ∈ C nxn . Khi đó tồn tại ma trận unita U ∈ C nxn sao cho A = U ∆U * , trong đó: ∆ là ma trận tam giác trên với các giá trị riêng của ma trận A nằm trên đường chéo chính của ma trận ∆ . 2.1.1.3 Phân tích Cholesky Cho ma trận A ∈ C nxn là ma trận xác định dương. Khi đó tồn tại một ma trận tam giác trên R ∈ C nxn sao cho A = R * R, Ma trận R còn được gọi là thừa số cholesky của A. 2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính Xét một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, ổn định tiệm cận như mô tả trong (1.1).