Tài liệu Nghiên cứu thuật toán khử nhiễu ảnh dựa trên phương pháp biến phân

VŨ ĐÌNH KHÔI ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN HỮU LỘC --------------------------------------- VŨ ĐÌNH KHÔI LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ C C R L T. NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN KHỬ NHIỄU ẢNH DỰA TRÊN PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN U D LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ NĂM 2019 Đà Nẵng – Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --------------------------------------- VŨ ĐÌNH KHÔI C C R L T. NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN KHỬ NHIỄU ẢNH DỰA TRÊN PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN U D Chuyên nghành: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ Mã số: 8520203 LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHAN TRẦN ĐĂNG KHOA Đà Nẵng – Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Nội dung công trình luận văn “Nghiên cứu thuật toán khử nhiễu ảnh dựa trên phƣơng pháp biến phân”; các số liệu và kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Học viên cao học Vũ Đình Khôi C C R L T. U D I 1 MỤC LỤC CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ...................................................... 7 1.1. Đặt vấn đề ............................................................................................................. 7 1.2. Các phương pháp xử lý ảnh .................................................................................. 9 1.2.1. Phương pháp hình thái học ............................................................................ 9 1.2.2. Phân tích phổ .................................................................................................. 9 1.2.3. Phân tích đa phân giải .................................................................................. 10 1.2.4. Phương pháp dựa trên mô hình ngẫu nhiên ................................................. 11 1.2.5. Phương pháp biến phân ................................................................................ 12 1.2.6. Phương trình đạo hàm riêng ........................................................................ 12 1.2.7. Mối liên hệ giữa các phương pháp ............................................................... 12 C C 1.3. Các thuật toán khử nhiễu phổ biến...................................................................... 13 1.3.1. Bộ lọc trung bình .......................................................................................... 13 R L T. 1.3.2. Bộ lọc Gauss ................................................................................................. 13 U D 1.3.3. Bộ lọc trung vị .............................................................................................. 14 1.3.4. Bộ lọc Wiener ............................................................................................... 14 1.4. Mục tiêu nghiên cứu............................................................................................ 15 CHƢƠNG 2: THUẬT TOÁN KHỬ NHIỄU ẢNH DỰA TRÊN PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN .......................................................................................... 16 2.1. Hàm năng lượng .................................................................................................. 16 2.2. Hàm lồi ................................................................................................................ 18 2.3. Functional ............................................................................................................ 20 2.4. Đạo hàm Gâteaux ................................................................................................ 20 2.5. Phương trình Euler-Lagrange.............................................................................. 21 2.6. Thuật toán Gradient Descent ............................................................................... 21 2.7. Toán tử gradient và divergence rời rạc ............................................................... 23 2.8. Thuật toán khử nhiễu ảnh sử dụng tổng biến phân ............................................. 24 CHƢƠNG 3: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ ....................... 26 3.1. Mô tả thực nghiệm .............................................................................................. 26 3.2. Tiêu chí đánh giá ................................................................................................. 27 3.3. Kết quả và đánh giá thuật toán TV-GD .............................................................. 27 2 3.3.1. Ảnh hưởng của tham số ............................................................................. 27 3.3.2. Ảnh hưởng của số vòng lặp .......................................................................... 29 3.3.3. Ảnh hưởng của hệ số ................................................................................. 31 3.4. Kết quả so sánh các thuật toán ............................................................................ 33 3.4.1. Kết quả định lượng ....................................................................................... 33 3.4.2. Đánh giá chủ quan........................................................................................ 37 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 43 PHỤ LỤC ........................................................................................................... 45 Chương trình thuật toán khử nhiễu dựa trên phương pháp biến phân sử dụng tổng biến phân .................................................................................................................... 45 C C U D R L T. 3 NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN KHỬ NHIỄU ẢNH DỰA TRÊN PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Học viên: Vũ Đình Khôi. Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử Mã số: CH678. Khóa: 36. Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng. Tóm tắt: Khử nhiễu ảnh là một trong các vấn đề nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực xử lý ảnh. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu thuật toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp biến phân. Thuật toán tìm nghiệm ảnh khử nhiễu bằng cách tối thiểu hóa hàm mục tiêu bao gồm thành phần đo khoảng cách giữa ảnh khử nhiễu và ảnh nhiễu và thành phần đo độ mượt của ảnh thông qua tổng biến phân. Quá trình tối ưu được thực hiện bởi phương pháp Gradient Descent. Trong phần thực nghiệm, thuật toán nghiên cứu được đánh giá và so sánh với các thuật toán khử nhiễu phổ biến khác dựa trên các tiêu chí đánh giá PSNR, SSIM và đánh giá chủ quan. Kết quả thực nghiệm cho thấy, thuật toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp biến phân cho kết quả tốt hơn so với các thuật toán khác. C C Từ khóa: khử nhiễu ảnh, phương pháp biến phân, tổng biến phân, gradient descent. R L T. U D VARIATIONAL METHOD BASED DENOISING ALGORITHM Student: Vu Dinh Khoi. Major of Master program: Electrical engineering. Student code: CH678. Course: K36. The University of Science and Technology – The University of Danang. Abstract: Image denoising is an important research problem in the field of digital image processing. In this thesis, we study a denoising algorithm based on variational method. The algorithm search the denoised image by minimizing the energy function, which consists of two terms – the fitting term measuring the distance between the denoised image and the noisy image and the regularization term measuring the smoothness of the denoised image using the total variation. The optimization process is based on the Gradient Descent method. In the experiments, the algorithm is compared with widely used denoising algorithms based on criteria PSNR, SSIM and visual quality. The experimental results show that the variational method based denoising algorithm outperforms other competing methods. Key words: image denoising, variational method, total variation, gradient descent. 4 DANH SÁCH CÁC KỸ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT PSNR SSIM MSE VM PDE GD TV-GD AF GF MF WF Sob-GD Peak Signal-to-Noise Ratio Structural Similaritykj Mean Squared Error Tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu Variational method Partial Differential Equation Phương pháp biến phân Phương trình đạo hàm riêng Gradient Descent Total variation – Gradient Descent Average Filter Gauss Filter Median Filter Wiener Filter Sobolev - Gradient Descent Thuật toán Gradient Descent Hệ số tương đồng cấu trúc Sai số bình phương trung bình Bộ lọc trung bình Bộ lọc Gauss Bộ lọc trung vị Bộ lọc Wiener U D R L T. C C 5 DANH MỤC BẢNG BIỂU Thứ tự Nôi dung tên bảng biểu Trang Bảng 3.1: Sự phụ thuộc của PSNR và SSIM vào số giá trị của tham số 34 Bảng 3.2: PSNR và SSIM của 6 thuật toán 35 Bảng 3.3: PSNR và SSIM của 6 thuật toán 36 Bảng 3.4: PSNR và SSIM của 6 thuật toán 37 Bảng 3.5: PSNR và SSIM của 6 thuật toán 38 C C U D R L T. 6 DANH MỤC HÌNH Thứ tự Nôi dung tên hình Hình 1.1. Quá trình gây nhiễu ảnh và khử nhiễu 8 Hình 1.2. Ảnh tách đường biên 9 Hình 1.3. Một số toán tử hình thái học [6] 10 Hình 1.4. Biến đổi Fourier đối với các bộ lọc [6] 11 Hình 1.5. Biến đổi wavelet đối với ảnh [6] 12 Hình 1.6. Mối liên hệ giữa các phương pháp 14 Hình 1.7. Hàm Gauss với các giá trị Hình 1.8. Bộ lọc trung vị [6] Hình 2.1. Ba hàm khác nhau có cùng giá trị tổng biến phần bằng 2 [2] Hình 2.2. Hàm lồi [5] Hình 2.3. Ví dụ về các hàm lồi 21 Hình 2.4. Minh họa phương pháp GD [5] 24 Hình 2.5. So sánh 2 hàm | | và √ 26 Hình 3.1. Các ảnh thực nghiệm 27 Hình 3.2. Sự phụ thuộc của ảnh khử nhiễu vào giá trị của tham số 29 Hình 3.3. Hình 3.4. Trang và C C khác nhau [6] R L T. U D 15 16 20 21 | | với các giá trị khác nhau Sự phụ thuộc của (a) hàm năng lượng, (b) PSNR và (c) SSIM vào số vòng lặp Ảnh và ảnh khử nhiễu với giá trị của tham số khác nhau 30 33 Hình 3.5. Kết quả khử nhiễu của 6 thuật toán ) 40 Hình 3.6. Kết quả khử nhiễu của 6 thuật toán ) 42 7 CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN Chương này trình bày tổng quan về bài toán khử nhiễu ảnh, các phương pháp xử lý ảnh và thuật toán khử nhiễu ảnh phổ biến. 1.1. Đặt vấn đề Khử nhiễu ảnh (image denoising) là một trong các vấn đề nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực xử lý ảnh và là một bước tiền xử lý cần thiết cho nhiều ứng dụng. Trong quá trình thu nhận, truyền và ghi dữ liệu, hình ảnh sẽ bị nhiễu do khiếm khuyết trong cấu tạo của thiết bị thu phát hình ảnh hoặc do môi trường bên ngoài. Do đó, việc khử các hiệu ứng nhiễu là cần thiết nhằm phục vụ cho các bước xử lý ảnh tiếp theo. Gọi là ảnh gốc (không nhiễu) và là ảnh nhiễu của được gây ra bởi nhiễu . Quá trình khử nhiễu được mô hình hóa đơn giản như sau (1.1) trong đó, toán tử có thể là phép cộng hoặc nhân. Trong luận văn này, chúng ta xem xét nhiễu cộng Gauss. Mô hình nhiễu như sau (1.2) trong đó, là nhiễu Gauss với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn . Quá trình gây nhiễu ảnh bởi nhiễu Gauss được thể hiện ở Hình 1.1. C C R L T. U D Hình 1.1. Quá trình gây nhiễu ảnh và khử nhiễu [1] Để hiểu rõ hơn tầm quan trọng của việc khử nhiễu trong phân tích ảnh, ta xem một ví dụ về ảnh hưởng của khử nhiễu đến thuật toán tách đường biên (edge detection) cho ảnh siêu âm. Thuật toán tách đường biên phổ biến là toán tử Sobel có dạng như sau [3]: ( ) ( ) (1.3) 8 Toán tử Sobel được áp dụng với ảnh thông qua phép chập: với độ lớn tại pixel được xác định bởi √ ( ) và (1.4) Giá trị lớn tại các vị trí gần đường biên và nhỏ tại các vùng có độ sáng đồng nhất. Hình 1.2 cho thấy rằng, việc khử nhiễu ảnh giúp cho việc tách đường biên trở nên tốt hơn, cụ thể là các đường biên nét hơn và các đường biên gây ra bởi nhiễu giảm đi đáng kể. C C R L T. U D (a) Ảnh gốc và ảnh tách đường biên (b) Ảnh khử nhiễu và ảnh tách đường biên Hình 1.2. Ảnh tách đường biên [2] Trong thực tế, chúng ta gần như không thể xác định các loại nguồn gây nhiễu, cũng như các tham số liên quan. Điều này dẫn đến vấn đề khử nhiễu ảnh 9 trở thành bài toán ngược (inverse problem) với nghiệm chỉ có thể là gần đúng và không duy nhất. Một thuật toán khử nhiễu tốt đòi hỏi phải giảm được nhiễu tương đương với làm mượt ảnh, tuy nhiên đồng thời phải giữ cho các chi tiết của ảnh như đường biên không bị mất đi. 1.2. Các phƣơng pháp xử lý ảnh Mục này trình bày các phương pháp xử lý ảnh chính. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm, và việc áp dụng phương pháp nào tùy thuộc vào bài toán cụ thể cũng như cấu trúc dữ liệu của ảnh được cho [2]. 1.2.1. Phương pháp hình thái học Do ảnh ghi nhận thông tin của đối tượng nên xử lý ảnh xem xét vấn đề liên quan đến đối tượng trên ảnh. Một đối tượng có thể được xác định bởi hàm đặc trưng nhị phân: (1.5) Toán tử hình thái là phép biến đổi giữa các đối tượng (1.6) thường mang tính cục bộ, tức một pixel thuộc sẽ được xác định bởi các pixel lân cận của trong . Một số toán tử hình thái học cơ bản như dilation, erosion, closing, opening,… (Hình 1.3). Dựa trên các toán tử cơ bản này, ta có thể tách các đặc trưng quan trọng trong ảnh như đường biên (edge), điểm đặc trưng (feature point) để phục vụ cho các bài toán phát hiện, nhận dạng,… C C R L T. U D (a) Ảnh gốc (b) Toán tử Erosion (d) Toán tử Opening (c) Toán tử Dilation (e) Toán tử Closing Hình 1.3. Một số toán tử hình thái học [6] 1.2.2. Phân tích phổ 10 Phân tích phổ và phương pháp đại diện cho trường phái này là biến đổi Fourier là một trong những công cụ phân tích ảnh mạnh nhất trong xử lý ảnh cổ điển. Biến đổi Fourier là phép biến đổi một hàm trong miền thời gian sang miền tần số. Thông tin về tần số đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế các bộ lọc. Hình 1.4 cho thấy biến đổi Fourier đối với các bộ lọc, qua đó ta có thể thấy được tính chất của từng bộ lọc. C C R L T. U D Hình 1.4. Biến đổi Fourier đối với các bộ lọc [6] 1.2.3. Phân tích đa phân giải Nhược điểm của biến đổi Fourier là không có tính cục bộ do đó không hiệu quả trong việc tách các đặc trưng quan trọng của ảnh như điểm đặc trưng, tức các điểm ảnh có sự khác biệt so với các điểm ảnh lân cận. Trong khi đó, các nghiên cứu về nhận thức của con người cho thấy chúng ta có khả năng xác định các đặc trưng rất hiệu quả. Biến đổi wavelet giải quyết nhược điểm của biến đổi Fourier bằng cách phân tích ảnh ở các các độ phân giải khác nhau. Nhờ đó, biến đổi wavelet là một công cụ hữu hiệu trong biểu diễn ảnh và nén ảnh. Hình 1.5 biểu diễn biến đổi wavelet đối với ảnh ở các độ phân giải khác nhau. Tại mỗi độ phân giải, biến đổi wavelet cho 2 thành phần: chi tiết và xấp xỉ của ảnh. Các bài toán xử lý ảnh khai thác thông tin ở các độ phân giải khác nhau để tạo ra các thuật toán chính xác và ổn định hơn. 11 C C R L T. U D Hình 1.5. Biến đổi wavelet đối với ảnh [6] 1.2.4. Phương pháp dựa trên mô hình ngẫu nhiên Mỗi pixel là giá trị đo lường cường độ sáng đến từ không gian xung quanh. Do đó, các phương pháp dựa trên mô hình ngẫu nhiên sẽ hiệu quả hơn các hướng tiếp cận dựa trên mô hình xác định. Có 2 nguyên nhân dẫn đến bản chất ngẫu nhiên của ảnh: - Ảnh tự nhiên có thể phân chia thành 2 thành phần: thành phần lý tưởng (mang tính chất xác định) và thành phần ngẫu nhiên (ví dụ như nhiễu); - Ảnh tự nhiên có thể được xem như mẫu của một trường ngẫu nhiên. Một số phương pháp ngẫu nhiên để xử lý ảnh bao gồm suy luận Bayes, mô phỏng Monte-Carlo, thuật toán EM (Expectation Maximization),… Trong đó, phương pháp Bayes đóng vai trò nền tảng trong các phương pháp ngẫu nhiên. Gọi là thông tin quan sát được, và là đặc trưng ẩn thuộc . Suy luận Bayes được biểu diễn như sau: 12 | | (1.7) | thường được gọi là mô hình trong đó, là xác suất tiền nghiệm; thông tin, biểu diễn phân bố xác suất của nếu biết . Nếu không có bất kỳ thông tin biết trước về , ta có ̂ | (1.8) được gọi là ước lượng Maximum Likelihood (ML). Tuy nhiên, trong xử lý ảnh, do số chiều không gian của ảnh là lớn nên thông tin biết trước về ảnh là rất quan trọng để đảm bảo thu được kết quả nghiệm ổn định. Khi đó, ta có ước lượng Maximum A Posterior (MAP) như sau: ̂ | | (1.9) Suy luận Bayes nêu trên được sử dụng phổ biến trong nhiều bài toán xử lý ảnh. 1.2.5. Phương pháp biến phân Phương pháp biến phân (variational method) là một lĩnh vực trong toán giải tích, sử dụng biến phân (variation), tức một sự thay đổi nhỏ của hàm, để tìm cực trị của hàm đó. Ở đây, hàm (functional) được định nghĩa là ánh xạ từ tập các hàm đến tập số thực. Hàm thông thường được biểu diễn thông qua tích phân của C C U D R L T. các hàm và đạo hàm của chúng, ví dụ . Hàm dùng để ∫ tìm cực trị của hàm thường là phương trình Euler-Lagrange. Trong ước lượng MAP đã được trình bày ở trên, ta có thể biến đổi thành bài toàn tối thiểu hóa hàm năng lượng sau: [ | ] [ | ] [ ] (1.10) Nếu và thuộc không gian hàm như không gian Sobolev hoặc không gian biến phân chặn (Bounded Variation) thì bài toán sẽ được đưa về hướng tiếp cận của phương pháp biến phân. 1.2.6. Phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng (Partial Differential Equation, viết tắt là PDE) là công cụ hiệu quả để mô hình hóa các quá trình động và cân bằng trong vật lý như quá trình khuếch tán. PDE được ứng dụng rộng rãi trong xử lý ảnh do nhiều bài toán liên quan đến phương pháp biến phân có thể được giải bằng phương trình Euler-Lagrange thường được mô tả dưới dạng phương trình vi phân. 1.2.7. Mối liên hệ giữa các phương pháp Theo như trình bày tóm tắt các phương pháp ở trên, có thể thấy rằng các phương pháp có mối liên hệ với nhau. Hình 1.6 mô tả mối liên hệ giữa các phương pháp. 13 Hình 1.6. Mối liên hệ giữa các phương pháp C C 1.3. Các thuật toán khử nhiễu phổ biến Mục này giới thiệu một số thuật toán khử nhiễu phổ biến, bao gồm bộ lọc trung bình, bộ lọc Gauss, bộ lọc trung vị, bộ lọc Wiener và thuật toán biến phân sử dụng thành phần ổn định hóa Sobolev. 1.3.1. Bộ lọc trung bình Bộ lọc trung bình là bộ lọc tuyến tính, hoạt động như một bộ lọc thông thấp. Bộ lọc trung bình sử dụng cửa sổ là trung bình của các pixel trong cửa sổ. Ví dụ về cửa sổ của bộ lọc trung bình có kích thước như sau [3]: R L T. U D ( ) Để lọc ảnh, ta thực hiện phép chập bộ lọc và ảnh. Giá trị điểm ảnh của ảnh đầu ra là giá trị trung bình của tất cả các điểm ảnh trong cửa sổ lọc. Việc tính toán này khá đơn giản với hai bước gồm tính tổng các thành phần trong cửa sổ lọc và sau đó chia tổng này cho số các phần tử của cửa sổ lọc. 1.3.2. Bộ lọc Gauss Khác với bộ lọc trung bình, các trọng số của các thành phần trong cửa sổ của bộ lọc Gauss thay đổi theo vị trí, được mô tả bởi hàm Gauss [3] với √ là giá trị trung bình; là độ lệch chuẩn. Đồ thị của hàm Gauss được thể hiện ở Hình 1.7. (1.11) 14 Hình 1.7. Hàm Gauss với các giá trị và khác nhau [6] Ví dụ về cửa sổ của bộ lọc Gauss: ( ) C C Có thể thấy rằng, thành phần của cửa sổ xa vị trí trung tâm có giá trị nhỏ hơn. Điều này là hợp lý vì các pixel lân cận pixel trung tâm phải có tầm quan trọng lớn hơn các pixel ở xa. 1.3.3. Bộ lọc trung vị Bộ lọc trung vị là bộ lọc phi tuyến. Hoạt động của bộ lọc trung vị như sau: ta sử dụng một cửa sổ lọc quét qua lần lượt từng điểm ảnh của ảnh đầu vào. Tại mỗi vị trí của cửa sổ, ta sắp xếp các điểm ảnh trong cửa sổ này theo thứ tự; sau đó, gán điểm ảnh có giá trị nằm chính giữa của dãy giá trị điểm ảnh đã được sắp xếp ở trên cho giá trị điểm ảnh đang xét. Mô tả hoạt động của bộ lọc trung vị ở Hình 1.8. R L T. U D Hình 1.8. Bộ lọc trung vị [6] 1.3.4. Bộ lọc Wiener 15 Xem xét ảnh và nhiễu là các đại lượng ngẫu nhiên. Mục tiêu của việc tìm ảnh khử nhiễu là tối thiểu hóa sai số bình phương trung bình giữa ảnh khử nhiễu ước lượng và ảnh nhiễu [3]. Hàm mục tiêu này được biểu diễn như sau ̂) } (1.12) {( với là giá trị trung bình. Giả sử rằng ảnh và nhiễu là độc lập, và cường độ sáng của các pixel trong ảnh ước lượng và ảnh nhiễu phụ thuộc tuyến tính. Từ đó, ta có | ̂ | [ | (1.13) | ] với và – năng lượng phổ của nhiễu và ảnh nhiễu; và – biến đổi Fourier của ảnh nhiễu và hàm gây nhiễu. 1.3.5. Thuật toán khử nhiễu sử dụng thành phần ổn định hóa Sobolev Thuật toán tìm nghiệm ảnh bằng cách tối thiểu hóa hàm năng lượng được xây dựng dựa trên các ràng buộc đối với ảnh khử nhiễu. Gọi là ảnh gốc và là ảnh nhiễu của . Hàm năng lượng có dạng như sau [1] C C U D R L T. ( ∫ ∫ | | ) (1.14) với là gradient của ảnh; là không gian ảnh. 1.4. Mục tiêu nghiên cứu Qua các nghiên cứu tổng quan nêu trên, chúng tôi chọn phương pháp biến phân để giải quyết bài toán khử nhiễu do phương pháp này có mối liên hệ với phương pháp ngẫu nhiên và phương pháp PDE, qua đó ta có thể xây dựng và giải mô hình một cách chặt chẽ dựa trên nền tảng toán học. Mục tiêu nghiên cứu: Nghiên cứu, thực thi và đánh giá thuật toán khử nhiễu ảnh dựa trên phương pháp biến phân. Để thực hiện được mục tiêu này, ta cần giải quyết một số vấn đề sau: - Xây dựng mô hình ảnh khử nhiễu - Giải bài toán tối ưu từ mô hình - Xây dựng thuật toán dưới dạng rời rạc 16 CHƢƠNG 2: THUẬT TOÁN KHỬ NHIỄU ẢNH DỰA TRÊN PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Chương này trình bày hàm năng lượng của bài toán khử nhiễu ảnh dựa trên phương pháp biến phân và phương pháp giải bài toán tối ưu liên quan bằng thuật toán Gradient Descent. 2.1. Hàm năng lƣợng Xét bài toán khử nhiễu ảnh với nhiễu Gauss. Theo phương pháp biến phân, trước tiên, ta cần xây dựng hàm năng lượng từ bài toán đặt ra để mô hình hóa ảnh khử nhiễu. Một trong các hướng tiếp cận để xây dựng hàm năng lượng là dựa trên Suy luận Bayes (Bayesian inference). Gọi là ảnh gốc và là ảnh bị nhiễu. Phân bố xác suất hợp của và được viết như sau: | | (2.1) Từ đây, ta có thể suy ra mối quan hệ giữa 2 phân bố xác suất điều kiện | và | như sau: | (2.2) | C C R L T. biểu thức này được gọi là Định lý Bayes, trong đó | được gọi là xác suất hậu nghiệm của nếu biết ; là xác suất tiền nghiệm của , tức thông tin | là xác biết trước về và được gọi là prior; là xác suất biên của ; suất của nếu biết và được gọi là likelihood (tạm dịch là khả năng). Phương pháp Maximum A Posteriori (MAP) ước lượng như là mode của xác suất hậu nghiệm | : ̂ | (2.3) Áp dụng Định lý Bayes, ta có: | (2.4) ̂ | U D Vì mẫu số của biểu thức trên không phụ thuộc vào nên | ̂ (2.5) Như vậy, phương pháp MAP ước lượng bằng cách tối đa hóa tích giữa khả năng và xác suất tiền nghiệm theo biến . Giả sử rằng ảnh và có cùng kích thước gồm pixel. Đối với mỗi pixel , cường độ sáng được mô hình bằng cường độ sáng gốc cộng với nhiễu Gauss. (2.6) trong đó, là nhiễu Gauss với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn . 17 | Như vậy, xác suất được biểu diễn như sau: | (2.7) √ Giả sử rằng nhiễu trên các pixel là độc lập, tức nhiễu của các pixel không | đối với toàn bộ các pixel phụ thuộc lẫn nhau. Từ đó, ta thu được xác suất | | ∏ | ∏ ∏ (2.8) Đối với xác suất tiền nghiệm , giả sử rằng xác suất thỏa mãn thuộc tính Markov, tức chỉ phụ thuộc vào các pixel lân cận. Từ đó, ta có thể biểu diễn như sau: | (2.9) | ∏ C C Xác suất tiền nghiệm đặc trưng cho thông tin biết trước về ảnh gốc . Nhận định rằng, ảnh tự nhiên có thể được mô hình hóa bởi các vùng có cường độ sáng đồng nhất được giới hạn bởi các đường biên (edge). Do đó, ta có thể sử dụng thông tin biết trước về ảnh gốc là tính mượt của ảnh được thể hiện thông qua sự biến thiên cường độ sáng của các pixel lân cận [4] R L T. U D | ∏ Kết hợp khả năng | nghiệm | | | ∏ (2.10) | và xác suất tiền nghiệm ∏ ∏ | , ta có xác suất hậu (2.11) | | , ta có thể tối thiểu hóa hàm Thay vì tối đa hóa phân bố xác suất logarithm với dấu âm của xác suất này do hàm logarithm là hàm đơn điệu. Như vậy, ta thu được hàm năng lượng như sau | ∑ | | ∑| | (2.12) Bài toán khử nhiễu được quy về bài toán tối ưu hóa hàm năng lượng theo ̂ (∑ | | ∑| |) (2.13)