Tài liệu nghiên cứu sư tương tác giữa trường với nguyên tử hai mức

Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA SAU ĐẠI HỌC BÀI TIỂU LUẬN QUANG HỌC PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỰ TƯƠNG TÁC GIỮA TRƯỜNG VỚI NGUYÊN TỬ HAI MỨC Giảng viên hương dẫn : PGS.TS Đinh Xuân Khoa Học viên thực hiện : Hoàng Công Viêng Lớp : Cao học 18 – Quang học Vinh, 12/2011 Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 0 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến MỤC LỤC Mục lục...............................................................................................................1 Mở đầu...............................................................................................................2 I. Hamilton tương tác giữa trường và nguyên tử...........................................3 II. Phương trình Blog quang học.....................................................................5 1. Tiến triển của toán tử mật độ của một hệ không phân rã............................5 2. Tiến triển cho toán tử mật độ của một hệ có phân rã..................................5 a) Các quá trình phân rã............................................................................5 b) Phương trình Blog quang học................................................................6 III. Phổ hấp thụ: độ bão hòa và mở rộng công suất.......................................8 1. Độ bão hòa..................................................................................................8 2. Mở rộng công suất......................................................................................10 IV. Lan truyền trường, độ cảm, chiết suất và hệ số hấp thụ.........................12 1. Phương trình lan truyền trường trong gần đúng hàm bao biến đổi chậm 12 2. Độ cảm, chiết suất, và hệ số hấp thụ 13 Kết luận chung...................................................................................................16 Tài liệu tham khảo............................................................................................17 Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 1 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, tương tác của nguyên tử với trường điện từ là một trong những vấn đề cơ bản nhất của quang học lượng tử. Lý thuyết về tương tác này, có thể chia làm 4 loại sau đây (theo lịch sử phát triển): - Lý thuyết tương tác thuần tuý cổ điển (gọi tắt là lý thuyết cổ điển): Là lý thuyết tương tác trong đó, trường điện từ là trường cổ điển còn nguyên tử của môi trường là một nguyên tử cổ điển. - Lý thuyết tương tác bán cổ điển (gọi tắt là lý thuyết bán cổ điển): Là lý thuyết tương tác trong đó, trường điện từ vẫn là trường cổ điển còn nguyên tử của môi trường là một nguyên tử lượng tử. - Lý thuyết tương tác bán lượng tử (gọi tắt là lý thuyết bán lượng tử): Là lý thuyết tương tác trong đó, trường điện từ đã được lượng tử hoá, còn nguyên tử của môi trường vẫn là một nguyên tử cổ điển. - Lý thuyết thuần tuý lượng tử (gọi tắt là lý thuyết lượng tử): Là lý thuyết tương tác trong đó, trường điện từ đã được lượng tử hoá, còn nguyên tử của môi trường là một nguyên tử lượng tử, tức là một nguyên tử. Trong đó : +) Trường cổ điển là trường trong đó sự biến đổi theo thời gian và không gian của các véctơ trường được mô tả thông qua các phương trình Maxwell. +) Trường điện từ đã được lượng tử hoá là trường trong đó các véc tơ trường được biểu diễn thông qua các toán tử. +) Nguyên tử của môi trường là một nguyên tử cổ điển là một nguyên tử có quy luật vận động của các điện tử được mô tả thông qua các định luật Niu tơn. +) Nguyên tử của môi trường là một nguyên tử lượng tử là một nguyên tử có các mức năng lượng của nguyên tử đã được lượng tử hoá và quy luật vận động của các điện tử trong đó mô tả thông qua các hàm sóng de Broglie, thoả mãn phương trình Schrodinger. Ở đây ta chỉ khảo sát lương tác giữa trường và nguyên tử hai mức theo quan điển của lý thuyết bán cổ điển. Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 2 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến NỘI DUNG I. Hamilton tương tác của trường và nguyên tử Ở đây để mô tả sự tương tác của trường với hệ nguyên tử ta dùng lý thuyết bán cổ điển, tức là hệ nguyên tử là một hệ lượng tử (hệ mà trong đó các mức năng lượng của hệ đã được lượng tử hoá), còn trường điện từ vẫn được xem là trường cổ điển. Và được biểu diễn bằng phương trình cho ma trận mật độ:  i   , H  t  Trong đó: (1) H H 0  H I là Hamilton toàn phần. H0 là Hamilton tự do của hệ nguyên tử khi không có trường. HI là Hamilton tương tác biểu diễn tương tác của hệ với trường.   là toán tử ma trận mật độ :   11   21 12   22  Bây giờ ta khảo sát tương tác của trường điện từ cổ điển với tần số  , còn nguyên tử của môi trường đã được lượng tử hoá. Nguyên tử này có nhiều mức năng lượng. Tuy nhiên, để 2   khảo sát một cách định lượng các hiệu ứng, chúng ta phải sử dụng một sự gần đúng, đó là giả thiết nguyên tử chỉ có hai mức năng lượng 1 Hình 1: Nguyên tử hai mức tương tác với trường ánh sáng với tần số chuyển mức là 21  E2  E1 (Hình 1)  - Hamilton tự do có dạng : H 0  i i i 1 1 1  2 2 2 (2) i 0   1   0  2  Ma trận: H 0  (3) - Haminton tương tác giữa trường với hệ  H I   E   ij Eij  i ij j  j i  Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học (4) 3 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến   với  là mômen lưỡng cực, E là cường độ trường laser. và 12 21  ta được: H I   E  1 2  2 1  Điện trường dưới dạng: E  E cos t  0 Đưa ra các tần số Rabi phức:    Chúng ta thu được: HI  (5) E 0  it e  e it 2   (6) E0  (7)   1 2  2 1  e  i t  e i t 2   (8) i  Trong gần đúng sóng quay: toán tử   2 1 e 2 1 e it và Trong khi đó, 1 2 e  it 2 1 e  it 21t và. Do đó, thành phần thay đổi nhanh theo e i  21   t và e  i  21   t , tương ứng. và 1 thay đổi chậm theo e i  21    t và e  i  21    t 2 e  it tương ứng. Chúng ta bỏ qua thành phần quay nhanh 2 1 e it và 1 2 e  it . Kết quả là HI  Ma trận:   2 1 e  it  1 2 e it    e  it  e it 2 2   0  H I    e  it  2    (9)  it  e  2  0   Ta được Hamilton toàn phần:   1 H    e  it  2 Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học (10)  it  e  2   2   (11) 4 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến II. Phương trình Bloch quang học 1. Tiến triển của toán tử mật độ của một hệ không phân rã Toán tử mật độ ρ của nguyên tử tuân theo phương trình  i   , H  t   mn  (12) i   , H  mn  (13) Ở đây ta sử dụng các phép tính bằng ma trận:   , H   H   1 12     22     it e  2  H    11   21   12 e  it   21eit  2     e  it         11 22 21 21  2    it    it  e   1 e   11 2 2       it  2   e 2   21   2   it  e  11   22   21 12  2    it it   12 e   21e 2   12   22   Ta thu được các hệ phương trình:  11  i 12 e it  21eit 2  12  i it e  11  22   i21 12 2    21  i  it e  11   22   i21 21 2  22  i 12 e it  21eit 2  (14)  2. Tiến triển cho toán tử mật độ của một hệ có phân rã a) Các quá trình phân rã Lý thuyết cơ sở của sự phát xạ và hấp thụ trong nguyên tử bao gồm các cơ chế mở rộng vạch phổ. Độ rộng vạch phổ sinh ra từ quá trình phát xạ tự phát bằng độ rộng vạch do phát xạ. Sự phân rã của nguyên tử có nhiều nguyên nhân tuy nhiên ta chỉ xét hai nguyên nhân chính gây ra phân rã của nguyên tử từ trạng thái có mức năng lượng cao xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn. Đó là quá trình phân rã do phát xạ tự phát và quá trình phân rã do va chạm.  Quá trình phân rã do phát xạ tự phát Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 5 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến Phát xạ tự phát là quá trình các nguyên tử đang ở trạng thái có mức năng lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn. Xét một phát xạ tự phát từ mức 2 xuống mức 1 tốc độ phân rã tự phát  chính bằng hệ số Einstein A21 của dịch chuyển tự phát 2  1 và được cho bởi 3 2 21    21  , với  e 2 r 1 là mômen lưỡng cực của nguyên tử. 3 3 0 c  Phân rã do va chạm Sự mở rộng vạch phổ phụ thuộc nhiều vào các điều kiện vật lý của các nguyên tử. Các hiệu ứng trội có kết quả từ sự chuyển động của nguyên tử là sự mở rộng do va chạm. Khi xét đến quá trình va chạm, hàm sóng của nguyên tử có dạng rất phức tạp, các mức năng lượng của nguyên tử sẽ thay đổi bởi các tương tác giữa hai nguyên tử khi chúng va chạm với nhau và hàm sóng sẽ trở thành tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng nguyên tử không nhiễu loạn. Nếu khoảng thời gian va chạm đủ ngắn, ta có thể bỏ qua sự hấp thụ hoặc phát xạ ánh sáng xẩy ra trong quá trình va chạm. Sự va chạm ảnh hưởng tới quá trình quang học theo sự thay đổi trong các trạng thái lượng tử, kết quả là nguyên tử thay đổi từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác, từ trạng thái này sang trạng thái khác. Hiệu ứng do chúng tạo ra được mô tả bởi tốc độ phân rã được thêm vào mật độ cư trú ở các mức của nguyên tử. Trong va chạm đàn hồi, gọi tốc độ phân rã là coll , đại lượng này được biểu thị theo tốc độ va 1 chạm 1 /  0 : coll  . (15) 0 Như vậy  21  coll là tốc độ phân rã do cả hai quá trình phát xạ và quá trình va chạm gây ra cho hệ nguyên tử. Với các nguyên tử ở nhiệt độ thấp thì tốc độ phân rã do va chạm có thể được bỏ qua. b) Phương trình Blog quang học Bây giờ ta đưa vào quá trình phát xạ tự phát của nguyên tử vào phương trình. Trong trường hợp này, trạng thái của các nguyên tử được mô tả bởi một toán tử mật độ suy giảm ρ và ta thêm vào phương trình thành phần phân rã, mà được cho bởi phương trình Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 6 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến d i    , H    dt   mn  (16) i   , H  mn     mn  (17) - Trong đó thành phần phân rã:   21  L21   21   21 12   2 12  21   21 12  2 2 (18) với  mn  m n (m, n = 1, 2) Biểu diễn bằng ma trận:   21  22      21   2 21 21  12  2   21  22    (19) Ta thêm vào các biểu thức (62) các thành phần phân rã  11  i 12 e it  21eit  21  22 2  12   i it e  11  22   i21 12  21 12 2 2    21   i  it e  11   22   i21  21  21  21 2 2  22  i 12 e it  21eit  21 22 2  (20)  Ta gọi    21 là độ lệch tần của trường. Đây là thuận lợi để sử dụng một biến mới  21   21eit Sử dụng biến này, chúng ta có được  11 21  22  i  12   21  2  22  21  22  (21) i  12   21  2 (22)   i   21   i  21   21   11   22  2  2  (23) Các phương trình trên được gọi là phương trình Bloch quang học cho các nguyên tử hai mức. Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 7 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến III. Phổ hấp thụ: độ bão hòa và mở rộng công suất 1. Độ bão hòa Ta đưa vào hiệu độ cư trú w   22  11 (24) và sự kết hợp quang học c   21 (25) Sử dụng 11  22 1 ta có thể viết lại các công thức (21), (22) và (23)   21  w+1  i c*  c w   (26)   i   c   i   21  c  w 2  2  (27) Ta xét các cơ chế đoạn nhiệt với: Ta được: dw d c  0 dt dt (28)  21 w  i  c*   c 21 (29)   i    i  21  c  w 2  2  (30)   Nghiệm cho các phương trình trên là w  và 1 1 s (31) i 2 c  21    i  2   1  s    (32) Với s là tham số bão hòa và được cho bởi s  2 / 2 i  21 2 2 s0 2 / 2  2  2   21 / 4 1   2 / 21  2 (33) mà s0 là tham số bão hòa vào cộng hưởng và được định nghĩa là 2 2 s0  2 21 (34) Đối với độ bão hòa thấp s 1 , cư trú chủ yếu ở trạng thái cơ bản. Đối với độ bão hòa cao s 1 , cư trú phân bố gần như đều giữa trạng thái cơ bản và kích thích ( w  0 và 11 ,  22  1 / 2 ) I Tham số s0 này có thể được viết dưới dạng khác s0  I s Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 8 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến c 0 E02 là cường độ laser 2 Với I và 2 c 0  2 21 Is  là cường độ bão hòa 2 2 2 (35) (36) 3 2 21  Ta có 21  , ta có thể thu được: 3 0 c3 Is   hc21  hc  3 03 0  (37) với  1 / 21 là thời gian sống của các trạng thái kích thích và 0 là bước sóng cộng hưởng nguyên tử. Mật độ của các trạng thái kích thích được cho bởi  22  s0 / 2 1 s  1 w   2 2  1  s  1  s0   2 / 21  2 (38) Vì mật độ trong trạng thái kích thích phân rã với một tốc độ 21 , tốc độ tán sắc toàn phần scatt của ánh sáng từ các trường laser được cho bởi s0 21 / 2 scatt  2 1  s0   2 / 21  (39) Lưu ý rằng, ở cường độ cao, scatt đạt bão hòa đến 21 /2. Phương trình (83) có thể được viết lại như s 21 / 2 scatt  0 1  s0 1   2 /   2 (40) với   21 1  s0 Sự phụ thuộc của tốc độ phân tán scatt vào độ lệch tần  được thể hiện trong hình 2 cho một số giá trị của tham số bão hòa s0 . Sự phụ thuộc này mô tả phổ hấp thụ. Độ rộng của công tua phổ đặc trưng bởi   . Lưu ý rằng của chiều rộng   tăng với sự tăng cường độ của trường này. Hiện tượng này được gọi là sự mở rộng công suất của công tua phổ. Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 9 Tốc độ tán xạ γscatt/γ21 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến Hình 2: Tốc độ tán xạ như là hàm của độ lệch tần cho một số giá trị của Độ lệch tần 2. Mở rộng công suất Mở rộng công suất là một kết quả trực tiếp của thực tế cho s0 lớn, hấp thụ tiếp tục tăng với sự tăng của cường độ ở rìa, trong khi đó, ở trung tâm, một nửa của các nguyên tử đã ở trong các trạng thái kích thích. Sự hấp thụ ở tâm là bão hòa, trong khi ở rìa là không bão hòa. Các kết quả tán sắc trong sự giảm cường độ khi chùm tia đi qua một mẫu gồm các nguyên tử. Lượng công suất tán sắc trên một đơn vị thể tích là nscatt , với n là mật độ nguyên tử. Vì vậy, ta có n  21 / 2   I / I s  s0 21 / 2 dI  nscatt  n  2 2 dt 1  s0   2 / 21  1  s0   2 / 21  (41) n I   I Với σ là tiết diện tán sắc và α = nσ là hệ số hấp thụ. Các hệ số được cho bởi    2 d x2  1   n   0 c21  1  s0   2 / 21  2 Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học (42) 10 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến Khi ta sử dụng biểu thức I s   c 0  2 212  hc21  , ta có thể viết lại 2 2 2 03 02 1 2 1  s0   2 / 21  2 (43) Đối với cường độ thấp s0 1 , ta có   02 1 2 1   2 / 21  2 (44) Trong trường hợp này, hệ số hấp thụ α độc lập với cường độ trường I. Vì vậy,  z nghiệm cho cường độ trường là I  z   I 0 e 2  Tại cộng hưởng (  21 ), tiết diện  trong () được rút gọn   0 (45) 2 Trong trường hợp với I  I s , hệ số hấp thụ của dần tới không. Điều này không có nghĩa là sự hấp thụ triệt tiêu. Thật vậy, trong giới hạn I  I s , ta có  I  n21 / 2 Do đó, biểu thức (86) mang lại (46) dI   I  n  21 / 2  dz (47) Nghiệm của phương trình trên là: I  I  0   n  21 / 2  z (48) Theo phương trình trên, cường độ trường sẽ giảm tuyến tính với sự tăng của chiều dài lan truyền. Tuy nhiên, cường độ trường I trở nên nhỏ như cường độ bão hòa Is, cường độ trường I sẽ giảm theo hàm mũ với sự tăng của chiều dài lan truyền z. Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 11 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến IV. Lan truyền trường, độ cảm, chiết suất và hệ số hấp thụ 1. Phương trình lan truyền trường trong gần đúng hàm bao biến đổi chậm Ta đi nghiên cứu sự lan truyền của trường dọc theo hướng z. Phương trình sóng một chiều được cho:  2 2   2 c 2 t 2  z  2 1 2 E   P  P  0 t 2  0 c 2 t 2  (49) với P là độ phân cực. Trường là sóng phẳng lan truyền dưới dạng : 1 E   E0 e i t  kz   E0* ei  t  kz   2 (50a) 1 P   P0 e  i t  kz   P0* ei t  kz   2 (50b) Ta đưa vào biến số mới   z ,  t  z / c . Ta được : 1 E   E0 e i  E0* ei  2 (51a) 1 P   P0 e  i  P0* ei  2 (51b) Ta cũng có :        ,  . Ta được : z  c t  2 2 2 2 2 2 2     , z 2  2 c  c 2  2 t 2  2 (52) Thế (51a), (51b) và (52) vào (49):  2 2 2 2  1 e  i  2   2 2  E0  c.c e  i c  c    0 c2    2     2  P0  c.c (53)  2  2i     Phương trình trên sẽ thỏa mãn nếu :  2 2 2 2    2 c  c 2  2    1  E0  2 0c   2     2  P0  2  2i     (54) Ta giả sử rằng hàm bao E0 và P0 biến đổi chậm trong không gian. Khi ta chỉ giữ bậc biến đổi thấp nhất cho mỗi vế phương trình (54), ta được : Hay  i E0  P0  2 0 c (55)  i E0  P0 z 2 0 c (56) Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 12 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến Phương trình (55) và phương tình tương đương (56) được gọi là phương trình lan truyền cho trường trong gần đúng hàm bao biến đổi chậm. 2. Độ cảm, chiết suất, và hệ số hấp thụ Ta có : P0  0  E0 (57) với  là độ cảm. Ta viết    R  i  I (58) với  R và  I là phần thực và phần ảo của độ cảm. Phương trình (56) trở thành :  i  E0    R  i  I  E0   i  R   I  E0 z 2c 2c (59) Phần thực  R xác định sự thay đổi của số sóng của trường, trong khi phần ảo  I xác định sự hấp thụ. Chiết suẩ của môi trường được xác định bởi nref 1  R 2 (60) trong khi hệ số hấp thụ được xác định bởi    I c (61) Ta có thể viết lại phương trình (59) như :    E0  ik  nref  1   E0 z 2  (62) Với cường độ thấp, ta có thể bỏ qua sự phụ thuộc của nref và  vào cường độ. Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình (62) cho hàm bao trường E0 là E0 Ae ik  nref  1 z   z /2 e i Khi ta sử dụng biểu diễn A  A e và công thức (50a), ta được E  A e   z /2 cos( t  knref z   ) (63) Biểu thức (63) giải thích vì sao nref gọi là chiết suất và  là hệ số hấp thụ. Bây giờ ta tính  , nref và  . Đô phân cực của nguyên tử hai mức là P    11   22  . Ở đây ta giả sử đơn giản  là tham số thực. Cho một môi trường với mật độ nguyên tử n, mật độ phân cực của môi trường được cho bởi P n   11   22  n  c e  i   c*e i   (64) Hàm bao của độ phân cực là P0 2nc (65) Thế (32) vào phương trình (65) mang lại Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 13 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến i n 2 2 P0 2n i 21     i  2   1  s    E0 21    i  2   1  s    (66) 21 P0 n 1 4n  2 i Do đó ta có:    E i    2 2      21 0 0 0 0 21 1  s0   i  / 21  i   1  s    2   2 Ta được: 2 i  (67) 4n  2  2  0 21 1  s0   i  / 21  2 (68) 2n  2 1 R   0 21 1  s0   i  / 21  2 (69) I  Và ta cũng được: nref  4n  2  n03  / 21  1   1  2  2 4 1  s0   i / 21  2   0 21  1  s0   i  / 21  (70)  2n 2  n02 1 1     2 2 1  s0   i  / 21  2   0 c21  1  s0   i / 21  Độ cảm χ [đơn vị bất kì] (71) Hình 3: Phần thực và phần ảo của độ cảm như là hàm của Rđộ lệch tần chuẩn hóa I của trường cho tham số bão hòa . Độ lêch tần Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 14 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến 2 213  Ở đây ta sử dụng biểu thức 21  và gần đúng  21 . Biểu thức (71) là phù 3 0 c3 hợp với biểu thức (43). Lưu ý rằng nref và  phụ thuộc vào cường độ trường qua tham số bão hòa s0 . Theo biểu thức (60) và (61), phần thực  R và phần ảo  I của độ cảm xác định chiết suất nref và hệ số hấp thụ  . Hình trên biểu diễn rằng  R là lớn trong vùng  / 21 1 . Tuy nhiên trong vùng này  I cũng lớn. Như vậy trong môi trường của nguyên tử hai mức, một chiết suất cao là kèm theo độ tán sắc lớn. Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 15 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến KẾT LUẬN Tiểu luận đã trình bày được sự tương tác giữa trường ánh sáng với nguyên tử hai mức dựa vào lý thuyết bán cổ điển. Tức là, trường được xem là cổ điển (các thành phần vectơ trường được biểu diễn bằng các phương trình Maxwell) còn nguyên tử là lượng tử (các mức năng lượng của nguyên tử đã được lượng tử hóa và quy luật thay đổi của điện tử được mô tả bằng phương trình Schrodinger). Cụ thể, là đã dẫn ra được biểu thức của toán tử hamilton của hệ trong sự tương tác của trường với nguyên tử hai mức. Và từ đó dựa vào phương trình ma trận mật độ đưa ra được phương trình Blog quang học, Phổ hấp thụ (độ bão hòa và mở rộng công suất), đồng thời cũng nêu được sự lan truyền của trường, độ cảm, chiết suất và hệ số hấp thụ… Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa trong việc hiểu về sự tương tác của trường với nguyên tử trong trường hợp đơn giản nhất là hệ nguyên tử hai mức. Từ những kết quả này ta có thể mở rộng nghiên cứu về: tương tác giữa trường và hệ nguyên tử ba mức, bốn mức; các hiệu ứng như hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ, hiệu ứng phi tuyến Kerr… Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 16 Tiểu luận: Cơ sở quang học phi tuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] GS. Cao Long Vân, PGS. TS. Đinh Xuân Khoa, Cơ sở quang học phi tuyến, Đại học Vinh. [2] PGS. TS. Nguyễn Huy Công, TS. Nguyễn Huy Bằng (2011), Quang lượng tử, Đại học Vinh. [3] Fam Le Kien and K. Hakuta (2008), Density operator and applications in nonlinear optics, Department of Applied Physics and Chemistry, University of Electro-Communications, Chofu, Tokyo 182-8585, Japan. [4] John Weiner (2003), Light-matter interaction, Laboratoire de Collisions, Agregats et Reactivite Universite Paul Sabatier.. [5] W. Demontröder (2003), Laser Spectroscopy, Springer, Berlin. Hoàng Công Viêng – CH 18-Quang học 17