Tài liệu Nghiên cứu mô hình hóa và điều khiển vị trí banh trong ống

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -------------------- TRẦN TRUNG LÊ NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN VỊ TRÍ BANH TRONG ỐNG Chuyên ngành : Kỹ Thuật Cơ Điện Tử LUẬN VĂN THẠC SĨ TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học : ............................................................................ (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 1 : .................................................................................. (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 2 : .................................................................................. (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM ngày . . . . . tháng . . . . năm . . . . . Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1. ...................................................................... 2. ...................................................................... 3. ...................................................................... 4. ...................................................................... 5. ...................................................................... Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có). CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƢỞNG KHOA CƠ KHÍ LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy Nguyễn Tấn Tiến. Trong suốt thời gian qua thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành tốt luận văn này. Tôi chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô đã phụ trách giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức về chuyên môn cũng như những kinh nghiệm thực tiễn trong thời gian tôi học tập tại trường Đại Học Bách Khoa. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài. Trong khi thực hiện đề tài, tôi đã cố gắng tích lũy kiến thức mình đã học và tham khảo các tài liệu có liên quan đến chuyên môn để nhằm đạt được kết quả tốt. Tuy nhiên do thời gian và trình độ còn có phần hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót kính mong qúy thầy cô cùng các bạn đọc đóng góp thêm ý kiến để đề tài của tôi ngày càng được hoàn thiện hơn. Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng Trần Trung Lê năm 2014. TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong vấn đề điều khiển động lực học hệ phi tuyến, tính ổn định, tính chính xác, tính bền vững và các chi phí cho việc lựa chọn phương pháp điều khiển là rất quan trọng. Để đạt mục đích này, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu đề ra các phương pháp liên quan đến hệ phi tuyến như điều khiển trượt, điều khiển mờ, … Trong nghiên cứu này tác giả ứng dụng các thuật toán điều khiển phi tuyến vào một mô hình cụ thể nhằm phục vụ công tác giảng dạy. Mô hình thí nghiệm banh trong ống “Ball in tube” được chọn để nghiên cứu trong luận văn này bởi đó là hệ thống phi tuyến điển hình và điều khiển sự ổn định của nó là cách thức giúp ta tìm hiểu rõ về các phương pháp điều khiển một đối tượng phi tuyến. Một bộ điều khiển PID thông thường hay một bộ điều khiển hồi tiếp thường được sử dụng để làm cho hệ thống ổn định. Những bộ điều khiển nêu trên có thể đạt được sự ổn định tốt nhất nếu thông số bộ điều khiển là tối ưu, nhưng trên thực tế việc xác định các thông số này khá là tốn kém thời gian điều này làm chúng ta không đạt được kết quả tốt. Hơn thế nữa khi mà việc bám theo tín hiệu đặt, loại bỏ nhiễu và ổn định bền vững liên quan đến tất cả các thông số hiệu chỉnh, thì khó có thể điều chỉnh cùng lúc được. Trong những năm gần đây phát triển mạnh trong lĩnh vực điều khiển thông minh có nhiều phương pháp giúp ta chỉnh định các thông số của bộ điều khiển PID tuy nhiên đáp ứng hệ thống đạt một mức độ nhất định. Trong đề tài này sẽ đề cập đến 2 cách thức điều khiển, đó là điều khiển PID kinh điển theo Ziegler – Nichols và điều khiền mờ thích nghi PID (Fuzzy Adaptive PID controller). Bộ điều khiền mờ thích nghi PID có nhiều ưu thế trong việc thiết kế hệ thống điều khiển với khả năng tự chỉnh định lại các tham số của bộ điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng chưa biết rõ đã đưa hệ thích nghi trở thành một hệ điều khiển thông minh. ABSTRACT In control problems nonlinear system dynamics, stability, accuracy, sustainability and cost of selected control method is very important. To achieve this purpose, there are many research works proposed methods involving nonlinear systems such as sliding mode control, fuzzy control, ... In this study, the authors applied the nonlinear control algorithms on a specific model to serve the teaching. Model experiments ball in tube was selected for study in this paper because it is a typical nonlinear system control and stability of it is to find ways to help us understand the method control a nonlinear. A conventional PID controller and a feedback controller is usually used to make the system stable. The above controller can achieve the best stable if the controller parameters are optimized, but in fact the determination of these parameters is quite expensive this time we don’t achieve good results. Moreover, when the reset signal followed, eliminating noise and sustainable stability related to all calibration parameters, it is difficult to adjust at the same time. In recent years developed in the field of intelligent control methods can help to adjust the parameters of the PID controller response system however reaches a certain level. In this thesis, a kind of PID controller according to Ziegler Nichols and Fuzzy Adaptive PID controller. Ministry of Fuzzy Adaptive PID controller has many advantages in the design of control systems with the ability to manually adjust the parameters of the controller to suit the unknown object was put into an adaptive system intelligent control system. LỜI CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ Tôi cam đoan toàn bộ nội dung trong luận văn do tôi làm theo định hướng của giáo viên hướng dẫn, không sao chép của người khác. Các phần trích lục các tài liệu tham khảo đã được chỉ ra trong luận văn. Nếu có gì sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm. Tác giả luận văn Trần Trung Lê MỤC LỤC Chương 1: Tổng quan .................................................................................................. 1 1.1 Tổng quan và tình hình nghiên cứu trong, ngoài nước ................................... 1 1.1.1 Trên thế giới........................................................................................... 1 1.1.2 Trong nước ............................................................................................ 5 1.2 Hướng nghiên cứu chính của luận văn. .......................................................... 5 1.2.1 Bài toán.................................................................................................. 5 1.2.2 Hướng giải quyết bài toán ...................................................................... 5 Chương 2: Mô hình hóa ............................................................................................... 6 2.1 Mô hình “ball in tube”. ................................................................................. 6 2.2 Thiết lập mô hình toán cho khối chức năng “Motor DC and fan”. ................. 7 2.3 Thiết lập mô hình toán cho khối chức năng “air”. .......................................... 9 2.4 Thiết lập mô hình toán cho đối tượng “ball in tube”. ................................... 12 2.5 Xây dựng mô hình toán tổng thể cho hệ thống “ball in tube”. ...................... 13 Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển .............................................................................. 14 3.1 Bộ điều khiển PID. ..................................................................................... 14 3.2 Bộ điều khiển mờ thích nghi PID (Fuzzy Adaptive PID controller). ........... 23 Chương 4: Kết quả mô phỏng và thực nghiệm ........................................................... 28 4.1 Mô hình thực nghiệm “Ball in tube” ........................................................... 28 4.1.1 Sơ đồ khối hệ “Ball in tube” ................................................................. 28 4.1.2 Xây dựng Sơ đồ Simulink điều khiển thời gian thực hệ “Ball in tube” . 30 4.2 Kết quả mô phỏng. ..................................................................................... 31 4.2.1 Kết quả thực tế hệ thống điều khiển PID – ZN2 ................................... 31 4.2.2 Kết quả thực tế hệ thống điều khiển Fuzzy Adaptive PID controller ..... 34 Chương 5: Kết luận ................................................................................................... 37 Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 38 Phụ lục ...................................................................................................................... 39 1 CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan và tình hình nghiên cứu trong, ngoài nƣớc: Hiện nay để tìm hiểu về một đối tượng phi tuyến cũng như áp dụng một thuật toán điều khiển lên trên đối tượng thì chúng ta cần phải có một mô hình mô phỏng giúp chúng ta thực hiện các phép thử cũng như kiểm tra chất lượng điều khiển. Đề tài luận văn này là xây dựng một mô hình thí nghiệm gọi là banh trong ống “Ball in tube”, đây là một đối tượng phi tuyến điển hình phục vụ công tác học tập nghiên cứu. 1.1.1 Trên thế giới Trên thế giới một số mô hình thí nghiệm “Ball in tube” đã được phục vụ cho công tác nghiên cứu giảng dạy và ứng dụng nguyên lý tương tự vào thực tế.  Giáo sƣ M. Morari, J.Lygeros – Thí nghiệm “air ball”- Phòng thí nghiệm tự động – Trƣờng đại học Zürich, Thụy Sĩ Trong thí nghiệm này chiều cao của một quả banh bay lơ lững trong ống được điều khiển thông qua cái quạt đặt ở bên dưới của ống và quạt sẽ đẩy khí từ dưới đi lên, tốc độ của quạt được điều khiển để thay đổi vận tốc của dòng khí, gây ra một sự thay đổi chiều cao của quả banh.Thiết kế một bộ điều khiển PID bám theo quỹ đạo tham chiếu của banh và loại bỏ sự không ổn định. Bài thí nghiệm này sẽ học được những điều cơ bản của điều khiển PID và hiểu được tác dụng của bộ điều khiển tỷ lệ 2  Alvaro E. Gil, Nicanor Quijano, and Kevin M. Passino - Thí nghiệm “Balls in tubes” - Khoa Điện và Kỹ thuật Máy tính – Đại học Tiểu bang Ohio, Hoa Kỳ Thí nghiệm này được thiết kế cho giải pháp phân bổ nguồn tài nguyên động. Dưới đây, chúng tôi mô tả các yếu tố của cuộc thử nghiệm, làm thế nào để giao tiếp các cảm biến và truyền dữ liệu tới dSPACE card. Hình 1.2 cho thấy các thí nghiệm banh-trong-ống. Có bốn ống, mỗi ống có một quả banh bên trong, một cái quạt ở phía dưới để nâng banh và một cảm biến ở phía trên để đo chiều cao của quả banh. Đối với mỗi ống có một hộp bịt kín quạt, đầu ra ở trên cùng của các ống có một lối thoát khí. Mục tiêu nghiên cứu trong thí nghiệm này là kiểm soát các qủa banh cân bằng trong ống. Cố gắng phân bổ áp suất không khí để giữ tất cả các quả banh tại các vị trí cố định hoặc khác nhau, thống nhất chiều cao tối đa. Có hai bộ điều khiển được thảo luận trong thí nghiệm này: - Bộ điều khiển thông thường có thể được thiết kế để giữ quả banh bên trong mỗi ống ở độ cao mong muốn. Đối với trường hợp này, trong Simulink chúng ta cần phải xác định chiều cao mong muốn cho từng ống, có sự khác biệt giữa chiều cao mong muốn và thực tế, giá trị này sẽ là đầu vào của các bộ điều khiển. Đầu vào khác có thể thiết kế một bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân hoặc tỷ lệ-vi phân. 3 - Cân bằng các quả banh xung quanh một chiều cao nhất định. Mục tiêu này có thể đạt được bằng cách điều khiển vận tốc quạt thông qua phương pháp PWM để nâng cao quả banh.  Levitating Ball using a Fuzzy Control System - By Mark Bowers and Muawea Rawashdeh - Oakland University Một quả bóng ping- pong đặt trong ống, phía dưới ống là quạt DC một sử dụng để đẩy không khí vào ống tạo nâng lực quả bóng. Một cảm biến siêu âm được gắn bên trong ống cung cấp một vòng phản hồi cho hệ thống, bên cạnh gắn một bộ cảm biến hồng ngoại song song với ống, cung cấp cho người dùng nhập vào. Mục tiêu cơ bản làm cho quả bóng di chuyển tốt ở một mức độ mong muốn trong ống, bằng cách điều khiển chính xác tốc độ của quạt và thông tin phản hồi từ các cảm biến siêu âm được gắn bên trong ống. Các thiết lập là một vòng phản hồi cổ điển. Hệ thống đầu vào (tốc độ quạt) được thay đổi, và kết quả là đầu ra (vị trí và tốc độ bóng) được thay đổi. Đầu ra là liên tục quan sát để xác định làm thế nào để tiếp tục điều chỉnh đầu vào. Dự án của chúng tôi sử dụng "logic mờ" để xác định đầu ra thích hợp. 4  Dự án 12 - Thí nghiệm “PID Ping Pong Ball Levitation” Vernier Software & Technology Trong dự án này, một quạt DC sử dụng để đẩy không khí vào ống tạo lực nâng cho bóng Ping – Pong. Quạt được đặt trong hộp kín để dưới cùng của ống. Thí nghiệm này sử dụng chương trình LabVIEW để kiểm soát tốc độ của quạt (lực nâng quả bóng lên) từ bảng điều khiển phía trước thông qua bộ điều khiển điện áp cho động cơ quạt. Khi thực hiện chương trình kết thúc, quạt sẽ tự động tắt .  Star Wars Force Trainer toy Công nghệ lần đầu tiên chính thức được giới thiệu vào công chúng năm 2009. Bác Milton Inc sử dụng sóng não để thao tác một món đồ chơi Star Wars Force Trainer, cho phép trẻ em tập trung suy nghĩ để nâng một quả bóng ping–pong trong ống lên độ cao mình mong muốn. 5 1.1.2 Trong nƣớc Mô hình thí nghiệm “Ball in tube” vẫn chưa được trang bị. 1.2 Hƣớng nghiên cứu chính của luận văn 1.2.1 Bài toán. Trong luận văn này, tác giả sẽ giải quyết hai bài toán sau đây: - Thiết lập mô hình toán học của hệ thống. - Điều khiển vị trí quả banh trong ống ở một độ cao mong muốn. (Chiều cao tối đa vị trí quả banh hoạt động trong ống dự kiến: 1,3m) 1.2.2 Hƣớng giải quyết bài toán  Sử dụng các phương trình vật lý (cơ lưu chất và điện) liên quan đến bài toán, để xây dựng hoàn chỉnh mô hình toán học cho hệ thống.  Đề xuất hai phương án điều khiển vị trí banh: - Phương án 1: Bộ điều khiển PID - Phương án 2: Bộ điều khiển mờ thích nghi PID (Fuzzy Adaptive PID control) Dựa vào mô hình toán học đã được xây dựng ở trên tác giả sẽ mô phỏng vị trí hoạt động của banh với hai phương án điều khiển khác nhau. Cuối cùng chúng tôi tiến hành thực nghiệm để kiểm tra độ tin cậy của mô hình toán học. Ngoài ra chúng tôi còn so sánh chất lượng điều khiển giữa bộ điều khiển truyền thống và bộ điều khiển thích nghi.  Giới hạn của luận văn: Luận văn này ta chỉ tập trung vào giải quyết bài toán điều khiển vị trí banh sử dụng hai phương án đã nêu trên. Cần khảo sát thêm các phương pháp khác để thấy rõ ưu và khuyết điểm của bộ điều khiển mờ thích nghi PID.  Kết quả mong muốn của luận văn: Mô hình hóa hệ thống, mô hình thực nghiệm để kiểm tra độ chích xác mô hình hóa toán học đã được xây dựng bằng lý thuyết. So sánh đánh giá chất lượng giữa bộ điều khiển PID truyền thống với điều khiển mờ thích nghi PID. 6 CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA 2.1. Mô hình “Ball in tube” Hệ thống điều khiển vị trí banh bao gồm một cánh quạt DC điều khiển bởi điện áp điều khiển u, quả banh có khối lượng Mb được đẩy lên bởi lực thổi Fđ . Mục tiêu của hệ thống là điều khiển vị trí quả banh bằng cách điều chỉnh điện áp ngõ vào u cấp cho cánh quạt DC. 2R Fđ Ball ymax Fg v y D Motor & Fan  u Hình 2.1: Mô hình thí nghiệm “Ball in tube” 7 Sơ đồi khối chức năng của hệ “Ball in tube” [1]:  (t ) u (t ) Motor DC & Fan v(t ) Air Ball in tube y (t ) Hình 2.2: Sơ đồ khối đối tượng “Ball in tube”. Trong đó: u(t): điện áp cấp cho động cơ (0  100% tương ứng 0  U0)  (t ) : vận tốc cánh quạt ( rad / s ) v(t): vận tốc lưu chất không khí ( m / s ) y(t): vị trí ball ( m ) 2.2. Thiết lập mô hình toán cho khối chức năng “Motor DC and fan”: Trong mô hình thí nghiệm, để tạo lực nâng chúng ta sử dụng động cơ quạt Brushless DC BLDC (động cơ không chổi quét). Mô hình toán Brushless DC motor (BLDC) [2]: Về cơ bản mô hình toán động cơ BLDC cũng gần giống động cơ DC thông thường [2], [PL I], cấu tạo bên trong động cơ BLDC bao gồm 3 cuộn dây như hình 2.3. Hình 2.3: Sơ đồ động cơ Brushless DC. Từ phương trình (I.11) đến (I.13) [PL I] ta sẽ thấy điểm khác biệt giữa động cơ DC thông thường và BLDC. 8 Điểm khác biệt này là ở hằng số thời gian cơ khí và hằng số thời gian L/R. Đối với BLDC thì. m   JR RJ  K e Kt K e Kt (2.1) e   L L  R R (2.2) Và dựa vào sơ đồ nguyên lý ta thấy BLDC có 3 pha bố trí đối xứng nên. m  J .3R K e Kt (2.3) e  L 3.R (2.4) Xét ảnh hưởng của pha:  m  3R .J (2.5)  Ke( L L )  K  3  t  Phương trình (2.5) trở thành. m  3R .J (2.6) K e Kt Với Ke là hằng số sức phản điện động K e  Ke( L L ) 3 Để tìm mối quan hệ giữa Kt và Ke ta áp dụng phương trình công suất điện (vế trái) bằng công suất cơ (vế phải). EI 3  2 NT 60 E T 2  N I 60 3 K e  Kt 2 60 3 Ke  0.0605Kt (2.7) 9 Phương trình động cơ BLDC có dạng tương tự như động cơ DC nhưng các hệ số phải phù hợp. U0 Ke W( s) G1 ( s )   2 U ( s )  m e s   m s  1 (2.8) Phép biến đổi Laplace ngược ta được phương trình trong miền thời gian.  m e (t )   m (t )   (t )  Với  e  U0 u (t ) Ke (2.9) 3R . J L ,  m và K e   được tính toán từ thông số động cơ nhà cung cấp. 3.R  m Kt Áp dụng công thức và dựa vào bảng I.1 thông số động cơ BLDC Maxon EC45 flat 12w. của nhà cung cấp [3] và [PL I] ta có: R  R  7.13() L = 2.75 103 (H) J = 52.3 (gcm2) = 5.23 106 (Kgm2) Kt = 30.5 103 (Nm/A)  m  40.1103 (s) 2.3. Thiết lập mô hình toán cho khối chức năng “air”: Trong mô hình thí nghiệm này ta sử dụng cánh quạt của hãng Sanyo Denki – San Ace 60 với các thông số và đường đặc tính quạt như sau [4] và [PL II]. Các định luật về quạt [5]: Quạt hoạt động theo một tập hợp các định luật có thể đoán trước liên quan đến tốc độ, công suất và áp suất. Mỗi thay đổi về tốc độ (rpm) của quạt sẽ thay đổi có thể đoán được về thay đổi áp suất đẩy và công suất yêu cầu để quạt hoạt động với tốc độ mới. Hình II.2 các định luật về quạt minh hoạ điều này [PL II]. Dựa và các định luật về quạt ta thấy rằng vận tốc cánh quạt sẽ tỉ lệ tuyến tính với lưu lượng mà quạt cung cấp trong ống. 10 Áp dụng công thức đồng dạng cho quạt đang sử dụng với quạt đã khảo nghiệm của hãng San Ace 60. Công thức đồng dạng: Q 2  N 2  D 2     Q1  N1  D1  3 (2.10) Trong đó: N: vận tốc cánh quạt Q: lưu lượng của quạt D: đường kính cánh quạt Chỉ số 1: Quạt mà ta đã biết đường đặc tính W3G280-EQ08 đã qua khảo nghiệm. Chỉ số 2: Quạt mà ta đang sử dụng có hình dạng tương đồng (dạng cánh tương tự chỉ khác nhau về đường kính). Và trong đề tài ta sử dụng cũng chính là quạt San Ace 60 nên D1 = D2 từ đó ta có: Q2  N 2    Q1  N1  (2.11) N  N 2   1  Q2  Q1  (2.12) Điểm cần quan tâm là ta cần tìm ra mối quan hệ giữa lưu lượng và vận tốc cánh quạt mà ta đang sử dụng. Dựa theo định luật về quạt trình bày ở hình II.2 [PL II] ta thấy vận tốc cánh N2 sẽ tỉ lệ tuyến tính với Q2 từ đó ta biết được N  K   1   const là hằng số không đổi.  Q1  Để tìm hệ số này ta cần tìm điểm làm việc của quạt trong điều kiện làm việc của mô hình thí nghiệm. Để xác định hệ số này ta sẽ tiến hành kiểm nghiệm thực tế bằng cách điều khiển cho quạt quay với 1 vận tốc cố định và dùng thiết bị đo đo lưu lượng của quạt tại ống lớn. Dựa trên thực nghiệm với vận tốc cánh 1000(rpm) thì lưu lượng đo được là 0.8(m3/min) hay 48(m3/h). 11  1000  Suy ra K     20.8  48  Từ đó thế vào công thức (2.12) thì N2 (rpm) sẽ là: N2  20.8Q2 (2.13) Lưu lượng quạt tại (m3/h) vị trí ống lớn bằng với tại ống nhỏ và bằng. 2 2 D Q2     .v0    R  v 2 (2.14) N 2  20.8  R  v (2.15)   1 v N2 2 20.8  R     (2.16) 2 Qui đổi đơn vị vận tốc từ rpm thành rad/s khi đó ta có v (m/h) sẽ là   60 1 v ( m / h)    2  20.8  R   2 (2.17) Hay: v(m / s )   60 1  1    3600  20.8  R 2  2 (2.18)  60  60 1  1 1  1 Đặt K s    0.0839   3600  20.8  R 2  2 3600  20.8 (0.022) 2  2 Thế vào 2.18 từ các phép thử thực nghiệm ở trên ta được mối liên hệ tuyến tính giữa tốc độ cánh quạt và tốc độ không khí trong ống. v(m / s)  K s (rad / s) (2.19) 12 2.4. Thiết lập mô hình toán cho đối tƣợng “ball in tube”: Chúng ta xây dựng mô hình toán dựa trên hình 2.1. Chúng ta xem xét bóng được đặt trong dòng lưu chất đang chuyển động với vận tốc v, bỏ qua lực nâng vì rất bé, và giả sử hệ số Reynold rất lớn (Re > 1000). Hệ số Reynold là số không thứ nguyên biễu diễn mối liên hệ tỉ lệ giữa lực quán tính và lực ma sát nhớt. Dựa vào hình 2.1 ta thấy bóng chịu tác động bởi 2 lực, đó là lực nâng Fđ và trọng lực Fg [1]. Theo toán học cơ lưu chất, khi 1 vật thể đặt trong dòng lưu chất thì dưới tác động của ma sát nhớt giữa lưu chất và bề mặt vật thể sẽ tạo thành lực cản chuyển động. Và trong thí nghiệm của chúng ta đó là lực nâng quả bóng. Lực đẩy hướng lên [1]: Fđ  2 1 v  t   y (t )   g Cd A  2 (2.20) Trong đó Cd là hằng số không thứ nguyên và ta gọi là hệ số cản, Hệ số cản Cd phụ thuộc vào Re và tùy thuộc vào hình dạng vật cản (hình cầu, bán cầu, …). Theo thực nghiệm đã kiểm định đối với vật thể cầu thì Cd =0.5 Trọng lực hướng xuống: Fg  M b g (2.21) Theo định luật newton phương trình toán của hệ thống. M b y (t )  M b g    (2.22)  (2.23) 2 1 v(t )  y (t )  g Cd A 2 Với A   r 2 Phương trình động học của hệ thống: M b y (t )  M b g   2 1 2 v(t )  y (t )  g Cd  r 2 Trong đó: y(t): vị trí banh (m) v: vận tốc không khí trong ống ( m / s )